高中数学解不等式方法+练习题.doc
解不等式
高考要求
要求层次
重难点
不等式
一元二次不等式
C
解一元二次不等式
例题精讲
板块一:解一元二次不等式
(一) 知识容
1.含有一个未知数,且未知数的最高次数为2 的整式不等式,叫做一元二次不等式.
一元二次不等式的解集,一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表(以
a 0 为例):
判别式
b 2 4ac
二次函数
y ax 2 bx c (a
0) 的图象
有两相异实根
一元二次方程
x 1 , x 2 有两相等实根
2
bx
c 0
b
b
4ac
b
ax
2
x 1
没有实根
( a 0) 的根
2a
x 2
2a
( x 1 x 2 )
ax 2
bx c 0 x x
x 1
x x
R ,且
b 实数集 R
一元二次不
(a
0)
或 x
x 2
x
2a
等式的解集
ax 2
bx c 0 x x 1 x x 2
(a
0)
有关含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决.其方法大致有:①用一元二次方程根的判别式,②参数大于最大值或小于最小值,③变更主元利用函数与方程的思想求解.
(二)主要方法
1.解一元二次不等式通常先将不等式化为ax 2 bx c 0 或ax2 bx c 0 (a 0) 的形式,然后求出对应方程的根(若有根的话),再写出不等式的解:大于0 时两根之外,小于0 时两根之间;2.分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理;
3.高次不等式主要利用“序轴标根法”解.
(三)典例分析:
1. 二次不等式与分式不等式求解
【例 1】不等式x
1 1 的解集是.x 2
【变式】不等式 x2 2x 3 ≤ 0 的解集为()
A.{ x| x≥3或x≤1} B.{ x | 1≤x≤3} C.{ x | 3 ≤ x ≤ 1} D.{ x | x≤3或x≥1}
【变式】不等式x
5 ≥ 2 的解集是()( x 1)2
A.3,1
B .
1
,3 C . 1 1 1 3 D . 1 1 U 1 3 2 2 , U,,,
2 2
2.含绝对值的不等式问题
【例 2】已知 n N ,则不等式
2n
0.01 的解集为()n
2
1
A. n | n ≥199,n N B. n | n ≥ 200,n N C. n | n ≥ 201,n N D. n | n ≥ 202,n N
【例 3】不等式x
1 1的解集为()x 1
A.x | 0 x 1 U x | x 1 B.x | 0 x 1
C.x | 1 x 0 D.x | x 0
【变式】关于 x 的不等式x 1 x 2 ≤ a2 a 1 的解集为空集,则实数 a 的取值围是_.
【例 4】若不等式x 1
≥a 2 1 对一切非零实数x 均成立,则实数 a 的最大值是_________.x
【例 5】若不等式 3 x b 4 的解集中的整数有且仅有1,2 ,3 ,则b的取值围为.
3.含参数不等式问题
【例 6】若关于 x 的不等式 2 x2 8x 4 a 0 在1 x 4 有解,则实数a的取值围是()A. a 4 B. a 4 C. a 12 D. a 12
【变式】⑴已知 a 0 ,则不等式x2 2ax 3a 2 0 的解集为.
⑵若不等式 8x 9 7 和不等式 ax 2
2 0 的解集相同,则a b ______.
bx
【例 7】若不等式 ax2 x 2 0 的解集为 R ,则a的围是()
A. a 0 B . a 1
C .
1
D . a 0 8
a
8
【例 8】若关于 x 的不等式ax b 0 的解集是( ,1) ,则关于 x 的不等式ax
b 0 的解集为()x 2
A.,1U2, B .( 1,2) C .(1,2) D .,1U 2,
【例9】0 b 1 a ,若关于x的不等式( x b)2 (ax)2的解集中的整数恰有3 个,则()A. 1 a 0 B . 0 a 1 C . 1 a 3 D . 3 a 6
【例 10】⑴要使满足关于 x 的不等式 2 x2 9x a 0 (解集非空)的每一个 x 至少满足不等式x2 4x 3 0 和 x2 6x 8 0 中的一个,则实数 a 的取值围是;
⑵已知不等式ax2 bx c 0 的解集是 x| x ,其中 1 ,则不等式
a ax2 bx c cx2 bx a 0 的解集是.
