二次函数中的面积问题优秀教案

二次函数专题--面积问题

二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型.二次函数在人们的生产、生活中有着广泛的应用,

其本质特征是变化与对应,它是表示、处理数量关系以及变化规律的有效工具.作为刻画变量变化规律的工具,二次函数的各种形式体现了“函数知识”与“函数思想”的统一.二次函数既是初中数学的核心内容、重要的基础知识，也是初中与高中知识衔接的重要部分.它与数学其他知识有着更为广泛的联系.因此成都市的中考数学试题的压轴题都是以二次丽数为题材设置的二次丽数综合题.二次兩数综合题除了考查二次丽数的相关的基础知识外，还特别注重考查考生的分析转化能力、数形结合思想的运用能力以及探究能力此类综合题,常涉及方程(组)、不等式(组)及几何的许多知识,是中考命题的热点.备受命题者的青睐。【知识回顾】

1、二次函数)0

(

2≠

y图像的顶点坐标??

，当0

a时，当a

=时，=

最小值

y；当0

a时，当

=时，=

最大值

y；

2、“铅垂高，水平宽”面积法

三角形面积：S△ABC＝

ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

【课前热身】

1、已知二次函数1

32+

y，当=

x时，=

最大值

y。

2、如图，二次函数3

y与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点是D，

则=

?DCB

S。

【例题精讲】

例1如图，抛物线3

y与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC。使得△PBC 面积最大，求面积最大值及此时P点坐标．

变式1 如图，抛物线322++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接PB 、PC ．过点P 作PH⊥CB 交CB 于H 点，求PH 最大值及此时P 点坐标。

变式2 如图，抛物线322++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ，抛物线上是否存在点P ，使CAB PCB S S ??=

1?若存在，求出点P 的坐标；若不存在请说明理由。

★总结：此例题考查了二次函数的综合题，主要涉及了以下知识点：用待定系数法求函数关系式，函数的最值问题，三角形的面积公式及用二元一次方程组求交点问题等，解决变式2用到的知识点是两条平行线间的距离处处相等.

练习

1.如图1，抛物线c bx x y ++-=2

与x 轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值；若没有，请说明理由．

2.如图，已知抛物线

c bx x y ++-=2与x 轴交于点A （-1,0）和点B （3,0）与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）直接写出点C 和点D 的坐标

（3）若P 点在第一象限的抛物线上，且COE S ABP S ??=4，求P 点坐标。

在近几年成都市的中考压轴题中都设置了最值存在性探索型问题.这类型题日涉及的知识面广,综合性极强，难度大.要求考生必须具有很强的数学能力才能正确作答.最值、存在性问题

往往以“是否存在”“是否有”“是否变化”等疑问句出现，以示结论成立与否有待判断.解这类题日的方法是:通常对结论做出肯定存在的假设,再按题设条件进行推理计算,若导出矛盾,则否定先前的假设;若推出合理的结论.则说明假设成立,从而得出正确结论.

二次函数中常见图形的的面积问题

二次函数中常见图形的的面积问题说出如何表示各图中阴影部分的面积？如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平垂直的三条线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高h”。三角形面积的新方法:，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。 x y O M E N A 图 O x y D C 图 x y O D C E B 图六 P x y O A B D 图 E x y O A B 图 x y O A B 图

抛物线322+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ， D 为抛物线的顶点，连接BD ，CD ，（1）求四边形BOCD 的面积. （2）求△BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）如图1，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B 。（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △ PAB ＝S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三点，且与x 轴的另一个交点为E 。（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点D 的坐标和对称轴；（3）求四边形ABDE 的面积已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为在双曲线3 y x =上是否存在点N ，使得ABC NAB S S ??=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由. A x y O B C 变式二图

二次函数的存在性问题(面积)及答案

图12-2 x C O y A B D 1 1 二次函数的存在性问题(面积问题) 1、[08云南双柏]已知：抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB

2020二次函数中的面积问题

二次函数——面积问题〖知识要点〗一．求面积常用方法： 1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边） 2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方 3. 利用同底或同高三角形面积的关系 4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解）二．常见图形及公式抛物线解析式y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱= a ? 抛物线顶点坐标（-a b 2, a b ac 442-）抛物线与y 轴交点（0，c ） “歪歪三角形中间砍一刀” ah S ABC 2 1=?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. y 轴交PCD 的面 3、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ， c = ．〖典型例题〗 ● 面积最大问题 1、二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴交于点A （-1,0）、B （3 ，0），与y 轴交于点C ，∠ACB=90°. （1）求二次函数的解析式；（2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标（3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标 (4) P 为抛物线上一点，若使得ABC PAB S S ??=2 1，求P 点坐标。 ● 同高情况下，面积比=底边之比 2．已知：如图，直线y=﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C ，抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点B 、C ，点A 是 B 图1

