人教版高中数学《函数》全部教案
第二章函数
第一教时
教材：映射
目的：要求学生了解映射和一一映射的概念，为今后在此基础上对函数概念的理解打下基础。
过程：
一、复习：以前遇到过的有关“对应”的例子
1 看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系。
2 对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A与此相对应。
3 坐标平面内任意一点A都有唯一的有序数对(x, y)和它对应。
4 任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应。
A B
A B
A B
A B
二、提出课题：一种特殊的对应：映射
乘以2
（1）（2）（3）
（4）
引导观察，分析以上三个实例。注意讲清以下几点：
1．先讲清对应法则：然后，根据法则，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有一个（或几个）元素与此相对应。
2．对应的形式：一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④）3．映射的概念（定义）：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。
4．注意映射是有方向性的。
5．符号：f： A B集合A到集合B的映射。
6．讲解：象与原象定义。
再举例：1A={1,2,3,4} B={3,4,5,6,7,8,9} 法则：乘2加1 是映射
2A=N+ B={0,1} 法则：B中的元素x除以2得的余数是映射
3A=Z B=N* 法则：求绝对值不是映射（A中没有象）
4A={0,1,2,4} B={0,1,4,9,64} 法则：f：
a b=(a1)2 是映射
三、一一映射
观察上面的例图（2）得出两个特点：
1对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象（单射） 2集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象（满射）即集合B中的每一个元素都有原象。
f
A B
结论：（见P48）从而得出一一映射的定义。
a
b
c
d
m
n
p
q
例一：A={a,b,c,d} B={m,n,p,q}
它是一一映射
例二：P48
例三：看上面的图例（2）、（3）、（4）及例1、2、4 辨析为什么不是一一映射。
四、练习P49
五、作业P49—50 习题2．1
《教学与测试》P33—34第16课
第二教时
教材：函数概念及复合函数
目的：要求学生从映射的观点去理解函数的概念，明确决定函数的三个要素。
过程：
一、复习：（提问）
1．什么叫从集合到集合上的映射？
2．传统（初中）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？
二、函数概念：
1．重复初中时讲的函数（传统）定义：“定义域”“函数值”“值域”
的定义。
2．从映射的观点定义函数（近代定义）：
1函数实际上就是集合A到集合B的一个映射f：A B这里A, B非空。
2A：定义域，原象的集合
B：值域，象的集合（C）其中C B
f：对应法则xA yB
3函数符号：y=f(x) ——y是x的函数，简记f(x)
3．举例消化、巩固函数概念：见课本 P51—52
一次函数，反比例函数，二次函数
注意：1务必注意语言规范
2二次函数的值域应分a>0, a<0 讨论
4．关于函数值f(a) 例：f(x)=x2+3x+1 则f(2)=22+3×2+1=11注意：1在y=f(x)中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样。
2f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”。
3f(x)与f(a)是不同的，前者为函数，后者为函数值。
三、函数的三要素：对应法则、定义域、值域
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
例一：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？
1．解：不是同一函数，定义域不同
2。解：不是同一函数，定义域不同
3。
解：不是同一函数，值域不同
4．
解：是同一函数
5．解：不是同一函数，定义域、值域都不同
例二： P55 例三（略）
四、关于复合函数
设f(x)=2x3 g(x)=x2+2 则称f[g(x)]（或g[f(x)]）为复合函数。
f[g(x)]=2(x2+2)3=2x2+1
g[f(x)]=(2x3)2+2=4x212x+11
例三：已知：f(x)=x2x+3 求：f() f(x+1)
解：f()=()2+3
f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+3
例四：课本P54 例一
五、小结：从映射观点出发的函数定义，符号f(x)
