勾股定理基础练习完整版本

学习要求：1.掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．

2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．

3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．

4. 掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．

1. 勾股定理的内容：

如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222

a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方

和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。

B c

2. 勾股定理的证明：

（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

()2

2222142

.ABCD S a b c ab

a b c =+=+?∴+=正方形

C B A

（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

()2

2222142

.S c a b ab

a b c =-+?∴+=正方形EFGH

（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：

()()11

2222ABCD a b a b S ab c +-=

=?+梯形

222.a b c ∴+=

知识精讲

勾股定理

c b

3.勾股定理的逆定理：

如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即

222

ABC AC BC AB ABC

?+=?

在中如果那么是直角三角形。

4.勾股数：

满足222

a b c

+=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5；

5、12、13；7、24、25；8、15、17。

一、勾股定理

1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c2；这一定理在我国被称为______．2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．

(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；

(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；

(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；

(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．

3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______．

4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．

5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．

6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )．

(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算

7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )．

(A)4 (B)6 (C)8 (D)10

课堂练习

8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )．

(A)150cm2 (B)200cm2

9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．

(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；

(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；

(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；

(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；

(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．

10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．

(A)1个(B)2个

13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．

二、勾股定理的实际应用

1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．

2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．

3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m 路，却踩伤了花草．

3题图

4．如图，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m ．

4题图

5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高( )．

5题图

(A)5m (B)7m (C)8m

(D)10m

6．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为( )．

6题图

(A)212 (B)310 (C)56

(D)58

7．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?

8．如图，一电线杆AB 的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC 为______米．

9．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平

方米30元，那么这块地毯需花多少元?

三、勾股定理与直角三角形

1．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB ＝______，AB 边上的高CE ＝______． 2．在△ABC 中，若AB ＝AC ＝20，BC ＝24，则BC 边上的高AD ＝______，AC 边上的高BE ＝______． 3．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝______，AB 边上的高CD ＝______． 4．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为______．

5．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝______，AB ＝______，BC 边上的高AE ＝______． 6．已知直角三角形的周长为62+，斜边为2，则该三角形的面积是( )．

(A)

1 (B)

43 (C)

1 (D)1

7．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )． (A)7

(B)7或41

(D)24或7

8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点，AD ＝5，BE ＝102求AB 的长．

9．在数轴上画出表示10-及13的点．

课后练习

一、填空题

1．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．

2．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．

3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2，则其中最大的正方形的边长为______cm．

3题图

4．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．

4题图

5．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______cm．

5题图

6．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．

6题图

7．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______．

8．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．

8题图

二、选择题

9．下列三角形中，是直角三角形的是( ) (A)三角形的三边满足关系a ＋b ＝c (B)三角形的三边比为1∶2∶3 (C)三角形的一边等于另一边的一半 (D)三角形的三边为9，40，41

10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售

价a 元，则购买这种草皮至少需要( )．

10题图

(A)450a 元 (B)225a 元 (C)150a 元 (D)300a 元

11．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，

则BE ＝( )．

(A)2 (B)3 (C)22

(D)32

12．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则AC ＋BC 等于( )．

(A)5 (B)135 (C)1313

(D)59

13.下列判断错误的是( )

A.如果a>b ，b>c ，那么a>c

B.如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c

C.如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c

D.如果a∥b，b∥c，那么a∥c

14.下列命题中是真命题的是( )

(1)所有的等腰三角形都全等；

(2)有一个锐角相等的两个直角三角形全等；

(3)到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；

(4)两点之间线段最短.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

15．已知：如图，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的长．

16．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，CD＝10m，求这块草地的面积．

17．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求BC．

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