实验四拉格朗日法插值
实验四
用VC显示一定范围的确定函数
及拉格朗日法插值得到的逼近函数的图像
学院：计算机与信息工程学院
班级: 计算机科学与技术师范汉班
学号: 20081121107
姓名: 黄志强
指导老师: 马季驌
算法分析：
本程序运用计算机图形学的基本绘图函数进行画点绘图。SetPixel(int(x+0.5),int (f(x)+0.5),colorref);我们剩下的工作就是求出f(x) 的各种插值逼近函数（原函数已经给出）的。任务要求做三个近似函数：拉格朗日插值近似，分段线性插值近似，和Hermite分段三点二次插值。本程序的算法核心是用程序实现形式较为繁杂的插值函数的表示。
拉格朗日插值函数的形式为在插值点处的函数值于二次插值基函数的线性组合；程序实现细则如下。
源代码：
插值基函数
double CMyView::L(int i, double x)
{
double m=1;int j;
for(j=0;j { if(j==i) continue; m=m*(x-cx[j])/(cx[i]-cx[j]); } return m; } 拉格朗日逼近函数（插值基函数与原函数在形值点处的线性组合） double CMyView::fai(double x) { int i;double y=0; for(i=0;i { y+=f(cx[i])*L(i,x);//L(i,x)有累积效应出错 } return y; } 结果截图： 原函数图像 拉格朗日插值函数图像 拉格朗日插值函数图像与原函数图像的对照 结果分析： 拉格朗日插值逼近函数由于使用了10 个形值点，插值函数的次数高达9，函数的稳定性差 产生了非常严重的荣格现象。 有限差分方法(FDM:Finite Difference Method)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。有限差分法主要集中在依赖于时间的问题（双曲型和抛物型方程）。有限差分法方面的经典文献有Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value Problems》；R. LeVeque《Finite Difference Method for Differential Equations》；《Numerical Methods for C onservation Laws》。 注：差分格式： （1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。 （2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。 （3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。 目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法： 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 有限差分法的不足：由于采用的是直交网格，因此较难适应区域形状的任意性，而且区分不出场函数在区域中的轻重缓急之差异，缺乏统一有效的处理自然边值条件和内边值条件的方法，难以构造高精度(指收敛阶)差分格式，除非允许差分方程联系更多的节点(这又进一步增加处理边值条件韵困难)。另外它还有编制不出通用程序的困难。 有限差分法的优点：该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念 直观，表达简单，精度可选而且在一个时间步内，对于一个给定点来说其相关的空间点只是 与该相邻的几点，而不是全部的空间点。是发展较早且比较成熟的数值方法 广义差分法（有限体积法）（GDM:Generalized Difference Method）：1953年，Mac—Neal 利用积分插值法(也称积分均衡法)建立了三角网格上的差分格 式，这就是以后通称的不规划网格上的差分法．这种方法的几何误差小，特别是给出了处理自然边值条件(及内边值条件)的有效方法，堪称差分法的一大进步。1978年，李荣华利用有限元空间和对偶单元上特征函数的推广——局部Taylor展式的公项，将积分插值法改写成广义Galerkin法形式，从而将不规则网格差分法推广为广义差分法.其基本思路是，将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有 课题一：拉格朗日插值法 1.实验目的 1．学习和掌握拉格朗日插值多项式。 2.运用拉格朗日插值多项式进行计算。 2.实验过程 作出插值点（1.00，0.00），（-1.00，-3.00），（2.00，4.00）二、算法步骤 已知：某些点的坐标以及点数。 输入：条件点数以及这些点的坐标。 输出：根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值。 3.