三角函数化一公式例题解析

三角函数化一公式解析

一、化一公式

三角函数化一公式是指如下的三角函数公式：

)cos()sin(cos sin 2222θ?-+=++=+x b a x b a x b x a ，

其中

22sin cos b a a

=θ?，2

2cos sin b a b

=θ?，

θ?、

完美地融入直角梯形中。

如果0=ab ，则公式显然成立。不妨假设0≠ab ，则

{

[]),

sin( cos sin sin cos cos sin cos sin 2222222

222???++=++=?

?????++++=+x b a x x b a x b a b

x b a a b a x b x a

同理可得

)cos(cos sin 22θ-+=+x b a x b x a 。

二、公式的应用

化一公式把含有两个三角函数x sin 、x cos 的线性问题转化成了只含一个三角函数式的问题，从而方便了利用三角函数的有关性质解决最值、单调区间、图象对称轴、对称中心、三角方程、三角不等式、图象变换等方面的有关问题。这些问题均是三角函数的基本问题，但学生往往难以掌握。下面举例说明化一公式的应用及其注意事项。

1、三角函数最值问题例1、求函数

R x x x x x f ∈+=),cos (sin sin 2)(

的最大值。

解析：142sin 212cos 2sin cos sin 2sin 2)cos (sin sin 22+???

?-=+-=+=+πx x x x x x x x x 。

…

于是，函数的最大值是12+。

例2、求函数

R x x x x f ∈??? ?

++??? ??+=,94sin 59sin 3)(ππ

的最大值和最小值。解析：

)

sin(7 )sin(94sin 59sin 394cos 59cos 3 cos 94sin 59sin 3sin 94cos 59cos 394sin 59sin 32

2??ππππππππππ+=+??? ??++??? ?

+=??? ??

++??? ??+=??? ??++??? ??+x x x

x x x

因此，该函数的最大值和最小值分别是7、-7。

例3、已知函数

R x x a x x f ∈++=,4cos sin 2)(

的小值为1，求参数a 的值。

解析：

R x x a x f ∈+++=,4)sin(4)(?，2

tan a

?。因函数的最小值是1，即144=+-a 。因此5=a 。

2、三角函数的单调区间例4、求函数

()ππ2,2,2

cos 2sin )(-∈+=x x

x x f

的单调递增区间。

解析：用化一公式将函数简化为

? ??+=+42sin 22cos 2sin

πx x x 。》

注意到函数的定义域，从而??

??-

∈+45,4342πππx 。利用正弦函数的单调性立即可知函数f 的单调递增区间为???

?-2,2ππ。

例5、求函数

],0[,cos cos sin 32sin )(44π∈-+=x x x x x x f

的单调区间。

解析：因为

??? ?

-=-=-+=-+62sin 22cos 2sin 3cos sin 2sin 3cos cos sin 32sin 2244πx x x x x x x x x x 。

利用正弦函数的单调性，立即得到函数f 的单调递增区间为????????????πππ2,653,0 ，单调递减区间

为??

????65,3ππ。

3、三角函数的最小正周期

周期现象是一种普遍而重要的自然现象，对于描述周期现象的有力工具之一——三角函数，其最小正周期实际问题中扮演着一个重要角色，例如Fourier 级数。因此，如何寻求三角函数的最小正周期无疑是一个十分重要的课题。而化一公式无疑又是解决这个问题的一把钥匙。

对于例1中的函数，利用化一公式，我们立即可知该函数的最小正周期为π。类似地，对于另一高考题：求函数x x s y cos sin 32cos -=的最小正周期，也可获知其最小正周期为π )

4、三角函数图象的对称轴、对称中心及相关问题

例6、若函数

R x x a x x f ∈+=,2cos 2sin )(

的图像关于直线8

π-

=x 对称，则参数a

的值为多少

解析：利用化一公式，有

a x a x a x =++=+??tan ),2sin(12cos 2sin 2。

根据题意

43,182ππ?π+=+=??

