第七节多自由度系统中的阻尼
第七节 多自由度系统中的阻尼
（教材6.14）
前面介绍了多自由度系统无阻尼系统的振动。对于工程上的各种弹性结构来说，它们振动时总受到各种阻尼力的作用（如材料阻尼、结构阻尼、介质粘性阻尼等等），由于各种阻尼力的机理比较复杂，在分析振动时，常常将各种阻尼力都简化为与速度成正比的粘性阻尼力。而阻尼系数须有工程上的经验公式求出，或由实验数据确定。
有粘性阻尼的n 个自由度系统求响应很困难，其原因在于只有在特定的条件下，用模态分析法才能使运动微分方程解耦。下面分析之。
有阻尼的n 个自由度系统的运动微分方程为
[]{}[]{}[]{}{}()M x C x k x F t ++= （5-60） 式中[]C 是阻尼矩阵，为n ×n 对称矩阵。
由无阻尼自由振动微分方程求得固有频率和振型向量，得正则振型矩阵[]Φ。令 {}[]{}x z =Φ
代入方程（5-60）并前乘以[]T
Φ，得
[][][]{}[][][]{}[][][]{}[]{}
()T T T
T
M z C z k z F t ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=Φ
（a ）
因 [][][][]T
I M =ΦΦ ------ 单位矩阵
[][][][]T
k Λ=ΦΦ
{}[]{}()()T
P t F t =Φ
∴ {}[][][]{}[]{}{}()T
z C z z P t +ΦΦ+Λ= （b ）
而[][][]T
C ΦΦ一般不是对角矩阵。因此，模态分析法不能
使式（a ）变成一组独立的微分方程组。例如图示系统，已知 123m m m m ===，1234k k k k k ====。已解出
{
}{}{
}12
3111,
0,111u u u ???????
??===?????????-??
??
?
?
阻尼矩阵为
[]00
00000
C c ????=??????
∵
{}[]{}12
00
011
1000000
1T
u C u c c ??
????
????==-≠??????
??-????
??
∴ [][][]T
C ΦΦ不是对角矩阵。
可以证明，利用系统的无阻尼振型矩阵[]u 或[]Φ使系统 阻尼矩阵[]C 实现对角化的充分必要条件为
[][][][][][]11
C M k k M C --=
特殊情况：
一、 如果原广义坐标的阻尼矩阵[]C 刚好与质量矩阵或刚 度矩阵成正比，或者[]C 是它们的线性组合，即
[][][]C M k αβ=+
其中α和β为正的常数。称这种阻尼为比例阻尼。对于这种比例阻尼，当原广义坐标变换为正则坐标时，正则坐标的阻尼矩阵是对角矩阵：
[][][][]()[]
[][][][][][]
T
n T T
C M k M k αβαβ=Φ+Φ=ΦΦ+ΦΦ
2
1
2
2
2
n
n nn αβωαβωαβω??
+??+??=????+???
?
令第 i 阶模态阻尼为 2
(1,2,.
)i n i c i n αβω=+=。对应的第 i 阶模态阻尼比为
2
(1,2,.)22i ni
i ni ni
c i n αβωζωω+==
=
则正则坐标的阻尼矩阵可写成另外一种形式
[]1122
222n n n n nn C ζωζωζω??
???
?=????
?
? 可见，比例阻尼是使[]C 成为对角矩阵的一种特殊情形。
二、 工程上大多数情况下，正则坐标中的阻尼矩阵
[][][]T
C ??不是对角矩阵。然而，工程上的大多数振动系
统中，阻尼都比较小，而且由于各种阻尼的机理至今还没有完全搞清楚，精确测定阻尼的大小也还有很多困难。所以往往采用一种近似的方法，把
[][][]1112
12122212
n T n n n nn c c c c c
c C c c c ??????ΦΦ=
???
???
中非对角元素都改为零，而只保留对角元素原有的数值，于
是得到对角阻尼矩阵
[][][][]1122000000T n nn c c
C C c ????
??ΦΦ=
=???
???
上式[]n C 称为正则振型的阻尼矩阵，
ii c 称为第 i 阶正则振型的阻尼系数。如采用相对阻尼比表示，有
[]11
22
222n n n n nn C ζωζωζω?????
?=?????
?
式中 ,(1,2,.)2ii
i ni
c i n ζω==，为第 i 阶正则振型的相对阻尼比。
对于上面两种情况，用[]n C 代替[][][]T
C ΦΦ之后，方
程（b ）变成如下形式
{}[]{}[]{}{}()n z C z z P t ++Λ=
它的展开式为
2
11111112222222222()
2()2()n n
n n n n nn n nn n n
z z z P t z z z P t z z z P t ζωωζωωζωω?++=?++=???
?++=
? 这是一组n 个相互独立的二阶常系数线性微分方程组，彼此可以独立求解。这样，把有阻尼的多自由度系统的振动问题，
简化为n 个正则坐标的单自由度系统的振动问题。
如果正则坐标的初始值为{}0z 和{}0z ，类似于单自由度系统的结果，应用杜哈美积分，有
()
00
0()
1,2,,()cos sin 1()sin (),i i i ni i ni t i ni i i i di di di
t
t di di i n z z z t e
z t t P e t d ζωζωτζωωω
ωτωττω
?
?
? ? ??
?
---=+=+
+-?