程序流程： （1）输入已知点的个数； （2）分别输入已知点的X坐标； （3）分别输入已知点的Y坐标； 程序如下： #include 插值算法*/ { int i,j; float *a,yy=0.0; /*a作为临时变量，记录拉格朗日插值多项*/ a=(float*)malloc(n*sizeof(float)); for(i=0;i<=n-1;i++) { a[i]=y[i]; for(j=0;j<=n-1;j++) if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]); yy+=a[i]; } free(a); return yy; } int main() { int i; int n; float x[20],y[20],xx,yy; printf("Input n:"); scanf("%d",&n); if(n<=0) { printf("Error! The value of n must in (0,20)."); getch();return 1; } for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("x[%d]:",i); scanf("%f",&x[i]); } printf("\n"); for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]); } printf("\n"); printf("Input xx:"); scanf("%f",&xx); yy=lagrange(x,y,xx,n); printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy); getch(); } 举例如下：已知当x=1，-1,2时f(x)=0，-3,4，求f(1.5)的值。 数值分析实验报告三 插值法（2学时） 一实验目的 1．掌握不等距节点下的牛顿插值公式以及拉格朗日插值公式。二实验内容 1．已知函数表： 用牛顿插值公式求) (y的近似值。 102 2. 已知函数表： 用拉格朗日插值公式计算01 x以及所对应的近似值。 =y .5 4.1= 三实验步骤（算法）与结果 1．不等距节点下的牛顿插值公式 Ⅰ.按差商表计算n阶差商 12111[,,,][,,,] [,,,]i i i n i i i n i i i n i n i f x x x f x x x f x x x x x +++++-+++-= - 其中 Ⅱ.按以下公式，带入x 值 00010120101101()() ()[,] ()()[,,]()()()[,,] n n f x f x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x -=+-+--++--- Ⅲ.得出结果()f x 程序代码： #include"stdio.h" #include"math.h" int main() { int a,i,j; printf("输入x 系数的个数："); scanf("%d",&a); float d,e=0,c; float x[a]; float y[a-1][a]; printf("输入x 的系数："); for(i=0;i 拉格朗日插值公式的证明及其应用 摘要: 拉格朗日(Lagrange)插值公式是多项式中的重要公式之一,在理论和实践中都有着广泛的应用.本文阐述了Lagrange 插值的基本理论，譬如：线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式等.然后将线形插值，抛物插值，Lagrange 多项式插值分别应用到高中知识中，并且学会用计算机程序来编写.插值法的思想与中国剩余定理一脉相承, 体现了代数中"线性化" (即表示为求和和数乘的形式) 这一基本思路, 大巧若拙.本文的目的是通过介绍拉格朗日插值公式的推导，唯一性，证明过程及其在解题与实际生活问题中的应用来寻找该公式的优点，并且引人思考它在物理，化学等领域的应用.通过实际鉴定过程，利用插值公式计算生活中的成本问题，可以了解它的计算精度高,方法快捷. 关键词： 拉格朗日插值公式 唯一性 证明 解题应用 资产评估 曲线插值问题，直观地说，认为已知的一批数据点()n k k k f x 0,=是准确的，这些数据点所表现的 准确函数关系()x f 是未知的，在这种情况下要作一条近似曲线()x P 且点点通过这些点，插值问题不仅要讨论这种近似曲线()x P 的构造方法，还要讨论点增多时这种近似曲线()x P 是否稳定地收敛于未知函数()x f ，我们先研究一种简单常用的插值——拉格朗日插值. 一.定义，推导及其在解题中的应用 １.线性插值 １.１. 线性插值的定义 假定已知区间[]1,+k k x x 的端点处的函数值()k k x f y =, ()11++=k k x f y ,要求线性插值多项式()x L 1使它满足()k k y x L =1, ()111++=k k y x L ． ()x L y 1=的几何意义:通过两点()k k y x ,和()11,++k k y x 的直线， 如图１所示，()x L 1的表达式由几何意义直接给出，即 ()()k k k k k k x x x x y y y x L ---+ =++111 (点斜式)， 图１ ()11111++++--+--= k k k k k k k k y x x x x y x x x x x L (两点式)． y=L 1x () y=f x () y k+1 y k x k+1 x k o y x 实验 一 .拉格朗日插值法C 语言的实现 1.实验目的： 进一步熟悉拉格朗日插值法。 掌握编程语言字符处理程序的设计和调试技术。 2.实验要求： 已知：某些点的坐标以及点数。 输入：条件点数以及这些点的坐标 。 输出：根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值 。 