第10章结构动力学
FBFr
第十章
10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b)
EI 1=∞
EI
m
y
?
分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c)
(d)
在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。
10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。
解：1）刚度法
该体系仅有一个自由度。
可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其
端部集度为..
ml a 。
取A 点隔离体，A 结点力矩为： (3)
121233
I M ml a l l mal =???=
由动力荷载引起的力矩为：
()()2121
233
t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21
33
la k l c al ?
?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得：
(
)3 (322)
1393
t q l ka m al l c al ++=
整理得：()
.
..
33t q ka c a m a l l l
++= 2）力法
.
c
α
解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚
功方程为：() (20111)
0333
l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=?
则同样有：()
.
..
33t q ka c a m a
l l l
+
+=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B
处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。
解：
取DF 隔离体，
0F
M
=∑：
..
2220.2
3
22324
a
R a mx dx ka R ma ka αα
αα
?=+?=+?
取AE 隔离体：
0A
M
=∑
..
.
32220
430a
k mx dx ca ka Ra θαααα++++=?
将R 代入，整理得：
..
3
2
251504
R ma ka k θα
αα=+
+= 10-10 试建立图示各体系的运动方程。 (a)
解：（1）以支座B 处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。
(t )
..α
（2）画出p M 和1M 图（在B 点处作用一附加约束）
()324
t l M α-()
t p
M
3EI l
1
M
（3）列出刚度法方程
113EI
k l
=，()..3124p
t m R l M α=-，1110p k R α+= 代入1p R 、11k 的值，整理得：()..43
2472t M EI
m l l αα+=
(b) 解：
11
=
21P =2
l
l
l 2
m (t )
l 2
l
2
FBFr
1M 图 2M 图
试用柔度法解题
此体系自由度为1 。设质量集中处的竖向位移y 为坐标。 y 是由动力荷载()p t F 和惯性力矩I M 共同引起的。
11112()p t y M F δα=+
由图乘法：
3
21112233l l l EI EI
δ=?=，312/252622248l l l l l l EI EI δ??=??+?=
??? 惯性力矩为..
m y l -，()33..5348p t l l y m yl F EI EI
??=?-+ ???
经整理得，体系运动方程为：()..
335
16p t EI m y y F l
+=。
10-11 试求图示各结构的自振频率，忽略杆件自身的质量。 (a)
解：
2
1M 图
图乘得：3
1111225222223236a a a f a a a a EI EI
??=??
???+???
=
??? ω=
=(b)
解：此体系为静定结构，内力容易求得。
在集中质量处施加垂直力P ，使质量发生竖向单位位移，可得弹簧处位移为23
。 由此根据弯矩平衡可求得4
9
P k =
。 ω=
= (c)
解：可以将两个简支梁视为两个并联的弹簧。
上简支梁柔度系数为()
3
32486l l EI EI =
下简支梁柔度系数为3
96l EI
于是两者并联的柔度系数为33
16
96102l EI EI EI l
δ==+并，ω==
(d)
解：在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加单位水平位移后画得弯矩
图如下。
水平支杆中力为
33013EI
l ，即11
3
30
13EI
k l =。，ω=
l 2 l 2 l
2
l 2
2a
a
a
(e)忽略水平位移
解：
1M 图
22
112455272213362a a a f a EA EA EA ????
=??+??+?=
? ?????
ω=
= (f)
解：
332
332
1M 图 2M 图 M 图
3
1312331323162130.0149743223323221933219364l l l l l l l l EI EI
δ??=???+????+??=
??? ω= 10-15 设已测得某单自由度结构在振动10周后振幅由1.188mm 减小至0.060mm ，试求该结构的阻尼比ξ。解：0475.006
.0188.1ln 201ln 21==≈
+ππξ
n k k y y n 10-16 设有阻尼比ξ＝0.2的单自由度结构受简谐荷载F P (t )= F t θsin 作用，且有ωθ75.0=。
若阻尼比降低至ξ＝0.02，试问要使动位移幅值不变，简谐荷载的幅值应调整到多大？
解：
2
2
22222411ωθξωθω+???
? ??-?=
m F A 已知ξ从0.2降低至0.02.
ωθ75.0=，t F F θsin 1=，A 不变。
122222
2
1
827.016902.041691169
2.041691F F F F =??
?+??
? ??-?
?+??
? ??-=
F 简谐荷载的幅值应调整到0.827F 。
10-19 试求图示梁在简谐荷载作用下作无阻尼强迫振动时质量处以及动力荷载作用点的动位
l
2
l 2
4a
4a 3a
FBFr
移幅值，并绘制最大动力弯矩图。设36ml EI =θ。
(a)
解：由力法可知，单位荷载作用在B 点引起3
3l EI
位移。
ω=
=
θ=()3222
1sin sin 31t F Fl y t t EI m θθθωω=
?=--
即幅值为3
3Fl EI
当幅值最大时，弯矩也最大。
Fl
max M 图
(b)
解：
1M 图 2M 图
（1）求结构运动方程
如所示弯矩图，图乘后，333
112212215,,24348l l l f f f f EI EI EI
====
()..
11121112..3
sin sin 245sin 2I t C y f F f F t f m y f F t
EI F y y t
m ml θθθ??
=+=-+ ???
+=
其中2*3
245,2EI P F ml ω==，稳态解：()*
2
22
3
3
1
sin 1512 =sin 12414
5 =sin 36t C
P y t
m Fl
t EI Fl t
EI
θωθω
θθ=?-?- 所示结构的运动方程为()35=sin 36t C Fl y t EI θ，C 点最大动位移幅值为
3
536Fl EI
（2）求B 点的动位移反应
()()..
21222122sin sin I t B
t B y f F f P t f m y f P t θθ??
=+=-+ ???
()*
2
2
2
1
sin 1t B
P y t m θωθω
=?-，()*
..
2
2
22
1
sin 1t
B
P y t m θθωθω
=-?
-
2l
2
l t θ
sin t θ sin l
()()3
2*212222232322
2322222
3
5=sin 361sin 1551 =sin 48231251 =1sin 33217132 =
3t C t B Fl y t
EI y f P Pf t
l l
P P t EI EI Pl t EI Pl EI θθθωθωθθωθωθθωθωθ???
?
?? ?
?? ?=??+?? ?
- ??????
?
??
?????+????-?????? ? ???+ ?- ?
??-22233
sin 11214 =sin 31283121 =sin 288t Pl t
EI Pl t
EI
ωθθωθθ??
? ? ?
- ?
?
???