式中
,(1,2,
,)di ni i n ω==。
将所得{}z 代入
{}[]{}x z =Φ
就可以得到原广义坐标在有阻尼情况下对激励的响应。
工程振动——模态分析、多自由度系统振动响应
1.复习模态分析理论 1.1单自由度系统频响函数（幅频、相频、实频与虚频、品质因子等） 系统的脉冲响应函数h(t)与系统的频响函数H(ω)是一对傅里叶变换对，与系统的传递函数H(s)是一对拉普拉斯变换对。即有： i ()()e d t H h t t ωω-∞ =? -∞ 1i () ( )e d 2π t h t H ωωω -∞ =?-∞ ()()e d 0 st H s h t t -∞ =? 1 i () ( )e d i 2πi st h t H s σωσ+∞=? -∞ 复频率响应的实部 2 1(/)R e [()]22 2 [1(/) ](2/)n H n n ωωωωω ξωω-= -+ 复频率响应的虚部 2/Im [()]22 2 [1(/)](2/) n H n n ξωω ωωω ξωω =- -+ 单自由度系统频响函数的各种表达式及其特征1 (w )2H k m w j k η=-+，对频响函数特征的描述 采用的几种表达式 1）幅频图：幅值与频率之间的关系曲线 2）相频图：相位与频率之间的关系曲线 3）实频图：实部与频率之间的关系曲线 4）虚频图：虚部与频率之间的关系曲线 5）矢端轨迹图（Nyquist 图） 1.2单自由度结构阻尼系统频响函数的各种表达形式 频响函数的基本表达式：11111 ()22222100 H m k k m j k j j ωω ηωωηωη = = ?=? -+-+-Ω+ 频响函数的极坐标表达式：()|()|j H H e ?ωω=，w H （） —幅频特性， a rc ta n 21η?? ? -= ? ? ?-Ω? —相频特性。 频响函数的直角坐标表达式： ()()() R I H H jH ωωω=+， ()() 211()222 1R H k ωη -Ω= ? -Ω+—实频特性， () 1()22 2 1I H k η ωη -=? -Ω+—虚频特性 频响函数的矢量表达式：()()()R I H H ωωω=+H i j 1.3单自由度结构阻尼系统频响函数各种表达式图形及数字特征 幅频特性：1|()|0H k ωη = 固有频率：0D ωω= 阻尼比：00 B A ω ωω ηω ω -?== 相频特性
测试系统的特性
第4章测试系统的特性 一般测试系统由传感器、中间变换装置和显示记录装置三部分组成。测试过程中传感器将反映被测对象特性的物理量（如压力、加速度、温度等）检出并转换为电信号，然后传输给中间变换装置；中间变换装置对电信号用硬件电路进行处理或经A/D变成数字量，再将结果以电信号或数字信号的方式传输给显示记录装置；最后由显示记录装置将测量结果显示出来，提供给观察者或其它自动控制装置。测试系统见图4-1所示。 根据测试任务复杂程度的不同，测试系统中每个环节又可由多个模块组成。例如，图4-2所示的机床轴承故障监测系统中的中间变换装置就由带通滤波器、A/D变换器和快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT）分析软件三部分组成。测试系统中传感器为振动加速度计，它将机床轴承振动信号转换为电信号；带通滤波器用于滤除传感器测量信号中的高、低频干扰信号和对信号进行放大，A/D变换器用于对放大后的测量信号进行采样，将其转换为数字量；FFT分析软件则对转换后的数字信号进行快速傅里叶变换，计算出信号的频谱；最后由计算机显示器对频谱进行显示。 要实现测试，一个测试系统必须可靠、不失真。因此，本章将讨论测试系统及其输入、输出的关系，以及测试系统不失真的条件。 图4-1 测试系统简图 图4-2 轴承振动信号的测试系统
4.1 线性系统及其基本性质 机械测试的实质是研究被测机械的信号)(t x （激励）、测试系统的特性)(t h 和测试结果)(t y （响应）三者之间的关系，可用图4-3表示。 )(t x )(t y )(t h 图4-3 测试系统与输入和输出的关系 它有三个方面的含义： （1）如果输入)(t x 和输出)(t y 可测，则可以推断测试系统的特性)(t h ； （2）如果测试系统特性)(t h 已知，输出)(t y 可测，则可以推导出相应的输入)(t x ； （3）如果输入)(t x 和系统特性)(t h 已知，则可以推断或估计系统的输出)(t y 。 这里所说的测试系统，广义上是指从设备的某一激励输入（输入环节）到检测输出量的那个环节（输出环节）之间的整个系统，一般包括被测设备和测量装置两部分。所以只有首先确知测量装置的特性，才能从测量结果中正确评价被测设备的特性或运行状态。 理想的测试装置应具有单值的、确定的输入/输出关系，并且最好为线性关系。由于在静态测量中校正和补偿技术易于实现，这种线性关系不是必须的（但是希望的）；而在动态测量中，测试装置则应力求是线性系统，原因主要有两方面：一是目前对线性系统的数学处理和分析方法比较完善；二是动态测量中的非线性校正比较困难。但对许多实际的机械信号测试装置而言，不可能在很大的工作范围内全部保持线性，只能在一定的工作范围和误差允许范围内当作线性系统来处理。 线性系统输入)(t x 和输出)(t y 之间的关系可以用式（4-1）来描述 )()(...)()()()(...)()(0111101111t x b dt t dx b dt t x d b dt t x d b t y a dt t dy a dt t y d a dt t y d a m m m m m m n n n n n n ++++=++++------ （4-1） 当n a ，1-n a ，…，0a 和m b ，1-m b ，…，0b 均为常数时，式（4-1）描述的就是线性系统，也称为时不变线性系统，它有以下主要基本性质： （1）叠加性 若 )()(11t y t x →，)()(22t y t x →，则有
两自由度系统有阻尼受迫振动
6□ 6-1 两自由度系统有阻尼受迫振动 图6－1 两自由度系统有阻尼受迫振动实验原理图
