专题一(二阶常微分方程解法)
二阶微分方程：
时为非齐次
时为齐次，0)(0)()()()(22≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
2
122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；
式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：
为常数；
，其中?'''=++?=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r
型
为常数；
型，为常数
，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是 ''+'+=y py qy f x () （1）
其中p q ,是常数。
方程（1）的通解为对应的齐次方程
0=+'+''qy y p y （2）
[
的通解Y 和方程（1）的一个特解*y 之和。即 *y Y y +=.我们已解决了求二阶常系数齐
次线性方程通解的问题，所以，我们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解*
y 的方法。
下面我们只介绍当方程（1）中的)(x f 为如下两种常见形式时求其特解*y 的方法。 一、
f x e P x x m ()()=?λ型
由于方程（1）右端函数f x ()是指数函数e x λ?与m 次多项式P
x m ()的乘积，而指数函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此，我们推测：
方程（1）的特解应为
y e Q x x *?=λ()( Q x ()是某个次数待定的多项式 ) y
e Q x e Q x x x *??'=+'λλλ()()
y e Q x Q x Q x x *?"=?+'+''λλλ[()()()]22
代入方程（1），得
e Q x p Q x p q Q x e P x x x m λλλλλ???''++'+++≡?[()()()()()]()22 消去e
x λ?，得
【 ''++'+++≡Q x p Q x p q Q x P x m ()()()()()()22λλλ （3）
讨论 01、如果λ不是特征方程
r pr q 20++=的根。 即
02≠++q p λλ 由于P x m
()是一个m 次的多项式，欲使（3）的两端恒等，那未Q x ()必为一个m 次多项式，设为
Q x b x b x b x b m m m m m ()=++++--0111
将之代入（3），比较恒等式两端x 的同次幂的系数，就得到以b b b b
m m 01
1,,,, -为未知数的m +1个线性方程的联立方程组，解此方程组可得到这m +1个待定的系数，并得到特解 y e Q x x m *?=λ()
02、如果λ是特征方程
r pr q 20++=的单根。 即
λλ20++=p q ，但 20λ+≠p ^
欲使（3）式的两端恒等，那么'Q x ()必是一个m 次多项式。
因此，可令 Q x x Q x m ()()=?
并且用同样的方法来确定)(x Q 的系数b b b b m m 0
11,,,, -。 03、如果λ是特征方程r pr q 20++=的二重根。
即
λλ20++=p q ，且 20λ+=p 。 欲使（3）式的两端恒等，那么''Q x ()必是一个m 次多项式
因此， 可令
Q x x Q x m ()()=?2
并且用同样的方法来确定)(x Q 的系数b b b b m m 0
11,,,, -。
综上所述，我们有结论 如果
f x e P x x m ()()=?λ，则方程（1）的特解形式为 》
y x Q x e k m x *?=()λ
其中Q x m ()是与P x m ()同次的多项式，k 的取值应满足条件 k =?????012λλλ不是特征方程的根是特征方程的单根
是特征方程的二重根
例1求 ''-'+=y y y xe x
562 的通解。
解 特征方程为 0652=+-r r
特征根为 3,221==r r
齐次方程的通解为 x x e C e C Y 3221+=
因为2=λ是特征单根，所以，设非齐次方程的特解为
y x b x b e x *=+()012
则
~
*'y =+++[()]222020112b x b b x b e x
*''y =++++[()]484240201012b x b b x b b e x
将上述三式代入原方程，得
()-+-≡2200122b x b b e xe x x ，
比较恒等式两端的系数，得
-=-=???2120001b b b
解得
21
0-
=b ， 11-=b 因此 x
e x x y 2)121(*+-= 所以方程的通解为
y c e
c e x x e x x x =+-+12232121() 】
二、f x e P x x P x x x l n ()[()cos ()sin ]=+λωω型
由于方程（1）右端函数为
[]x x p x x p e n l x ωωλsin )(cos )(+，这种形式得到非齐次方程的特解*y 的过程稍微复杂些，所以我们这里就只给出结论
y x e R x x R x x k x m m *=+λωω[()cos ()sin ]()()12
其中，R x m ()()1、R x m ()()2是两个m 次多项式，m l n =max{,}，
且
???++=是特征方程的根若不是特征方程的根若ωλωλi i k 10 例2求方程
''+=y y x x cos2 的通解。 解 特征方程 r 210+=
特征根
i r ±=2,1 齐次方程的通解为 x C x C Y sin cos 21+=
这里1,2,0===m ωλ，由于i i 2=+ωλ不是特征方程的根，所以设方程的特解为 &
y ax b x cx d x
*=+++()cos ()sin 22
代入原方程，得 x x x a d Cx x C b ax 2cos 2sin )433(2cos )433(=++-+--
比较两端同类项的系数，得
???????=--=-=+-=-0430
304313a d C C b a
解得
94,0,0,31===-=d C b a 于是
y x x x *=-+132492cos sin
所以非齐次方程的通解为 y c x c x x x x =+-+12132492cos sin cos sin