3.程序流程： （1）输入已知点的个数； （2）分别输入已知点的X 坐标； （3）分别输入已知点的Y 坐标； （4）通过调用函数lagrange 函数，来求某点所对应的函数值。 拉格朗日插值多项式如下： 0L ()()0,1,n n j k k j j k x y l x y j n ====∑…… 其中00()()0,1,,()k k x x l x k n x x -= =-k-1k+1n k k-1k k+1k n ……(x-x )(x-x )?…(x-x )…………(x -x )(x -x )?…(x -x ) 程序流程图： ↓ 程序如下： #include 《计算方法》课内实验报告 学生姓名:张学阳1009300132 及学号： 学院: 理学院 班级: 数学101 课程名称：计算方法 实验题目:插值法与函数逼近 指导教师 宋云飞讲师 姓名及职称： 朱秀丽讲师 尚宝欣讲师 2012年10月15日 目录 一、实验题目.......................................................... 错误！未定义书签。 二、实验目的.......................................................... 错误！未定义书签。 三、实验内容.......................................................... 错误！未定义书签。 四、实现结果.......................................................... 错误！未定义书签。 五、实验体会或遇到问题 (6) 插值法与函数逼近 二、实验目的 1．熟悉matlab 编写及运行数值计算程序的方法。 2．进一步理解插值法及函数逼近方法的理论基础。 3．进一步掌握给定数据后应用插值法及函数逼近方法进行数据处理并给出图示结果的实际操作过程。 三、实验内容 1．已知函数在下列各点的值为 试用4次牛顿插值多项式)(4x P 及三次样条函数)(x S （自然边界条件）对数据进行插值。给出求解过程，并用图给出 (){},10,1,0),()(,08.02.0,,4 ===+=i x S y x P y i x y x i i i i i 及。 2．下列数据点的插值 可以得到平方根函数的近似。 （1）用这9个点作8次多项式插值)(8x L 。 （2）用三次样条（第一类边界条件）插值给出)(x S 。 给出求解过程，在区间[0,64]上作图，从得到的结果看，在区间[0,64]上哪种插值结果更精确？在区间[0,1]上两种插值哪个更精确？ 3．由实验给出数据表 试求3次、4次多项式的曲线拟合，再根据数据曲线形状，求一个另外函数的拟合曲线。给出求解过程，用图表示实验数据曲线及三种拟合曲线。 #include printf("f(%f)=%f\n",x,px); } void Hermite () //Hermite插值 { int i,k,n=2; int flag1=0; printf("Hermite插值多项式H5(x)="); for(i=0;i<=n;i++) { int flag=0; flag1++; if(flag1==1) { printf("y%d[1-2(x-x%d)*(",i,i); } else { printf("+y%d[1-2(x-x%d)*(",i,i); } for(k=0;k<=n;k++) { if(k!=i) { flag++; if(flag==1) { printf("(1/x%d-x%d)",i,k); } else { printf("+(1/x%d-x%d)",i,k); 实验一 拉格朗日插值法 基本信息 实验课程：计算方法 设课形式：非独立 课程学分：3 实验项目：拉格朗日插值法 项目类型：基础 项目学时：2 目的和要求 该实验在计算机上实现拉格朗日插值法并进行验证。要求对拉格朗日插值法的流程进行分析，设计算法，并使用一种编程语言实现，最后通过具体例子进行验证，得到正确结果。 实验条件 装有编程语言的计算机一台、项目相关材料。 实验内容和原理或涉及的知识点 公式： 基点x i 的n 次插值基函数( i=0,1,…,n)： n i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l j i j n i j j n i i i i i i i n i i i ,,1,0) ())(())(() ())(())(()(011101110 =--∏ =----------= ≠=+-+- n 次拉格朗日插值多项式： ∑∏ =≠=--=+++=n i n i j j j i j i n n n x x x x y x l y x l y x l y x P 0 01100)()()()( 流程图： 输入及x y x i i i n ,,,,,=012 P i ??00 ,L ?1 L L x x x x j i j j n j i ?--=≠()() ,,,() 01 P P y L i ?+i i ?+1 开始T F 输出P 结束 i n = 验证例子 已知如下的函数表，试编写程序，用拉格朗日插值多项式求0.5,0.7,0.85三点处的函数值。 