两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-2 图6－2 两自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面 两自由度系统有阻尼受迫振动实验操作界面说明 主菜单 存 盘 ：将测试数据存盘。按提示输入学号作为文件名。 实验指导 ：激活本实验的实验指导文本。 退 出 ：退出本操作界面，回到主界面（图2）
虚拟仪器 量程：指示灯为“绿色”表示信号达到半量程，为“黄色”表示信号 两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-3过载。设置量程使信号超过半量程而不过载可以减小量化误差。 示波器 ：选择“显示选择”中的某一选项（共7项），可使示波器显示相 应的内容。 电压表 ：选择“1号点”，显示1号传感器的输出电压。选择“2号点”， 显示2号传感器的输出电压。 频率计 ：显示加速度信号的频率。 李萨玉图 ：观察1号加速度信号和激振信号的李萨玉图。 信号发生器 ：输出一定电压和频率的简谐信号。用“On/Off”开启或关闭 信号发生器。 测试数据： 拾取数据 : 将频率计当前的读数和1号、2号传感器当前的输出电压 同时拾取到测试数据表格中。“幅值1”为1号传感器的输出电压，“幅 值2”为2号传感器的输出电压。若重复拾取某一频率的数据，则当 前拾取的数据将覆盖过去拾取的同频率的数据。 重新拾取 : 清除测试数据表格中的全部数据，重新拾取频率计当前的 读数和1＃、2＃传感器当前的输出电压。 数据检验 : 将测试数据表格中的加速度信号数据绘成幅频曲线（图6 －3）。
图6－3
两自由度系统有阻尼受迫振动 □ 6-4一、实验目的 ? 了解和掌握两自由度系统在简谐激振力作用下受迫振动的一般规律及现 象。 ? 理解两自由度系统固有振型的物理概念。 ? 巩固基本振动测试设备的操作与使用。 二、实验仪器 ? 两自由度系统试件 1件 ? 激振器及功率放大器 1套 ? 加速度传感器（ICP式） 1只 ? ICP电源(即ICP信号调节器)4通道 1台 ? 信号发生器 1台 ? 电压表 1台 ? 频率计 1台 ? 示波器 1台 其中：信号发生器、电压表、频率计和示波器由计算机虚拟提供。 三、实验方法及步骤 1、装配实验系统 ? 按图6－1将综合实验台装配成两自由度系统。 ? 按1节所述的方法和要求安装激振器和加速度传感器。 ? 按图6－1连接各测试设备。 2、将功率放大器“输出调节”旋至最小，“信号选择”置“外接”！打开 各设备电源。 3、从“综合振动综合实验系统”对话框（图2），进入“两自由度系统有阻 尼受迫振动”实验操作界面（图6－2）。 4、使信号发生器的输出频率约为30Hz，输出电压约为1V。调节功率放大 器的“输出调节”，逐渐增大其输出功率直至质量块有明显的振动（用
多自由度系统振动分析典型教案
第2章多自由度系统的振动 基本要点： ①建立系统微分方程的几种方法； ②固有频率、固有振型的概念以及固有振型关于质量和刚度矩阵的加权正交性； ③多自由度系统运动的解耦—模态坐标变换及运用模态叠加法求解振动系统的响应。 引言 多自由度振动系统的几个工程实例；多自由度系统振动分析的特点；多自由度系统振动分析与单自由度系统的区别与联系。 §2.1多自由度系统的振动方程 ●方程的一般形式：质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激振力 §2.2建立系统微分方程的方法 ●影响系数：刚度影响系数、柔度影响系数 ●刚度矩阵法、柔度矩阵法及这两种方法的特点；Lagrange方程法 §2.3无阻尼系统的自由振动 ●二自由度系统的固有振动：固有频率、固有振型。 ●二自由度系统的自由振动 ●二自由度系统的运动耦合与解耦 弹性耦合，惯性耦合； 振动系统的耦合取决于坐标系的选择； ●多自由度系统的固有振动 固有振动的形式及条件：特征值、特征向量、模态质量、模态刚度； 固有振型的性质：关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性； 刚体模态； ●运动的解耦：模态坐标变换（主坐标变换）。 ●多自由度系统的自由振动 §2.4无阻尼系统的受迫振动 ●频域分析：动刚度矩阵和频响函数矩阵，频响函数矩阵的振型展开式，系统反 共振问题。 ●时域分析：单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应，模态截断问题，模态加速 度法。 §2.5比例阻尼系统的振动 ●多自由度系统的阻尼：Rayleigh比例阻尼。 ●自由振动 ●受迫振动：频响函数矩阵，单位脉冲响应矩阵，任意激励下的响应。 §2.6一般粘性阻尼系统的振动
●自由振动：物理空间描述，状态空间描述。 ●受迫振动：脉冲响应矩阵，频响函数矩阵，任意激励下的响应。 思考题： ①刚度矩阵和柔度矩阵在什么条件下是互逆的两个矩阵？从物理上和数学两方面加以解 释？ ②为什么说模态质量、模态刚度的数值大小没有直接意义？ ③证明固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，并讨论其物理意义。 ④在实际的多自由度系统振动分析中，为什么要进行模态截断？ 参考书目 1.胡海岩，机械振动与冲击，航空工业出版社，2002 2.故海岩，机械振动基础，北京航空航天大学出版社，2005 3.季文美，机械振动，科学出版社，1985。（图书馆索引号：TH113.1/1010） 4.郑兆昌主编, 机械振动上册,机械工业出版社，1980。（图书馆索引号： TH113.1/1003-A） 5.Singiresu S R, Mechanical vibrations，Longman Prentice Hall, 2004(图书馆索引 号：TH113.1/WR32)
简支梁振动系统动态特性综合测试方法分析
目录 一、设计题目 (1) 二、设计任务 (1) 三、所需器材 (1) 四、动态特性测量 (1) 1.振动系统固有频率的测量 (1) 2.测量并验证位移、速度、加速度之间的关系 (3) 3.系统强迫振动固有频率和阻尼的测量 (6) 4.系统自由衰减振动及固有频率和阻尼比的测量 (6) 5.主动隔振的测量 (9) 6.被动隔振的测量 (13) 7.复式动力吸振器吸振实验 (18) 五、心得体会 (21) 六、参考文献 (21)
