勾股定理拔高训练【解析版】
勾股定理拔高训练
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点P为边AN上一动点（且点P不与点A，B重合），PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，点M为EF中点，则PM的最小值为（）
A．B．C．D．
2．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）
A．14S B．13S C．12S D．11S
3．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（）
A．B．C．D．
4．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=BD，AC⊥BD，若AB=4，AD=5，则
DC的长（）
A．7B．C．D．2
5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5．分别以AB、AC、BC为边在AB 的同侧作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．则S1+S2+S3+S4等于（）
A．13B．14C．15D．16
6．如图，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一点，且DB=DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=，则PE+PF的长是（）
A．B．6C．D．
7．如图，正方形ABCD边长为2，从各边往外作等边三角形ABE、BCF、CDG、DAH，则四边形AFGD的周长为（）
A．4+2+2B．2+2+2C．4+2+4D．2+2+4
8．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，则AB的长为（）
A．10B．5C．2D．2
9．如图△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，且BD＜DC，以AD为边作正三角形ADE，当△ABC的面积是25，△ADE的面积是7时，BD与DC的比值是（）
A．3：4B．3：5C．1：2D．2：3
10．已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连结OC，则线段OC长的最小值是．
11．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一个动点（不与点B，C 重合），△DEF≌△ABC，其中点A，B的对应点分别是点D，E．当点E运动时DE边始终经过点A．设EF与AC相交于点G，当△AEG是等腰三角形时，BE 的长为．
12．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，且AD=CD，连接BD，若AB=2，BD=，则BC的长为．
13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F，则△AFC的面积为．
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，分别以AB、BC、AC为边作正方ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R=90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，则PQ的长为．
15．如图，水平距离为80米（BC=80米）的A，B两村庄隔着一条小河，并且河宽15米，A与河l1的距离为40米，B与河l2的距离为20米，为了方便行人之间来往，现在要在两条小河上各建一条垂直于河岸的桥，那么A，B两村庄来往的最短路程是米．
16．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，若CD=6，BD=6.5，则AD=．
17．四边形ACBD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADB=30°，AD=6，CD=7，则BD=．
18．如图，在△ABC中，AB=BC=6，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．
19．如图，A（1，0），B（0，1），若△ABO是一个三角形台球桌，从O点击出的球经过C、D两处反弹正好落在A洞，则C的坐标是．
20．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若两直角边AC=4，BC=6，现将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，延长后得到下图所示的“数学风车”，则该“数学风车”
所围成的总面积是．
21．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=．分别以AB，AC，BC为边，向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，连接GE，DN．则图中阴影的总面积是．
22．如图，△ABC是直角三角形，记BC=a，分别以直角三角形的三边向外作正
方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，过点C作BA边上的高CH并延长交正方形ABDE的边DE于K，则四边形BDKH的面积为．（用含a的式子表示）
23．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，D是BC边上一动点，BE⊥AD，交其延长线于点E，EF⊥AC，交其延长线于点F，则AF的最大值为．
24．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=2，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，连接BD，则BD=．
25．如图，点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC为边作△AP′C≌△APB，连接PP′，则有以下结论：①△APP′是等边三角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB=150°；④∠APC=105°．其中一定正确的是．（把所有正确答案的序号都填在横线上）
26．如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=．
27．如图所示，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=10，E是AD上一点，现有一动点P沿着折线A﹣E﹣C运动，在AE上的速度是4单位/秒，在CE上的速度是2单位/秒，则点P从A到C的运动过程中至少需秒．
28．在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的四边形，则原直角三角形纸片的斜边长是．
29．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD 的长为．
30．如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，平板车的长不能超过米．
31．如图，在△ABC中，AB=AC=2，点P在BC上．若点P为BC的中点，则m=AP2+BP?PC的值为；若BC边上有100个不同的点P1，P2，…，P100，且m i=AP i2+BP i?P i C（i=1，2，…，100），则m=m1+m2+…+m100的值为．
32．图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC=6cm，BC=5cm，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”．则
①图中小正方形的面积为；②若给这个“数学风车”的外围装饰彩带，
则需要彩带的长度至少是．
33．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR 上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于．
34．如图平面直角坐标系中，已知三点A（0，7），B（8，1），C（x，0）．（1）求线段AB的长；
（2）请用含x的代数式表示AC+BC的值；
（3）根据（2）中得出的规律和结论，直接写出代数式﹣的最大值．
35．如图，AD∥BC，AC⊥AB，AB=3，AC=CD=2．
（1）求BC的长；
（2）求BD的长．
36．如图，△ABC中，D是BC的中点，AB=，AC=，AD=3，求BC的长及△ABC的面积．
37．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O为坐标原点，点C在x 轴的正半轴上，且BC⊥OC于点C，点A的坐标为（2，2），AB=4，∠
B=60°，点D是线段OC上一点，且OD=4，连接AD．
（1）求证：△AOD是等边三角形；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上求一点P，使△OBP为等腰三角形．