4. 解不等式与分类讨论
【例 11】设m R,解关于x的不等式m2x2 2mx 3 0 .
【变式】解关于 x 的不等式m 3 x 1 x 1 0(m R ) .
【点评】解含参数的不等式 , 进行讨论时要注意对所含字母的分类要做到不重不漏.
【例 12】求不等式 ax 2
的解集.2(a 1)x 4 0
【例 13】解关于 x 的不等式a(x
1) 1(a 1) x 2
【变式】解关于 x 的不等式x2(a a2 ) x a 30 .
【例 14】 解不等式 m 1 x 2
4x 1 ≤ 0 .
【点评】 对于二次项系数也含有参数的一元二次不等式,首先应判定二次项系数是否为零,分别加以
讨论,然后在二次项系数不为零的条件下,求出判别式
0 的零点,分类进行讨论 .
5. 与二次方程或可化为二次方程的解的问题结合,
【例 15】 关于 x 的方程 ax 2 2 x 1 0 至少有一个正的实根,则
a 的取值围是( )
A . a ≥ 0
B . 1≤ a ≤ 0
C . a 0 或 1 a 0
D . a ≥ 1
【例 16】 已知关于 x 的方程 (m
3) x 2 4 mx 2m
1 0 的两根异号,且负根的绝对值比正根大,那么实
数 m 的取值围是(
)
A . 3 m 0B
. 0 m 3 C . m 3 或 m 0 D . m 0 或 m 3
【例 17】 有如下几个命题:
①如果 x 1 , x 2 是方程 ax 2 bx c 0 的两个实根且
x 1 x 2 ,那么不等式 ax 2
bx c 0 的解集
为 { x | x 1 x x 2} ;
②当 b 2 4ac 0 时,二次不等式 ax 2
bx c 0 的解集为
;
③
x a
≤ 0 与不等式 ( x a )( x b) ≤ 0 的解集相同; x b ④ x
2
2 x
3 与 x 2 2x 3( x 1) 的解集相同. x 1
其中正确命题的个数是(
)
A . 3
B . 2
C . 1
D . 0
【例 18】 若关于 x 的方程 9x (4 a)3x 4 0 有解,数 a 的取值围 .
【例 19】 已知 a R ,若关于 x 的方程 x 2
x a
1 a 0 有实根,则 a 的取值围是 .
4
6. 恒成立问题
【例 20】 若不等式 ( a 2) x 2 2( a 2) x 4 0 对 x R 恒成立,则 a 的取值围是 ______.
【变式】
f ( x) ax 2
A . a ≤ 0
ax 1在 R 上恒满足
B . a 4
f (x)
0 ,则 a 的取值围是(
C . 4 a 0
D .
) 4
a ≤ 0
【变式】若对于 x R ,不等式mx22mx 3 0 恒成立,数 m 的取值围.
【点评】对于有关二次不等式 ax2 bx c 0 (或0 )的问题,可设函数 f ( x) ax2 bx c ,由 a 的符号确定其抛物线的开口方向,再根据图象与x 轴的交点,由判别式进行解决.
【例 21】⑴不等式 x2 ax 1≥ 0 对一切 x 0 ,1
成立,则 a 的最小值为()2
A. 0 B . 2 C .5
D . 3 2
⑵不等式 | x 3| | x 1|≤ a 2 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值围为()
A.,1U4,B.,2U5,
C.[1,2] D.,1U2,
【变式】对任意 a [ 1,1] ,函数 f ( x) x2( a 4) x 4 2a 的值恒大于零,则 x 的取值围为_________.
【例 22】若不等式
lg 2ax
在 x [1, 2] 时恒成立,试求 a 的取值围.lg( a
1
x)
【点评】将参数 a 从不等式
lg 2ax
中分离出来是解决问题的关键.lg( a
1
x)
【例 23】若 x,1,13x a a 2 9x0 恒成立,数 a 的取值围.
【例 24】设 f x x22ax 2 ,当 x 1 ,时,都有 f x ≥ a 恒成立,求 a 的取值围.