一、设计题目 简支梁振动系统动态特性综合测试方法。 二、设计任务 1.振动系统固有频率的测量。 2.测量并验证位移、速度、加速度之间的关系。 3.系统强迫振动固有频率和阻尼的测量。 4.系统自由衰减振动及固有频率和阻尼比的测量。 5.主动隔振的测量。 6.被动隔振的测量。 7.复式动力吸振器吸振实验。 三、所需器材 振动实验台、激振器、加速度传感器、速度传感器、位移传感器、力传感器、扫描信号源、动态分析仪、力锤、质量块、可调速电机、空气阻尼器、复式吸振器。 四、动态特性测量 1.振动系统固有频率的测量 （1）实验装置框图：见（图1-1） （2）实验原理： 对于振动系统测定其固有频率，常用简谐力激振，引起系统共振，从而找到系统的各阶固有频率。在激振功率输出不变的情况下，由低到高调节激振器的激振频率，通过振动曲线，我们可以观察到在某一频率下，任一振动量（位移、速度、加速度）幅值迅速增加，这就是机械振动系统的某阶固有
频率。 （图1-1实验装置图） （3）实验方法： ①安装仪器 把接触式激振器安装在支架上，调节激振器高度，让接触头对简支梁产生一定的预压力，使激振杆上的红线与激振器端面平齐为宜，把激振器的信号输入端用连接线接到DH1301扫频信号源的输出接口上。把加速度传感器粘贴在简支梁上，输出信号接到数采分析仪的振动测试通道。 ②开机 打开仪器电源，进入DAS2003数采分析软件，设置采样率，连续采集，输入传感器灵敏度、设置量程范围，在打开的窗口内选择接入信号的测量通道。清零后开始采集数据。 ③测量 打开DH1301扫频信号源的电源开关，调节输出电压，注意不要过载，手动调节输出信号的频率，从0开始调节，当简支梁产生振动，且振动量最大时（共振），保持该频率一段时间，记录下此时信号源显示的频率，即为简支梁振动固有频率。继续增大频率可得到高阶振动频率。
简述系统动态特性及其测定方法
简述系统动态特性及其测定方法 系统的特性可分为静态特性和动态特性。其中动态特性是指检测系统在被测量随时间变化的条件下输入输出关系。一般地，在所考虑的测量范围内，测试系统都可以认为是线性系统，因此就可以用一定常线性系统微分方程来描述测试系统以及和输入x (t)、输出y (t)之间的关系。 1) 微分方程：根据相应的物理定律（如牛顿定律、能量守恒定律、基尔霍夫电 路定律等），用线性常系数微分方程表示系统的输入x 与输出y 关系的数字方程式。 a i 、 b i (i=0,1,…)：系统结构特性参数，常数，系统的阶次由输出量最高微分阶次决定。 2) 通过拉普拉斯变换建立其相应的“传递函数”，该传递函数就能描述测试装 置的固有动态特性，通过傅里叶变换建立其相应的“频率响应函数”，以此来描述测试系统的特性。 定义系统传递函数H(S)为输出量与输入量的拉普拉斯变换之比，即 式中S 为复变量，即ωαj s += 传递函数是一种对系统特性的解析描述。它包含了瞬态、稳态时间响应和频率响应的全部信息。传递函数有一下几个特点： （1）H(s)描述系统本身的动态特性，而与输入量x (t)及系统的初始状态无关。 （2）H(S)是对物理系统特性的一种数学描述，而与系统的具体物理结构无关。H(S)是通过对实际的物理系统抽象成数学模型后，经过拉普拉斯变换后所得出的，所以同一传递函数可以表征具有相同传输特性的不同物理系统。 （3）H(S)中的分母取决于系统的结构，而分子则表示系统同外界之间的联系，如输入点的位置、输入方式、被测量以及测点布置情况等。分母中s 的幂次n 代表系统微分方程的阶数，如当n =1或n =2 时，分别称为一阶系统或二阶系统。 一般测试系统都是稳定系统，其分母中s 的幂次总是高于分子中s 的幂次(n>m)。
newmark法程序法计算多自由度体系的动力响应
用matlab 编程实现Newmark -β法计算多自由度体系的动力响应 用matlab 编程实现Newmark -β法 计算多自由度体系的动力响应 一、Newmark -β法的基本原理 Newmark-β法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。 Newmark-β法假定： t u u u u t t t t t t ?ββ??]}{}){1[(}{}{+++-+= (1-1) 2]}{}){2 1 [(}{}{}{t u u t u u u t t t t t t ?γγ???+++-++= (1-2) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +?t 时刻的速度不变，取为常数
)}{}({2 1 t t t u u ?++ 。研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。 由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ?+}{及t u }{，t u }{ ，t u }{ 表示的t t u ?+}{ ，t t u ?+}{ 表达式，即有 t t t t t t t u u t u u t u }){121 (}{1)}{}({1}{2 ----=++γ?γ?γ?? (1-3) t t t t t t t u t u u u t u }{)21(}1()}{}({}{ ?γ β γβ?γβ??-+-+-=++ (1-4) 考虑t +?t 时刻的振动微分方程为： t t t t t t t t R u K u C u M ????++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +?t 的方程 t t t t R u K ??++=}{}]{[ (1-6) 式中 ][][1 ][][2 C t M t K K ?γβ?γ++ = )}{)12(}){1(}{]([)}){121 (}{1}{1]( [}{}{2 t t t t t t t t u t u u t C u u t u t M R R ?γ β γβ?γβγ?γ?γ?-+-++-+++=+ 求解式(2-146)可得t t u ?+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u ?+}{ 和t t u ?+}{ 。 由此，Newmark-β法的计算步骤如下： 1.初始计算： （1）形成刚度矩阵[K ]、质量矩阵[M ]和阻尼矩阵[C ]； （2）给定初始值0}{u ， 0}{u 和0}{u ； （3）选择积分步长?t 、参数β、γ，并计算积分常数 2 01t ?γα=，t ?γβ α=1，t ?γα12=，1213 -=γα， 14-= γβα，)2(25-=γ β ?αt ，)1(6β?α-=t ，t ?βα=7； （4）形成有效刚度矩阵][][][][10C M K K αα++=； 2.对每个时间步的计算：
