2009年全国高考理科数学试题及答案-全国1(河北.河南.山西.广西使用)

2009年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式

()()()P A B P A P B +=+

24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径

()()()P A B P A P B ?=?

球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 3

4π3

V R =

n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率

其中R 表示球的半径

一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A U B ，则集合[()u A B I

中的

元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B =U ，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴=I I 故选A 。也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =I U

（2）已知

1i

Z

＋=2+i,则复数z=（B ） （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+?+=+∴=- 故选B 。

(3) 不等式

1

1

X X +-＜1的解集为（ D ）（A ）｛x }

{}011x x x ???U (B){}01x x ??（C ）{}10x x -?? (D){

}0x x ? 解：验x=-1即可。(4)设双曲线22221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2

+1相切，则该双曲线的离心

率等于( C )（A

（B ）2 （C

（D

解：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'

0|2x x y

x ==.由题意有

00

2y x x =又2001y x =+ 解得

: 2

01,2,b x e a =∴

===(5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种

解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有112

536225C C C ??=种选法

(2) 乙组中选出一名女生有211

562120C C C ??=种选法.故共有345种选法.选D

（6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则

()()a c b c -?-的最小值为 ( D )

（A ）2- （B

2 （C ）1-

(D)1解:,,a b c r r r

Q 是单位向量()()

2()a c b c a b a b c c ∴-?-=?-+?+r r r r u u r r u u r r r r

1||||1,1a b c a b c =-+?=-<+>≥-r r r r r r

D.（7）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面

ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值

为（ D ）（A ）

34 （B ）54 （C ）74 (D) 34

解：设BC 的中点为D ，连结1A D ，AD ，易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角,由三角余弦定理，易知113

co c s 4

os cos AD AD A AD DAB A A AB θ=∠∠?=

?=.故选D （8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??

???

，0中心对称，那么||?的最小值为（A ）

6π （B ）4π （C ）3π (D) 2

π

解: Q 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??

???

，0中心对称 4232k ππφπ∴?

+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6

π

φ=.故选A (9) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( B )(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点00(,)P x y ，则0

000ln 1,()y x a y x =+=+,又0'01

|1x x y x a

==

=+Q

00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案选B （10）已知二面角l αβ--为60

o

，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为3，

Q 到α的距离为23，则P 、Q 两点之间距离的最小值为（ C ）

(A) (B)2 (C) 23 (D)4 解:如图分别作,,,QA A AC l C PB B αβ⊥⊥⊥于于于

PD l D ⊥于，连,60,CQ BD ACQ PBD ∠=∠=?则 23,3AQ BP ==，2AC PD ∴==

又2221223PQ AQ AP AP =

+=+≥Q

当且仅当0AP =，即A P 点与点重合时取最小值。故答案选C 。

（11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( D )

(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数

解: Q (1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，

∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期

函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数。故选D

12.已知椭圆2

2:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r

=( A )

解:过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =u u u r u u u r

,

故2

||3

BM =

.又由椭圆的第二定义,得2||3BF =

=||AF ∴=故选A 第II 卷

二、填空题：

13. ()10

x y -的展开式中，7

3

x y 的系数与3

7

x y 的系数之和等于 。

解: 373

101010()2240C C C -+-=-=-

14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 。 解: {}n a Q 是等差数列,由972S =,得599,S a ∴=58a =

∴2492945645()()324a a a a a a a a a a ++=++=++==.

15. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,

120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 。

解:在ABC ?中2AB AC ==,120BAC ∠=?,

可得BC =由正弦定理,可得ABC

?外接圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '?中，

易得球半径R =

故此球的表面积为2

420R ππ=.

16. 若

4

2

x π

π

<<

，则函数3

tan 2tan y x x =的最大值为 。

解:令tan ,x t =14

2

x t π

π

<<

∴>Q

,

443

22

24

222tan 2222

tan 2tan 81111111tan 1()244

x t y x x x t t t t ∴=====≤=-------

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．

） 在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知2

2

2a c b -=，且

sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b

分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)2

2

2a c b -=,左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在

已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.