函数的三要素，复合函数
六、作业：《课课练》P48-50 课时2 函数（一）除“定义域”等内容
第三教时
教材：定义域
目的：要求学生掌握分式函数、根式函数定义域的求法，同时掌握表示法。
过程：
一、复习：
1．函数的定义（近代定义） 2．函数的三要素
今天研究的课题是函数的定义域—自变量x取值的集合（或者说：原象的集合A）叫做函数y=f(x)的定义域。
二、认定：给定函数时要指明函数的定义域。对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合。
例一、（P54例二）求下列函数的定义域：
1．2。
解：要使函数有意义，必须：解：要使函数有意义，必须：
3x+2≥0
即x 2 即x≥
∴函数的定义域是：∴函数的定义域是：
3。
解：要使函数有意义，必须：
∴函数的定义域是：
例二、求下列函数的定义域：
1． 2．
解：要使函数有意义，必须：解：要使函数有意义，必须：
即：
∴函数的定义域为：∴函数的定义域为：
{x
|} { x|
}
3．
解：要使函数有意义，必须：
∴函数的定义域为：
4．
解：要使函数有意义，必须：
∴函数的定义域为：
5。
解：要使函数有意义，必须：
即x<或x>
∴函数的定义域为：
例三、若函数的定义域是一切实数，求实数 a 的取值范围。
解：
例四、若函数的定义域为[1，1]，求函数的定义域。
解：要使函数有意义，必须：
∴函数的定义域为：
例五、设的定义域是[3，]，求函数的定义域。
解：要使函数有意义，必须：得：
∵≥0 ∴
∴函数的定域义为：
三、小结：求（整式、分式、根式）函数定义域的基本法则。
四、P57 习题2、2 1—3 （其中1、3题为复习上节内容）
《课课练》P49-50 有关定义域内容
《精编》P81 5 P82 15、16、17、18
第四教时
教材：函数的表示法，分段函数，区间。
目的：要求学生明确函数的三种表示方法，继而要求学生掌握分段函数的概念和区间的概念。
过程：
一、复习：函数的概念
提出课题：函数的表示法。
常用的函数表示法有三种：解析法、列表法、图象法。
二、解析法：
定义：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式。
它的优点是：关系清楚，容易求函数值、研究性质。
例：加速度公式：（如）
圆面积公式：圆柱表面积：
二次函数（≥2）又例：我们可用“零点法”把绝对值符号打开，即：
=
这一种函数我们把它称为分段函数。
三、列表法：
定义：列出表格来表示两个变量的函数关系。
它的优点是：不必通过计算就能知道函数对应值。
例：初中接触过的平方表，平方根表，立方表，立方根表，三角函数表，汽车、火车站的里程价目表等等。
又如：1984-1994年国民生产总值表。P52
四、图象法
定义：用函数图象表示两个变量之间的关系。
例：平时作的函数图象：二次函数、一次函数、反比例函数图象。
又如：气象台温度的自动记录器，记录的温度随时间变化的曲线（略）人口出生率变化曲线（见P53）略
它的优点是：直观形象地表示出函数变化情况。
注意：函数的图象可以是直线（如：一次函数）、曲线（如：抛物线），也可以是折线及一些孤立的点集（或点）。
例四、例五、例六见P55-56 （略）
（注意强调分段函数概念）
五、区间见课本P53-54
注意：1）这是（关于区间）的定义
2）今后视题目的要求，可用不等式、区间、集合表示（答案）
3）“闭”与“开”在数轴上的表示
4）关于“+∞”“∞”的概念
六、小结：三种表示法及优点练习：P56 练习
七、作业： P57 习题2、2 3，4，5，6
第五教时
教材：函数的解析式；《教学与测试》第17、18课
目的：要求学生学会利用换元法、定义法、待定系数法等方法求函数解析式。过程：
一、复习：函数的三种常用表示方法。
提问：1、已知则：
2、已知f(x)=x21 g(x)=求f[g(x)]
解：f[g(x)]=（）21=x+2
二、提出问题：已知复合函数如何求
例一、（《教学与测试》P37 例一）
1．若,求f(x)。
解法一（换元法）：令t=则x=t21, t≥1代入原式有
∴（x≥1）解法二（定义法）：∴
≥1 ∴f(x)=x21 (x≥1)
2．若求f(x)
解：令则 (t0) 则
∴f(x)= (x0且x1)
例二、已知f(x)=ax+b,且af(x)+b=ax+8 求f(x)
解：（待定系数法）
∵af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b∴
解之或∴f(x)=3x+2或f(x)=3x4
例三、已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x1, 求f(x)的解析式。
解：（待定系数法）设f(x)=kx+b则k(kx+b)+b=4x1
则或
∴或
例四、 (x0) 求
解一：令则∴
∴
解二：令则∴
三、应用题：《教学与测试》思考题
例五、动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A。设x表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数。