实验二-二阶系统的动态特性与稳定性分析
实验二-二阶系统的动态特性与稳定性分析
自动控制原理 实验报告 实验名称：二阶系统的动态特性与稳定性分析班级： 姓名： 学号：
实验二二阶系统的动态特性与稳定性分析 一、实验目的 1、掌握二阶系统的电路模拟方法及其动态性能指标的测试技术过阻尼、临界阻尼、欠阻尼状态 ）对系统动态2、分析二阶系统特征参量（ξ ω， n 性能的影响； 3、分析系统参数变化对系统稳定性的影响，加深理解“线性系统稳定性至于其结构和参数有关，与外作用无关”的性质； 4、了解掌握典型三阶系统的稳定状态、临界稳定、不稳定状态； 5、学习二阶控制系统及其阶跃响应的Matlab 仿真和simulink实现方法。 二、实验内容 1、构成各二阶控制系统模拟电路，计算传递函数，明确各参数物理意义。 2、用Matlab和simulink仿真，分析其阶跃响应动态性能，得出性能指标。 3、搭建典型二阶系统，观测各个参数下的阶跃响应曲线，并记录阶跃响应曲线的超调量%σ、
峰值时间tp 以及调节时间ts ，研究其参数变化对典型二阶系统动态性能和稳定性的影响； 4、 搭建典型三阶系统，观测各个参数下的阶跃响应曲线，并记录阶跃响应曲线的超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts ，研究其参数变化对典型三阶系统动态性能和稳定性的影响； 5、 将软件仿真结果与模拟电路观测的结果做比较。 三、实验步骤 1、 二阶系统的模拟电路实现原理 将二阶系统： ωωξω2 2)(22 n n s G s s n ++= 可分解为一个比例环节，一个惯性环节和一个积分环节 ωωξω221)() ()()(2C C C C s C C 2 22 6215423 2 15423 2 2154215426316 320 n n s s s s s G s s s C R R R R R R R R R R R R C R R R R R R R R R U U n i ++= ++=++== 2、 研究特征参量ξ对二阶系统性能的影响 将二阶系统固有频率5 .12n =ω 保持不变，测试阻尼
0727第三章 两自由度系统振动(讲)
第三章两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀
拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。 在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由
第3章单自由度体系5(直接积分法)
第三章单自由度体系 直接积分法
主要内容 ?两种直接积分方法 （1）中心差分法 （2）Newmark—β法 ?数值积分的稳定性 ?了解算法阻尼（数值阻尼）现象
1. 数值积分概述（直接积分法，逐步积分法） (Direct Integration Methods, Step-by-Step Methods) 运动方程：In direct integration the equations of equilibrium are integrated using a numerical step-by-step procedure, the term ‘direct ’meaning that prior to the numerical integration, no transformation of equations into a different form is carried out. (K.J. Bathe, Finite Element Procedures, Prentice-Hall, 1996.)Two ideas: (1)运动方程并不在任何时间t 都得到满足，而仅仅是在以时间间隔为Δt 的离散时间点上得到满足。 (2)在时间间隔Δt 内，对位移、速度和加速度的变化作出某些假定。 ()()()mu c t u k t u p t ++=
1. 数值积分概述 常用的数值积分方法： （1）分段解析法； （2）中心差分法； （3）Runge-Kutta法； （4）Houbolt法； （5）平均加速度法； （6）线性加速度法； （7）Newmark—β法； （8）Wilson —θ法； （9）HHT法(Hilber-Hughes-Taylor method)； （10）精细积分法； ……
第3章测试系统的动态特性与数据处理
信号与测试技术
第3章 测试系统的动态特性与数据处理 北航 自动化科学与电气工程学院 检测技术与自动化工程系 闫 蓓
yanbei@https://www.360docs.net/doc/e713405931.html,
第3章 学习要求
1、测试系统动态特性的定义及描述方法 2、如何获取测试系统的动态特性 3、掌握主要动态性能指标 时域指标、频域指标 4、掌握动态模型的建立（动态标定） 由阶跃响应获取传递函数的回归分析法 由频率特性获取传递函数的回归分析法
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第3章 测试系统的动态特性与数据处理 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 测试系统的动态特性的一般描述 测试系统时域动态性能指标与回归分析方法 测试系统频域动态性能指标与回归分析方法 测试系统不失真测试条件 测试系统负载效应及抗干扰特性
第3章小结 第3章作业
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3.1 测试系统的动态特性的一般描述 1. 动态特性的定义 测试系统进行动态测量过程中的特性。 输入量和输出量随时间迅速变化时，输出与输入之 间的关系，可用微分方程表示。
y (t ) 误差 e(t ) = ? x (t ) A
瞬态误差 稳态误差 时域特性 频域特性