x 0.40.550.80.91y 0.410750.578150.88811 1.02652 1.1752 实验结果： 插值点的个数 m=3 数值计算方法作业 专业：测控1002 学号：10540226 姓名：崔海雪 拉格朗日插值的算法及应用 【摘要】 本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运用。运用了拉格朗日插值的公式，以及它在MATLAB 中的算法程序，并用具体例子说明。拉格朗日插值在很多方面都可以运用，具有很高的应用价值。 【关键词】 拉格朗日；插值；公式；Matlab 算法程序； 一、绪论 约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比较适合数据准确或数据量小的情形。然而Lagrange 插值有很多种，1阶，2阶,…n 阶。我们可以利用拉格朗日插值求方程，根据它的程序求原方程的图像。下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用。 二、正文 1、基本概念 已知函数y=f(x)在若干点i x 的函数值i y =()i x f （i=0,1,???,n ）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p(i x )=i y ,i=0,1,???,n, (1) 则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，0x ，1x ，2x ，...,n x 为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点-x 求f(-x )数值解，我们称- x 为一个插值节点，f(-x )≈p(-x )称为-x 点的插值，当-x ∈[min(0x ，1x ，2x ，...,n x )，max(0x ，1x ，2x ，...,n x )]时，称为内插，否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n 次多项式时称为n 阶Lagrange 插值。 2、Lagrange 插值公式 （1）线性插值)1(1L 设已知0x ，1x 及0y =f(0x ) ,1y =f(1x ),)(1x L 为不超过一次多项式且满足 )(01x L =0y ,)(11x L =1y ,几何上，)(1x L 为过（0x ，0y ） ，（1x ，1y ）的直线，从而得到 )(1x L =0y +0101x x y y --（x-0x ）. （2） 数学与计算机学院上机实践报告 课程名称：计算方法A年级：上机实践成绩： 指导教师：姓名： 上机实践名称：拉格朗日插值和牛顿插值法学号：上机实践日期： 上机实践编号：1上机实践时间： 一、目的 1．通过本实验加深对拉格朗日插值和牛顿插值法构造过程的理解； 2．能对上述两种插值法提出正确的算法描述编程实现。 二、内容与设计思想 自选插值问题，编制一个程序，分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求解某点的函数近似值。（从课件或教材习题中选题） 已知y=f( 三、使用环境 操作系统：windows XP 软件环境：Microsoft Visual C++6.0 四、核心代码及调试过程 (一) 拉格朗日插值法： lude { dividend=product(x,newx[th],i,9); divisor=product(x,x[i],i,9); quotient=dividend/divisor; result+=quotient*y[i]; } printf("%lf处的近似值为%lf\n",newx[th],result); } } double product(double *p,double newx,int k,int n) { int cycle_times; double result=1; for(cycle_times=0;cycle_times<=n;cycle_times++) if(cycle_times!=k) result=result*(newx-p[cycle_times]); return result; } （二）牛顿插值法： #include 多项式插值法和拉格朗日插值 教案一多项式插值法和拉格朗日插值 基本内容提要 1 多项式插值法的基本概念 2 插值多项式的存在性与唯一性分析 3 拉格朗日插值多 项式的构造及截断误差 4 截断误差的实用估计式 5 逐次线性插值法教学目的和要求 1 熟练掌握多项式插值法的基本概念 2 理解插值多项式的存在性与唯一性 3 掌握拉 格朗日插值法 4 掌握截断误差的估计方法 5 理解逐次线性插值法的基本思想，掌握Aitken逐次线性插值法 6 掌握运用拉格朗 日插值法处理问题的基本过程教学重点 1 拉格朗日插值基函数及拉格朗日插值多项式的构造 2 拉格朗日插值多项式的截断 误差分析 3 逐次线性插值法的基本思想教学难点 1 插值多项式存在唯一性条件的讨论分析 2 插值误差的分析与估计 3 Aitken逐次线性插值法的计算过程课程类型新知识理论课教学方法 结合提问，以讲授法为主教学过程 问题引入 实际问题中许多变量间的依赖关系往往可用数学中的函数概念刻画，但在多数情况下，这些函数的表达式是未知的，或者函数已知，但形式十分复杂。基于未知函数或复杂函数 的某些已知信息，如何构造这些函数的近似表达式？如何计算这些函数在其它点处的函数值？所构造的近似表达式与真实函数的误差是多少？插值理论与方法就是解决这些问题的 有效工具之一。 §2.1 多项式插值 2.1.1 基本概念 假设f(x)是定义在区间[a,b]上的未知或复杂函数，但已知该函数在点a≤x0 P(xi)=yi,i=0,1,2,L,n,即在给定点xi处，P(x)与f(x)是相吻合的。 (2.1) 把P(x)称为f(x)的插值多项式（函通常把上述x0 数）， f(x)称为被插函数。[a,b]称为插值区间，条件（2.1）称为插值条件，并把 求P(x)的过程称为插值法。 算方法实验指导 姓名学号院系专业哈尔滨工业大学 计算方法实验指导 根据实际问题建立的数学模型，一般不能求出所谓的解析解，必须针对数学模型 的特点确定适当的计算方法，编制出计算机能够执行的计算程序，输入计算机，进行 调试，完成运算，如果计算结果存在问题或不知是否正确，还需要重新确定新的计算 方法，再编制出计算程序，输入计算机，重新调试，完成运算，直至获得正确的计算 结果，这就是数值计算的全部过程。 学生在学习“计算方法”和“高级语言”等课程时普遍存在的问题是：只会套用 教科书中的标准程序进行数值计算，很少有人能够独立地将学过的数值算法编制成计 算机程序，至于灵活应用已经掌握的算法求解综合性较大的课题，则更是困难的事情。 编写《计算方法实验指导》的目的是：突出数值计算程序结构化的思想。提高学 生的编程能力，加深对“计算方法”课程内容的理解和掌握，为”计算方法“课程的 教学服务，进一步奠定从事数值计算工作的基础。具体地 1. 根据“计算方法”课程内容的特点，给出五个典型算法的分析流程，学生可以 利用所掌握的 “高级语言”顺利地编制出计算机程序，上机实习，完成实验环节的教 学要求。 2. 所有的计算实习题目都经过任课教师逐一检验，准确无误。 3. 充分利用循环的思想、 迭代的思想， 给出算法结构描述和程序语言的对应关系， 有利于学生编 制相应的程序。 4. 结合实习题目，提出实验要求，要求学生按规范格式写出相应的实验报告，实 验报告成绩记入 期末总成绩。需要提醒学生：不能简单地套用现成的标准程序完成实 验题目，应当把重点放在对算法的理解、程序的优化设计、上机调试和计算结果分析 上，否则就失去实验课的目的啦。 5. 五个具体的实验题目是： 实验题目 实验题目 实验题目 实验题目 实验题目 要求必须完 成其中三个(如果全部完成更好) 。 1 拉格朗日 (Lagrange) 插值 2 龙贝格 (Romberg) 积分法 3 四阶龙格—库塔 (Runge — Kutta) 方法 4 牛顿 (Newton) 迭代法 5 高斯 (Gauss) 列主元消去法 实验一插值方法 一. 实验目的 （1）熟悉数值插值方法的基本思想，解决某些实际插值问题，加深对数值插值方法 的理解。 （2）熟悉Matlab 编程环境，利用Matlab 实现具体的插值算法，并进行可视化显示。 二. 实验要求 用Matlab 软件实现Lagrange 插值、分段线性插值、三次Hermite 插值、Aitken 逐步插值算法，并用实例在计算机上计算和作图。 三. 实验内容 1. 实验题目 （1 ） 已 知概 率积 分dx e y x x ?-= 2 2 π 的数据表 构造适合该数据表的一次、二次和三次Lagrange 插值公式，输出公式及其图形，并计算x =0.472时的积分值。 答： ①一次插值公式： 输入下面内容就可以得到一次插值结果 >> X=[0.47,0.48];Y=[0.4937452,0.5027498]; >> x=0.472; >> (x-X(2))/(X(1)-X(2))*Y(1)+(x-X(1))/(X(2)-X(1))*Y(2) ans =0.495546120000000 >> ②两次插值公式为： 输入下面内容就可以得到两次插值结果 >> X=[0.46,0.47,0.48];Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498]; >> x=0.472; >>(x-X(2))*(x-X(3))/((X(1)-X(2))*(X(1)-X(3)))*Y(1)+(x-X(1))*(x-X(3))/((X(2)-X(1))*(X(2)-X(3)))*Y(2)+(x-X(2))*(x-X(1))/((X(3)-X(2))*(X(3)-X(1)))*Y(3) i 0 1 2 3 x 0.46 047 0.48 0.49 y 0.4846555 0.4937452 0.5027498 0.5116683 计算方法上机实验报告——拉格朗日插值问题 一、方法原理 n次拉格朗日插值多项式为：Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) n=1时，称为线性插值，L1(x)=y0(x-x1)/(x0-x1)+y1(x-x0)/(x1-x0)=y0+(y1-x0)(x-x0)/(x1-x0) n=2时，称为二次插值或抛物线插值，精度相对高些 L2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x 2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x2-x1) 二、主要思路 使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂，可改用构造方法来插值。 