二次函数动点面积最值问题

二次函数最大面积例1如图所示，等边△ ABC中，BC=10cm，点R, P?分别从B,A同时岀发，以1cm/s的速度沿线段BA,AC 移动，当移动时间练习 1如图，在矩形ABCD中，AB=6cm , BC=12cm,点P从点A岀发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B岀发沿BC边向C以2cm/s的速度移动，如果P,Q同时岀发，分别到达B、C两点就停止移动。 _ ___________________________________________ 2 (1 )设运动开始后第t秒，五边形APQCD的面积是Scm ，写岀S与t函数关系式，并指岀 t的取值范围。 (2) t为何值时，S最小？并求岀这个最小值。 A开始沿 Q B B边向点B以 A 2 如图，在△ ABC 中，/ B=9 0°, AB=22CM,BC=20CM ，点P 从点 2cm/S的速度移动，点Q从点B开始沿着BC边向点C以1cm/S的速度移动,P,Q分别从A,B 同时岀发。 2 求四边形APQC的面积y ( cm )与PQ移动时间x (s)的函数关系式, 以及自变量x的取值范围。 C 3如图正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与B,C重合的任意一点点P作PQ丄AP交DC于点Q,设BP的长为x cm，CQ的长为y cm。 (1)求点P在BC上的运动的过程中y的最大值。 1 (2 )当y= cm时，求x的值。 4 4如图所示，边长为在线段记CD (1) 过A D P B B 1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，动点点E, 连接O BC上移动(不与B,C重合)，连接OD，过点D作DE丄OD, 的长为 t o 1 当t=丄时，求线段DE 3 如果梯形CDEB的面积为所在直线的函数表达式 S,那么S是否以及此时 (2) 存在最大值？若存在，请求出最大值，t的值；若不存在，请说明理由。 2 2 (3)当OD DE的算术平方根取最小值时, (4)求点E的坐标。二次函数最大面积交AB D B E 能力提高例题如图所示，在梯形ABCD中，AD// BC,AB=AD=DC=2CM,BC=4C在等腰△ PQR中，/ QPR=120 ,底边QR=6CM点B,C,Q，R在同一直线 1cm/s的速度沿直线I向左匀速移动， (1) (2) t秒时梯形 I上，且C,Q两点重合，如果等腰△ PQR以 2 ABCD与等腰△ PQF重合部分的面积记为Scm 当t=4时，求S的值。当4< t < 10时，求S与t的函数关系式, A 并求岀S的最大值。 D 1 / 2

二次函数的应用——求最大面积

课后反思这节课，始终坚持“以设计核心问题引领学生深度思考”，让学生在解决问题时，自己去思考判断，这类问题需要联系所学过的什么知识、建立什么模型来解决，在这个过程中不仅突破了本节课的难点，也很好地引领学生的数学思维、提升其数学素养，也体现了“以核心问题引领学生深度思考”。本节课的成功之处： 1、设计核心问题，引领学生自主探究、深度思考。在第一环节直角三角形的亲密矩形，抛出了一个大问题给学生，让他们自己设计方案，求出最大值。这个题目的素材来自于教材的96页和97页的议一议。教材中是直接给出方法，设矩形的一边为x，问另一边如何用x表示？第二问又直接设面积为y，问当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？我把这几个小问题隐藏了，目的是要让学生自主探究，寻找渗透解决数学问题的一般思路：提出猜想之后验证，而验证又从动态演示到推理计算，让学生体验特殊到一般、直观到抽象的思维过程，积累数学活动经验。而不是老师上课说，这个题设什么什么为x，什么什么为y，而后学生就顺藤摸瓜列函数关系式。我们需要让学生在解决问题时，自己去思考判断，这样的问题我需要联系所学过的什么知识、建立什么模型来解决，将函数的概念解释的清晰明了，在这个过程中不仅突破了本节课的难点，也很好地引领学生的数学思维、提升其数学素养，这就是我们设计核心问题的价值所在——以核心问题引领学生深度思考。