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温 度 测 量
阶跃 冲激 正弦 一阶系统 二阶系统
心电参数测量
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G (ω ) ? (ω )
振动位移测量
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3.1 测试系统的动态特性的一般描述 2. 测试系统的动态特性方程 n 微分方程 传递函数 频响函数 状态方程 一阶系统 二阶系统
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x(t ) ? y (t )
X ( s) ? Y ( s)
d i y (t ) m d j x(t ) = ∑ bj ai ∑ i j d t d t i =0 j =0
1 1 G( s) = G( s) = 2 2 s 2 s + + ζ ω ω n n n Ts + 1
X ( jω ) ? Y ( jω ) G ( jω ) = Y ( jω ) = 输出傅立叶变换
X ( jω )
输入傅立叶变换
X = AX + BU
时域特性 频域特性
y (t ) = L?1 [G ( s ) X ( s ) ]
G ( jω ) ? ( jω )
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单自由度系统.
第1章 单自由度系统 1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 1.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 1.4 求图1-33中标出参数的系统的固有频率。 1.5 求图1-34所示系统的固有频率。图中匀质轮A 半径R,重物B 的重量为P/2,弹簧刚度为k. 1.6求图1-35所示系统的固有频率。图中磙子半径为R ，质量为M ，作纯滚动。弹簧刚度为K 。 1.7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A 的质量为A m ，半径为A r ，齿轮B 的质量为B m ，半径为B r ,杆AC 的扭转刚度为A k , ,杆BD 的扭转刚度为B k 。 1.8已知图1-37所示振动系统中，匀质杆长为l ，质量为m ，两弹簧刚度皆为K ，阻尼系数 为C ，求当初始条件00 0==θθ 时
（１）t F t f ωsin )(=的稳态解； （２）t t t f )()(δ=的解； 1.9图1-38所示盒内有一弹簧振子，其质量为m ，阻尼为C ，刚度为K ，处于静止状态，方盒距地面高度为H ，求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。 1.10汽车以速度V 在水平路面行使。其单自由度模型如图1-39。设m 、k 、c 已知。路面波动情况可以用正弦函数sin()y h at =表示。求：（1）建立汽车上下振动的数学模型；（2）汽车振动的稳态解。 1.11.若电磁激振力可写为t H t F 02sin )(ω=，求将其作用在参数为m 、 k 、 c 的弹簧振子上的稳态响应。 1.1 2.若流体的阻尼力可写为3x b F d -=,求其等效粘性阻尼。
测试实验二测试系统动态特性校准
实验二测试系统动态特性校准 1.1 实验目的 （1）掌握振动加速度测试系统的组成 （2）掌握振动压电、压阻加速度传感器原理和测量方法 （3）掌握振动传感器比较法动态特性校准的实验方法 （4）掌握数据处理的一般方法 1.2 实验系统基本组成 本实验系统由振动控制系统和远程数据采集、处理系统两部分组成。振动控制系统中的振动台产生动态校准、动态测试所需的振动信号。振动控制系统由振动控制仪、功率放大器、振动台和反馈传感器构成，目的是使振动台按照预先设定的参考谱进行振动。标准传感器和被校传感器感受相同的振动，经过相应的变送器或放大器的输出电压信号送入数据采集系统，经服务器发送到学生实验客户端进行后续的动态校准与分析。如图1所示 主要实验设备及性能 压阻放大器
系统灵敏度S=KEs=K×0.328mv/g=2500×K1/500g=…mv/g SLM振动加速度变送器输入输出关系式0.25v/g 图1 图2 1.3 实验原理 实验以压阻式加速度传感器为校准对象，在振动台的家具台商采用背靠背的方式安装标准传感器与被校准传感器，这样保证了他们感受的是相同的振动信号，通过采集两个传感器的输出并将其送到学生实验客户端，通过比较不同的频率下的两个信号的幅值，用标准信号的灵敏度来计算出被校传感器的灵敏度，通过与理论制作比较来得到校准的结果。 1.4 实验操作 1．操作步骤 （1）固定好传感器，连接好相应的仪器与设备。 （2）打开振动台工控机与功率放大器的电源。功率放大器的启动方法如下：1.按下去电源A按钮，这时电源B上的OFF按钮上的灯亮。2.约等数秒后，按下电源B的ON开关，这时只有ON上的灯亮。3.预热约3-5分钟。 （3）打开电荷放大器和变动期的开关，点击工控机桌面的vibration test.exe 图标，选择正弦扫频振动实验。 （4）旋转增益旋钮约至60%，运行自检。 （5）待系统提示自检成功，点击运行开始运行实验，按照本实验要求进行采集数据。 （6）采集完毕后，先将功率放大器的增益旋钮旋至复位，关闭各个软件。功率放大器的关闭方式如下：1.将输出方式站换到低阻 2.按下电源B的OFF按钮，此时ON上指示灯灭，OFF指示灯亮。 3.约等十多秒后按下A按钮，此时只有风扇转动，可能会有短暂的声音，这是正常的。 （7）关断外部供电，实验完毕。 2 注意事项 （1）当由于电源干扰等原因引起的失控或计算机死机发生时，应按如下方式进行：
Newmark法求解单自由度
