一次函数的专题复习-最经典最全

函数的概念及表示方法

知识点

1.概念：在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，在y 中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，也就是说x是自变量，y是因变量。

2.确定函数自变量取值范围的方法（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

\

例题精讲

考点1．函数的概念

例1．下列图象中，表示y是x的函数的个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

￥

考点2．函数的表示法

例2．如图是广州市某一天内的气温变化图，根据图象，下列说法中错误的是（）A．这一天中最高气温是24℃ B．这一天中最高气温与最低气温的差为16℃

C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高

D．这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低

考点3．求自变量的取值范围

例3．函数y=的自变量的取值x范围是．

练习.

]

1.在函数

2

x

y

+

=中，自变量x的取值范围是.

2．等腰△ABC周长为10cm，底边BC长为y cm，腰AB长为x cm．（1）写出y与x的函数关系式；

（2）求x的取值范围；

（3）求y的取值范围．

3．下列函数中，自变量x的取值范围是x ≥ 2的是（）

． D．

A．．

一次函数的性质和图像

知识点

1. 理解一次函数和正比例函数的定义：

一般地，如果y ＝kx ＋b （k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。 特别地，当一次函数y ＝kx ＋b 中b 为0时，y ＝kx （k 为常数，k ≠0），这时，y 叫做x 的正比例函数。

强调指出： ①一次函数的解析式为y ＝kx ＋b （b 为常数，k ≠0）。 ②正比例函数的解析式为y ＝kx （k 为常数，k ≠0）。 ③正比例函数与一次函数的关系是：正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数。

2. 一次函数的图像与画法：

①图像：一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图像是一条直线，其图像也称为直线y ＝kx ＋b 。 正比例函数y ＝kx 的图像是经过原点（0，0）的一条直线。 强调指出：点A （0，b ）是直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点。

当b ＞0，此交点在y 轴的正半轴上； 当b ＜0时，此交点在y 轴的负半轴上；

当b ＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数。 ②画法：画正比例函数y ＝kx 的图像，通常选取O （0，0），A （1，k ）两点，

然后再连成直线。画一次函数＝＋的图像，通常选取，，，y kx b A b B b

k

()()00-

两点，然后再连成直线。

强调指出：作一次函数的图像的一般步骤是：列表、描点、连线。

3. 一次函数的性质：

（1）正比例函数y ＝kx 的性质：

当k ＞0时，y 随x 的增大而增大； 当k ＜0时，y 随x 的增大而减小。 （2）一次函数的性质：

当k ＞0时，y 随x 的增大而增大； 当k ＜0时，y 随x 的增大而减小。 （3）一次函数y ＝kx ＋b 与y 轴的交点坐标为（0，b ）。

例题精讲

考点1、概念题

例1. 下列函数哪些是y 关于x 的一次函数哪些是y 关于x 的正比例函数 ()()()1522

323y x

y x

y x ==

=+

()()()()471526212222y x y x y x x x =+==+-

分析：①判断一个函数关系式是否是一次函数或正比例函数，应紧扣定义。 ②无论是正比例函数还是一次函数的自变量和因变量的指数只能为1。 解：

练习

分析：①要使函数是一次函数，根据一次函数的定义，x 的指数m 2

－24＝1，且系数m －5≠0。 解： 考点

2、过定点问题

例2.（1）若一次函数(44)y mx m =--的图象过原点，则m 的值为 ．

（2）如果函数y x b =-的图象经过点(01)P ，，则它经过x 轴上的点的坐标为 ．

（3）若正比例函数的图象经过点（－1，2），则这个图象必经过点（ ）

A ．(1，2)

B ．(－1，－2)

C ．(2，－1)

D ．(1，－2) （4）直线y =－x +2与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是

直线y =－x －1与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 直线y =4x －2与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是

练习

已知：一次函数y m x n =++-()()634 求：（1）m 、n 分别为何值时，y 随x 的增大而减小；（2）m 、n 分别为何值时，图像与y 轴的交点在x 轴下方；（3）m 、n 分别为何值时，函数图像经过原点；（4）m ＝1，n ＝－2时，求这个一次函数的图像与两个坐标轴的交点。 解：