? ??-k a f 。进而，1-=a 。对于这个函数，如果图像关于点??

??-0,6π对称，用同样的方法可知3=a 。

例7、已知函数

。

R x x x x x f ∈++=,1cos sin 2

3cos 21)(2。

该函数图象可由R x x y ∈=,sin 的图像经过怎样的平移和伸缩变化得到

解析：首先利用化一公式可得

R x x x f ∈+??? ??+=,4

62sin 21)(π。

进而，该问题就可迎刃而解。

5、解三角方程和三角不等式例8.求三角方程01cos 3sin =--x x

利用化一公式和正弦函数的性质，立即可知其解集为

?????∈+=+=Z k k x k x x ,62 22π

πππ或。

例9.解三角不等式1cos 3cos sin 2sin 22≤+-x x x x

同样地，利用化一公式和正弦函数的单调性立即可知解集为

?????∈-≤≤-Z k k x k x ,42π

πππ。

求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)

求锐角三角函数值的几种常用方法一、定义法当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值．例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题．例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是．对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．

4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长．三、等角代换法当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决．例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为．对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（）A ．2 3

高三数学三角函数经典练习题及复习资料精析

1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度，所得的部分图象如右图所示，则?的值为（） A ．6 π B ．3 π C ．12 π D ．23 π 2．已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6 π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3 π 个长度单位 3．若113sin cos αα +=sin cos αα=（） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-1 4．2014cos()3 π的值为（） A ．12 B ． 3 2 C ．12- D ．32 - 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -．2 1k - C 2 1k -．2 1k k -- 6．若sin a = -45 ，a 是第三象限的角，则sin()4 a π +=（）（A ）-7210 （B ） 7210 （C ）2 - 10 （D ） 210

7 ．若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα，且)2 ,4(ππα∈，则α2tan 的值为（） A ．3 4- B ．4 3- C ．4 3 D ．3 4 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C ．)(x f 的最大值为2 D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数2（ωφ），φ＜2 π的图象，那么 A.ω=11 10，φ=6 π B.ω=10 11，φ6π C.ω=2，φ=6 π D.ω =2，φ6 π 10．要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（） A ．向左平移3 π个单位 B ．向右平移3 π 个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12 π个单位 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象

《三角函数的诱导公式》(学案)

三角函数的诱导公式(第1课时)（学案）一.教学目标 1．知识与技能（1）能够借助三角函数的定义推导三角函数的诱导公式。（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。 2．过程与方法（1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。（2）通过对诱导公式的探求和运用，提高学生分析问题和解决问题的能力。 3．情感、态度、价值观（1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。（2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。二.教学重点与难点教学重点:探求π－α的诱导公式。π＋α与－α的诱导公式在小结π－α的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出。教学难点:π＋α，－α与角α终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。三.教学方法与教学手段问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件四.教学过程角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？（一）情境创设及问题提出如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数求值问题。【情境创设】摩天轮旋转一周（比如如图30°角的位置）后又会回到原位，你能否从数学角度或者用数学学语言来刻画一下什么是 “回到原位”？摩天轮旋转一周后，发生变化和没有变化的量分别是什么？它们之间有何关系？从中你能得到什么结论？一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值__________，三角函数看重的就是终边位置关系。即有：（二）尝试推导如何利用对称推导出角π-α与角α的三角函数之间的关系。【问题2】你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？角与角α的终边关于y轴对称,有:

初三锐角三角函数知识点与典型例题

锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义：一、锐角三角函数定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数【特别提醒：1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围】例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．第1题图 ①斜边)(sin = A ＝______，斜边)(sin = B ＝______； ②斜边 ) (cos =A ＝______，斜边 ) (cos =B ＝______； ③的邻边A A ∠= ) (tan ＝______， ) (tan 的对边 B B ∠= ＝______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．典型例题：类型一：直角三角形求值

1．已知Rt △ABC 中，,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值对应训练：（西城北）3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 55 B ．255 C ．12 D ．2 (房山)5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．