2、注重培养学生的数学核心素养由于本节课前刚把二次函数的性质结束，接下来就是二次函数的应用。学生脑子里缺乏用二次函数来解决实际问题的解题经验和思想方法。我利用课件动态演示在运动变化过程中产生了几个变量，而且其中一个变量是随着另一个变量的变化而变化时，学生可以联想到用函数来解决。同时体会解决几何图形的问题可以借助于函数模型，渗透数形结合的思想方法。再例如，第二个探究活动——抛物线的亲密矩形的设计，当学生出现误用相似解决时，让学生自我质疑，提出问题、自我矫正，旨在培养学生自己发现问题、解决问题的数学素养。总结提升环节，让学生体会并不是所有的问题都是处在特殊位置时有最值，同时让学生进一步体会凡是解决最值问题、方案最优化问题都可以想到用二次函数解决，当产生三个变量时，我们都需要先将其中一个变量用另一个变量来表示，这也体现了“用函数表示函数”的思想方法。整节课中，将众多的数学思想贯穿于整节课中，从开篇的“类比”、活动一的“从特殊到一般”、活动二做法的再次“类比”、两个活动中的“函数表示函数”等等，尤其是最后在知识提升环节“数形结合”思想的归纳更是让学生形成系统的解题思路与思想方法。 3、每个环节的设计充分体现了目标、评价、教学一致性每个探究活动，由浅入深，层层递进，从初三学生认识的直角三角形的亲密矩形入手，让学生设计使矩形面积最大的方案，让学生明确二次函数的最值问题的应用，是解决这类问题的思路和方法.马上即时检

二次函数的应用——面积最大问题

《二次函数的应用——何时围得面积最大？》说课稿【教材分析】二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，也为求解最大利润等问题奠定基础。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。【课时安排】教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。【学情及学法分析】对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课

标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。【教学目标】 1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。 2. 过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。 3．情感、态度与价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值。教学重点：利用二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，求面积最值问题教学难点：正确构建数学模型三、教学方法与手段的选择由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。四、教学流程（一）复习引入: 复习引入阶段我设计了三个问题：

二次函数的存在性问题(面积问题)

二次函数的存在性问题(面积问题) [08湖北荆州]已知：如图，R t △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负半轴上，C 为OA 上一点且OC ＝OB ，抛物线y=(x －2)(x －m )－(p-2)(p-m)（m 、p 为常数且m+2≥2p>0）经过A 、C 两点．（1）用m 、p 分别表示OA 、OC 的长；（2）当m 、p 满足什么关系时，△AOB 12220.(1)0 2)()(2)()0 )(2)0,222020 2,1(2),2 11 (2) 2211 (2)22 1 (2) 1 2(2)1 2 2()2 AOB AOB AO y x x m p p m x p x m p x p x m p m p m p p OA m p OC P OC OB S OA OB S OA OB P m p P m P m p m S =-----=---+=∴==+-+>>∴+->>∴=+-===∴==+-=-+++∴=-=+?-令得：（整理得：（当时，. B 最大 [08湖北荆州]如图，等腰直角三角形纸片AB C 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90o，直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A （1，0），AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止.设平移时间为t （s ），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S. （1）求折痕EF 的长；（2）是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线243y x x =++的顶点？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 25.145101ABC BE EA FE EA Rt AC BC CAB EF EA A OA OE AE EF ∴⊥=∴∠=?∴=∴===∴=（）折叠后与所在直线重合又中（，），折痕 ∥BA 交Y 轴于P ， 2（）存在.设CP 413 POC C CP AC OA OC OP ==∴==则为等腰直角三角形，直角顶点在射线上移动，

二次函数与三角形最大面积的3种求法(供参考)

二次函数与三角形最大面积的3种求法一．解答题（共7小题） 1．（2012?广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D，使得点D到点B、C的距离之和最小，并求出点D的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2013?茂名）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）．（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由． 3．（2011?茂名）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． 4．（2012?黔西南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M．（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2013?新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．6．（2009?江津区）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由． 7．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c经过点A（1，0），C（0，3），且对称轴为直线x=﹣1．（1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线上是否存在点P，使△PAB得面积为10，请写出所有点P的坐标．二次函数与三角形最大面积的3种求法