考点3、一次函数的图象

例3．（1）已知直线y=kx+b ，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过（ ）

A ．第一象限

B ． 第二象限

C ． 第三象限

D ． 第四象限

（2）直线y kx b =+经过一、二、三象限，则k ０，b ０，经过二、三、四象限，则有k 0，b 0，经过一、二、四象限，则有k 0，b 0．

（3）若直线23y mx m =--经过第二、三、四象限，则m 的取值范围是（ ）

Ａ．32

m <

Ｂ．302m -

<< Ｃ．3

2

m > Ｄ．0m > （4）一次函数(2)4y k x k =-+-的图象经过一、三、四象限，则k 的取值范围

是 ．

（5）如果点P(a,b)关于x 轴的对称点p,在第三象限,那么直线y=ax+b 的图像不经过 ( )

Ａ．第一象 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限

（6）已知一次函数y=(m-1)x+n+1的图像不经过第三象限，求m,n 的取值范围。

解：

（1）.下列图象中不可能是一次函数(3)y mx m =--的图象的是（ ）

（2）两个一次函数1y ax b =+与2y bx a =+，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）

(3） 已知一次函数y kx k =+，其在直角坐标系中的图象大体是（

）

(4)在同一坐标系内，如图所示，直线L1∶y=(k-2)x+k 和L2∶y=kx 的位置不可能为 ( )

考点4、一次函数的性质

例4.（1）已知一次函数y=（1﹣m ）x+m ﹣2，当m 时，y 随x 的增大而增大．

（2）已知点A(-4, a),B(-2,b)都在一次函数y=

2

1

x+k(k 为常数)的图像上,则a 与b 的大小关系是a____b(填”<””=”或”>”)

（3）已知一次函数y ＝(1-2m)x ＋m-1，若函数y 随x 的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m 的取值范围. 解：

x

y O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

Ｄ．

Ｃ．

B ．

A ．

Ｏ

y x 1

y 2

y Ｏ

y x

1y y Ｏ

y

1

y 2

y Ｏ

y

x

1

y 2

y Ｄ．

Ｃ．

B ．

A ．

1. .如图，是函数y x =-

+1

2

5的一部分图像，根据图像回答。

（1）自变量x 的取值范围是什么 （2）当x 取什么值时，y 有最小值最小值是多少 （3）在（1）中x 的变化范围内，y 随x 的增大而怎样变化

2.已知一次函数y=(3-k)x-2k+18, (1) k 为何值时,它的图像经过原点; (2) k 为何值时,它的图像经过点(0,-2);

(3) k 为何值时,它的图像与y 轴的交点在x 轴的上方; (4) k 为何值时,它的图像平行于直线y=-x; (5) k 为何值时,y 随x 的增大而减小.

考点5、图像平移

例5.（1）直线521,321--=+-=x y x y 和x y 21

-=的位置关系

是 ，直线52

1

,321--=+-

=x y x y 可以分别看作是直线x y 2

1

-=向 平移 个单位得到的; 向 平移

个单位得到的。

(2)将直线y ＝-2x ＋3向下平移5个单位，得到直线 。

(3)函数y ＝kx-4的图象平行于直线y ＝-2x ，求函数若直线4y kx =-的解析式为 ； (4)直线y=2x-3可以由直线y=2x 经过 单位而得到；直线y=-3x+2可以由直线y=-3x 经过 而得到；直线y=x+2可以由直线y=x-3经过 而得到。

求一次函数解析式的专项练习

待定系数法是求解一次函数表达式的基本方法，但在一些问题中，往往给出多样的条件让你求解，体现了函数表达式与其性质、图象以及其它相关知识的联系．下面举例说明之，供参考．

