中考数学专题复习-探究规律等差数字型

等差数字型

1.一组按规律排列的式子：

2

a，

4

3

a

，

6

5

a

，

8

7

a

, ,….则第

n个式子是________.

答案：2n-1;2n

解析：已知式子可写成：

2

1

a

，

4

3

a

，

6

5

a

,

8

7

a

，分母为奇数，可写成

21

n-，分子中字

母a的指数为偶数2n，所以第n个式子可以写成2

21

n

a

n-

.

2.甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；

②若报出的数为

3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为______．

答案：4

解析：

∵甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，

接着甲报

5、乙报6……按此规律，

后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大

1，

当报到的数是

50时，报数结束.

∴报数结束时：504122

÷=.

∴甲共报数13次

第一次为1， 第二次为5， 第三次为9，……，

以此类推，每次比前一次多4，

∴第n 次就应该为1(1)443n n +-=-， 其中113n ≤≤.

∵报出的数为3的倍数时，需拍手.

∴当43n -(113)n ≤≤是3的倍数时，甲就拍手. 满足的情况分别为：

3n =时，报数为9； 6n =时，报数为21； 9n =时，报数为33； 12n =时，报数为45.

∴甲同学需要拍手4次.

3.宁宁同学设计了一个计算程序，如下表

根据表格中的数据的对应关系，可得a 的值是（）.

A ．1011

B ．12

11 C ．1 D ．0

答案：A

解析：分析输入、输出的数据可得：

输出数据的分子是输入数据的2倍， 分母是输入数据的2倍加1. 所以当输入数据为5时，

输出数据的分子是2510?＝

， 分母是25111?＋＝

， 即输出数据为10

11.

4.按一定规律排列的一列数，依次为

147?，，，．则第n 个数是（ ）

．

A ．32n -

B ．23n -

C ．2n

D ．63n - 答案：A

解析：观察依次为

147?，，，的一列数，

分析找出规律，是首项为1，后项与前项之差为3，

即1,1

31?＋，132?＋，…， 据此求出第n 个数．

1(1)332n n -?=-＋.

5.

1S ，2S ，3S ，4S …，

计算

21S S - ，32S S - ，43S S -

…．若边长为n 为正整数）的正方形面积

记作

n S ，根据你的计算结果，猜想1

n n S

S +-的值．（用字母n 来表示）

答案：6；10；14；4n+2 . 解析：

1234281 8··3·2S S S S ====，，，，，

216412S S ==?-＋， 3210422S S ==?-＋， 4314432S S ==?-＋，，

据上可得出142n n S S n +=-+.

6.将正奇数按下表排成5列：

则2007位于（）.

A ．125行，3列

B ．125行，2列

C ．251行，2列

D ．251行，5列 答案：D 解析：

由题可知：数字按照1,3,5,7，……，21n -，……，排列. 令212007n -=， 得到1004n =，

说明2007是第1004个奇数. ∵每行有4个奇数， 用10044251÷= ∴2007位于第251行 又251是奇数行，

∴2007应从第二列向后数4个数， 所以2007位于第5列，251行， 故选D ．

7.已知：'n

n x x ，是关于x 的方程2

440n n n a x a x a n -+-= 1()n n a a +>的两个实数根，

'n n x x <，其中n 为正整数，且11a =．（1）11'x x -的值为________；

（2）当n 分

别取1，2，，2013时，相对应的有2013个方程，将这些方程的所有实数根按照从小到大的顺序排列，相邻两数的差恒为11(')x x -的值，则20132012'x x - =__________．

答案：2；8048

解析：（1）先把

11a =代入原方程得2430x x -+=，

求得方程的两个根分别为3,1，

再根据'n n x x <，即11'x x <，

可得1

1

1,3x x '==， 所以11'312x x -

=-=.

（2

）由求根公式得：2x =±

据1n n a a ->，

???

得

12

12n

n a a a <<<

， 当1n =时，11

1,3x x '==， 当2n =时，212

1,x x x x ''<>， 当3n =时，323

2,x x x x ''<>， 以此类推，

当2012n =时，201220112012

2011,x x x x ''<>， 当2013n =时，2013

20122013

2012,x x x x ''<>， ∴根由小到大排列为2013201211

2013,,

,,,,x x x x x ''，共4026项. ∵每两项的差恒为

11(')x x -的值，即为2

20132012(40262)2x x '∴=+-? 则2013

2012(40262)28048x x '∴-=-?=.