B 点的动位移幅值为3
121288Pl EI
（3）绘制最大动力弯矩图
22
1M 图 2M 图 ()33max 2212135122812883696A Pl EI Pl EI M Pl EI EI l l =?+?= ()
3max 21213121288192
2C Pl EI M Pl EI l =?=
121
192Pl 281
96
Pl
最大动力弯矩图
10-20 试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k 。
解：
α
若()t q 为静力荷载，弹簧中反力为
ql 8
9
。 已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B 点处顺时针方向转角α为坐标。建立动力方程：
?=?+?+l xdx q l l k l m l l m l 230..
..
2
332322αααα
ααα
q k m l q l k l m 8
9
89..22
22
..
=+?=+αααααα
2
211
ω
θμ-=
则弹簧支座的最大动反力为
l 8
9112
2
?-
ωθ。
2
l 2
l l
FBFr
10-21 设图a 所示排架在横梁处受图b 所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI =6×106N ·m 2，t 1＝0.1s ，F P0＝8×104N 。 (a)
解：求排架自振频率，横梁无限刚性，则各排架水平侧移相同。 可将排架柱视为三个并联的弹簧。 边柱刚度柔数331
3h EI k k =
= 中柱326h EI k =，3
12h EI
k =并 s rad N
m m N m k /645.01080006106122332
6=?????==ω
s T 73.92==
ω
π
，
3
.971
73.91.01=
=T t 数值很小 所以认为当()t P F 作用结束时，结构位移很小，弹性力忽略不计，于是根据动量守恒原理可得：
s
m v v Ft v m t t t /1051
.010821
108213141511-?=????=??=?
再根据势能守恒得：
()
m
y y ky mv st st
t 0077.0103
12110510821
2121262
352max 21=????=?????=- N k y F st Q 128310610077.06=??=?=中中，N F F Q 中Q 边6422
1
==
10-22 设图a 所示排架横梁为无限刚性，并有图b 所示水平短时动力荷载作用，试求横梁的动位移。
(a) 解：在三角形冲击荷载作用下单自由度体系的质点位移反应可分两个阶段考虑。 第一阶段（10t t
≤≤）
： ()()()()???
??
???????-??? ??=?
???
??-??? ?????
? ??=?
??
?????? ??-=???
??????
??-=
-=-=??1111112
0100022sin 2sin 21
sin 1 sin 1 sin sin 1t t t T t T y t t T t t T y t t t y t t t m F dZ
Z t t Z m F dZ Z t F m y s s s P t P t
Z P t ππππ
ωωω
ωωωωωω
求T 的过程。
2
6EI h 2
6h 2
h
1M 图
3
1124h
EI
k =，311
24mh EI m k ==
ω，EI
mh T 24223
π
ωπ
==
第二阶段（1t t >）
因为不受外力作用，所以横梁以1t 时刻的位移和速度为初始值做自由振动。
(b)
10-23 设题10-22图a 所示刚架m ＝4000kg ，h ＝4m ，刚架作水平自由振动时因阻尼引起振幅的对数递减率γ＝0.10。若要求振幅在10秒内衰减到最大振幅的5％，试求刚架柱子的弯曲刚度EI 至少为何值。
解：（1）求周期数。
301
.005
.0ln 05.000=-=
?=-n e y y n Y （2）求k ：k
m n t n
π
2= ()()m N t m n k n
/10223.142110100.43014159.32232
3
2
2
2?=????==?π
两柱并联
2631079.312
2m N EI k h
EI ??=?=?
10-24 设某单自由度体系在简谐荷载F P (t )= F t θsin 作用下作有阻尼强迫振动，试问简谐荷载频率θ分别为何值时，体系的位移响应、速度响应和加速度响应达到最大？
解：在简谐荷载F P (t )= F t θsin 作用下，稳态位移响应可表示为()
()αθ-=t A y t sin
其中：?
????
?
?
????
??
??
??
??-==+???? ??-?=-22122
2222212tan 411ωθωθξαμωθξωθωst y m F A
（1）使动位移最大，即使μ最大，从而得出22
22
2241ωθξωθ+???? ??-最小。 设()22
22
2241ωθξωθθ+???? ??-=f ，()222
2222414ωθξωθωθθ+???
? ??--='f 使()0='θ
f ，则221ξωθ-= （2）())cos(αθθ-='t A y t 设()222
22
22
221
411
41ωξ
ωθθωθξωθθ
θ+??
? ??-=
+???
? ??-=
g
如果使速度响应最大，则()θg 最大，设()222
1141ωξωθθθ+??
?
??-=g ，显然要求
()θ1g 最小。使：()011
12221
=??? ??--??? ??-='ωθ
ωθθθg 得ωθ=。 （3）())sin(2
αθθ--=''t A y t
F P (t )
t
F P0
t 1
O
FBFr
()2
222
2222
22
222
411
1
41θωξωθ
ωθξωθθθ+??? ??-=
+???
? ??-=
h
令()2222
221411
θωξωθ
θ+??? ??-=h 显然要求()θ1h 最小。
则()0211
2
2
2
1
=--
='ω
ξθ
θh 解的：2
21ξ
ω
θ-=
10-26 试用柔度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。 (a) 解：
2
l
2l
1M 图 2M 图
（1）EI
l f l l l l l l EIf 42322222123222123
1111=
??????+?????=
EI
l f l l l l l l EIf 1252223222123
2222
=
???+?????=，
02112==f f
（2）振型方程
???
????=???? ??-?+?=?+???
?
??-01212500014223
12123A m EI l A A A m EI l ωω 令2
312ωλ
ml EI
=
，频率方程为：0-10 00 3=-=λ
λD ()()3
32331212312 095.110123
,100103ml EI
ml EI ml EI ml EI ==
==?==?=-
-?ωωλλλλ
（3）振型图如下
第二振型
(b)
解：
体系具有两个自由度。先求柔度系数，做出单位弯矩图，由图乘法可得：
()
EI l l l l l l l EI 32132221322113
11+=
??? ????+??=δ
EI l l l l EI 6223222113
1221=
??? ?????==δδ EI
l l l l EI 622322212123
22=
??? ??????=δ
得振型方程：
()
062132123
123=+??
?
? ??-+mA EI l A m EI l ω 01626222313=???? ??-+A m EI
l mA EI l ω，令λω=?3231ml EI
λ
λ-0.707 0.7070.707 414.2-=
D ，由频率方程D=0
解得：331
576.24535.03ml EI
ml EI =?=
ω，3
32060
.16675.23ml EI
ml EI =?=
ω
1773.2707.0414.211121-=--=λA A ，1
358
.0707.0414.221222=--=λA A
(c)
解：
/2
l
1M 图 2M 图
（1）
EI l f 3311=，EI l f 1213322=，EI
l f f 1253
2112=
=
（2）振型方程
???????=???? ??-?+????? ?
