广西南宁市银海三美学校2018-2019学年高二3月月考理科数学试题
南宁市银海三美学校高二下学期3月月考
理科数学试题
出题人：梁清超 审题人：吴彪
一、选择题（每小题5分，共60分，请把答案填到答题卡上）
1.已知集合{}0,2A =，{}2,1,0,1,2B =--，则A
B =（ ） A.{}0,2
B.{}1,2
C.{}0
D.{}2,1,0,1,2--
2.()1i i +=（ ）
A.1i -+
B.1i --
C.1i +
D.1i - 3.某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有（ ）
A.32种
B.9种
C.12种
D.20种
4.已知曲线2214x y -=通过122x x y y
?'=???'=?伸缩变换后得到的曲线方程为（ ） A.2
214y x -= B.221x y -= C.22
1164x y -= D.221416
x y -= 5.已知直线l
的参数方程是1222x y t ?=-????=+??
（t 为参数），则直线l 的斜率为（ ）
A.2
B.2
- C.1 D.－1 6.用数学归纳法证明不等式11112321n n +
+++<-（*n N ∈，且1n >）时，第一步应证明下述哪个不等式成立（ ）
A.12<
B.111223++<
C.1122+<
D.1123
+< 7.椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θθ=??=?
（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（ ） A.()4,0± B.()0,4±
C.()5,0±
D.()0,3± 8.用反证法证明“已知,x y ∈R ，220x y +=，求证：0x y ==.”时，应假设（ ）
A.0x y ≠≠
B.0x y =≠
C.0x ≠且0y ≠
D.0x ≠或0y ≠
9.已知a 为函数()312f x x x =-的极小值点，则a =（ ）
A.－4
B.－2
C.4
D.2
10.如图，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（ ）
A.280
B.180
C.96
D.60
11.已知(),P x y 是椭圆sin x y αα?=??
=??（α为参数）上任意一点，则点P 到40x -=的距离的最大值为（ ）
A.22-
B.42+
C.2
D.2+
12.椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1AF B △为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（
）
A.12 C.1
3 二、填空题（每小题5分，共20分，请把答案填到答题卡上）
13.定积分1
0x e dx =?________.
14.以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为2,
3π?? ???
，则点A 的直角坐标为________.
15.复数z 满足43zi i =+（i 是虚数单位），则z =________. 16.已知抛物线的参数方程为2
44x t y t
?=?=?（t 为参数），若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交
于A ，B 两点，则线段AB 的长为________.
三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知等差数列{}n a 中，11a =，35a =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若等比数列{}n b 满足12b a =，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和n S .
18.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知4a =，23
B π=
，sin 2sin b C B =. （1）求ABC △的面积.
（2）求b 的值； 19.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为121x t y ?=????=-??（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C
的极坐标方程是
4πρθ??=+ ???
. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点()0,1P -，若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求PA PB +的值.
20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，60BAD ∠=?，2PD AD AB ===，4CD =，E 为PC 的中点.
（1）证明：BE ∥平面PAD ；
（2）求二面角B PC D --的余弦值.
21.已知函数()()()1ln a f x a x x x R x
=---∈. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()
2,2f 处的切线方程；
（2）若函数()f x 在[]1,3上的最大值为－2，求实数a 的值. 22.已知椭圆()22
22:10y x C a b a b
+=>>的短轴长为2，且椭圆C
的离心率为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的上焦点作相互重直的弦AB，CD，求证：
11
AB CD
为定值.