8.观察下列等式：①

；②；③；④…；则根据此

规律第6个等式为________，第个等式为_______．

解析：通过观察发现式子的变化规律：

第一个式子为：1(11)

1(11)a a

?++

=++ 23a a +

=65a a +=127a a +=20

9a a +=n

第二个式子为：2(21)

2(21)a a ?++

=++

第三个式子为：3(31)

3(31)a a

?++

=++

以此类推，

第个等式为

(1)

(1)n n a n n a ++

=++．

当6n =时，等式为42

13a a

+

=.

9.一组按规律排列的式子：，

，，，…，其中第6个式子是___________，第n 个式子是___________（为正整数）．

A. 671

1,(1)642n n n n

a b a b ++-- B. 671

,(1)642

n n n n a b a b +-- C. 6711,(1)642n n n n a b a b ++- D. 671

,(1)642

n n n n a b a b +- 答案：A 解析：

第一个式子可整理为：111

11

1

(1)2

a b ++- 第二个式子可整理为：221

21

2

(1)

2

a b ++- 第三个式子可整理为：331

31

3

(1)

2

a b ++- n 22b a 432b a -843b a 165

4b a -

n

以此类推，

第n 个式子为：11

(1)2

n n n n

a b ++- 所以当6n =时，式子为6616761

6(1)264

a b a b ++-=-

.

10.一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是______（直接填数字），第n 个数是______.（从下列选项中选择）（用含字母n 的代数式表示，n 为正整数）．

A.

()

1

11(1)

2n n ++-+ B. 1

[1(1)

](1)n n ++-+

C.

()

11(1)2

n

n +-+ D. [1(1)](1)n n +-+ 答案：8，A

解析：观察数据可得：偶数项为0； 奇数项中，第1项为：211=+ 第3项为：431=+ 第5项为：651=+

以此类推，n 为奇数时，第n 项，为1n + 则当7n =时，为：718+=

那么第n 个数就是：

()1

11(1)

2n n ++-+.

11.一组按一定规律排列的式子：2

a -，

5

2

a ，8

3a -

，114

a ，…，（0a ≠）,则第n 个式

子是______________（n 为正整数）．

解析：分析可得这列式子：

第1个式子可以整理为：

311

1 (1)

1

a?--

第2个式子可以整理为：

321

2 (1)

2

a?--

第3个式子可以整理为：

331

3 (1)

3

a?--

以此类推，

则第n个式子是31

(1)

n

n

a

n

-

-．

12.按一定规律排列的一列数依次为：14916

,

3579

，，，

……，按此规律排列下去，这列

数中的第5个数是多少，第

n个数是多少．解析：

第1个数为

2

1

211?+

，

第2个数为

2

2

221?+

，

第3个数为

2

3

231?+

，

以此类推，

故可求得第n 个数是2

21n n +．

当5n =时，得到第5个数为2525

=25111

?+.

13.一组按规律排列的式子：52a b ，84a b -，118

a b ，14

16a b -，……（0ab ≠），其中第6个

式子是______，第n 个式子是_____（n 为正整数）．

解析：观察分析可得：

第1个式子是：

()1

31211

21a b

?++-?

第2个式子是：

()2

32221

21a b

?++-?

第3个式子是：

()

3

33231

21a b

?++-?

以此类推，第n 个式子是

()

321

21n

n n a b

++-?

故第6个式子是20

64

a b -.

14.如图，按此规律，第6 行最后一个数字是______，第______行最后一个数是2014 ．

答案：16；672 解析：

第1行最后一个数字是1， 第2行最后一个数字是13+， 第3行最后一个数字是132+?， 以此类推，

第n 行的最后一个数字为13132n n +-=-（

）， ∴第6行最后一个数字是36216?-=； 再令322014n -=，解得672n =．

因此第6行最后一个数字是16，第672行最后一个数是2014．

15.已知

2

1

(123...)(1)

n a n n ==+，，，，我们又定义

112(1)

b a =-，

2122(1)(1)b a a =--，…，122(1)(1)...(1)n n b a a a =---，则通过计算1

2b b ，……，

则b 5是多少，b n 是多少？ 解析：根据题意按规律求解：

11122111b a +=-=

+（），

2122221121b a a +=--=

+（)(），

所以2

=

1

n n b n ++ 则5

527

=516

b +=

+

16.右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A

B C D ，，，.请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B C →→→→→→→→→? 的方式）从A 开始数连续的正整数

1234?，，，，，当数到

12时，对应的字母是______（请填大写字母）；当字

母C 第201次出现时，恰好数到的数是______；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是______（用含n 的代数式表示）.