?=????
? ??+????
??-0121213125012513223
1323123A m EI l A m EI l A m EI l A m EI l ωω 令2
312ωλ
ml EI
=
，频率方程为：0-13 55 4=-=λ
λD 3
32331212602
.2773.112 888
.0227.1512773
.1,227.150255217ml EI
ml EI ml EI ml EI ==
==
?==?=-+-?ωωλλλλ
l l l l
FBFr
（3）当227.151==λλ时，设7227.010
8
112111=-=
?=λA A
当773.12==λλ
时，设6227.010
8
122212-=-=
?=λA A
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
(d)
解：
12
1M 图 2M 图
EI
a k k EI a 3
213114811/21/212161=
??? ??++=δ
EI
a a k k 3
2121124812//2
1/2
1=
??
? ??-==δδ
EI
a k k EI a 3
21322
4811/21/212161=??? ??++=δ
频率方程为：
111122
2
2112222
1
01
m f m f m f m δωω-
=-
取3
121,
3
m ma m ma ==
代入整理得： 22444003a a λλ-
+=
其中3248
EI a m λω= 1211.045, 3.625a a λλ==
1ω=
2ω=
=振型方程为：
()1111
122222111222
221010m A m A a f m A f m A δδωω???-+?= ?????
?
????+?-= ?????
将()1,11,2i i A i ωω===代入（a ）式中的第一个方程中，得：
44
111
2
12123
122
1
0.23010.2292
0.1351483ma ma m EI EI A m a a ma EI δωδ--=
=
=? 4
111
2
22223
122
1
3.6251122.125481483
ma m EI A m a a ma EI δωδ---=
=
=? 绘出振型图如下：
a
a
a
第一振型 第二振型
(e)
解：
1M 图
2M 图
3M 图
（1）3112l f EI
=，3
222l f EI =，31221336l f f f EI ===
（2）振型方程
3312323
312323
123210026100621000
6l l m A m A A EI
EI l l m A m A A EI EI l A A m A EI ωωω???
??-+?+?=?
? ??????
??????
?+?-+?=?
? ???
????????+?+?-= ?????
令32
6EI
ml λω=，频率方程为：3 1 0
1 3- 000 0 2-D λλλ
-==
1231234,2λλλωωω?=
==?=
== {}{}{}1231101 1 0001A A A ?????? ? ? ?
==-= ? ? ? ? ? ???????
振型图如下：
a
a
FBFr
第一振型 第二振型
第三振型
(f)
解：
1M 图 2M 图 3M 图
333333
1122332112233231131895144,,,,,33633a a a a a a
EI EI EI EI EI EI
δδδδδδδδδ=========（2）振型方程为：
333123233312323
331232154403635811440633414914033a a a m A m A m A EI
EI EI a a a m A m A m A EI EI EI a a a m A m A m A EI
EI EI ωωω???
????-+?+??=?
? ? ????????????????
?+?-+??=?
? ? ???
???????????????+??+?-= ?
? ????????? 令32
6
EI
ml λω=
，频率方程为：2 5 32
5 16- 112
08 28 216-D λλλ
-== 123123231.8, 1.936,0.2317
λλλωωω?===?==={}{}{}1231103.469 1.390 0.6876.6400.2190.052A A A ?????? ? ? ?
===- ? ? ? ? ? ?-??????
10-27
试用刚度法求下列集中质量体系的自振频率和主振型。 (a) 解：
a a a
4m
EI=常数 l l
11
k 21
k
12
k 22
k
1M 图 2M 图
11211222222
242448,,EI EI EI
k k k k l l l =
===，23
24 -240 -24 48-2y m l y y EI ω-??== ???
127.029,40.971y y ==
，12
ωω=={}{}12
11,0.7070.707A A ????
== ? ?-????
振型图如下：
第一振型
第二振型
(b) 解：
11
k
1F 图 2F 图
(
112221214
222EA EA EA k k l l l EA k k l
==+=
=
==
振型方程：
21
22
1200
m A A A m A ωω??-=??????
?+-=?????
令24m l
EA
ωλ=
，频率方程为：0D λ
λ
=
=
12124,4 λλωω?
==+?=
=()()1
211,11A A ????== ?
?-????
(c)
解：
k= EI l 3 l
l
FBFr
1M 图 2M 图
作出附加连杆移动单位位移的弯矩图
112334i EI k k l l =
+=，12213EI k k l ==-，22
23
34i EI
k k l l =+= 列出频率方程：
211112
22122
2 k 0
k m D k k m ωω-=
=-
解得：21322335EI ml EI ml ωω?=????=??结构自振频率分别为：12ωω?=????
=??
求第一振型：令111A =得211A =
求第二振型：令121A =得221A =- 结构的振型向量形式为：
()()1
211,11A A ????== ? ?-????
振型图如下：
1
1
1
1
第一振型 第二振型 (d)
解：
22
k
1M 图 2M 图
12210k k ==，112152i k l =
，2228i
k l
= 列振型方程：()()()
12150
*16
0y A y A -=???-=??
其中322ml y EI ω=
列频率方程并求解：
()()15 00151600 16-y
y D y y -=
=?--=
1215,16y y ==
12ωω==求振型
将11115,1y A ==代入方程组（*）中得：210A =，即()
110A ??
= ??? 将22216,1y A ==代入方程组（*）中得：220A =，即()
201A ??= ???
振型图如下：
第一振型 第二振型
10-28 试说明在应用多自由度体系强迫振动的振幅方程（10-66）和（10-71）时，对动力荷载的性质、特点和作用位置分别有何要求？
10-29 试说明为什么可以将惯性力幅值与简谐荷载幅值同时作用在体系上，按静力学方法计算体系的动内力幅值。
10-30 试求图示结构B 点的最大竖向动位移(max)yB ?，并绘制最大动力弯矩图。设均布简谐荷载频率3ma EI =
θ，B 点处弹性支座的刚度系数3
a EI k =，忽略阻尼的影响。
解：
1M 图 P M 图
画1,p M M 图
3
111121115222322212a a a f a EI k EI
??=?????+??=
???
422211111121111224342234244p
a a
qa a qa qa a qa qa EI
k EI ?????=???+?+????+??= ???????
列出方程得：
334
150124a a qa I EI EI EI ??-+
= ???