二次函数与实际问题(面积最值问题)教学设计解读

[教学设计 ] 二次数学的实际运用 ——图形面积的最值问题【知识与技能】 :通过复习让学生系统性地掌握并认识如何用函数的思想解决几何问题中面积最值问题, 培养其整体性思想。【过程与方法】 :能通过设置的三个问题, 概括出二次函数解决这类问题的基本思路和基本方法, 并学会用数学问题的结论,分析是否是实际问题的解,掌握类比的数学思想方法。【情感态度与价值观】 :体会函数建模思想的同时, 体会数学与现实生活的紧密联系, 培养学生认真观察, 不断反思,主动纠错的能力和乐于思考,认真严谨、细心的好习惯。感受多媒体的直观性和愉悦感。【重点】 :如何利用二次函数的性质解决实际问题——图形面积的最值问题【难点】 :如何探究在自变量取值范围内求出实际问题的解【教学过程】【活动 1】 :导入引言: 二次函数在实际问题中的应用常见类型有抛物线形问题和最值问题。而最值问题考试类型有两类 (1利润最大问题; (2几何图形中的最值问题:面积的最值,用料的最佳方案等,本节课,我们学习如何用二次函数解决实际问题中图形面积的最值问题。【活动 2】 :师生互动,合作学习我们来看一道简单的例题

例 1:李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园 ABCD ,用篱笆围成的另外三边总长为 24米,则矩形的长宽分别为多少时,围成的矩形面积最大? 师(让学生思考 :题目中已知量是什么? 未知量是什么?如何理解“矩形面积最大”问题?是什么影响了矩形面积的变化呢?我们一起来看下面的动画演示(通过动画演示,让学生感受量的变化师:在演示中你们看到了什么?想到了什么?你能列出函数解析式吗? 学生解决:若设矩形一边长为 X ,当 X 在变长时,另一边变短,当 X 变短时,另一边变长,则面积 S 也随之发生了变化;设宽 AB 为 X 米,则长为 24-2X (m 所以面积 S=X(24-2X=-2X2+24X=-2(X-122 +288 师:分析归纳解函数问题的一般步骤是什么? (板书 : 第一步,正确理解题意 , 分析问题中的常量和重量; 第二步,巧设未知数,用未知数表示已知量和未知量,列二次函数解析式表示它们的关系; 第三步,计算,将一般式转化为顶点式,求出数学问题的最值。师:请问这时解出的数学问题的解是不是实际问题的解,如何检验呢?(在师生共同研讨的过程中找出计算中学生容易犯的错误,分析解答是否符合实际问题小结:求解完答案后,我们要善于检查,分析,反思数学问题的解是否是实际问题的解。活动 3:变式训练,巩固应用。

二次函数的最大面积问题

初四数学二次函数中的最大面积专题练习题 1．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA=1，tan ∠BAO=3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ．抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 、B 、 C ．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ． ①设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求出当△CEF 与△COD 相似时点P 的坐标． ②是否存在一点P ，使△PCD 的面积最大？若存在，求出△PCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线c x ax y +- =2 32与x 轴相交于A ，B 两点，并与直线221-=x y 交于B ，C 两点，其中点C 是直线221-=x y 与y 轴的交点，连接AC ．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC 为直角三角形；（3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由． 3．某基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长54米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为2米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：

（1）设AB=x 米（x ＞0），试用含x 的代数式表示BC 的长；（2）请你判断谁的说法正确，为什么？ 4．如图，已知抛物线c bx ax y ++=2 过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠QGA=45o，求点Q 的坐标． 5．如图，抛物线y=-x 2-2x+3 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）求A 、B 、C 的坐标；（2）设点H 是第二象限内抛物线上的一点，且△HAB 的面积是6，求点H 的坐标；（3）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求△AEM 的面积． 6．如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=7cm ，AC=5，点P 从B 点出发，沿BC 方向以2m/s 的速度移动，点Q 从C 出发，沿CA 方向以1m/s 的速度移动．

二次函数的最大面积问题

初四数学二次函数中的最大面积专题练习题 1．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA=1，tan ∠BAO=3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ．抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 、B 、C ．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 是第二象限抛物线上的动点，其横坐标为t ． ①设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求出当△CEF 与△COD 相似时点P 的坐标． ②是否存在一点P ，使△PCD 的面积最大？若存在，求出△PCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线c x ax y +- =2 32与x 轴相交于A ，B 两点，并与直线221-=x y 交于B ，C 两点，其中点C 是直线221-=x y 与y 轴的交点，连接AC ．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC 为直角三角形；（3）△ABC 部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由． 3．某基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长54米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为2米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：

