2019-2020学年福建省福州市人教版九年级(上)期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）（2018秋?福州期末）如图图形是中心对称图形的是()
A．B．C．D．
2．（4分）（2019?亭湖区二模）气象台预报“本市明天降水概率是90%”．对此信息，下列说法正确的是()
A．本市明天将有90%的地区降水
B．本市明天将有90%的时间降水
C．明天肯定下雨
D．明天降水的可能性比较大
3．4分）2018秋?福州期末）在平面直角坐标系中，点(2,6)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(-2,-6)B．(-2,6)C．(-6,2)D．(6,2)
4．4分）2017?吉林一模）如图，测得BD=120m，D C=60m，E C=50m，则河宽AB为()
A．120m B．100m C．75m D．25m
5．（4分）2018秋?福州期末）若两个正方形的边长比是3:2，其中较大的正方形的面积是18，则较小的正方形的面积是()
A．4B．8C．12D．16
6．（4分）（2018秋?福州期末）如图，O的半径OC垂直于弦AB，D是优弧AB上的一点（不与点A，B重合），若∠BOC=50?，则∠ADC等于()
A．40?B．30?C．25?D．20?
7．（4分）（2018秋?福州期末）下列抛物线平移后可得到抛物线y=-(x-1)2的是() A．y=-x2B．y=x2-1C．y=(x-1)2+1D．y=(1-x)2 8．（4分）（2017?邵阳县模拟）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根b，则a+b的值为()
A．1B．-1C．0D．一2
9．（4分）（2018秋?福州期末）如图，矩形ABCD的对角线BD过原点O，各边分别平行于
坐标轴，点C在反比例函数y=3k+1
的图象上，若点A的坐标是(-2,-2)，则k的值是( x
)
A．-1B．0C．1D．4
10．（4分）（2018秋?福州期末）已知二次函数y=ax2-2ax+c，当-3
当3 A．c=-15a B．c=-8a C．c=-3a D．c=a 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）（2019?雷州市一模）如图，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域的概率为． 12．（4分）（2018秋?福州期末）二次函数y=-(x-2)2-3的最大值是． 13．（4分）（2018秋?福州期末）在半径为4的圆中，120?的圆心角所对的弧长是．14．（4分）（2018秋?福州期末）已知x2+3x-5=0，则x(x+1)(x+2)(x+3)的值是．15．（4分）（2018秋?福州期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长是x步，则列出的方程是． 16．（4分）（2018秋?福州期末）如图，等边三角形A BC中，D是边BC上一点，过点C作AD的垂线段，垂足为点E，连接BE，若AB=2，则BE的最小值是． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出问题说明，证明过程或清算步骤）17．（8分）（2009?仙桃）解方程：x2+4x+2=0． 18．（8分）（2018秋?福州期末）已知函数y=mx2+(2m+1)x+m(m为常数）的图象与x轴只有一个公共点，求m的值． 19．（8分）（2018秋?福州期末）小明和小武两人玩猜想数字游戏，先有小武在中心任意想一个数记为x，再由小明猜小武刚才想的数字，把小明猜的数字记为y，且他们想和猜的数字只能在1，2，3，4这四个数字中． （1）用列表法或画树状图法表示他们想和猜的所有情况． （2）如果他们想和猜的数字相同，则称他们“心灵相通”求他们心灵相通的概率． （（ （（ 23．（10分）（2018秋?福州期末）如图，在平面直角坐标系中，点A(6,m)是直线y=x与20．8分）2018秋?福州期末）如图，直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．求证：直线AB是O的切线． 21．8分）2018秋?福州期末）如图，三角形ABC，将三角形ABC绕点A逆时针旋转120?，得到三角形ADE，其中点B与点D对应，点C与点E对应． （1）画出三角形ADE； （2）求直线BC与直线DE相交的锐角的度数． 22．（10分）（2018秋?福州期末）如图，点E是正方形ABCD边BC上的一点（不与点，重合），点F在CD边的延长线上，连接EF交AC，AD于点G，H． （1）请写出2对相似三角形（不添加任何辅助线）； （2）当DF=BE时，求证：AF2=AG AC． 1 3 双曲线y= k 的一个交点． x （1）求k的值； （2）求点A关于直线y=x的对称点B的坐标，并说明点B在双曲线上． 24．（12分）（2019?福田区模拟）如图，AB，AC是O的弦，过点C作CE⊥AB于点D，交O于点E，过点B作BF⊥AC于点F，交CE于点G，连接BE． （1）求证：BE=BG； （2）过点B作BH⊥AB交O于点H，若BE的长等于半径，BH=4，A C=27，求CE 的长． 25．（14分）（2018秋?福州期末）已知二次函数y=ax2+b x+c图象的对称轴为y轴，且过 点(1,2)，(2,5)． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，过点E(0,2)的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点(A点在B点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D． ①当CD=3时，求该一次函数的解析式； ②分别用S，S，S表示?ACE，?ECD，?EDB的面积，问是否存在实数t，使得S2=tS S 123213都成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 2018-2019学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【考点】R5：中心对称图形 【专题】558：平移、旋转与对称 【分析】根据中心对称图形的定义旋转180?