解得：137
I qa =
()
333
max 3111372428yB a a qa qa qa EI EI EI
?=??+?=
根据公式11p M M I M =+画出最大动力弯矩图。
M 图
10-31 图示结构在B 点处有水平简谐荷载t t F θsin kN 1)(P ?=作用，试求集中质量处的最大水
平位移和竖向位移，并绘制最大动力弯矩图。设3
ml EI =
θ，忽略阻尼的影响。
a
q s θ t
FBFr
解：作出12M M 、图
2
1M 图 2M 图 P M 图
11112132
222222233EI EI EI δ=
?????+???=
，21121142222EI EI δδ==????= 221128
222233EI EI
δ=
?????=
，11142222p F F EI EI ?=????= 21128222233p
F F EI EI ?=?????=，代入惯性力幅值方程：3123
12324403488033ml F
I I EI mEI EI EI ml F
I I EI EI mEI EI ??-++= ???
??+-+= ???
解得：12185
,1717I KN I KN =-
=-，1212220.941,0.261I I A mm A mm m m θθ
==-==- 将以上求得最大惯性力1I 、2I 和动力荷载，同时作用于结构，可得最大动力弯矩图：
12
17
KN m ?36
17
KN m ?
M 图
10-32 图示刚架各横梁为无限刚性，试求横梁处的位移幅值和柱端弯矩幅值。已知m ＝100t ，l ＝5m ，EI =5×105kN ·m 2；简谐荷载幅值F ＝30 kN ，每分钟振动240次；忽略阻尼的影响。
解：
31
k 21
k
32
k 12
33
k 23
k 13
层间刚度设为k ，3
24EI
k l =
112212212332332,,k k k k k k k k k k ======-=
22240
86060
n ππθπ?=
== F=30KN l=5m 动位移幅值方程为：
21233212333321333482420
2448241.524240
EI EI m A A l l EI EI EI A m A A F l
l l EI EI A m A l
l θθθ???
--= ???
?????
-+--=? ???????
-+-=? ????
将具体数值代入，解得：
1230.1353,0.0926,0.2710A mm A mm A mm =-=-=-
底柱柱端弯矩幅值：5
31133
121251050.13531016.236225EI l M A KN m l ??=??=-???=?
中柱柱端弯矩幅值
l l
l
m 1=2m
m 2=1.5m m 3=m
t
F θ sin
()()53
2213126100.13530.092610 5.12425EI l M A A KN m l
?=-??=-??=?
顶柱柱端弯矩幅值：53
333126100.27101032.5225EI l M A KN m l
?=??=??=?
10-33 试求图示结构两质量处的最大竖向动位移，并绘制最大动力弯矩图。设m 1＝m 2＝m ，
32ml EI =θ
解：该结构有两个自由度，使用刚度法。
111221223
33103,,77EI EI EI
k k k k k l l l
=
==-=-= 11k 的求解过程：
3
8
16
l
3
1
1161525632372112163161183896l l l l l l l EI EI
δ??=????+????=
??? 113
1
967EI
k l δ==
111333
9610377EI EI EI
k k k l l l =+=
+=
22k 的求解过程：
2
l
左构件3
2
11121222326l l l l EI EI
δ??=????= ???
22
3
1
6EI
k l δ=
=
22233367EI EI EI
k k k l l l
=+=
+= 将上述刚度系数，质量值及荷载幅值代入位移幅值方程，并计θ= 12333
1233310340774EI EI EI
A A l l l EI EI EI A A F l
l l ???--= ?????
?
???-+-= ????? 解得：33
120.032
,0.344Fl Fl A A EI EI
== 最大动力弯矩图
求解过程：
对于AB 杆件，相当于在中点作用一集中力
FBFr
1196
0.0320.4397
AB F A k F F =?=?
= 对于CD 杆件，相当于在中点作用一集中力
220.3446 2.064CD F A k F F =?=?=
10-34 试说明用振型分解法求解多自由度体系动力响应的基本思想，这一方法是利用了振动体系的何种特性？
10-35 试用振型分解法计算题10-32。 解：
刚度矩阵2 - 0- 2 -0 - k k k k k k k k ????=?????? 质量矩阵2 0 00 1.5 00 0 m M m m ??
??=??????
其中6153
249610,110EI
k N m m Kg l
-=
=??=? 由刚度矩阵和质量矩阵可得：
-0.3115 0.5774 0.2639-0.5278 0 -0.6230-0.6230 -0.5774 0.5278 A ??
??=??????
111
12312.11,30.98,45.75s s s ωωω---===
()()
11
510.3115 2 0 00.31150.52780 1.5 00.52781100.62300 0 10.6230T
T
m A MA m m kg --??
????
??????==--==???
??????????--??
????
()()2252110T m A MA m kg ===? ()()3353110T m A MA m kg ===?
()()()
110.311500.5278sin 15.83sin 0.62300T
T
P t P t F A F F t t KN θθ-????
????==-=-??
??????-??
??
()(
)()
220.577400sin 00.57740T
T
P t P t F A F F t θ??
??
????===??
??????-????
()(
)()
330.263900.6230sin 18.695sin 0.52780T
T
P t P t F A F F t t KN θθ??
??
????==-=-??
????????
??
则()1t y 应满足方程
()1..
21111
P t F y y m ω+=
其稳态响应为：
()()
(
)
3
12
5215.8310sin 0.3264sin 11012.118t y t t mm θθπ-?=
=?-
同理：()20t y =
()()
(
)
3
32
5
2
18.6910sin 0.1279sin 11045.758t y t t mm θθπ-?=
=-?-
()()()()()()112233-0.3115 0.05774 0.26390.32640.1354-0.5278 0 -0.6230sin 0.0926-0.623 0.05774 0.52780.12790.2708t t t t t t y y y A y t y y θ????-??????????????????∴===-?????????????--?
????????????sin t mm θ?????? 显然最大位移
1max 2max 3max 0.13540.09260.2708y mm y mm y mm
=-=-=- 10-36 试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时，质量处的最大位移响应。已知阻尼比ξ1＝ξ2＝0.10。
解：
刚度矩阵1
32 40.2143 -0.321438-0.3214 0.85714 3k EI EI -??
????==???????????
? 质量矩阵0 11 0M m ??
=????
得： 1 -0.41420.4142 1A ??
=?
???
12ωω==
()()()()
()()()()()()
1211122212 1.17161.171610sin 0.4142sin 0.414210.41420sin sin 11T T
T
T P t P t T
T
P t P t m A MA m m A
MA m
F A F F t F t F A
F F t F t θθθθ====????=?=?= ? ?????-????=?=?= ? ?????
正则坐标()1t y 应满足方程：
()...
121111111
2P t F y y y m ξωω++=
其稳态响应为：()()111sin t y A t θα=-
3
10.8133A mm =
=
()1
111
12212tan tan 0.45870.43011θξωαθω--?? ?
?==-=- ?- ???