答案：B ；603；6n+3 解析：通过对字母观察可知：

前六个字母为一组，后边就是这组字母反复出现． 当数到12时因为12除以6刚好余数为零， 则表示这组字母刚好出现两次， 所以最后一个字母应该是B ．

当字母C 第201次出现时， 由于每组字母中C 出现两次，

则这组字母应该出现100次后还要加一次C 字母出现， 而第一个C 字母在第三个出现， 所以应该是10063603?+=． 当字母C 第21n +次出现时，

则这组字母应该出现n 次后还要加一次C 字母出现， 所以应该是6363n n ?+=+．

17.一组按规律排列的式子：

2581114916,,,,(0)a a a a a

--≠，

其中第8个式子是_____，第n 个式子是______（n 为正整数） 解析：观察式子可知：

第1个式子为2

11

311

1(1)

a +?-- 第2个式子为221

321

2(1)

a

+?--

第3个式子为231

331

3(1)

a

+?--

以此类推，

第n 个式子是2

1

31

(1)

n n n a

+-- 当8n =时，式子是281

381

23864(1)

a a

+?--=-

18.观察并分析下列数据，寻找规律： 03，--……

那么第10个数据是______ ；第n 个数据是______ .

解析：观察分析可得：

第1个式子为(1)-

第2个式子为(1)-

第3个式子为(1)-以此类推，

第n 个式子为(1)

-

故第10个数据是(1)-=

19.对于大于或等于2的自然数n 的平方进行如下“分裂”，分裂成n 个连续奇数的和，则自然数2

7的分裂数中最大的数是______，自然数2

n 的分裂数中最大的数是______.

答案：13；2n-1

解析：根据前面分解的具体数值，发现：

每个数中所分解的最大的数是前边底数的2倍减去1． 则自然数2

7的分裂数中最大的数是27113?-=；

自然数2n 的分裂数中最大的数是21n -．

20.一组按规律排列的式子：3579

234,,,,

x x x x y

y y y --（

0xy ≠）

， 其中第6个

式子是______，第n 个式子是______（n 为正整数）． 答案：

解析：观察式子规律：

第1个式子为211

11

1(1)

x y

?++-， 第2个式子为22121

2

(1)

x y ?++-

第3个式子为231

31

3(1)

x y

?++- 以此类推，

第n 个式子为

211

(1)

n n n x y ++- 故第6个式子为

21

1

(1)

n n n x y ++-．

21.观察下列有序数对：111

(31)(5)(7)(9)234---，，，，，，，，

…，根据你发现的规律，

第100个有序数对的形式是______ 解析：观察发现：

第1个有序数对可以表示为11

11

((1)

(211)(1))1+-??+-?，，

第2个有序数对可以表示为21

21

((1)

(221)(1))2

+-??+-?，，

第3个有序数对可以表示为31

31

((1)

(231)(1))

3

+-??+-?，，

以此类推，

第n 个有序数对可表示为1

1

((1)

(21)(1))n n n n

+-?+-?，，

∴第100个有序数对是

1

(201)

100-，．

22.观察下列数表： 1 2 3 4…第一行 2 3 4 5…第二行 3 4 5 6…第三行 4 5 6 7…第四行

根据数表所反映的规律，第n 行第n 列交叉点上的数应为（ ）.

解析：根据分析可知，

数表中数据排列规律可知第n 行第n 列交叉点上的数正好是对角线上的数， 它们是连续的奇数．

所以第n 行第n 列交叉点上的数应为21n -．

23.观察分析下列数据，寻找规律：0,5,-…则第

101个数据应

是（ ）

解析：先看符号，偶数个是负数，奇数个是正数． 再看被开方数， 第二个的被开方数是5， 第3个的被开方数是5×2=10，

由此可得到第101个的被开方数是5×100=500，

所以可求得第101个数据应是

24.一张纸片，第一次把它撕成6片，第二次把其中一片又撕成6片，…，如此下去，则第n 次撕后一共有小纸片数是_____. 答案：

解析：一张纸片，第一次把它撕成6片， 即1片的基础上增加了5片； 第二次把其中一片又撕成6片， 即又增加了5片， 则每撕一次就增加5片， 则第n 次增加n 个5， 则共有51n +张小纸片．

25.某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒…即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子数（ ）粒． A. 21n + B. 21n - C. 2n D. 2n +

答案：

解析：根据题意可知第1组取3粒，即3=2×1+1； 第2组取5粒，即5=2×2+1； 第3组取7粒，即7=2×3+1；…

即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒， 第n 组应该有种子数为2121n n ?+=+．