考点1、已知两点

例1．（1）已知一次函数图象经过A （－2，－3），B （1，3）两点．

①求这个一次函数解析式．②试判断点P （－1，1）是否在这个一次函数的图象上 解：

（2）已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。 考点

2、已知一点

例2．（1）已知一次函数y=kx+3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 解：

（2）已知直线y=kx+b 与直线y=4x+6平行，且经过（1,2）函数解析式为__ 。 （3）直线在y 轴上的截距为2，且经过点（1，-2），其解析式为

考点3、已知图像

例3.⑴一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

⑵已知函数图像如图，求其解析式。

考点4、已知变量取值

例4.（1）一次函数y=kx+b 的自变量x 的取值范围是-2≤x ≤6，相应的函数值的范围是-11≤y ≤9，求此函数的解析式。 解：

变式（2）如果一次函数y=kx+b 的自变量x 的取值范围是-2≤x ＜6，相应函数值范围是-11＜y ≤9，函数解析式为___________． 解：

考点5、已知两直线交点

例5. （1） 一次函数y=kx+5与直线y=2x-1交于点P(2，m)，求k 、m 的值

（2）函数y=kx+b 的图象与另一个一次函数y=-2x-1的图象相交于y 轴上的点A ，且x 轴下方的一点B(3，n)在一次函数y=kx+b 的图象上，n 满足关系n2=9.求这个函数的解析式.

y

2

O 1 x

考点6、交点及直线围成的面积问题

例6. （1）已知直线y=2x+b 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且△AOB 的面积是9，求b 的值.

（2）已知直线y=kx-6与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且△AOB 的面积是9，求k 的值.

（3）一次函数y=kx+b 的图象过点A(3,0)且与两坐标轴围成的三角形的面积是9，求该一次函数的解析式.

（4）已知一次函数y=kx+b 的图象经过点(-1, -5),且与正比例函数y= 1

2 x 的图象相交于点

(2,a),求(1)a 的值 (2)k,b 的值 (3)这两个函数图象与x 轴所围成的三角形面积. 练习 （1）．已知直线y=2x-6和直线y=-2x+2，①求两条直线与x 轴围成的三角形的面积；②求两条直线与y 轴围成的三角形的面积。

（2）已知直线l1： y=2x-6和直线l2： y=kx+b 交于点（2，m ）,两直线与x 轴围成的三角形的面积2,求直线l2的解析式.

（3）已知直线l1: y=2x-6与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，直线 l2: y=kx+b 过（2，-2）将△ABO 的面积分为2：7，求:直线l2的解析式.

（4）如图，已知直线1l 经过点(1

0)A -，和点(23)B ，，另一条直线2l

经过点B ，且与x 轴相交于点(0)P m ，

．若APB △的面积为3，求m 的值．

7、知识拓展

例7.如图4，直线y=x ＋3的图象与x 轴、y 轴交于A 、B 两点．直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：3两部分．求直线l 的解析式．

练习1. 如图，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点P （2，p ）在第一象限，直线PA 交y 轴于点C （0,2），直线PB 交y 轴于点D ，△AOP 的面积为6；

（1） 求△COP 的面积；

（2） 求点A 的坐标及p 的值；

（3） 若△BOP 与△DOP 的面积相等，求直线BD 的函数解析式。

一次函数与方程、不等式综合

知识点

1、一次函数与一元一次方程的关系

直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b

k

=-

，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k

-，b

k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

2、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

x

y

O

B

A

1

2

3

4–1

–2123

–1–2–3l

(2,p)y x

P O F E D C B A

3、一次函数与二元一次方程（组）的关系

一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线

y b k 0kx =+≠（）

上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。

考点1、一次函数与一元一次方程综合

【例1】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．0

练习1.已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，

，则a b +=______． 练习2已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得

到方程3kx b +=的解是x =______．

考点2、一次函数与一元一次不等式综合

【例2】 已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ ）

A ．5x >

B ．1

2

x < C ．6x <- D ．6x >-

练习

1. 已知一次函数23y x =-+（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化 （2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少

2. 直线y kx b =+经过()21A ，，()12B --，两点，则不等式1

22

x kx b >+>-的解集为______．

2. 已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求：

（1）当2x =时，y 的值； （2）x 为何值时，0y <

（3）当21x -≤≤时，y 的值范围； （4）当21y -<<时，x 的值范围．

考点三、一次函数与二元一次方程（组）综合

【例3】 已知直线3y x =-与22y x =+的交点为（-5，-8），则方程组30

220x y x y --=??-+=?