% 单位：N/mm/s/ton function res=Newmark(alpha,C) % 系统设置； T=0.1/alpha; K=(2*3.1415926/T)^2; M=1; % C=0; % 定义参数 h=0.0002; beta=0.25; gamma=0.5; con=zeros(1,7); con(1)=1/(beta*h^2); con(2)=gamma/(beta*h); con(3)=1/(beta*h); con(4)=1/(2*beta)-1; con(5)=gamma/beta-1; con(6)=0.5*h*(gamma/beta-2); con(7)=h*(1-gamma/(2*beta)); % 有效刚度 Ke=K+con(1)*M+con(2)*C; % 定义矩形荷载 t=0:h:1; f=zeros(1,size(t,2)); for i=1:size(t,2) if t(i)==0 f(i)=0; else if t(i)>0 && t(i)<=0.1 f(i)=1000*(3.1415926)^2; else f(i)=0; end end % plot(t,f); % 系统初始条件 u0=0; du0=0; ddu0=0; U=zeros(3,size(t,2)); % 求解 for i=1:(size(t,2)-1) fe=f(i+1)+M*(con(1)*u0+con(3)*du0+con(4)*ddu0)+C*(con(2)*u0+con(5)*du 0+con(6)*ddu0); u1=fe/Ke;
du1=con(2)*(u1-u0)-con(5)*du0+con(7)*ddu0; %计算速度和加速度； ddu1=(f(i+1)-C*du1-K*u1)/M; U(:,i+1)=[u1;du1;ddu1]; u0=u1; du0=du1; ddu0=ddu1; end res=[U;t]; end
实验二二阶系统的动态特性与稳定性分析
自动控制原理 实验报告 实验名称：二阶系统的动态特性与稳定性分析班级： 姓名： 学号：
实验二 二阶系统的动态特性与稳定性分析 一、实验目的 1、 掌握二阶系统的电路模拟方法及其动态性能指标的测试技术过阻尼、临界阻尼、欠阻尼 状态 2、 分析二阶系统特征参量（ξω，n ）对系统动态性能的影响； 3、 分析系统参数变化对系统稳定性的影响，加深理解“线性系统稳定性至于其结构和参数 有关，与外作用无关”的性质； 4、 了解掌握典型三阶系统的稳定状态、临界稳定、不稳定状态； 5、 学习二阶控制系统及其阶跃响应的Matlab 仿真和simulink 实现方法。 二、实验容 1、 构成各二阶控制系统模拟电路，计算传递函数，明确各参数物理意义。 2、 用Matlab 和simulink 仿真，分析其阶跃响应动态性能，得出性能指标。 3、 搭建典型二阶系统，观测各个参数下的阶跃响应曲线，并记录阶跃响应曲线的超调量 %σ、峰值时间tp 以及调节时间ts ，研究其参数变化对典型二阶系统动态性能和稳定 性的影响； 4、 搭建典型三阶系统，观测各个参数下的阶跃响应曲线，并记录阶跃响应曲线的超调量 %σ、峰值时间tp 以及调节时间ts ，研究其参数变化对典型三阶系统动态性能和稳定 性的影响； 5、 将软件仿真结果与模拟电路观测的结果做比较。 三、实验步骤 1、 二阶系统的模拟电路实现原理 将二阶系统： ωωξω22)(22 n n s G s s n ++= 可分解为一个比例环节，一个惯性环节和一个积分环节
ωωξω221)() ()()(2C C C C s C C 2 22 6215423 2 15423 2 2154215426316 320 n n s s s s s G s s s C R R R R R R R R R R R R C R R R R R R R R R U U n i ++= ++=++== 2、 研究特征参量ξ对二阶系统性能的影响 将二阶系统固有频率5.12n =ω保持不变，测试阻尼系数ξ不同时系统的特性，搭建模拟电路，改变电阻R6可改变ξ的值 当R6=50K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.8 当R6=100K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.4 当R6=200K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.2 （1）用Matlab 软件仿真实现二阶系统的阶跃响应，计算超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts 。 当12.5n =ω，0.8=ξ时： clear g=tf(12.5^2,[1 25*0.8 12.5^2]), step(g) Transfer function: 156.3 ------------------- s^2 + 200 s + 156.3
单自由度系统
第二章 单自由度系统的自由振动 本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。 §2-1 无阻尼系统的自由振动 无阻尼单自由度系统的动力学模型如图所示。设质量为m ，单位是kg 。弹簧刚度为K ，单位是N ／m ，即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后，弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形：，同时也产生弹簧恢复力K ，当其等于重力W 时，则处于静平衡位置，即 W=K 若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x ，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。现设质量m 向下运动 到x ，此时弹簧恢复力为K(+x)，显然大于重力W ，由 于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘 积)，建立运动方程，取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 改写为 0=+kx x m && (1-1-1 令 m k p = 2 (1-1-2) 单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为 02=+x p x && (1-1-3) 设方程的特解为 st e x = 将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为 ip s p s ±==+2,1220 则(1-1-3)的通解为 pt D pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4) C 、 D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时 00,x x x x &&== （1-1-5） ()x m x k W F && =+?-= ∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ? ==k mg W x &x )
