人大附中2021届高三上学期数学统练5-试卷

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人大附中2021届高三上学期数学统练5-试卷

人大附中2021届高三上学期数学统练5

2020 .12 .1

一、选择题:共10小题,每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.已知集合{sin ,0}A x y x x π==<<,{cos 0}A y y x x π==<<,

,则A B =( )

A.{

}4

π

B.}2

C.{(}42

π D. 以上答案都不对

2.已知向量(,1)t =a ,(1,2)=b .若⊥a b ,则实数t 的值为( )

A .2- B.2 C.12-

D.1

2

3.下列函数中,既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( )

A.1

2

y x = B.1sin sin y x x

=+

C.2log y x =

D.x x y e e -=-

4. 已知抛物线2

12y x =-的焦点与双曲线22

14

x y a -=的一个焦点重合,则a =( )

C.5

D.

5. 已知3log 6a =,54log b =,若12

log a m b >>,m *∈N ,则满足条件的m 可以为( )

A.

1

8

B.

14

C.

12

D.1

6.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

7. “3a =”是“直线21:+60l ax a y +=和直线2:(2)320l a x ay a -++=平行”的( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

8. 已知函数()sin()f x A x ω?=+(A ,ω,?均为正的常数)的最小正周期为π,当23

x π

=时,函数()f x 取得最小值,则下列结论正确的是( )

A. (2)(2)(0)f f f <-<

B.(0)(2)(2)f f f <<-

C. (2)(0)(2)f f f -<<

D.(2)(0)(2)f f f <<-

9.已知二次函数2

()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有

()0f x ≥,则

(1)

'(0)

f f 的最小值为( ) A .3 B .2 C .

52 D .32

10.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔,甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们 还将进行四场知识竞赛.规定:每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且

,,)N a b c *∈;选手总分为各场得分之和.四场比赛后,已知甲最后得分为16分,乙和丙最

后得分都为8分,且乙只有一场比赛获得了第一名,则下列说法正确的是( )

A. 每场比赛的第一名得分a 为4

B.甲至少有一场比赛获得第二名

C.乙在四场比赛中没有获得过第二名

D.丙至少有一场比赛获得第三名

二、填空题;共5小题,每小题5分,共25分 11.设i 为虚数单位,则

11i

i

-+的虚部为 . 12.已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长,则该椭圆

的离心率为 .

13.数列}{n a 的前n 项和为S n ,且111,2,1,2,3,n n a a S n +===.则3=_______;a

234+1_______.n a a a a +++???+=

14. 椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上且同时满足:

①是等腰三角形; ②是钝角三角形; ③线段12F F 为的腰; ④椭圆上恰好有4个不同的点P . 则椭圆的离心率的取值范围是 .

15.已知集合{

}

22

()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,, .由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示,中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论:

22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>12,F F P 12F F P ?12F F P ?12F F P ?C C

① “水滴”图形与y 轴相交,最高点记为A ,则点A 的坐标为(0,1); ②在集合P 中任取一点M ,则M 到原点的距离的最大值为3;

③阴影部分与y 轴相交,最高点和最低点分别记为C ,D ,则23CD =+;

④白色“水滴”图形的面积是

1136

π-.

其中正确的有 .

三、解答题:共3小题,共35分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16. (本小题满分11分)

已知2

()sin cos cos ()4

f x x x x π

=-+.

(Ⅰ)求()f x 的单调递减区间;

(Ⅰ)在锐角ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ??

== ???

,求ABC ?面积的最大值.

17. (本小题满分12分)

设函数2()e 3x f x m x =-+,其中∈m R .

(Ⅰ)当()f x 为偶函数时,求函数()()h x xf x =的极值;

(Ⅰ)若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点,求m 的取值范围.

18. (本小题满分12分)

已知椭圆:C 22

221(0)x y a b a b

+=>>经过两点2P ,(Q . (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;

(Ⅰ)过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,且直线l 与以线段FP 为直径 的圆交于另一点E (异于点F ),求AB EF ?的最大值.

四、选做题(本小题满分10分)

设函数()e cos ,

()x

f x x

g x =为()f x 的导函数.

(Ⅰ)当,42x ππ??

∈????

时,证明()()02f x g x x π??+-≥ ??

?

(Ⅱ)设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ?

?

π+

π+ ???

内的零点,其中n ∈N ,证明200

22sin c s e o n n n x x x -π

ππ+-<-.

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