解法一：在ABC ?中sin cos 3cos sin ,A C A C =Q 则由正弦定理及余弦定理

有:222222

3,22a b c b c a a c ab bc

+-+-?

=?化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.

解法二:

由余弦定理得:

2222cos a c b bc A -=-.

又 2

2

2a c b -=,0b ≠。

所以 2cos 2b c A =+…………………………………① 又 sin cos 3cos sin A C A C =，

sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=

sin()4cos sin A C A C +=，

即sin 4cos sin B A C =

由正弦定理得sin sin b

B C c

=

， 故 4cos b c A =………………………② 由①，②解得4b =。

评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提

高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。 18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．

如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面

ABCD ，2AD =,2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，

ABM ∠=60°

（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 解法一： （I ）

作ME ∥CD 交SD 于点E ，则ME ∥AB ，ME ⊥平面SAD 连接AE ，则四边形ABME 为直角梯形 作MF AB ⊥，垂足为F ，则AFME 为矩形 设ME x =，则SE x =，222(2)2AE ED AD x =

+=-+

2(2)2,2MF AE x FB x ==-+=-

由2

tan 60,(2)23(2)MF FB x x =?-+=-。

得 解得1x =

即1ME =，从而1

2

ME DC =

所以M 为侧棱SC 的中点 （Ⅱ）222MB BC MC =

+=，又60,2ABM AB ∠==o ,所以ABM ?为等边三角形，

又由（Ⅰ）知M 为SC 中点

2,6,2SM SA AM ===，故222,90SA SM AM SMA =+∠=o

取AM 中点G ，连结BG ，取SA 中点H ，连结GH ，则,BG AM GH AM ⊥⊥,由此知BGH ∠为二面角S AM B --的平面角

连接BH ，在BGH ?中，

22312223,,2222

BG AM GH SM BH AB AH =

====+= 所以2226

cos 23

BG GH BH BGH BG GH +-∠==-??

二面角S AM B --的大小为6

arccos()- 解法二:

以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz 设(2,0,0)A ，则(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)B C S （Ⅰ）设(0)SM MC λλ=?,则

2222

(0,

,),(2,,)1111M MB λλλλλ

-=++++ 又(0,2,0),,60AB MB AB =-o

故||||cos 60MB AB MB AB ?=?o

即

222

422(2)()()111λλλ

-=+++++ 解得1λ=，即SM MC = 所以M 为侧棱SC 的中点 （II ）

由(0,1,1),(2,0,0)M A ，得AM 的中点211

(

,,)222

G 又231

(

,,),(0,1,1),(2,1,1)222

GB MS AM =-=-=- 0,0GB AM MS AM ?=?=

所以,GB AM MS AM ⊥⊥

因此,GB MS 等于二面角S AM B --的平面角

cos ,3||||

GB MS GB MS GB MS ?=

=-?

所以二面角S AM B --的大小为arccos(3

-

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。

19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（I ）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（II ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ得分布列及数学期望。 分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。

需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。

另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。

解：记i A 表示事件：第i 局甲获胜，i=3,4,5

j B 表示事件：第j 局乙获胜，j=3,4

（Ⅰ）记B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利

因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而

34345345B A A B A A A B A =?+??+??

由于各局比赛结果相互独立，故

34345345()()()()P B P A A P B A A P A B A =?+??+??

=34345345()()()()()()()()P A P A P B P A P A P A P B P A ++ =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6 =0.648

（II ）ξ的可能取值为2，3 由于各局比赛结果相互独立，所以

3434(2)()P P A A B B ξ==?+?

=3434()()P A A P B B ?+? =3434()()()()P A P A P B P B ?+? =0.6×0.6+0.4×0.4 =0.52

(3)1(2)P P ξξ==-==1.0.52=0.48

ξ的分布列为

2(2)3(3)E P P ξξξ=?=+?=

=2×0.52+3×0.48 =2.48

20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．

在数列{}n a 中，111

1

1,(1)2

n n n n a a a n ++==++ （I ）设n

n a b n

=

，求数列{}n b 的通项公式 （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 解：（I ）由已知得111b a ==，且

11

12

n n n a a n n +=++