4 a 1
2a a 1
2
【例 25】设对所有实数x ,不等式 x2 2x log 2 0 恒成立,求 a 的取值围.
log 2 log 2
2
a a 1 4a
【例 26】已知不等式 ax24x 1≥ 2 x2 a 对任意实数恒成立,数 a 的取值围.
【例 27】 已知关于 x 的不等式 x 2
x t 0 对 x R 恒成立,则 t 的取值围是 .
【例 28】 如果 | x 1| | x 9 | a 对任意实数 x 恒成立,则 a 的取值围是( )
A . { a | a 8}
B . { a | a 8}
C . { a | a ≥ 8}
D . { a | a ≤ 8}
【例 29】 在 R 上定义运算
: x y x(1
y) .若不等式 ( x
a) ( x
a) 1对任意实数 x 成立,
则( )
A . 1 a 1
B . 0 a 2
C .
1 3 D .
3 1 2
a
a
2
2
2
【例 30】 设不等式 x 2 2ax a 2 ≤ 0 的解集为 M ,如果 M [1,4] ,数 a 的取值围.
【点评】 若将本题改为: [1,4] M ,求 a 的取值围,则本题等价于:
当 x [1,4] 时, x 2 2ax a 2 ≤ 0 恒成立,求 a 的取值围.
可以通过讨论对应二次函数的对称轴,或者在不等式中将 a 解出,通过求出对应的代数式的
取值围解决此问题.
仅用第二种方法略解如下:
x 2
2ax a 2
(1 2x)a
x 2 2 ≤ 0 ,故 (2 x 1)a ≥ x 2 2 ,
∵ x [1,4] ,∴ 2x 1≥ 1 0 ,从而要满足题意,只需
a ≥ x
2
2
,对 x [1,4] 恒成立即可.
2 x 1
故要求 x 2 2 在 x [1,4] 时的最大值,令 t 2x 1 [1,7] ,
2x 1
1 2
则 x 2 2 4 (t 1) 2 t 2 2t 9 1 1 9
2x 1 t 4t (t ) ,
2 4 t
由对勾函数的单调性知:上式在 t 1或 t 7 时取到最大值.
比较知:当 t 1时,上式有最大值 3 ,
故当 a ≥ 3 时,有 x 2 2ax a 2 ≤ 0
对 x [1,4] 恒成立. 即 a 的取值围为 [3,
) .
板块二:解不等式综合问题
(一)典例分析:
1.利用函数单调性解不等式
【例 31】解不等式: log x 1 (6 x x2 ) 2 .
【变式】解关于 x 的不等式: log x 3 (x2 3 x 4) 0 .
2. 解不等式与函数综合问题
【例 32】已知函数 f ( x)x3 ax2 b(a ,b R )
⑴若函数 f ( x) 图象上任意一点处的切线的斜率小于 1 ,求证: 3 a3 ;
⑵若 x 0 ,1 ,函数 y f ( x) 图象上任意一点处的切线的斜率为k ,试讨论k≤1的充要条件.
【备注】为了缩小讨论围,本题可以一开始将x 1代入3x22ax ≤ 1 中,解得 1≤ a ≤ 2 ,再进行讨论.本题讨论过程中的充要条件的得出结合二次函数的图象会比较容易理解,配图略.
【例 33】⑴求函数 f (x) 1 2 x 3x2 lg(15x2 2 x 1) 的定义域.
⑵ ( 省上杭二中08-09 学年单元质量检查必修 5 数学试题 )
如果关于 x 的不等式2kx2 kx 3 0 对一切实数x都成立,则k的取值围是.
8
⑶ ( 省上杭二中08-09 学年单元质量检查必修 5 数学试题 )
设 f ( x) 3ax 2a 1,若存在 x0 ( 1,1) ,使 f ( x0 ) 0 ,则实数a的取值围是()
1
B.a 1或a 1
C
1
A. 1 a
5 . a 1D .a
5 5
【例 34】已知函数 f ( x) x 1g( x2 1 x) ,若不等式 f (m 3x ) f (3x9 x2) 0 对任意x R 恒成立,数 m 的取值围.
【例 35】已知不等式
1 1 L 1 1 log a a 1 2
对于一切大于1的自然数 n 都成立,试数 a
n 1 n 2 2 n 12 3
的取值围 .
