高考数学模拟复习试卷试题模拟卷171 3

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【考情解读】

1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.

【重点知识梳理】

1．椭圆的定义

在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a＜c，则集合P为空集．

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2＋

y2

b2＝1

(a>b>0)

y2

a2＋

x2

b2＝1

(a>b>0)

图形

性质范围

－a≤x≤a

－b≤y≤b

－b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点

A1(－a，0)，A2(a，0)

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b

焦距|F1F2|＝2c

离心率e＝

c

a

∈(0，1)

a，b，c的关系c2＝a2－b2

考点一椭圆的定义及其应用

【例1】 (1)(如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()

A ．椭圆

B ．双曲线

C ．抛物线

D ．圆

(2)已知F1，F2是椭圆C ：x2a2＋y2

b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF →1⊥PF →2.若△PF1F2的面积为9，则b ＝________．

【变式探究】 (1)已知F1，F2是椭圆x216＋y2

9＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

(2)与圆C1：(x ＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x －3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．

即P在以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，

得点P的轨迹方程为x2

25＋y2

16＝1.

答案(1)A(2)x2

25＋y2

16＝1

考点二求椭圆的标准方程

【例2】 (1)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为

2 2.过

F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．

(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2

b2＝1(0

点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．

(3)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________．

【变式探究】 求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆x24＋y2

3＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；

(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；

(3)经过两点???

?－32，52，()3，5.

由?????????－322m ＋????522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝1

10.

∴椭圆方程为y210＋x26＝1. 考点三 椭圆的几何性质

【例3】 (1)(·江西卷)过点M(1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x2a2＋y2

b2＝1(a>b>0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．

(2)(·包头测试与评估)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的左顶点为A ，左焦点为F ，点P 为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e ＝1

2，则AP →·FP →的取值范围是________．

不等式．例如，－a≤x≤a ，－b≤y≤b ，0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．

【变式探究】 已知椭圆C1：x2a2＋y2

b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为A ，P 为C1上任一点，MN 是圆C2：x2＋(y －3)2＝1的一条直径，与AF 平行且在y 轴上的截距为3－2的直线l 恰好与圆C2相切．

(1)求椭圆C1的离心率；

(2)若PM →·PN →的最大值为49，求椭圆C1的方程．

考点四 直线与椭圆的位置关系

【例4】 (·四川卷)已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为63. (1)求椭圆C 的标准方程；

(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．

规律方法(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．

(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则|AB|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2] ＝

???

?1＋1k2[（y1＋y2）2－4y1y2](k 为直线斜率)． 提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零． 【变式探究】 (·陕西卷)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为1

2，左、右焦点分别为F1(－c ，0)，F2(c ，0)．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F1F2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB||CD|＝53

4，求直线l 的方程．

由|AB||CD|＝53

4，得4－m25－4m2

＝1，解得m ＝±3

3，满足(*)．

∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －3

3. 考点五 圆锥曲线上点的对称问题

圆锥曲线上两点关于直线的对称问题是高考命题的热点，该问题集中点弦、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法等重要数学知识和方法于一体，符合在知识网络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点，此类试题综合性强，难度大，对数学知识和能力的考查具有一定的深度，具有很好的选拔功能，是高考命题的热点．圆锥曲线上两点关于直线的对称问题主要有联立方程法和点差法两种解法．

【例5】 椭圆E 经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x 轴上，离心率e ＝1

2，其中∠F1AF2的平分线所在的直线l 的方程为y ＝2x －1.

(1)求椭圆E 的方程；

(2)在椭圆上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

【真题感悟】

1.【高考广东，文8】已知椭圆22

2125x y m

+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则

m =（ ） A ．9B ．4C ．3D ．2

2.【高考福建，文11】已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，

直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于4

5

，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）

A ． 3

B ．3(0,]4

C ．3

D ．3[,1)4

3．【高考浙江，文15】椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线b

y x c

=的对

称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是．

4.【高考安徽，文20】设椭圆E 的方程为22

221(0),x y a b a b

+=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标

为(,0)a ,点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 的斜率为

5

10

. （Ⅰ）求E 的离心率e;

（Ⅱ）设点C 的坐标为（0，b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB. 【答案】（Ⅰ）5

5

（Ⅱ）详见解析. 【解析】

（Ⅰ）解：由题设条件知，点)31,32(b a M ，又105=

OM k 从而10

5

2=a b .

进而b b a c b a 2,522=-=

=，故5

52==

a c e . （Ⅱ）证：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为??? ??-2,2

b a ，可得??

?

??=65,6b a NM . 又()b a AB ,-=，从而有()

22

22

56

16561

a b b a NM AB -=+

-=? 由（Ⅰ）得计算结果可知,52

2b a =所以0=?NM AB ，故AB MN ⊥.

5．【高考北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆C:2

2

33x y +=，过点()D 1,0且不过点

()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，

B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．

（I ）求椭圆C 的离心率；

（II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；

（III ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．

6.【高考湖南，文20】（本小题满分13分）已知抛物线2

1:4C x y =的焦点F 也是椭圆

22

222:1y x C a b

+=

(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为26，过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，

C相交于,C D两点，且AC与BD同向.与

2

C的方程；

（I）求

2

，求直线l的斜率.

（II）若AC BD

7.【高考山东，文21】平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22

22+=1(>>0)x y b b

αα的离心

率为

3231

2

）在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设椭圆E ：22

22+=144x y a b

，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m 交椭

圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .

（i ）求

||

||

OQ OP 的值； (ii)求ABQ ?面积的最大值.

【答案】（I ）2214x y +=；（II ）（i ）||2||

OQ OP =；（ii ） 3. 【解析】

（I ）由题意知22311,4a b

+=223a b -=，解得22

4,1a b ==， 所以椭圆C 的方程为2

2 1.4

x y += （II ）由（I ）知椭圆E 的方程为

22

1164

x y +=.

8.【高考陕西，文20】如图，椭圆

22

22

:1(0)

x y

E a b

a b

+=>>经过点(0,1)

A-

2

.

(I)求椭圆E的方程；

(II)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点,P Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.

9.【高考四川，文20】如图，椭圆E：

22

22

1

x y

a b

+=(a>b>0)的离心率是

2

2

，点P(0，1)在短轴CD

上，且PC PD

?＝－1

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ，使得

OA OB PA PB λ?+?为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

此时，OA OB PA PB λ?+?＝－3为定值

A D

B

C O x y P

当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD

此时OA OB PA PB OC OD PC PD λ?+?=?+?＝－2－1＝－3 故存在常数λ＝－1，使得OA OB PA PB λ?+?为定值－3.

10.【高考天津，文19】（本小题满分14分）已知椭圆2

22

2

1(a b 0)x y a

b 的上顶点为B,左焦

点为F ,离心率为

55

, （I ）求直线BF 的斜率;

（II ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ）,过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与y 轴交于点M,||=||PM MQ .

（i ）求

的值;

（ii ）若75

||sin =

9

PM BQP ,求椭圆的方程.

0M x =得7.8

M P P

Q M

Q x x x x x x λ-=

=

=-

1．（·四川卷）已知椭圆C：x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成

正三角形．

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.

①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；

②当|TF|

|PQ|最小时，求点T的坐标．