同理可得：()()222sin t y A t θα=-
3
20.1092A mm ==
2
1122222
2tan tan 0.08130.08111θξωαθω--?? ?
?=== ?- ???
于是
()()()()120.8133sin 0.43010.1092sin 0.0811t t y t mm y t mm
θθ=+=-
()()()()()()()()120.8133sin 0.43011 -0.41420.4142 10.1092sin 0.08110.8133sin 0.43010.0452sin 0.0811 0.3369sin 0.43010.1092sin 0.0811t t y t y t t t t t θθθθθθ??+??
?? ?=???? ?-????????
+--??
=??
++-????
()()()
()()()110.8133sin 0.43010.0452sin 0.0811 0.8133sin cos 0.4301sin(0.4301)cos 0.0452sin cos 0.0811sin(0.0811)cos 0.6942sin 0.3428cos 0.7742sin t y t t t t t t t t t b mm
θθθθθθθθθ=+--=?+?-?+?????????
=+=+ ()1max 0.7742t y mm ∴=（竖直方向）
()()()
()()()220.3369sin 0.43010.1092sin 0.0811 0.3369sin cos 0.4301sin(0.4301)cos 0.1092sin cos 0.0811sin(0.0811)cos 0.4150sin 0.1316cos 0.4354sin t y t t t t t t t t t b mm
θθθθθθθθθ=+--=?+?-?+?????????=+=+ ()2max 0.4354t y mm ∴=（水平方向）
10-38 试用基于能量原理的近似法求图示梁的基本频率。 (a)
(b)
l
EI
m 2
l 2
l
第10章 结构动力学
第10章 结构动力学 习 题 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其 端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为： (3) 121233 I M ml a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： ( )3 (322) 1393 t q l ka m al l c al ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l + += 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚 功方程为：() (20111) 0333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l + +=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为 c ，试建立体系自由振动时的运动方程。 解：
第10章 结构动力学
FBFr 第十章 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其 端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为： (3) 121233 I M m l a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： () 3 (322) 1393 t q l ka m a l l c a l ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++= 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚 功方程为：() (20111) 0333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l + +=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为 c ，试建立体系自由振动时的运动方程。
结构动力学_克拉夫(第二版)课后习题
例题E2-1 如图E2-1所示，一个单层建筑理想化为刚性大梁支承在无重的柱子上。为了计算此结构的动力特性，对这个体系进行了自由振动试验。试验中用液压千斤顶在体系的顶部（也即刚性大梁处）使其产生侧向位移，然后突然释放使结构产生振动。在千斤顶工作时观察到，为了使大梁产生0.20in[0.508cm]位移需要施加20 kips[9 072 kgf]。在产生初位移后突然释放，第一个往复摆动的最大位移仅为0.16 in[0. 406 cm]，而位移循环的周期为1.4 s。 从这些数据可以确定以下一些动力特性：（1）大梁的有效重量；（2）无阻尼振动频率；（3）阻尼特性；（4）六周后的振幅。 2- 1图E2-1所示建筑物的重量W为200 kips，从位移为1.2 in（t=0时）处突然释放，使其产生自由振动。如果t=0. 64 s时往复摆动的最大位移为0.86 in，试求 (a)侧移刚度k；(b)阻尼比ξ；(c)阻尼系数c。
2-2 假设图2- la 所示结构的质量和刚度为：m= kips ·s 2/in ，k=40 kips/in 。如果体系在初始条件 in 7.0)0(=υ、in/s 6.5)0(=υ&时产生自由振动，试求t=1.0s 时的位移及速度。假设：(a) c=0（无阻 尼体系）； (b) c=2.8 kips ·s/in 。 2-3 假设图2- 1a 所示结构的质量和刚度为：m=5 kips ·s 2/in ，k= 20 kips/in ，且不考虑阻尼。如果初始条件in 8.1)0(=υ，而t=1.2 s 时的位移仍然为1.8 in ，试求：(a) t=2.4 s 时的位移； (b)自由振动的振幅ρ。
同济大学朱慈勉 结构力学 第10章 结构动..习题答案
同济大学朱慈勉 结构力学 第10章 结构动..习题答案 10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？ 10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？ 10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？ 10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？ 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为 c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。
解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度 为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为：.. .. 3 1212 3 3 I M ml a l l m a l =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2 121233 t t q l l q l ?? = 由弹性恢复力所引起的弯矩为：. 2 133 la k l c a l ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： ()3 .. . 3 2 2 13 9 3 t q l ka m a l l c a l + += 整理得：(). .. 33t q ka c a m a l l l ++ = 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚功方程为： (). .. 2 1110 3 3 3 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα- ? -?- ?=? 则同样有：(). .. 33t q ka c a m a l l l + + = 。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。 t )
结构动力学1_652807188
1/35 结构动力学 教师：刘晶波助教：赵冬冬 清华大学土木工程系2010年秋 2/35 结构动力学教科书 ●刘晶波杜修力主编， 结构动力学，机械工业出版社，2005年1月第1版，2007重印。 3/35结构动力学参考书 ●A. K. Chopra, Dynamics of Structures, Prentice Hall, 1995, 2000. 4/35 结构动力学参考书 ●A. K. Chopra 著,谢礼立吕大刚等译结构动力学,高等教育出版社,2007.