【例 36】已知二次函数 f (x) ax2x ,如果 x [0,1] 时 | f (x) |≤ 1 ,数 a 的取值围.
【点评】在闭区间 [0, 1]上使 | f ( x) |≤ 1 分离出 a ,然后讨论关于1
的二次函数在[1,) 上的单调性.x
【例 37】设二次函数 f x ax2 bx c a ,b ,c R ,a 0 满足条件:
⑴当 x R 时,f x 4 f 2 x ,且 f x ≥ x;
2
⑵当 x 0 ,2 时, f x ≤
x 1
2
⑶ f x 在R上的最小值为0 .
求最大的 m m 1 ,使得存在t R ,只要x1,m ,就有 f x t ≤ x .
【点评】本题所用方法为先根据已知条件求出 m 小于某个数,再验证 m 是否可取到此值,若能取到,则此值为 m 的最大值.
【例 38】设 a 为实数,函数 f x 2 x2x a x a .
⑴若 f 0 ≥ 1 ,求 a 的取值围;
⑵求 f x的最小值.
【变式】设函数 h x f x ,x a ,,直接写出(不需给出演算步骤)不等式h x ≥ 1 的解集.
....
【备注】 本题是卷的文理科必做题的最后一题, 文理不分卷, 但根据学生的不同有些学生另有选做题,
包括选考容与排列组合、空间向量等.
本题⑶问相当有难度,思路分析如下:
h( x) 3x 2
2ax a 2 ( x a ) , h(x) ≥ 1
3x 2 2ax a 2 1≥0.
对应的一元二次方程 3x 2 2ax a 2 1 0 的判别式 4(3 2a 2 ) ,
①当 ≤ 0 ,即 a
,
6 U
6
时,不等式的解集为 (a , ) ;
2 ,
2
②当
0 ,即 a
6 , 6 时,记小根 x 1 a
3 2 a 2 ,大根 x 2
a3 2a 2
,
2
2
3
3
当 a ≥ x 2 ,即 a ≥
2
时,不等式的解集为 (a , ) ;
2
当 x 1 ≤ a x 2 ,即
2
≤ a
2
时,不等式的解集为 [ x 2 , ) ;
2
2
当 a x 1 ,即 a
2
时,不等式的解集为 ( a ,x 1 ] U [ x 2 , ) .
2
综上可得答案.
【例 39】已知集合 D
x 1 ,x 2 | x 1 0 ,x 2
0 ,x 1
x 2
k ( 其中 k 为正常数 ).
⑴ 设 u x 1x 2 ,求 u 的取值围;
1
1
≤ k
2 2
⑵ 求证:当 k ≥ 1 时不等式 x 1
x 2 对任意 x 1 ,x 2
D 恒成立;
x 1
x 2 2 k
1
1
≥ k
2 2
⑶ 求使不等式 x 1
x 2 对任意 x 1 ,x 2 D 恒成立的 k 2 的围 .
x 1
x 2
2 k
【例 40】如果 f (x) 在某个区间 I 满足:对任意的 x 1 ,x 2 I ,都有
1
[ f (x 1 ) f (x 2 )] ≥ f x 1 x 2
,则称 f (x)
2
2
在 I 上为下凸函数;已知函数 f ( x)
1
a ln x .
x
⑴证明:当 a 0 时, f ( x) 在 (0 , ) 上为下凸函数;
⑵若 f (x) 为 f ( x) 的导函数,且
x
1
, 时, | f ( x) | 1 ,数 a 的取值围.
2
2
【例41】在R上定义运算: p q 1 p c q b 4bc (b、 c 为实常数).记 f1 x x2 2c ,
3
f2 x x 2b ,x R.令 f x f1 x f 2 x .
⑴如果函数 f x 在x 1处有极值4
,试确定 b 、c的值;3
⑴求曲线 y f x 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点;
⑵令 g x f x ,记函数 g x 在区间 1 ,1 上的最大值为 M .若b 1 ,证明对任意的 c ,都
有 M 2 .