的解

是________．

练习

1. 已知方程组y ax c y kx b -=??-=?（a b c k ，，，为常数，0ak ≠）的解为2

3x y =-??

=?

，则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为________．

例题精讲

2. 已知24x y =??=?

，是方程组732

28x y x y -=??+=?的解，那么一次函数y =________和y =________的

交点是________．

3. 一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；

②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

4.如图，直线y kx b =+与x 轴交于点()40-，

，则0y >时，x 的取值范围是（ ）

A.4x >-

B ．0x > C.4x <- D ．0x <

5.一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）

A ．0x >

B ．0x <

C ．2x >

D ．2x <

一次函数的实际应用

考点1、从图像获取信息

例1.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段

OA 表示货车离甲地距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系；折线BCD 表示轿车离甲地距离y （千米）与x （小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：

（1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米 （2）求线段CD 对应的函数解析式．

（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD 段速度返回，求轿车从乙地出发后多长时间再与货车相遇。

-3

y 1=kx+b

y 2=x+a

x y

O -4

O

y

x

23

O

y x

练习.

1. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地

的距离为1y 千米，出租车离甲地的距离为2y 千米，两车行驶的时间为x 小时，1y 、2y 关于x 的函数图像如右图所示：

（1）根据图像，直接写出1y 、2y 关于x 的函数关系式；

（2）若两车之间的距离为S 千米，请写出S 关于x 的函数关系式；

（3）甲、乙两地间有A 、B 两个加油站，相距200千米，若客车进入A 加油站时，出

租车恰好进入B 加油站，求A 加油站离甲地的距离.

2.甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在

中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y （米）与时间x （时）的函数图象为线段OA ，乙队铺设完的路面长y （米）与时间x （时）的函数图象为折线BC -CD -DE ，如图所示，从甲队开始工作时计时． （1）分别求线段BC 、DE 所在直线对应的函数关系式． （2）当甲队清理完路面时，求乙队铺设完的路面长．

3.如图中的图象（折线ABCDE ）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120千米；②汽车在行驶途中停留了小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为

380

千米/时；④汽车自出发后3小时至小时之间行驶的速度在逐渐减少.其中正确的说法共

有（ ）A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个

考点2、方案选择

例2．A 市和B 市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C 村10台，D 村8台，已

y （千

x (小

10 6 O 600

出租

客车

知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元。

（1）设B市运往C村机器x台，求总运费W（元）关于x的函数关系式。

（2）若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案。

（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少

练习

1.某影碟出租店开设两种租碟方式：一种是零星租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费每月12元，租碟费每张元 . 小彬经常来该店租碟，若每月租碟数量为x张.（1）写出零星租碟方式应付金额y1(元)与租碟数量x（张）之间的函数关系式: （2）写出会员卡租碟方式应付金额y2(元 )与租碟数量x(张)之间的函数关系式: （3）小彬选取哪种租碟方式更合算

2.某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一：

（A）计时制：元/分； (B) 包月制：50元/月（限一部个人住宅电话上网）．

此外，每一种上网方式都得加收通信费元/分．

（1）请你分别写出两种收费方式下用户每月应支付的费用y（元）与上网时间x（小时）之间的函数关系式: 计时制：包月制：

（2）若某用户估计一个月内上网的时间为20小时，你认为采用哪种方式较为合算

3．某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门。乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元。（1）

y（元）与所购买的水果质量x（千克）之间的函数关分别写出该公司两种购买方案的付款

系式，并写出自变量x的取值范围。

（2）依据购买量判断，选择哪种购买方案付款最少并说明理由。

：