D P C
P
A P B
解：如图当P在AB边上运动时, PA=x
当P在BC边上运动时
PA=
当P在CD边上运动时PA=
当P在DA边上运动时PA=4x
∴
四、小结：几种常见方法
五、作业：《教学与测试》P38 4、5、6、7、8
《课课练》P49 3 P50 8
补充：
1．设求f[g(x)]。
解：∴
∴
∴
2．已知 (x>0) 求f(x)
3．已知求f(x)
4．《精编》P31 6、7、8
第六教时
（若时间不够，可将部分内容延至第七教时）
教材：函数图象；《教学与测试》第19课
目的：要求学生根据函数解析式作出它们的图象，并且能根据图象分析函数的性质；同时了解图象的简单变换（平移变换和对称变换）。
过程：
一、复习：函数有哪三种表示方法？
今天主要研究函数的图象。
二、例一、画出下列函数的图象。（《教学与测试》P39）
1
1。 2。
解：解：
1
注意：由于定义域从而导致
函数图象只是若干个孤立点。
0.5
y
o x
3。
注意：先写成分段函数再作图。
解：定义域为且x
强调：定义域十分重要。
三、例二、根据所给定义域，画出函数的图象。
5
1。 2。 3。且x Z
四、关于分段函数的图象
y
例三、已知画出它的图象，并求f(1),f(2)。
解：f(1)=3×122=1
f(2)=1
五、关于函数图象的变换
1．平移变换研究函数y=f(x)与y=f(x+a)+b的图象之间的关系
例四、函数2和的图象分别是由函数的图象经过如何变化得到的。
解： 1）将的图象沿x轴向左平移1个单位再沿y轴向下平移2个单位得2的图象；
2
2）将的图象沿x轴向右平移个单位再沿y轴向上平移1个单位得函数的图象。
小结：1。将函数y=f(x)的图象向左（或向右）平移|k|个单位（k>0向左,k<0向右）得y=f(x+k)图象；
2．将函数y=f(x)的图象向上（或向下）平移|k|个单位（k>0向上,k<0向下）得y=f(x) +k图象。
2、对称变换函数y=f(x)与y=f(x)、y=f(x)及y=f(x)的图象分别关于x 轴、y轴、原点对称
y=f(x)
例五、设 (x>0)作出y=f(x)、y=f(x)及y=f(x)的图象。
横坐标不变，纵坐标纵坐标不变，横坐标横坐标与纵坐标都取
取相反数取相反数原来相反数
图象关于轴对称图象关于轴对称图象关于原点对称
3、翻折变换由函数y=f(x)的图象作出y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象
例六、作出函数y=|x22x1|及y=|x|22|x|1的图象。
解：分析1：当x22x1≥0时，y=x22x1
当x22x1<0时，y=(x22x1)
2
1
1
2
步骤：1.作出函数y=x22x1的图象
2．将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|x22x1|的图象。
分析2：当x≥0时y=x22x1
当x<0时y=x2+2x1 即y=(x)22(x)1
3
2
1
1
2
3
步骤：1）作出y=x22x1的图象；
2）y轴右方部分不变，再将右方部分以y轴为对称轴向左翻折，即得y=|x|22|x|1的图象。
小结：将y=f(x)的图象，x轴上方部分不变，下方部分以x轴为对称轴向上翻折即得y=|f(x)|的图象；
将y=f(x)的图象，y轴右方部分不变，以y轴为对称轴将右方部分向左翻折即得y=f(|x|)的图象。
六、作业：
《教学与测试》 P40 7、8
《课课练》 P53 3 P54 9
《精编》 P83 24、25、26
（第26题应作启发：）第七教时
教材：续函数图象
目的：完成第六教时可能没有完成的教学任务，然后进行综合练习。
过程：
例一、
O
某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程。在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该生走法的是哪一种。（《教学与测试》备用题1）
(A) (B) (C)
(D)
解： A、C图中t=0时d=0即该生一出家门便进家门（与学校距离为0）应排除，B、D中因该生一开始就跑步与学校距离迅速减小。故应选D。
例二、
1
设M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2} 给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系有几个？
(A) (B) (C)
(D)
解：(A)中定义域为[0,1] (C)中值域[0,3]N (D)中x的值(如x=1)有两个y值与之对应，不是函数∴只有(B)正确。
例三、讨论函数的图象与的图象的关系。（《精编》P79）
解：
可由的图象向左平移两个单位得的图象，再向上平移三个
单位得的图象。
例四、如图为y=f(x)的图象，求作y= f(x)，y=f(x)，y=|f(x)|，y=f(|x|)的图象。
O
作业：作出下列函数的图象：
1. 2.
3. 4.