【例 42】设 f x ax2 bx c a 0 ,若 f (0) ≤ 1 , f (1)≤ 1 , f ( 1) ≤ 1 ,
试证明:对于任意1≤ x ≤ 1 ,有 f x≤5 .4
高中数学解不等式方法+练习题
不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 (一) 知识容 1.含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式不等式,叫做一元二次不等式. 一元二次不等式的解集,一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表(以0a >为例): 有关含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决.其方法大致有:①用一元二次方程根的判别式,②参数大于最大值或小于最小值,③变更主元利用函数与方程的思想求解. 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈,且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一:解一元二次不等式 解不等式
(二)主要方法 1.解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式,然后求出对应方程的根(若有根的话),再写出不等式的解:大于0时两根之外,小于0时两根之间; 2.分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理; 3.高次不等式主要利用“序轴标根法”解. (三)典例分析: 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 . 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为( ) A .{|31}x x x -或≥≤ B .{|13}x x -≤≤ C .{|31}x x -≤≤ D .{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是( ) A .132? ?-??? ? , B .132??-????, C .(]11132??????U ,, D .(]11132?? -???? U ,, 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ,则不等式 220.011 n n -<+的解集为( ) A .{}|199n n n *∈N ≥, B .{}|200n n n *∈N ≥, C .{}|201n n n *∈N ≥, D .{}|202n n n *∈N ≥, 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为( ) A .{}{}|01|1x x x x <<>U B .{}|01x x << C .{}|10x x -<< D .{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集,则实数a 的取值围是 _. 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是_________. 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123,,,则b 的取值围为 . 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解,则实数a 的取值围是( ) A .4a <- B .4a >- C .12a >- D .12a <- 【变式】 ⑴已知0a <,则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同,则a b -=______.
高中数学不等式练习题
1、设恒成立的c的取值范围是 A.B.C.D. 2、设,且(其中),则M的取值范围是A.B.C.D. 3、若实数、满足,则的取值范围是 A.B.C.D. 4、已知,,,则的最小值是() (A)(B)4(C)(D) 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分,则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知,若在上恒成立,则实数的取值范围是()
A.B.C.D. 7、已知正实数满足,则的最小值为。 8、如图,目标函数可行域为四边形(含边界),若是该目标函数的最优解,则的取值范围是() (A)(B)(C)(D) 的最大值与最小值之和为 9、函数,当时,恒成立,则 D. 10、已知正数满足,则的最小值为 A.3B.C.4D. 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。(1)证明:;(2)证明:; (3)若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件,若目标函数的最大值为10,则的最小值为.
13、已知对任意实数x,二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负,且a(完整版)高二数学不等式练习题及答案(经典)
不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a >b,则 ( ) (A )a 2>b 2 (B ) a b <1 (C )lg(a-b)>0 (D )(21)a <(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) (A )lgx+log x 10≥2(x >1) (B )a 1 +a ≥2 (a ≠0) (C ) a 1<b 1 (a >b) (D )a 21+t ≥a t (t >0,a >0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a -b -1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n -n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 不等式训练1 A 一、选择题(六个小题,每题5分,共30分) 1.若02522 >-+-x x ,则221442-++-x x x 等于( ) A .54-x B .3- C .3 D .x 45- 2.函数y =log 2 1(x +11+x +1) (x > 1)的最大值是 ( ) A .-2 B .2 C .-3 D .3 3.不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A .