对节点xi(i=0,1,…,n)中任一点xk(0<=k<=n)作一n次多项式lk(xk)，使它在该点上取值为1，而在其余点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上为0，则插值多项式为Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) 上式表明：n个点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)都是lk(x)的零点。可求得lk 三．计算方法及过程：1.输入节点的个数n 2.输入各个节点的横纵坐标 3.输入插值点 4.调用函数，返回z 函数语句与形参说明 程序源代码如下： 形参与函数类型 参数意义 intn 节点的个数 doublex[n]（double*x） 存放n个节点的值 doubley[n]（double*y） 存放n个节点相对应的函数值 doublep 指定插值点的值 doublefun() 函数返回一个双精度实型函数值，即插值点p处的近似函数值 #include 插值与多项式逼近的数组计算方法实验 郑发进 2012042020022 【摘要】计算机软件中经常要用到库函数，如） cos，x e，它们 （x （x sin，） 是用多项式逼近来计算的。虽然目前最先进的逼近方法是有理函数（即多项式的商），但多项式逼近理论更适于作为数值分析的入门课程。在已知数据具有高精度的情况下，通常用组合多项式来构造过给定数据点的多项式。构造组合多项式的方法有许多种，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的方分和系数表。 关键字泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近 一、实验目的 1.通过具体实验，掌握泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近的编程技巧。 2.比较各插值方法的优劣并掌握。 二、实验原理 1.泰勒级数 在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。 如果在点x=x 具有任意阶导数，则幂级数 称为在点x 处的泰勒级数。 =0，得到的级数 在泰勒公式中，取x 称为麦克劳林级数。函数的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开 是唯一的，且必然与的麦克劳林级数一致。 2.拉格朗日插值法 如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。 在平面上有(x 1,y 1)(x 2,y 2)...(x n ,y n )共n 个点，现作一条函数f （x ）使其图像经过这n 个点。 作n 个多项式p i (x),i=1,2,3...,n,使得 最后可得 3.牛顿插值法 插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化， 这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。 牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： 10121()()()()()()N N N N P x P x a x x x x x x x x --=+---- 牛顿插值与拉格朗日插值具有唯一性。 4.帕德逼近 它不仅与逼近论中其他许多方法有着密切的关系，而且在实际问题特别是许多物理问题中有着广泛的应用。设是在原点某邻域内收敛的、具有复系数的麦克劳林级数。欲确定一个有理函数，式中,使得前次方的系数为0，即使得 此处约定qk ＝0（k>n ）。虽然所求得的Pm(z)和Qn(z)不惟一，但是比式却总是惟一的。有理函数称为F(z)的(m,n)级帕德逼近,记为(m/n)。由(m/n)所形成的阵列称为帕德表。 数值分析报告 班级： 专业： 流水号： 学号： 姓名： 常用的插值方法 序言 在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。 早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。 插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上n＋1个互不相同点x0，x1……x n处的值是f（x0），……f（x n），要求估算f（x）在[a，b〕中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0， C1，……C n的函数类Φ(C0，C1，……C n)中求出满足条件P（x i）＝f（x i）（i＝0，1，……n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。此处f（x）称为被插值函数，x0，x1，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……C n)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……C n）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝f（x）－P（x）称为插值余项。 求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit 插值，分段插值和样条插值。 一．拉格朗日插值 1.