命题逻辑命题自然推理

11．自然推理·命题自然推理的基本规则·归谬规则

什么是自然推理

自然推理是判定推理形式有效性的又一种方法。自然推理的基本思想是确定一些推理规则，这些规则具有保真性，也就是说，依据这些规则，从真前提只会推出真结论。因此，从所要判定的推理的前提出发，依据这些规则，如果能形式地推出预期的结论，这就说明该推理如果前提真，结论就一定真，因而是有效的。当然，如果不能如此地推出预期的结论，尚不能就此断定推理是无效的，要判定推理的无效，还要用其他的方法。因此，自然推理不是一种能行方法。

自然推理区别于一般公理化推理之处在于，作为推理依据的只有推理规则，没有公理。这似乎更符合人们日常思维的自然习惯，因此，称之为自然推理。

本章只讨论用自然推理判定命题推理，因此，称之为命题自然推理。

命题自然推理的基本规则

命题白然推理包括三条基本规则：

规则P 在一个推导的任意—步，都可以引人任意一个真值形式作为前提。

规则T 在一个推导中．如果有一些先行出现的真值形式的合取重言地蕴涵A ，则可以在该推导中引人A 。

规则D 在一个推导中，，如果从一前提集和A 能推出B ，则从该前提集能推出A →B 。 所谓A 重言地蕴涵B ，就是指A →B 是重言式；自然，所谓n A A ,,1Λ的合取重言地蕴涵B ，就是指→∧∧n A A Λ1B 是重言式。在求合取范式时，前面列出的常用重言式是被确认的基础；规则T 的运用，同样以这些常用重言式为基础。

不难证明，基于这三条基本规则的命题自然推理具有保真性，即从真前提不会推出假结论。

下面通过实例来说明如何构造命题自然推理。

[例1] 如果工资提高(p)，或者物价提高(q)，则将有通贷膨胀(r)。如果通货膨胀，则或者国家将采取紧缩政策(s)，或者人民将遭受损失(t)。如果人民遭受损失，改革就会失去人心 (u)。国家将不采取紧缩政策，并且改革不会失去人心。因此，物价不会提高。

构造上述推理的自然推理如下：

(1) {

}1 ()r q p →∨ P (2) {}2 ()t s r ∨→ P

(3) {}3 u t → P

(4) {}4 u s ?∧? P

(5) {}4 s ? T(4)

(6) {}4 u ? T(4)

(7) {}4,3 t ? T(3)（6）

(8) {}4,3 t s ?∧? T(5)（7）

(9) {}4,3 )(t s ∨? T （8）

(10) {}4,3,2 r ? T （2）（9）

(11) {}4,3,2,1 )(q p ∨? T （1）（10）

(12) {

}4,3,2,1 q p ?∧? T （11） (13) {

}4,3,2,1 q ? T （12） 最后一行即为顶期的结论。因此，推理有效。

从以上推导可以看到，一个自然推理的推导格式包括四列数字或符号。第一列数字表示推导的步骤。第二列数字表示前提的编号，它用以说明右边的真值形式是哪一个前提，或

是依赖于哪些前提所推出的结论。例如，第一行的“{

}1”说明()r q p →∨是一个前提；第八行的“{}4,3”说明t s ?∧?是依赖于前提3和前提4所推出的结论；第十三行的“{

}4,3,2,1”说明?q 是依赖于前提1、2、3和4所推出的结论，事实上这也是整个推理的结论。第三列的符号是真值形式，它表示从前提到结论的整个推导过程。第四列的符号和数

字说明每一行的推导所依据的规则。例如，第四行的“P ”说明，在推导的第四步中，

u s ?∧?的引入依据的是规则P ，因此，u s ?∧?是个前提；第五行的“T(4)”说明，s ?是把规则了运用于(4)所得出的推论，因此，s ?是个推论。同样，第十一行的“T(1)(10)”说明)(q p ∨?是把规则T 运用于(1)和(10)所得到的推论。

有时需要推出的结论是个蕴涵式，不妨记为“A →B ”。这时就需要运用规则D 。方法是：将A 作为一个新前提引入，如果A 和原前提集一起能推出B ，那么，根据规则D ，从原前提集就能推出“A →B ”。

[例2] 如果法官是公正严明的〔p 〕，那么，就应当宣判张大使有罪(q)，除非现有的证据尚不充分(r)。而一个公正严明的法官是不会不认定现有证据的充分性的，除非这些证据中有假(s)。事实上所有证据都是真实的。因此，如果法官是公正严明的，就应当宣判张大使有罪。

(1) {

}1 )(q r p →?→ P (2) {}2 ()r s p ?→?→ P

(3) {}3 s ? P

(4) {}4 p P

(5) {}4,2 r s ?→? T （2）(4)