后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D． 【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义，正确把握定义是解决问题的关键． 【考点】X3：概率的意义 【分析】根据概率表示某事情发生的可能性的大小，依次分析选项可得答案． 【解答】解：根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得： A、明天降水的可能性为90%，并不是有90%的地区降水，错误； B、本市明天将有90%的时间降水，错误； C、明天不一定下雨，错误； D、明天降水的可能性为90%，说明明天降水的可能性比较大，正确． 故选：D． 【点评】本题考查概率的意义，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．概率表示随机事件发生的可能性的大小． 【考点】R6：关于原点对称的点的坐标 【专题】558：平移、旋转与对称 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点A(2,6)关于原点对称的点的坐标是(-2,-6)， ∴ AB = = 100 （米 ) ． = ( 故选： A ． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数， 纵坐标互为相反数是解题关键． 【考点】 SA ：相似三角形的应用 【分析】 由两角对应相等可得 ?BAD ∽?CED ，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离 AB ． 【解答】解： ∠ADB = ∠EDC ， ∠ABC = ∠ECD = 90? ， ∴? A BD ∽?ECD ， BD = EC CD ， ∴ AB = BD ? EC 120 ? 50 CD 60 则两岸间的大致距离为 100 米． 故选： B ． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相 似；相似三角形的对应边成比例． 【考点】 S 6 ：相似多边形的性质 【专题】 55D ：图形的相似 【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方即可求得答案． 【解答】解：设较小正方形的面积为 S ， 两个正方形的边长比是 3: 2 ，其中较大的正方形的面积是 18， ∴ 18 3 )2 ， S 2 解答： S = 8 ， 故选： B ． 【点评】考查了相似多边形的性质，能够了解相似多边形的性质是解答本题的关键，难度不 大． 【考点】 M 2 ：垂径定理； M 4 ：圆心角、弧、弦的关系； M 5 ：圆周角定理 【专题】559：圆的有关概念及性质 【分析】根据垂径定理，可得 AC = BC ，根据圆周角定理解答即可， 【解答】解： O 的半径 OC 垂直于弦 AB ， ∴AC=BC， ∠BOC=50?， ∴∠A DC=25?， 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出AC=BC是解题关键，又利用了圆周角定理． 【考点】H6：二次函数图象与几何变换 【专题】535：二次函数图象及其性质 【分析】根据平移前后抛物线的形状不变即可得到结论． 【解答】解：根据平移的性质可得y=-x2通过向右平移一个单位得到抛物线y=-(x-1)2，故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是掌握“左加右减，上加下减”的规律． 【考点】A3：一元二次方程的解 【专题】11：计算题 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=b代入x2+ax+b=0得b2+ab+b=0，然后把等式两边除以b即可． 【解答】解：把x=b代入x2+ax+b=0得b2+ab+b=0， 而b≠0， 所以b+a+1=0， 所以a+b=-1． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【考点】LB：矩形的性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征 【专题】534：反比例函数及其应用 【分析】根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及 相等的三角形，即可推出S 四边形CHOG =S 四边形AEOF ，根据反比例函数比例系数的几何意义即可 = S ∴? ，解得： c …- 8a ； 4a + 4a + c …0 ∴? ，解得： c … - 8a ； 16a - 8a + c … 0 再 求出 3k + 1 = 4 ，再解出 k 的值即可． 【解答】解： 矩形 ABCD 的对角线 BD 过原点 O ， BO 为四边形 BGOE 的对角线， OD 为 四边形 OHDF 的对角线， ∴ S ?BEO = S ?BGO ， S ?OFD = S ?OHD ， S ?CBD = S ?ADB ， ∴ S ?CBD - S ?BGO - S ?OHD = S ?ADB - S ?BEO - S ?OFD ， = 2 ? 2 = 4 ， ∴ S 四边形AEOF ∴3k + 1 = 4 ，即 k = 1 ， 故选： C ． 【点评】本题考查了反比例函数 k 的几何意义、矩形的性质，掌握反比例函数 y = k x 图象上 的点 ( x , y) 的横纵坐标的积是定值 k ，即 xy = k 是解题的关键． 