5/35结构动力学参考书 ●R. W. Clough and J. Penzien, Dynamics of Structures, McGraw-Hill, 1993, 1995. 6/35 结构动力学参考书 ●R. 克拉夫J. 彭津著, 王光远等译校，结构动力学第二版(修订版)，高等教育出版社，2006。 7/35 结构动力学参考书 ●唐友刚著, 高等结构动力学，天津大学出版社，2002。●诸德超邢誉峰主编, 工程振动基础，北京航空航天大学出版社，2004。●张相庭王志培等编著, 结构振动力学，同济大学出版社，2005。 yyyyyy 8/35 结构动力学总成绩： ①平时成绩 作业＋读书报告②期中成绩③期末成绩 总成绩＝平时成绩×(30～40%) ＋期中成绩×(20%) ＋期末成绩×(40～50%)
9/35 课程内容简介 本课程将系统讲授结构动力学基础理论知识和基本计算分析方法。 通过单自由度体系、多自由度体系和无限自由度体系的系列教学，使学生系统掌握结构动力学的基本理论和分析方法通过结构动力问题分析中的数值分析方法、离散化分析和随机振动分析的系列教学使学生具备分析和解决理论研究和实际工程问题的能力 通过介绍若干重要的前沿研究成果，使学生能较迅速接触到结构动力学研究领域的前沿 结构动力分析的基础理论知识 解决科研和工程中动力问题的技能和方法了解和掌握与结构动力学相关的科学前沿问题 10/35 结构动力学 第1 章概述 11/35 第1章概述 1.1结构动力分析的目的 12/35 1.1结构动力分析的目的 动力问题: 5地震作用下建筑结构、桥梁、大坝、地下结构的震动；5风荷载作用下大型桥梁、高层结构的振动； 5机器转动产生的不平衡力引起的大型机器基础的振动；5车辆运行中由于路面不平顺引起的车辆振动及车辆引起的路面振动； 5爆炸荷载作用下防护工事的冲击动力反应，???等等，量大而面广。动力破坏的特点: 突发性、毁灭性、波及面大。
第10章 结构动力学
10- 71 习 题 10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？ 10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？ 10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？ 10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) m m m m m m 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？ 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 EI m 1 m 2 EI EI EI 2EI m m
10- 72 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度 为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为：.. .. 3 1212 3 3 I M ml a l l m a l =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2 121233 t t q l l q l ?? = 由弹性恢复力所引起的弯矩为：. 2 133 la k l c a l ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： ()3 .. . 3 2 2 13 9 3 t q l ka m a l l c a l + += 整理得：(). .. 33t q ka c a m a l l l ++ = 2）力法 A () 21 3t q l α 13 l α13 l k αB C . l c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚功方程为： (). .. 2 1110 3 3 3 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα- ? -?- ?=? 则同样有：(). .. 33t q ka c a m a l l l + + = 。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。 a A c EI =∞ k B m a a a a E D C F k m k θ l 3 3 l 2 A q (t ) c EI =∞ k B C m
结构动力学习题资料
结构动力学习题 2.1 建立题2.1图所示的三个弹簧-质点体系的运动方程（要求从刚度的基本定义出发确定体系的等效刚度）。 题2.1图 2.2 建立题 2.2图所示梁框架结构的运动方程（集中质量位于梁中，框架分布质量和阻尼忽略不计）。
题2.2图 2.3 试建立题 2.3图所示体系的运动方程，给出体系的广义质量M、广义刚度K、广义阻尼C和广义荷载P(t)，其中位移坐标u(t)定义为无重刚杆左端点的竖向位移。 题2.3图 2.4 一总质量为m1、长为L的均匀刚性直杆在重力作用下摆动。一集中质量m2沿杆轴滑动并由一刚度为K2的无质量弹簧与摆轴相连，
见题 2.4图。设体系无摩擦，并考虑大摆角，用图中的广义坐标q1和q2建立体系的运动方程。弹簧k2的自由长度为b。 题2.4图 2.5 如题2.5图所示一质量为m1的质量块可水平运动，其右端与刚度为k的弹簧相连，左端与阻尼系数为c的阻尼器相连。摆锤m2以长为L的无重刚杆与滑块以铰相连，摆锤只能在图示铅垂面内摆动。建立以广义坐标u和θ表示的体系运动方程（坐标原点取静平衡位置）。
题2.5图 2.6如题2.6图所示一质量为m1的质量块可水平运动，其上部与一无重刚杆相连，无重刚杆与刚度为k2的弹簧及阻尼系数为c2的阻尼器相连，m1右端与刚度为k1的弹簧相连，左端与阻尼系数为c1的阻尼器相连。摆锤m2以长为L的无重刚杆与滑块以铰相连，摆锤只能在图示铅垂面内摆动。建立以广义坐标u和θ表示的体系运动方程（坐标原点取静平衡位置，假定系统作微幅振动，sinθ=tanθ=θ）。计算结果要求以刚度矩阵，质量矩阵，阻尼矩阵的形式给出。
结构力学 朱慈勉 第6章课后答案全解
结构力学 第6章 习题答案 6-1 试确定图示结构的超静定次数。 (a) (b) (d) (f) (g) 所有结点均为全铰结点 2次超静定 6次超静定 4次超静定 3次超静定 去掉复铰，可减去2（4-1）=6个约束，沿I-I 截面断开，减去三个约束，故为9次超静定 沿图示各截面断开，为21次超静定 刚片I 与大地组成静定结构，刚片II 只需通过一根链杆和一个铰与I 连接即可，故为4次超静定
(h) 6-2 试回答：结构的超静定次数与力法基本结构的选择是否有关？力法方程有何物理意义？ 6-3 试用力法计算图示超静定梁，并绘出M 、F Q 图。 (a) 解： 上图= l 1M p M 01111=?+p X δ 其中： EI l l l l l l l EI l l l l EI 81142323326232323332113 11=??? ????+??+???+??? ??????=δEI l F l lF l lF EI l p p p p 8173323222632 31-=??? ???-??-?=? 0817******* =-EI l F X EI l p p F X 2 1 1= p M X M M +=11 l F p 6 1 l F p 6 1 2l 3 l 3 题目有错误，为可变体系。 + lF 2 1=1 M 图
p Q X Q Q +=11 p F 2 1 p F 2 (b) 解： 基本结构为： l 1M l l 2M l F p 2 1 p M l F p 3 1 ???? ?=?++=?++00 22 221211212111p p X X X X δδδδ p M X M X M M ++=2211 p Q X Q X Q Q ++=2211 6-4 试用力法计算图示结构，并绘其内力图。 (a) l 2 l 2 l 2 l l 2 Q 图 12
结构力学朱慈勉第6章课后答案全解
结构力学 第 6 章 习题答案 刚片 I 与大地组成静定结构，刚片 II 只需通 过一根链杆和一个铰与 I 连接即可，故为 4 次超静定 (a) (b) 6-1 试确定图示结构的超静定次数。 (c) (d) (e) 2 次超静定 6 次超静定 (f) 4 次超静定 3 次超静定 去掉复铰， 可减去 2（4-1 ）=6个约束，沿 I-I 截面断开，减去三个约束，故为 9 次超静定 沿图示各截面断开，为 21 次超静定 (g)