{x| 43≤x ≤2} B .{x|4 3≤x <2} C .{x|x >2或x ≤43} D .{x|x <2} 4.设a >1>b >-1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A .b a 11< B . b a 11> C .a >b 2 D .a 2>2b 5.如果实数x,y 满足x 2+y 2=1,则(1-xy) (1+xy)有 ( ) A .最小值 21和最大值1 B .最大值1和最小值4 3 C .最小值43而无最大值 D .最大值1而无最小值 6.二次方程x 2+(a 2+1)x +a -2=0,有一个根比1大,另一个根比-1小, 则a 的取值范围是 ( ) A .-3<a <1 B .-2<a <0 C .-1<a <0 D .0<a <2 二、填空题(五个小题,每题6分,共30分) 1.不等式组? ??->-≥32x x 的负整数解是____________________。 2.一个两位数的个位数字比十位数字大2,若这个两位数小于30, 则这个两位数为____________________。 3.不等式0212<-+x x 的解集是__________________。 4.当=x ___________时,函数)2(22x x y -=有最_______值,其值是_________。 5.若f(n)=)(21)(,1)(,122N n n n n n n g n n ∈= --=-+?,用不等号 连结起来为____________. 高中数学基本不等式的巧用 1.基本不等式:ab ≤a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R );(2)b a +a b ≥2(a ,b 同号);(3)ab ≤? ?? ??a +b 22(a ,b ∈R ); (4)a 2+b 22≥? ?? ??a +b 22(a ,b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a +b 2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p .(简记:积定和最小) (2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是p 24.(简记:和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a 2+b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a +b 22(a ,b >0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等. 两个变形 (1)a 2+b 22≥? ?? ??a +b 22≥ab (a ,b ∈R ,当且仅当a =b 时取等号); a +b 这两个不等式链用处很大,注意掌握它们. 三个注意 (1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知54x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。 技巧三: 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四:换元 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例:求函数224y x =+的值域。 练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. (1)231,(0)x x y x x ++=>(2)12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2.已知01x <<,求函数(1)y x x = -.;3.203 x <<,求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ,则b a 33+的最小值是. 变式:若44log log 2x y +=,求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。 2:已知0,0x y >>,且191x y +=,求x y +的最小值。 第三章 不等式 一、选择题 1.已知x ≥2 5 ,则f (x )=4-25+4-2x x x 有( ). A .最大值45 B .最小值4 5 C .最大值1 D .最小值1 2.若x >0,y >0,则221+)(y x +221 +)(x y 的最小值是( ). A .3 B . 2 7 C .4 D . 2 9 3.设a >0,b >0 则下列不等式中不成立的是( ). A .a +b + ab 1≥22 B .(a +b )( a 1+b 1 )≥4 C 22 ≥a +b D . b a ab +2≥ab 4.已知奇函数f (x )在(0,+∞)上是增函数,且f (1)=0,则不等式x x f x f ) ()(--<0 的解集为( ). A .(-1,0)∪(1,+∞) B .(-∞,-1)∪(0,1) C .(-∞,-1)∪(1,+∞) D .(-1,0)∪(0,1) 5.当0<x <2 π时,函数f (x )=x x x 2sin sin 8+2cos +12的最小值为( ). A .2 B .32 C .4 D .34 6.若实数a ,b 满足a +b =2,则3a +3b 的最小值是( ). A .18 B .6 C .23 D .243 7.若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ++,所表示的平面区域被直线y =k x +34分为面积相等的两部分,则k 的值是( ). A . 7 3 B . 37 C . 43 D . 34 8.直线x +2y +3=0上的点P 在x -y =1的上方,且P 到直线2x +y -6=0的距离为 高中数学不等式练习题 一.选择题(共16小题) 1.若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是() A.a+<<log2(a+b))B.<log2(a+b)<a+ C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b))<a+< 2.设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则() A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 3.若x,y满足,则x+2y的最大值为() A.1 B.3 C.5 D.9 4.设x,y满足约束条件,则z=2x+y的最小值是()A.﹣15 B.﹣9 C.1 D.9 5.