问题提出： 已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x L 上的函数值01,,,n y y y L ，求任意一点 x '的函数值()f x '。 说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。 2.解决方法： 构造一个n 次代数多项式函数()n P x 来替代未知（或复杂）函数()y f x =，则 用()n P x '作为函数值()f x '的近似值。 设()2012n n n P x a a x a x a x =++++L ，构造()n P x 即是确定n+1个多项式的系数 012,,,,n a a a a L 。 3.构造()n P x 的依据： 当多项式函数()n P x 也同时过已知的n+1个点时，我们可以认为多项式函数 ()n P x 逼近于原来的函数()f x 。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组： 20102000 20112111 2012n n n n n n n n n n a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ?++++=?++++=?? ? ?++++=?L L L L L 其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式： ()20 0021110 2111n n i j n i j n n n n x x x x x x D x x x x x ≥>≥= = -∏L L M M M M L 拉格朗日插值算法的实现 实验报告 姓名：** 年级：****专业：计算机科学与技术科目：数值分析题目：拉格朗日插值算法的实现 实验时间: 2014年5月27日实验成绩: 实验教师: 一、实验名称：拉格朗日插值算法的实现 二、实验目的： a. 验证拉格朗日插值算法对于不同函数的插值 b. 验证随着插值结点的增多插值曲线的变化情况。 三、实验内容： 拉格朗日插值基函数的一般形式： 也即是： 所以可以得出拉格朗日插值公式的一般形式： 其中， n=1时，称为线性插值，P1(x) = y0*l0(x) + y1*l1(x) n=2时，称为二次插值或抛物插值，精度相对高些,P2(x) = y0*l0(x) + y1*l1(x) + y2*l2(x) 四、程序关键语句描写 double Lagrange(int n,double X[],double Y[],double x) { double result=0; for (int i=0;i for(int j=0;j 记一下拉格朗日插值公式的推导和一些要点【这里说的都是二维插值，多维上的以此类推】 1、插值问题：在做实验的过程中，往往得到一堆离散的数据，现在想用数学公式模拟这堆离散数据。怎么办，数学家们提出了插值问题。插值问题的提法是这样的给定一堆数据点(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)...(xn, yn)，要求一个函数y = f(x) ，要求该函数经过上面所有的数据点。 2、多项式插值及其唯一性：在所有的函数中，多项式函数是最简单的函数，所以只要是人就会想到用多项式函数来作为插值函数，好，以上给定了n+1个点，现在要求一个n次多项式y = an * x^n + ... a1 * x + a0, 使它们经过这n+1个点；通过范德蒙行列式和克莱姆法则，可以判定如果这n+1个点的x值各不相同，那么这个多项式是唯一的。结果唯一，但是用直接法很不好求。现在用别的办法来求之。这就是：拉格朗日多项式 3、拉格朗日多项式的构造，以四个点为例子进行说明 由于函数经过4个点(x0, y0)，(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)，所以可以设函数为： f(x) = b0(x) * y0 + b1(x) * y1 + b2(x) * y2 + b3(x) * y3 注意：b0(x)，...，b3(x)都是x的3次多项式，称之为拉格朗日插值基函数。 由于要求当x为x0时候，f(x) = y0, 所以最简单的做法就是让b0(x0) = 1, b1(x0) = b2(x0) = b3(x0) = 0; 同理可知，在x1，x2，x3点上，插值基函数的值构造如下： b0(x) b1(x) b2(x) b3(x) x=x0 1 0 0 0 x=x1 0 1 0 0 x=x2 0 0 1 0 x=x3 0 0 0 1 问题1、根据这些值来确定b0(x)的表达式， 由于b0(x1) = b0(x2) = b0(x3) = 0，所以x1, x2, x3是b0(x)的零点，由于b0(x)是三次多项式，所以设 b0(x) = c0 * (x-x1) * (x-x2) * (x-x3) 由于b0(x0) = 1,所以1 = c0 * (x0-x1) * (x0-x2) * (x0-x3) 得到c0 = 1/[(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)] 所以：b0(x) = (x-x1)*(x-x2)*(x-x3)/[(x0-x1)*(x0-x2)*(x0-x3)] 同理可求b1(x)、b2(x)，略 问题2、根据上面的表格说明插值基函数的一个性质：无论x取和值，它们的和都为1.【这