【考点】 H 3 ：二次函数的性质； HA ：抛物线与 x 轴的交点 【专题】535：二次函数图象及其性质 【分析】把 x = -3 和 x = -2 代入 y = ax 2 - 2ax + c ，由 y < 0 都成立，列不等式组求的 a 与 c 的 关系；把 x = 3 和 x = 4 代入 y = ax 2 - 2ax + c ，由 y > 0 都成立，列不等式组求的 a 与 c 的 关系即可解答． 【解答】解： 当 -3 < x < -2 时， y > 0 ?9a + 6a + c 0 ? 当 3 < x < 4 时， y < 0 ， ?9a - 6a + c … 0 ? ∴ c = -8a ， 故选： B ． 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点和二次函数的性质，根据自变量的取值范围以及函 数值与 0 的关系列出不等式（组 ) 是解决问题的关键 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 【考点】 X 5 ：几何概率 【分析】先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等， 求出概率即可． ， =【解答】解：四边形是平行四边形， ∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分， 观察发现：图中阴影部分面积= 1 S 4四边形 ∴针头扎在阴影区域内的概率为 1 4 ； 故答案为： 1 ． 4 【点评】此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 【考点】H7：二次函数的最值 【专题】535：二次函数图象及其性质 【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是(2,-3)，也就是当x=2时，函数有最大值-3． 【解答】解：y=-(x-2)2-3， ∴此函数的顶点坐标是(2,-3)，且抛物线开口方向向下，即当x=2时，函数有最大值-3．故答案是：-3． 【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值． 【考点】MN：弧长的计算 【专题】55C：与圆有关的计算 【分析】根据弧长公式计算，得到答案． 【解答】解：半径为4的圆中，120?的圆心角所对的弧长= 故答案为： 8π ． 3 120π?48π = 1803 ， 【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式l= nπR 180 （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R)是解题的关键． 【考点】4B：多项式乘多项式 【专题】512：整式 【分析】先根据x2+3x-5=0，得出x2+3x=5，即x(x+3)=5，再整体代入代数式x(x+1)(x+2)(x+3)进行计算即可． 【解答】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是：π(+3)2-x2=72． 故答案为：π(+3)2-x2=72． 【解答】解：x2+3x-5=0， ∴x2+3x=5，即x(x+3)=5， ∴原式=x(x+3)(x+1)(x+2)=5(x2+3x+2)=5?(5+2)=35， 故答案为：35． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，运用整体代入法是解决问题的关键． 【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程；1O：数学常识；M3：垂径定理的应用【专题】523：一元二次方程及应用 【分析】直接利用圆的面积减去正方形面积进而得出答案． x 2 x 2 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．【考点】K6：三角形三边关系；KK：等边三角形的性质；KQ：勾股定理 【专题】554：等腰三角形与直角三角形 【分析】取AC中点F，连接EF，BF，由等边三角形的性质可得AB=BC=AC=2，AF=CF=1，BF⊥AC，由勾股定理可求BF的长，由三角形三边关系可求B E的最小值．【解答】解：如图，取AC中点F，连接EF，BF， ?ABC是等边三角形，点F是AC中点， ∴AB=BC=AC=2，AF=CF=1，BF⊥AC ∴BF=AB2-AF2=3 ∠AEC=90? ∴点E在以AC为直径的圆上， ∴E F=AF=1 在?BEF中，BE…BF-EF=3-1 ∴当点E在BF上时，BE的最小值为3-1 故答案为：3-1 【点评】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，找到BE最小值时点E的位置是本题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出问题说明，证明过程或清算步骤）【考点】A6：解一元二次方程-配方法 【分析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【解答】解：x2+4x+2=0 ∴x2+4x=-2 ∴x2+4x+4=-2+4 ∴(x+2)2=2 ∴x=-2±2 ∴x=-2+2，x=-2-2 12 【点评】此题可以采用配方法，解题时注意配方法的解题步骤．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 【考点】HA：抛物线与x轴的交点 【专题】535：二次函数图象及其性质 【分析】根据函数图象与x轴只有一个公共点，分两种情况：①函数是一次函数；②函数是二次函数，则方程mx2+(2m+1)x+m=0有两个相等的实数根，利用根的判别式即可求的m的值． 【解答】解：①当m=0时，函数y=x是一次函数，与x轴只有一个交点． ②当m≠0时，函数y=mx2+(2m+1)x+m是二次函数． 函数图象与x轴只有一个公共点， ∴4m+1=0，解得：m=-． 