第七节多自由度系统中的阻尼
第七节 多自由度系统中的阻尼 （教材6.14） 前面介绍了多自由度系统无阻尼系统的振动。对于工程上的各种弹性结构来说，它们振动时总受到各种阻尼力的作用（如材料阻尼、结构阻尼、介质粘性阻尼等等），由于各种阻尼力的机理比较复杂，在分析振动时，常常将各种阻尼力都简化为与速度成正比的粘性阻尼力。而阻尼系数须有工程上的经验公式求出，或由实验数据确定。 有粘性阻尼的n 个自由度系统求响应很困难，其原因在于只有在特定的条件下，用模态分析法才能使运动微分方程解耦。下面分析之。 有阻尼的n 个自由度系统的运动微分方程为 []{}[]{}[]{}{}()M x C x k x F t ++= （5-60） 式中[]C 是阻尼矩阵，为n ×n 对称矩阵。 由无阻尼自由振动微分方程求得固有频率和振型向量，得正则振型矩阵[]Φ。令 {}[]{}x z =Φ 代入方程（5-60）并前乘以[]T Φ，得 [][][]{}[][][]{}[][][]{}[]{} ()T T T T M z C z k z F t ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=Φ （a ）
因 [][][][]T I M =ΦΦ ------ 单位矩阵 [][][][]T k Λ=ΦΦ {}[]{}()()T P t F t =Φ ∴ {}[][][]{}[]{}{}()T z C z z P t +ΦΦ+Λ= （b ） 而[][][]T C ΦΦ一般不是对角矩阵。因此，模态分析法不能 使式（a ）变成一组独立的微分方程组。例如图示系统，已知 123m m m m ===，1234k k k k k ====。已解出 { }{}{ }12 3111, 0,111u u u ??????? ??===?????????-?? ?? ? ? 阻尼矩阵为 []00 00000 C c ????=?????? ∵ {}[]{}12 00 011 1000000 1T u C u c c ?? ???? ????==-≠?????? ??-???? ??
单自由度体系杜哈梅积分
function y=kst(t0,t1,t2,ts,m,b0,b1,w0,c) t0=input('请输入起始时间:t0= ');t1=input('请输入荷载消失时间:t1= ');t2=input('请输入想要的时间:t2= '); ts=input('请输入时间步长:ts= '); m=input('请输入质量:m= ') ;b0=input('请输入荷载截距:b0= ');b1=input('荷载消失时的荷载:b1= ');k=input('请输入刚度:k= ') ; c=input('请输入阻尼比:c= '); w0=sqrt(k/m);w1=w0*sqrt(1-c^2); t=t0:ts:t2; for i=1:(length(t)) x=linspace(t(1),t(length(t))) p=interp1([t0 t1],[b0 b1],t); p(find(isnan(p)==1)) = 0; px=linspace(p(1),p(length(t))); a=px.*exp(c*w0*x).*cos(w1*x); A=trapz(x,a); b=px.*exp(c*w0*x).*sin(w1*x); B=trapz(x,b); y=exp(-c*w0*t).*(A.*sin(w1*t)-B.*cos(w1*t))./(m*w1) v=diff(y) a0=diff(y,2) end ymax=max(y)
figure plot(t,y); 此程序为复合梯形法计算冲击荷载作用下的杜哈梅积分。 以P(t)=-1250000*(t+0.08)的冲击荷载为例，质量：m=6.4；阻尼比c=0.05；刚度：k=34847.77 N/m.将参数输入程序得到以下结果：
第3章习题--测试系统的基本特性
第3章习题 测试系统的基本特性 一、选择题 1.测试装置传递函数H （s ）的分母与（ ）有关。 A.输入量x （t ） B.输入点的位置 C.装置的结构 2.非线形度是表示定度曲线（ ）的程度。 A.接近真值 B.偏离其拟合直线 C.正反行程的不重合 3.测试装置的频响函数H （j ω）是装置动态特性在（ ）中的描述。 A ．幅值域 B.时域 C.频率域 D.复数域 4.用常系数微分方程描述的系统称为（ ）系统。 A.相似 B.物理 C.力学 D.线形 5.下列微分方程中（ ）是线形系统的数学模型。 A.225d y dy dx t y x dt dt dt ++= + B. 22d y dx y dt dt += C.22105d y dy y x dt dt -=+ 6.线形系统的叠加原理表明（ ）。 A.加于线形系统的各个输入量所产生的响应过程互不影响 B.系统的输出响应频率等于输入激励的频率 C.一定倍数的原信号作用于系统所产生的响应，等于原信号的响应乘以该倍 数 7.测试装置能检测输入信号的最小变化能力，称为（ ）。 A.精度 B.灵敏度 C.精密度 D.分辨率 8.一般来说，测试系统的灵敏度越高，其测量范围（ ）。 A.越宽 B. 越窄 C.不变 9.测试过程中，量值随时间而变化的量称为（ ）。 A.准静态量 B.随机变量 C.动态量 10.线形装置的灵敏度是（ ）。 A.随机变量 B.常数 C.时间的线形函数 11.若测试系统由两个环节串联而成，且环节的传递函数分别为12(),()H s H s ，则该系统总的传递函数为（ ）。若两个环节并联时，则总的传递函数为（ ）。