（1）设AB=x 米（x ＞0），试用含x 的代数式表示BC 的长；（2）请你判断谁的说确，为什么？ 4．如图，已知抛物线c bx ax y ++=2 过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠QGA=45o，求点Q 的坐标． 5．如图，抛物线y=-x 2 -2x+3 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）求A 、B 、C 的坐标；（2）设点H 是第二象限抛物线上的一点，且△HAB 的面积是6，求点H 的坐标；（3）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求△AEM 的面积． 6．如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=7cm ，AC=5，点P 从B 点出发，沿BC 方向以2m/s 的速度移动，点Q 从C 出发，沿CA 方向以1m/s 的速度移动．

6.4 二次函数的应用(2)【最大面积是多少】

§6.4 二次函数的应用（2）【最大面积是多少】---( 教案) 备课时间: 主备人: 教学目标: 掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．教学重点: 本节的重点是应用二次函数解决图形有关的最值问题，这是本书惟一的一种类型，也是二次函数综合题目中常见的一种类型．在二次函数的应用中占有重要的地位，是经常考查的题型，根据图形中的线段之间的关系，与二次函数结合，可解决此类问题．教学难点: 由图中找到二次函数表达式是本节的难点，它常用的有三角形相似，对应线段成比例，面积公式等，应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式．教学方法: 教师指导学生自学法。教学过程: 一、例题：例1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. (1)设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少? 例2、某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m）？此时，窗户的面积是多少？二、练习 1、如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？

2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？ 3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm， S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．三、小结:本节课我们学习了什么？四、作业：

二次函数及三角形周长,面积最值问题

二次函数与三角形周长，面积最值问题知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题【新授课】考点1：线段、周长问题例1.(2018·)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。

练习 1、如图，已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）． y ax x c （1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． 2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；练习 1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y= 2

二次函数面积最大问题

二次函数面积最大问题： 1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）求三角形CBM的最大值 2、如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点． ①若点P在抛物线上，且S △POC =4S △BOC ．求点P的坐标； ②设点Q是抛物线上一点，位于线段AC的下方，作QD⊥x轴交抛物线于点D，交AC于点P,求线段QP长度的最大值．（3）求S△ACQ的最大值，

3、如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标． 4、如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；

5、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，﹣），已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）．（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号） 6、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数的应用(最大利润和最大面积)

九二次函数的应用（最大利润和最大面积） 1、如图3所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为 A.424 m B.6 m C.15 m D.2 5 m 2.某商店经营一种水产品，成本为每千克40出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请回答下列问题: (1)当销售单价为每千克55元时，计算销售量和月利润. (2)设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的函数关系式. (3)销售单价定为多少元时，获得的利润最多? 3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？ 4某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x 元．求：（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z （元）关于x （元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？ )

二次函数的应用--最大面积

二次函数的应用—面积问题【知识要点】 (1)求出面积与自变量的函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）（2）用配方法用配方法将y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式： y=ax2+bx+c==a=a+. 当a＞0时，则时，y最小值= 当a＜0时，则时，y最大值= （3）确定自变量的取值范围，检验是否在取值范围内，若不在，则根据函数的增减性，代入自变量的端点值求出最值求几何图形的常见方法： ①利用几何图形的面积公式； ②利用三角形的相似（面积比等于相似比的平方）； ③利用割补法求几何图形的面积和或差；【例题解析】例4、有窗框料12m长，现要制成一个如图所示的窗框，问长宽各为多少米，才能使光照最充足？

例5、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D不重合），且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？例6、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0）、（4，3），动点M、N分别从点O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N 作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，当两动点运动了t秒时．（1）P点的坐标为______（用含t的代数式表示）；（2）记△MPA的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜4）；（3）当t=______秒时，S有最大值，最大值是______；（4）若点Q在y轴上，当S有最大值且△QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式．【课堂练习】

二次函数应用(最大面积问题)

一、教学过程 AB 和AD 分别在两直角边上，1、如图。在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD，其中 AN=40m， AM=30m （1）设矩形的一边AB= xm，那么 AD 边的长度如何表示？（2）设矩形的面积为ym2，当x 取何值时，y 的最大值是多少？（二）变式探究【探究一】在上一个问题中，如果把矩形改成如图所示的位置，其顶点 A 和顶点 D 分别在两直角边上， BC 在斜边上，其他条件不变，那么矩形的最大面积是什么？【探究二】如图，已知△ABC是一等腰三角形铁板余料，AB=AC=20cm， BC=24cm，若在 △ABC 上，截出一零件 DEFG，使得 EF在 BC上，点 D、G 分别在边 AB、AC上，问矩形 DEFG 的最大面积是多少？