38．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）△ABC的面积为．
（2）若△DEF的三边DE、EF、DF长分别为，，，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并求出△DEF的面积为．
（3）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD（D 与C在AB异侧），使△ABD为等腰直角三角形，则线段CD的长为．
39．如图，在等腰△ACE中，已知CA=CE=2，AE=2c，点B、D、M分别是边AC、CE、AE的中点，以BC、CD为边长分别作正方形BCGF和CDHN，连结FM、FH、MH．
（1）求△ACE的面积；
（2）试探究△FMH是否是等腰直角三角形？并对结论给予证明；
（3）当∠GCN=30°时，求△FMH的面积．
40．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值．
41．阅读下列材料：
小明遇到一个问题：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．
参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
（1）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．
①利用构图法在答卷的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF；
②计算①中△DEF的面积为；（直接写出答案）
（2）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，正方形PRDE，连接EF．
①判断△PQR与△PEF面积之间的关系，并说明理由．
②若PQ=，PR=，QR=3，直接
．．写出六边形AQRDEF的面积为．
42．如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．
43．探究下列几何题：
（1）如图（1）所示，在△ABC中，CP⊥AB于点P，求证：AC2﹣BC2=AP2﹣BP2；（2）如图（2）所示，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点P，猜一猜AB，BC，CD，DA之间有何数量关系，并用式子表示出来（不用证明）；
（3）如图（3）所示，在矩形ABCD中，P是其内部任意一点，试猜想AP，BP，CP，DP之间的数量关系，并给出证明．
44．设a，b，c，d都是正数．求证：+＞．45．如图：四边形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°．试探索以AB、BC、BD为边，能否组成直角三角形，并说明理由．
46．已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC 于E，交BC于F，且DE⊥DF．
（1）如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；
（2）如图2，如果CA＜CB，（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
47．（1）如图1，AD是△ABC边BC上的高．
①求证：AB2﹣AC2=BD2﹣CD2；
②已知AB=8，AC=6，M是AD上的任意一点，求BM2﹣CM2的值；
（2）如图2，P是矩形ABCD内的一点，若PA=3，PB=4，PC=5，求PD的值．
48．如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC=5km，B 厂距离河边BD=1km，经测量CD=8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．
（1）设ED=x，请用x的代数式表示AE+BE的长；
（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？
（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想
的最小值为．
49．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图（1），等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则∠APB=，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图（2），△ABC 中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2．
50．阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：
已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：
（1）图1中△ABC的面积为；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（2）图2是一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）．
①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF；
②计算△DEF的面积为．
（3）如图3，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG．若AB=，BC=，
AC=，则六边形BCFGED的面积为．
一．选择题（共9小题）
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点P为边AN上一动点（且点P不与点A，B重合），PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，点M为EF中点，则PM的最小值为（）
A．B．C．D．
【分析】首先证明四边形CEPF是矩形，因为M是EF的中点，推出延长PM经过点C，推出EF=CP，可得PM=EF=PC，求出PC的最小值可得PM的最小值．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
∴BC==4，
∵PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∴∠PEC=∠PFC=∠EPF=90°，
∴四边形CEPF是矩形，
∵M是EF的中点，
∴延长PM经过点C，
∴EF=CP，
PM=EF=PC，
当PC⊥AB时，PC=，
∴PM的最小值为，
故选：D．
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的斜边上的高的求法，注意当CP⊥AB时，CP最小．
2．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）
A．14S B．13S C．12S D．11S
【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a ﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．
【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2
由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，
∵AM=2EF，
∴2a=2b，
∴a=b，
∵正方形EFGH的面积为S，
∴b2=S，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=13b2=13S，
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
3．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（）
A．B．C．D．
【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AC的长，再利用三角形的面积公式求出△ABC中AC边上的高即可．
【解答】解：作BD⊥AC于D，如图所示：
∵小正方形的边长为1，
∴AC==，
=2×2﹣×1×1﹣×2×1﹣×2×1=1.5，
∵S
△ABC
∴S
=×AC×BD=××CD=1.5，
△ABC
解得：CD=．
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形的面积；根据题意得出△ABC的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积是解决问题的关键．
4．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=BD，AC⊥BD，若AB=4，AD=5，则DC的长（）
A．7B．C．D．2
【分析】如图作DH⊥BA交BA的延长线于H．首先证明△ABC≌△DHB，推出DH=AB=4，利用勾股定理求出AH、BD，即可解决问题；
【解答】解：如图作DH⊥BA交BA的延长线于H．
∵AC⊥BD，
∴∠BEC=∠ABC=∠H=90°，
∵∠BDH+∠HBD=90°，∠CAB+∠ABD=90°，
∴∠CAB=∠HDB，
∵AC=BD，
∴△ABC≌△DHB，
∴AB=DH=4，