(h) 6-2 试回答：结构的超静定次数与力法基本结构的选择是否有关？力法方程有何物理意义？ 6-3 试用力法计算图示超静定梁，并绘出 M 、 F Q 图。 (a) 其中： M 1X 1 M p F p l M 图 1 1 6F p l 题目有错误，为可变体系。 解： A 2EI C 2l 3 11X 1 1p 11 EI 1p 2 l 3 6EI 14l 3 X 1 81EI X 1 12 F p lll 7F p l 3 81EI 33 2 3lF p 2 l 3 2 6EI 2 3lF p 7F p l 3 81EI l l2 3 14l 3 81EI F P 上图= EI B EI B 2 M p M 1
1 (b) 解： Q 1 X 1 Q p 11X1 21X1 Q图 B E C D EI=常数F l l l l 2 2 2 2 F P X1 X2 l 3 F P l 基本结构 为： 12F p l 12X2 1p 22X 2 2 p M1 M2 M M1X1 M 2X2 M p Q Q1X1 Q2 X2 Q p 6-4 试用力法计算图示结构，并绘其内力 图 (a)
结构动力学填空简答
一、填空题 1、消能减震技术包括：速度相关型消能减震装置，位移相关型消能减震装置，其他相关型消能减震装置 2、调频减震技术包括：有调谐质量阻尼器(TMD)和调谐液体阻尼器（TLD) 、调谐液柱式阻尼器（TLCD) 振动控制系统 3、地震动三要素：振幅、频谱、持时 4、结构的固有特性：频率、振型，阻尼 5、实验测量阻尼比的方法：对数衰减率法、共振放大法、半功率法 6、逐步积分法的四个标准：收敛性、计算精度、稳定性、计算效率 7、结构离散化方法：集中质量法、广义坐标法、有限元法 8、基本力学原理及运动方程的建立：D’Alembert原理、虚功原理、哈密顿原理、拉格朗日方程、牛顿定理 9、结构抗震试验方法：伪静力试验方法或低周反复加载、地震模拟振动台试验方法、伪动力试验方法或计算机联机试验 10、等效阻尼比用在：等效线性化分析过程中 11、常用的阻尼有：粘性阻尼、摩擦阻尼、滞变阻尼、流体阻尼 12、测量振动量的仪器：加速度计、位移计、速度计 13、单自由度体系对任意荷载的反应分析方法：时域分析法（杜哈梅积分计算）、频域分析法（傅里叶变换法计算）——适用于处理线弹性结构的动力反应问题 14、常用的时域逐步积分法有：分段解析法、中心差分法、平均常加速度法、线性加速度法、Newmark-β法、Wilson-θ法 15、常用的恢复力模型：当伯格-奥斯左德模型、克拉夫退化双线性模型、武田模型 16、振型的归一化方法：特定坐标的归一化方法、最大位移的归一化方法、正交归一法 17、恢复力曲线模型三个组成部分：骨架曲线、滞回特性、刚度退化规律 18、确定恢复力曲线的方法：试验拟合法、系统识别法、理论计算法 二、简答题 1.结构动力学的广义研究内容、目的是什么？ 内容：结构动力学是研究结构体系的动力特性几起在动力荷载作用下的动力反应分析原理和方法的一门理论和技术学科 目的：是确定动力荷载作用下结构的内力和变形，并通过动力分析确定结构的动力特性，为改善工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性提供坚实的理论基础。 2.结构动力计算方法的分类，都有什么样的特点？ 集中质量法：将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个或某些位置上，认为其他位置上没有质量。质量集中后结构杆件仍具有可变性性质； 广义坐标法：在数学中常采用级数展开法求解微分方程，在结构动力分析中也可采用相同的方法求解。这是广义坐标的理论基础。所假设的形状函数数目代表在这个理想化形式中所考虑的自由度个数。考虑了质点间分布质量的影响(形状函数)，一般来说对于一个给定自由度数目的动力分析，用理想化形状函数比集中质量法更精确； 有限元法：有限元采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，且形函数是定义在分片区域上的。在有限元中形函数被称为插值函数。有限元综合了集中质量和广义坐标的特点
结构力学课后解答：第10章 结构动力学
第十章 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为：.... 3121233 I M ml a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： ( ) 3 (3221393) t q l ka m al l c al ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++= 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚 功方程为：() (2) 01110333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。
结构动力学-第六章 分布参数体系.
结构动力学Dynamics of Structures 第六章分布参数体系 Chapter 6 Continuous Systems 华南理工大学土木工程系 马海涛/陈太聪 结构动力学第六章分布参数体系0of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系本章主要目的及内容 目的: 了解具有分布质量弹性连续体的动力分析方法; 初步掌握一维结构的运动方程的建立和简单问题求解.内容: ?梁的偏微分运动方程 ?梁的自振频率和振型 ?振型的正交性 ?用振型叠加法计算梁的动力反应 结构动力学第六章分布参数体系1of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系§6.1 梁的偏微分运动方程剪切变形-Euler梁、Timoshenko梁转动惯量 阻尼影响 §6.1.1 弯曲梁（欧拉梁）的横向振动方程 结构动力学第六章分布参数体系2of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系§6.1 梁的偏微分运动方程 Euler梁静力平衡方程:? 2?x2??u(x,t)??EI(x)?=P(x,t)2?x??2 惯性力－分布强度: ?u(x,t)fI(x)=m(x)2?t2 Euler梁动力平衡方程: ? 2?x 结构动力学2??u(x,t)??u(x,t)?EI(x)?=P(x,t)?m(x)22?x?t??223of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系
第六章分布参数体系 §6.1 梁的偏微分运动方程 等截面梁的运动方程: ?u(x,t)?u(x,t)m+EI=P(x,t)24?t?x24 运动方程: 2??u(x,t)??u(x,t)?m(x)+2?EI(x)?=P(x,t)22?t?x??x?22 Euler梁动力平衡方程: ? 2?x 结构动力学2??u(x,t)??u(x,t)?EI(x)?=P(x,t)?m(x)22?x?t??224of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系第六章分布参数体系 §6.1 梁的偏微分运动方程 等截面梁的运动方程: ?u(x,t)?u(x,t)m+EI=P(x,t)24?t?x24 四阶偏微分方程 （A fourth order partial differential equation） (1) 比较静力情形:du(x)EI=P(x)4dx4 (2) 假设条件: Euler梁理论 忽略转动惯量影响 结构动力学第六章分布参数体系?ux,t() P(x,t)=P(x)?m(x)2?t25of 24华南理工大学土木与交通学院土木工程系 §6.1.5考虑阻尼影响
结构动力学
中国海洋大学本科生课程大纲 一、课程介绍 1.课程描述： 结构动力学是研究工程结构在循环荷载作用下的动力响应，与弹性动力学和机械振动具有相同的理论体系，只因他们的研究对象和/或研究内容不同而分为三门独立的课程。弹性动力的研究对象为三维弹性体，与弹性力学的研究对象相同，而结构动力学的研究对象为特殊的三维弹性体，即弹性体的某一维尺寸远远大于（杆、梁）或小于（板）其它两维尺寸，因此，与结构力学的研究对象相同。弹性动力学的研究内容是弹性波在弹性体中的传播，并不涉及弹性体的变形（位移），而结构动力学则研究结构在动力作用下的变形，包括位移及相应的速度和加速度，而不涉及波的传播问题。机械振动的研究对象是机械装置和机构，研究内容与结构动力学相同。因此，从理论方法上来说，结构动力学与机械振动两门课程是相同的。 2.设计思路： 结构动力学是船舶与海洋工程专业选修课，通过该课程学习使学生掌握结构动力学的基本理论及分析计算方法，为后续的海洋工程结构动力分析和结构振动测试技术等课程以及毕业设计打下良好的基础。其基本要求为：掌握线性系统的单自由度系统、多自由度系统的动力特性和动力相应的分析计算方法，了解分布参数系统的分析计算 - 2 -