(6) {}4,3,2 r ? T(3)（5）

(7) {

}4,1 q r →? T(1)（4） (8) {

}4,3,2,1 q T(6)（7） (9) {}3,2,1 q p → D （4）（8）

推理有效。

在这个推导中，前提1、2和3是原推理的前提，前提4是为运用规则D 而附加引入的前提，它不能作为整个推理最终结论所依赖的前提。第八行所导出的q 依赖的是前提1—4，而第九行q p →依赖的是前提1一3，前提4的依赖性在运用规则D 时被销去了。为什么可以销去呢?因为根据规则D ，如果从前提1—3和附加前提4(即p)能推出q ，那么，从前提1—3就能推出q p →。因此，q 是从前提1一4推出的，而q p →是从前提1—3推出的。规则D 的运用可以在推导中销去所依赖的前提，这是它的一个特点。

归谬规则

归谬法是一种常用的逻辑方法。相应地，在命题自然推理中，有一个导出规则：归谬规则。

归谬规则 如果从—前提集和A 的否定可以推出矛盾，则从该前提集可以推出A 。 归谬规则之所以称为导出规则，因为它可以用基本规则加以证明。

设Γ为一前提集，并从Γ和?A 推出了矛盾，不妨记为p p ?∧，依据规则D ，从Γ能推出?A (→p p ?∧）。又因为（?A (→p p ?∧））A →是重言式(归谬律)，所以依据规则T ，从Γ能推出A 。

运用归谬规则的步骤是：第一，引人所要推出的结论的否定作为一个新前提。第二．从该前提和原前提集一起设法推出矛盾。第三，如能推出矛盾，则预期的结论可从原前提集中推出。

[例3] 当代商城的本年度的模范职工，可享受15天的年底休假(p)，或者可获得董事会特别奖金(q)。如果(有)模范职工放弃享受15天年底休假，则可获得董事会超常补贴(r)。但董事会又规定，特别奖金和超常补贴二者不可兼得。因此，事实上当代商城的模范职工不(允许)放弃享受15天年底休假。

[解] p 表示“……享受15天年底休假”，则“……放弃享受15天年底休假”表示为p ?，“……不放弃享受15天年底休假”表示为p ??，等值于p 。因此，该推理所要推出的结论 是p 。

(1) {

}1 q p ∨ P (2) {}2 r p →? P

(3) {}3 )(r q ∧? P

(4) {}4 p ? P

(5) {

}4,1 q T （1）(4) (6) {}4,2 r T （2）(4)

(7) {}3 r q ?∨? T(3)

(8) {

}4,3,1 r ? T(5)（7） (9) {}4,3,2,1 r r ?∧ T （6）（8）

(10) {

}3,2,1 p 归谬(4)(9) 推理有效。

在以上的推导中，前三行是推理的原有前提。不难发现，难以运用规则T 从这些前提推出新的结论。这正说明了运用归谬规则或规则D 的必要性。运用这两个规则的方略就在于引进新的前提作为推理的辅助性前提，并且在得出最终结论时销去辅助性前提。

在上面的推导中，前提4即?p 是附加引入的辅助性前提，它和原前提集一起推出了矛盾式r r ?∧。因此，依据归谬规则，该附加前提的否定即p 是可以从原前提集推出的。

[例4] 张大侠参与作案(p)，只有在下述情况下才有可能：或者他受到胁迫(q)，或者他既不明真相(r)，又不愿意告发朋友(s)。而如果他不愿意告发朋友，说明他一定明白真相。因此，如果不是他受到胁迫，他就决不可能参与作案。

[解]

(1) {

}1 p s r q ?→∧∨?))(( P (2) {}2 r s ?→ P

(3) {}3 q ? P

(4) {}4 p P

(5) {

}4,1 )(s r q ∧∨ T （1）(4) (6) {

}4,3,1 s r ∧ T(3)（5） (7) {

}4,3,1 r T （6） (8) {

}4,3,1 s T （6） (9) {}4,3,2,1 r ? T （2）（8）

(10) {}4,3,2,1 r r ?∧ T （7）（9）

(11) {

}3,2,1 p ? 归谬(4)(10) (12) {

}2,1 p q ?→? D(3)(11) 推理有效。

该推理同时运用了规则P 、T 、D 和归谬规则。第三行前提3即?q 是为运用规则D 引

入的。我们发现，引入结论的前件作为辅助前提对于推出后件仍有因难，因此有必要再运用归谬规则，于是第四行把后件的否定即p作为又一个辅助前提引入，于第十行推出了矛盾。第十一行依据归谬规则从前提1、2和3推出?p，第十二行依据规则D从前提1和2推出?，这正是预期的结论。

→

q?

p

在以上的讨论中，我们涉及了三种类型的判定方法。第一种如真值表，这是能行方法。第二种如范式方法，它能判定任一真值形式是否为重言式，或矛盾式，或非重言的可真式，但由于判定程序不是惟一的，因此不是能行方法。第三种如命题自然推理。事实上，通过构造自然推理，只能判定命题推理的有效，却不能判定命题推理的无效。因此严格地说，这只是一种半判定方法，与前两种方法是不同的。