综上所述，当m=0或-时，函数图象与x轴只有一个公共点． （ 所以他们“心灵相通”的概率是 4 =． ∴关于x的方程mx2+(2m+1)x+m=0有两个相等的实数根， ∴△=0， 又△=(2m+1)2-4m2=4m2+4m-4m2=4m+1， 1 4 1 4 【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解决此类问题时，从两方面入手：一是此函数是一次函数；二是此函数是二次函数，此时即可令与y=0，根据方程有两个相同的实数根，求的字母的值即可． 【考点】X6：列表法与树状图法 【专题】543：概率及其应用 【分析】1）根据题意直接画出树状图即可； （2）根据（1）得出所有可能出现等情况的结果数和他们心灵相通的结果数，然后利用概率公式即可求解； 【解答】解：（1）根据题意画图如下： （2）由（1）知，所有可能出现等情况的结果共有16种，且他们“心灵相通”的有4种， 1 164 【点评】此题主要考查了利用树状图求概率，解题的关键是会根据题意列出树状图或表格求出所以可能的结果和符合要求的情况，然后利用概率的定义即可解决问题． 【考点】MD：切线的判定 【专题】14：证明题 【分析】连接OC，如图，由于OA=OB，CA=CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论． 【解答】证明：连接OC，如图， OA=OB，CA=CB， （ ∴OC⊥AB， ∴直线AB是O的切线． 【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等腰三角形的性质． 【考点】R8：作图-旋转变换 【专题】558：平移、旋转与对称 【分析】1）依据三角形ABC绕点A逆时针旋转120?，即可得到三角形ADE； （2）依据旋转的性质，即可得到∠E=∠ACB，∠CAE=120?，再根据四边形内角和进行计算，即可得到直线BC与直线DE相交的锐角的度数． 【解答】解：（1）如图所示，?ADE即为所求； （2）如图，延长BC，ED，交于点F， 由旋转可得，?ABC??ADE， ∴∠E=∠ACB，∠CAE=120?， ∠ACB+∠ACF=180?， ∴∠E+∠ACF=180?， ∴四边形ACFE中，∠F=360?-∠CAE-(∠ACF+∠E)=360?-120?-180?=60?， ∴直线BC与直线DE相交的锐角的度数为60?． 在?ABE与?ADF中，?∠B=∠ADF， ?BE=DF （ ∴AF 【点评】本题主要考查了旋转的性质以及利用旋转变换作图，旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LE：正方形的性质 【专题】553：图形的全等；55D：图形的相似 【分析】1）根据正方形的性质得到AD//B C，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）连接AE，根据正方形的性质得到AB=AD，∠ABE=∠ADC=∠BCD=∠BAD=90?，根据全等三角形的性质得到AE=AF，∠BAE=∠DAF，求得∠AFE=45?，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形， ∴AD//B C， ∴?D HF∽?CEF，?AHG∽?CEG； （2）连接AE， 四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABE=∠ADC=∠BCD=∠BAD=90?， ∴∠A DF=∠BAD=90?， ?AB=AD ? ? ∴?A BE??ADF(SAS)， ∴AE=AF，∠BAE=∠DAF， ∴∠E AF=∠EAD+∠DAF=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90?， ∴∠A FE=45?， ∠ACD=45?=∠AFE， ∴?A FG∽?ACF， AG = AC AF ， ∴AF2=AG AC． 【解答】解：（1） 点 A(6, m ) 是直线 y = x 上的点， ∴ m = ? 6 = 2 ， 【分析】 （1）把点 A(6, m ) 代入 y = x 求得 m ，然后代入 y = ，根据待定系数法即可求得； 点 A 是直线 y = x 与双曲线 y = 的一个交点， （ 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质， 熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【考点】 G8 ：反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】534：反比例函数及其应用；533：一次函数及其应用 1 k 3 x （2）根据两个点关于 y = x 对称，这两个点的横纵坐标正好相反得出点 B 的坐标，代入双 曲线的解析式即可判断． 1 3 1 3 ∴ A(6,2) ， 1 k 3 x ∴ k = 6 ? 2 = 12 ； （2） A(6,2) ，且点 A 关于直线 y = x 的对称点是点 B ， ∴ B(2,6) ， 2 ? 6 = 12 = k ， ∴ 点 B 在双曲线上． 【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点儿童，待定系数法求反比例函数的解析式， 掌握两个点关于 y = x 对称，这两个点的横纵坐标正好相反是解题的关键． 【考点】 L7 ：平行四边形的判定与性质； KQ ：勾股定理； M 5 ：圆周角定理 【专题】559：圆的有关概念及性质 【分析】 1）根据圆周角定理得到∠BAC = ∠BEC ，根据直角三角形的性质、对顶角相等得 到 ∠BEC = ∠BGE ，根据等腰三角形的判定定理证明结论； ∴∠ B AE = ∠BOE = 30? ， （2）连接 OB 、 OE 、 AE 、 CH ，根据平行四边形的判定和性质得到 CG = BH = 4 ，根据 等边三角形的性质得到 ∠BOE = 60? ，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案． 