三角函数综合应用解题方法总结(超级经典)

精锐教育学科教师辅导教案

例3：求函数y=f(x)=cos 2 2x-3cos2x+1的最值. 解 ∵f(x)=(cos2x- 23)2-4 5, ∴当cos2x=1,即x= k π,(k ∈Z)时，y=min=-1, 当cos2x=-1,即x= k π+ 2 π ,( k ∈Z)时，y=max=5. 这里将函数f(x)看成关于cos2x 的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了. 4.引入辅助角法 y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角?，化为y=22b a +sin （x+?）,利用函数()1sin ≤+?x 即可求解。Y=asin 2 x+bsinxcosx+mcos 2 x+n 型亦可以化为此类。例4：已知函数()R x x x x y ∈+?+= 1cos sin 2 3cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。 [分析] 此类问题为x c x x b x a y 2 2 cos cos sin sin +?+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为 x b x a y cos sin +=型求解。解： ().4 7,6,2262,4562sin 21452sin 23 2cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+??? ??+=+???? ??+=++=+?++?=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ 5. 利用数形结合例5：求函数y x x = +s in c o s 2的最值。解：原函数可变形为y x x = ---s i n c o s () .0 2 这可看作点Ax xB (c o s s i n )() ，和，-20的直线的斜率，而A 是单位圆x y 2 2 1+=上的动点。由下图可知，过B ()-20，作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质，y y m a x m i n .= =-333 3 ， 6、换元法例6：若0

三角函数诱导公式学案(一)

1.2.三角函数诱导公式学案（一）预习案（限时20分钟）学习目标：（1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式；（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题学习重点：用联系的观点发现并证明诱导公式,体会把未知问题化归为已知问题的思想方法学习难点：如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法．预习指导：请根据任务提纲认真预习课本P23-25 ? 任务一：探究三角函数诱导公式（二）（三）（四）思考：（1）各象限内三角函数值的符号是什么？（只讨论正弦、余弦、正切）（2）任意角的三角函数的定义是什么？（3）公式一的内容与作用是什么？探究一：任意角α与(π＋α)三角函数值的关系. ①α与 (π＋α)角的终边关系如何？ ②设α与(π＋α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2，则点P 1与P 2位置关系如何？ ③设点P 1(x ，y )，那么点P 2的坐标怎样表示？ ④sin α与sin(π＋α)，cos α与cos(π＋α)，tan α与tan(π＋α)的关系如何？利用三角函数定义，自己探索，归纳成公式（二） _______)tan(_______)cos(_______)sin(=+=+=+απαπαπ 探究二：任意角α与(-α)三角函数值的关系. ①α与(－α)角的终边位置关系如何？ ②设α与(－α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2点P 1与P 2位置关系如何？ ③设点P 1(x ，y )，则点P'的坐标怎样表示？ ④sin α与sin(－α)，cos α与cos(－α) ，tan α与tan(－α)关系如何？利用三角函数定义，经过探索，归纳成公式（三） _______)tan(_______)cos(_______)sin(=-=-=-ααα 探究三：α与(π－α)的三角函数值的关系． ①α与(π－α)角的终边位置关系如何？ ②设α与(π－α)角的终边分别交单位圆于点P 1，P 2点P 1与P 2位置关系如何？ ③设点P 1(x ，y )，则点P'的坐标怎样表示？ ④sin α与sin(π－α)，cos α与cos(π－α) ，tan α与tan(π－α)关系如何？经过探索，归纳成公式（四） _______)tan(_______)cos( _______)sin(=-=-=-απαπαπ 预习检测 1.cos 225?=_________ 2.)45sin(ο-=_________ 3.)150tan(ο =________ _______)180tan()cos()180sin(.4=--?+οοααα 5.若,31)tan(=+απ则=αtan __________________

人教中考数学锐角三角函数-经典压轴题附详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】553 【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°

在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米），在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再