方法，了解非线性系统振动和随机振动的基本概念和基本方法。能够运用所学知识进行工程结构的动力分析计算。 3. 课程与其他课程的关系 结构动力学中的一些基本概念与结构力学是不同的，一个最简单的例子是关于自由度的概念，也就是说静力自由度和动力自由度是两个完全不同的概念。众所周知，一个结构的静力自由度必须是小于或等于零的，即所谓的静定和超静定结构，否则就不是结构而是机构。也就是说，结构力学中的自由度（静力自由度）是刚体自由度。而结构动力学中所说的自由度（动力自由度）是不包括结构刚体自由度在内的弹性体变形自由度，它是描述弹性体振动的参数。刚体自由度是由结构的约束条件唯一确定的，而动力自由度则是由结构的质量分布唯一确定的。 二、课程目标 结构动力学课程的教学目标是使学生了解结构动力学的研究对象；了解结构动力学能够解决的问题及适用范围；了解结构动力学基本方法的创立和发展过程；掌握结构动力学的基本概念及方法；熟悉结构动力学的计算机方法，能够熟练地求解结构动力学的一般问题。 三、学习要求 课前预习即将讲授的内容，课堂上积极思考、主动发问，课后根据课堂理解和掌握情况阅读教材和参考书，并通过书后的习题演练加深对当堂课的理解，巩固所学内容所涉及结构动力学基本概念、基本理论及方法。 四、教学内容 - 2 -
第10章结构动力学
FBFr 第十章 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其 端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为： (3) 121233 I M ml a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： ( )3 (322) 1393 t q l ka m al l c al ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++= 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚 功方程为：() (20111) 0333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l + +=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。
结构力学第6章 习题及参考答案(6-1——6-8)
第六 习题 6-1用静力法作图示梁的支杆反力3R R2R1F F F 、、及内力k M 、Q N K K F F 、的影响线。 解：(1)反力影响线 R323()52 F x l l = - R1R 2(4)5x F F l == - (2)K 截面的内力影响线 R3R3 Q R3N 3312 35 53130 K K K F l x l M x l x l F x l F F x l F ≤??=?-+>??-≤?=? ->?= 习题6-1图
6-2 用静力法作图示梁的By F 、A M 、K M 和Q K F 的影响线。 解：取图示坐标系，得 1By F =，A M l x =- Q 2221202 K K x M x x x l l l l x l F l ≤ => ≤ ≥ ???? ?-???-?? =? ???1
6-3用静力法作图示斜梁的Ay F 、Ax F 、By F 、C M 、Q C F 和N C F 的影响线。 解：（1）反力影响线 By F x l /=，1Ay F x l /=- 0Ax F = （2）C 截面内力影响线 [][][][][][] Q N /0,(1/),cos 0,(1)cos ,sin 0,(1)sin ,C C C bx l x a M a x l x a l x x a l F x x a l l x x a l F x x a l l αααα?∈?=? -∈???-∈??=? ?--∈???∈??=? ?--∈??
解：（1）反力影响线 tan By x F l α= tan Ay x F l α=- 1Ax F =- （2）C 截面内力影响线 [][][][][][]Q N tan 0,(1)tan ,sin 0,(1)sin ,sin tan 0,cos sin tan ,C C C b x x a l M x a x a l l x x a l F x x a l l x x a l F x x a l l ααααααααα?∈??=? ?-∈???-∈??=? ?-∈???∈??=? ?+∈?? tan sin a l αα? sin tan sin a a αα?
第10章 结构动力学
10- 71 习 题 10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？ 10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？ 10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？ 10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？ 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为 c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 t )
10- 72 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为：.... 3121233 I M m l a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： () 3 (3221393) t q l ka m a l l c a l ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++= 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚功方程 为：() (2) 01110333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。 解：
克拉夫结构动力学习题复习资料汇总
第二章 自由振动分析 2-1 （a ） 由例2 2T π =22( )W K T g π= 因此 max ()()D t kT νν= 其中 k=0、1、2…… T D =0.64sec 如果ξ 很小，T D =T ∴ 22 2200( )49.9/0.64sec 386/sec kips k kips in in π== ? 50/k kips in = （b ） 211ln ln n n v v v v δ+≡= δξ= →= 1.2 ln 0.3330.86δ== 0.0529ξ= = 0.333 20.05302δπξξπ =→= =
? 5.3%ξ= (a ’) D ω= 2T π ω = T T =2 49.9 50/1k kips in ξ= =- (c) 2c m ξω = W m g = 2T π ω = 4c T g πωξ= g T T =4W c T g π= g g 2 42000.64sec 386/sec kips c in π= g 0.539sec/c kips in =? T=T D 0.538sec/c kips in =? ?0.54sec/c kips in =?
2-2 2k m ω= → 4.47ω== (1/sec ) (0)(0)()sin (0)cos t D D D v v t e t v t ξωξωνωωω-???? +?? ?=+?? ????? g ∴ (0)(0)()sin (0)(0)(0))cos t D D D v v t e t v v v t ξωξωνξωωξωξωωω-????+???? ???=-++-???? ??????????? g g g ()22(0)(0)()(0)cos sin D t D D D v v t e v t t ξωξωξωωνωωω-????++ ???=- ? ??? g g g D ω=→()(0)cos (0)(0)sin t D D D t e v t v v t ξωωνωξωωω-????=-+ ??????? g g g ()(0)cos t D D t e v t t ξωνωω-?? ?= ??? g g g 0.055922(2)(4.47) c c c m ξω= == (a) c=0→0ξ=→D ωω= ∴ 5.6 (1)sin 4.470.7cos 4.47 1.384.47 v t in == +=- (1) 5.6cos 4.47 4.47(0.7)sin 4.47 1.69/sec v t in ==-=g ?(1) 1.4v in =-,(1) 1.7/sec v in =g (b) c=2.8→0.0559(2.8)0.157ξ== 4.41D ω== (1/sec ) (0.157)(4.41) 5.60.7(0.157)(4.47)(1)sin 4.410.7cos 4.414.41t e ν-?+? ??==+ ???????