（三）课下作业 1、如图，在一面靠墙的空地上用长为24 米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为 x 米，面积S 平方米 (1)求 S 与 x 的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当 x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大利用长度为8 米,求此时围成花圃的最大面积和最小面积分别是多少? 2、如图， AD 是△ ABC的高， BC=60cm，AD=40cm，点 P,Q 是 BC边上的点，点 S 在 AB 边上，点 R 在 AC 边上，四边形 SPQR是矩形，求矩形 SPQR面积最大值 BC、 CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，3、正方形ABCD边长为 4， M 、N 分别是保持 AM和MN垂直（1）证明： RT△ ABM∽ RT△ MCN （2）设 BM=x，梯形 ABCN 的面积为y，求y与x之间的函数关系式：当 M 点运动到什么位置时，（3）四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积

二次函数的应用_——最大面积问题教学设计

《二次函数的应用——面积最大问题》教学设计二次函数的应用——面积最大问题。所用教材是教育材九年级上册第三章第六节二次函数的应用，本节共需四课时，面积最大是第一节。下面我将从教材容的分析、教学目标、重点、难点的确定、教学方法的选择、教学过程的设计和教学效果预测几方面对本节课进行说明。一、教学容的分析 1、地位与作用：二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。此部分容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。 2、课时安排教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。 3.学情及学法分析学生由简单的二次函数y ＝x 2学习开始，然后是y ＝ax2，y ＝ax 2+c ，最后是y=a(x-h)2， y ＝a(x-h)2+k ，y ＝ax 2+bx+c ，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和图像的性质。对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。二、教学目标、重点、难点的确定教学目标： 1、知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。 2．过程与方法：经历“实际问题转化成数学问题——利用二次函数知识解决问题— —利用求解的结果解释问题”的过程体会数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活。 3.情感态度、价值观：培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成。教学重点：利用二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，求面积最值问题教学难点：1、正确构建数学模型 2、对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应用三、教学方法与手段的选择由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使

二次函数中的面积问题教案

初中数学编辑时间：2017.4 x y O C A B x y O A B C x y D O A B C x y F O A B C x y E O A B C 中考复习小专题前测课题二次函数中的三角形面积问题一．课前完成：在平面直角坐标系中，求下列条件下三角形的面积：（1）如图1，A(-1,1),B(5,1),C(3,5),则ABC S D = ；（2）如图2，A(-1，5),B(-1，-1),C(4，1),则ABC S D = ；（3）如图3，A(-1,1),B(2,6),C(3,5),则求ABC D 的面积。中测二．归纳总结（用点坐标表示下列面积）： 1.在平面直角坐标系中，若ABC D 中AB 边所在的直线与x 轴平行（或重合），则ABC S D = ；若ABC D 中AB 边所在在直线与y 轴平行（或重合），则ABC S D = ； 2. 在平面直角坐标系中，任意ABC D 的面积计算方法： 1）如过A 作铅锤线：则ABC S D = + = ； 2）如过B 作铅锤线：则ABC S D = - = ； 3）如过C 作铅锤线：则ABC S D = - = ；图1 图2 图3

x y A D E B O P 三．典例分析：例1.二次函数2 246y x x =+-的图象与x 轴的交点为A (?3,0)、B (1,0)两点,与y 轴交于点C (0,?6)，顶点为D.如图，点P 为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC 的面积为S ，试求出S 与点P 的横坐标x 之间的函数关系式及S 的最大值；变式跟进：如图,抛物线2 26y x x =-+经过点B(1,4)和点E(3,0,) 两点,平面上有两点A 11(,)22 ，D 13 (,)22- 。从B 点到E 点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P ，使得△PAD 的面积最大?若存在，请求出△PAD 面积。四．巩固练习： 1.抛物线2 -23y x x =-平面直角坐标系中有两点A(-1，3),B(-4，-1)，点P 为抛物线第四象限的一个动点，则如何作铅垂线更便于求ABP D 的面积最大值？( ) A ．过A 作铅垂线交BP 于点D B.过B 作铅垂线交PA 延长线于点E 中测