【解答】（1）证明：由圆周角定理得， ∠BAC = ∠BEC ， CE ⊥ AB ， BF ⊥ AC ， ∴∠ A DC = ∠GFC = 90? ， ∴∠ C GF = ∠BAC ， ∴∠ B EC = ∠CGF ， ∠BGE = ∠CGF ， ∴∠ B EC = ∠BGE ， ∴ BE = BG ； （2）解：连接 OB 、 OE 、 AE 、 CH ， BH ⊥ AB ， CE ⊥ AB ∴ BH / /CE ， 四边形 ABHC 是 O 的内接四边形， ∴∠ A CH = ∠ABH = 90? ， ∴ BF / /CH ， ∴ 四边形 CGBH 为平行四边形， ∴ C G = BH = 4 ， OE = OB = BE ， ∴? B OE 为等边三角形， ∴∠BOE = 60? ， 1 2 ∴ DE = 1 AE ， 2 设 DE = x ，则 AE = 2x ， 由勾股定理得， AD = AE 2 - DE 2 = 3x ， BE = BG ， AB ⊥ CD ， ∴ DG = DE = x ， ∴CD = x + 4 ， 【解答】解：（1）由题意得： ?a + b + c = 2 ，解得： ?b = 0 ， ?4a + 2b + c = 5 ?c = 1 （ 在 Rt ?ADC 中， AD 2 + CD 2 = AC 2 ，即 ( 3x)2 + ( x + 4)2 = (2 7) 2 ， 解得， x = 1 ， x = -3 （舍去） 1 2 则 DE = DG = 1 ， ∴ C E = CG + GD + DE = 6 ． 【点评】本题考查的是圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质，灵活运用圆周角 定理是解题的关键． 【考点】 HF ：二次函数综合题 【专题】16：压轴题；45：判别式法；31：数形结合 【分析】 1）把点 (1,2) ， (2,5) 坐标和对称轴为 y 轴三个条件，代入二次函数的表达式即可 求解； （ 2 ） ① 将 一 次 函 数 表 达 式 与 二 次 函 数 表 达 式 联 立 并 整 理 得 ： x 2 - kx - 1 = 0 ， 利 用 x - x = (x + x )2 - 4x x = k 2 + 4 = 3 ，即可求解； 2 1 1 2 1 2 ②分别求出 S 、 S 、 S ，用韦达定理化简，即可求解． 1 2 3 ?b = 0 ?a = 1 ? ? ? ? 故：二次函数的表达式为： y = x 2 + 1 ； （2）①设过点 E 的一次函数表达式为： y = kx + 2 ， 将一次函数表达式与二次函数表达式联立并整理得： x 2 - kx - 1 = 0 ， 设点 A 、 B 的坐标分别为 ( x ， y ) 、 ( x ， y )( x < x ) ， 1 1 2 2 1 2 则： x + x = k ， x x = -1 ， 1 2 1 2 x - x = (x + x )2 - 4x x = k 2 + 4 = 3 ， 2 1 1 2 1 2 2S = ( CD OE)2 = ( ( x - x ) ? 2)2 = ( x - x )2 = k 2 + 4 ， 1 2 24 4 4 4 1 1 2 2 2 2 S = 1 BD OD = x y ， 2 22 2 2则： S S = - x x [k 2 x x + 2k ( x + x ) + 4] = - ? (-1)(-k 2 + 2k 2 + 4) = (k 2 + 4) = S ， AC OC = - 解得： k = ± 5 ， ∴ 该一次函数表达式为： y = 5x + 2 或 y = - 5x + 2 ； ② S = 1 1 x y ， 1 1 1 2 2 1 2 1 1 3 x + x = k ， x x = -1 ， 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 ，∴t = 4 ． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，主要考查利用韦达定理处理复杂的数据，难度不 大． x 考点卡片 1．数学常识 数学常识 此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度 要会选择它合适的单位长度等等． 平时要注意多观察，留意身边的小知识． 2．多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积 相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式， 在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 3．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知 数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x 1，2 是一元二次方程 ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax 12+b x 1+c ＝0（a ≠0） ，ax 22+b x 2+c ＝0（a ≠0）． 4．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x +m ）2＝n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二 次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为 ax 2+b x +c ＝0（a ≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为 1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；