第八教时
教材：函数的值域
目的：要求学生掌握利用二次函数、观察法、换元法、判别式法求函数的值域。过程：
一、复习函数的近代定义、定义域的概念及其求法。
提出课题：函数的值域
二、新授：
1．直接法（观察法）：
例一、求下列函数的值域：1 2
解：1 ∵∴
即函数的值域是 { y| y R且y1}
（此法亦称部分分式法）
2
∵∴
即函数y =的值域是 { y| y≥5} 2．二次函数法：
例二、1若为实数，求y=x2+2x+3的值域
解：由题设x≥0 y=x2+2x+3=(x+1)2+2
当x=0 时y min=3 函数无最大值
∴函数y=x2+2x+3的值域是{ y| y≥3}
2求函数的值域
解：由 4xx2≥0 得 0≤x≤4
在此区间内 (4xx2)ma x=4 (4xx2)min=0
∴函数的值域是{ y| 0≤y≤2}
3．判别式法（△法）
例三、求函数的值域
解一：去分母得 (y1)x2+(y+5)x6y6=0 (*)
当y1时∵x R ∴△=(y+5)2+4(y1)×6(y+1)≥0
由此得 (5y+1)2≥0
检验时（代入(*)求根）
∵2定义域 { x| x2且x3} ∴
再检验y=1 代入(*)求得x=2 ∴y1
综上所述，函数的值域为 { y| y1且y}
解二：把已知函数化为函数
(x2) 由此可得y1
∵x=2时即
∴函数的值域为 { y| y1且y} 4．换元法
例四、求函数的值域
解：设则t≥0 x=1t2
代入得y=f (t )=2×(1t2)+4t=2t2+4t+2=2(t1)2+4
∵t≥0 ∴y≤4
三、小结：
1．直接法：应注意基本初等函数的值域
2．二次函数法：应特别当心“定义域”
3．△法：须检验
4．换元法：注意“新元”的取值范围
四、练习与作业：
《课课练》 P51—54中有关值域部分
《教学与测试》 P41—42中有关值域部分
第九教时
教材：函数的单调性
目的：要求学生掌握函数单调性的定义，并掌握判断一些函数单调性的方法。能利用单调性进一步研究函数。
O
过程：
一、
y=x2
复习函数的图象作y=x2 y=x3 y=x3
y=x3
y=x3
二、引导观察：从而得出函数单调性的直观概念。
1、观察讲解时注意：1。“在区间上”
2。“随着x的…”“相应的y值…”3。“我们说函数…在…上是增（减）函数”
2、上升到理性，得出定义：（见P58）
注意强调：1。属于定义域I内某个区间上
2。任意两个自变量x1,x2且x1 3。都有f(x1) 4。可用P58的示意图 3、讲解“单调区间”概念。同时解释一下“严格”单调的意义。 三、例题：例一图象法见P59例一（略） 例二定义法见P59例二（略） 例三定义法见P59-60 例三（略） 注意：课本中的两个“想一想”同时强调观察—猜想—讨论的方法。 例四、讨论函数的单调性。 解：定义域 {x|1≤x≤1} 在[1,1]上任取x1,x2且x1 则 则= = ∵∴另外，恒有 ∴若1≤x1 < 若x1 > ∴在[1，0]上f(x)为增函数，在[0，1]上为减函数。 四、小结：1.有关单调性的定义； 2.关于单调区间的概念； 3.判断函数单调性的常用方法：定义法 图象观察—猜想—推理论证 五、作业（练习） P60 练习 P64-65 习题2.3 4、5、6 练习中 1 口答其中1、2、3 口答 第十教时 教材：函数的奇偶性 目的：要求学生掌握函数奇偶性的定义，并掌握判断函数奇偶性的基本方法。 过程： 一、复习函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。 二、提出课题：函数的第二个性质――奇偶性 1．依然观察 y=x2与 y=x3 的图象――从对称的角度 ．观察结果： y=x2的图象关于轴对称 y=x3的图象关于原点对称 3．继而，更深入分析这两种对称的特点： ①当自变量取一对相反数时，y取同一值． f(x)=y=x2 f(1)=f(1)=1 即 f(x)=f(x) 再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x2的图象上，则该点关于y轴的对称点(x,y) 也在函数y=x2的图象上． ②当自变量取一对相反数时，y亦取相反数． f(x)=y=x3 f(1)=f(1)=1 即 f(x)=f(x) 再抽象出来：如果点 (x,y) 在函数y=x3的图象上，则该点关于原点的对称点(x,y) 也在函数y=x3的图象上． 4．得出奇（偶）函数的定义（见P61 略） 注意强调：①定义本身蕴涵着：