已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是()A.0 B.2 C.5 D.6 6.设x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为() A.0 B.1 C.2 D.3 7.设x,y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是()A.[﹣3,0]B.[﹣3,2]C.[0,2]D.[0,3] 8.已知变量x,y满足约束条件,则z=x﹣y的最小值为()A.﹣3 B.0 C.D.3 9.若变量x,y满足约束条件,则目标函数z=﹣2x+y的最大值为()A.1 B.﹣1 C.﹣ D.﹣3 10.若a,b∈R,且ab>0,则+的最小值是() A.1 B.C.2 D.2 11.已知0<c<1,a>b>1,下列不等式成立的是() A.c a>c b B.a c<b c C.D.log a c>log b c 12.已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则的最小值是() A.2 B.2 C.4 D.2 13.设a>0,b>2,且a+b=3,则的最小值是() A.6 B.C.D. 14.已知x,y∈R,x2+y2+xy=315,则x2+y2﹣xy的最小值是() A.35 B.105 C.140 D.210 15.设正实数x,y满足x>,y>1,不等式+≥m恒成立,则m的最大值为() A.2 B.4 C.8 D.16 16.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=的最小值为()A.B.C.D. 二.解答题(共10小题) 17.已知不等式|2x﹣3|<x与不等式x2﹣mx+n<0的解集相同. (Ⅰ)求m﹣n; (Ⅱ)若a、b、c∈(0,1),且ab+bc+ac=m﹣n,求a+b+c的最小值. 18.已知不等式x2﹣2x﹣3<0的解集为A,不等式x2+x﹣6<0的解集为B.(1)求A∩B; 一元二次不等式及其解法 1.形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式. 2.一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0 二次函数c bx ax y ++=2 (0>a )的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。(如果是负,那么在不等式两边都乘以-1,把系数变为正) 2、解对应的一元二次方程。(先看能否因式分解,若不能,再看△,然后求根) 3、求解一元二次不等式。(根据一元二次方程的根及不等式的方向) 不等式的解法---穿根法 一.方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2 -4 -5 2 2 1 1 3 1 精品文档 高中数学不等式练习题 一.选择题(共16小题) 1.若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是() +ab)<log(a+a+b))B<A.a+.<<log(22<+b))<a()<D.loga+C.a+<log(a+b22xyz,则(=3=5x、y、z为正数,且2)2.设 A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 满足,则x+2y的最大值为(x,y)3.若 D.9A.1 B.3 C.5 满足约束条件yx,4的最小值是().设,则z=2x+y A.﹣15 B.﹣9 C.1 D.9 满足约束条件,yx)5.已知,则z=x+2y的最大值是( A.0 B.2 C.5 D.6 满足约束条件,则z=x+y的最大值为(.设x,y)6 A.0 B.1 C.2 D.3 满足约束条件y.设x),7z=x则﹣y的取值范围是( A.[﹣3,0],D .[03] B.[﹣3,2]],[C.02 满足约束条件﹣,则z=xyy.已知变量x,的最小值为()8 .D.0 B.﹣A3 .C3 精品文档. 精品文档 满足约束条件,则目标函数z=﹣2x+y的最大值为(9.若变量x,y) .﹣DC.﹣3A.1 B.﹣1 +的最小值是(,且ab>0),则10.若a,b∈R 2..2 BD.CA.1 11.已知0<c<1,a>b>1,下列不等式成立的是() ccab.D.logc>B.alog<bcA.c >cC ba yx,则lg8,lg2=lg2+12.已知x >0,y>0的最小值是() 2D.2 C.BA.2 .4 ,则的最小值是( +b=3)>0,b>2,且a13.设a ...CDA.6 B 2222﹣xy的最小值是(xy=315,则x+.已知14x,y∈R,xy+y)+ A.35 B.105 C.140 D.210 +≥m1恒成立,则,不等式m的最.设正实数x,y满足x>,y>15)大值为( 16D.2 B..4 C.8 高中数学不等式综合测试题 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.共60分) 1.(文)设a b <,c d <,则下列不等式中一定成立的是( ) A .d b c a ->- B .bd ac > C .d b c a +>+ D .c b d a +>+ (理)已知a <0,-1> B .2ab ab a >> C .2ab ab a >> D .2 ab a ab >> 2.“0>>b a ”是“2 2 2b a ab +<”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 3.(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( ) A .R B .φ C .),(+∞a b D .(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能...是( ) A .φ B .R C .),(+∞a b D .),(a b --∞ 4.不等式022>++bx ax 的解集是)3 1,21(-,则b a -的值等于( ) A .-14 B .14 C .-10 D .10 5.(文)不等式|1|2x -<的解集是( ) A .{|03}x x ≤< B .{|22}x x -<< C .{|13}x x -<< D .{|1,3}x x x <-> (理)不等式||x x x <的解集是( ) A .{|01}x x << B .{|11}x x -<< C .{|01x x <<或1}x <- D .{|10,1}x x x -<<> 6.(文)若0b a <<,则下列结论不正确... 的是( ) A . 11a b < B .2b ab < C .2>+b a a b D .||||||b a b a +>+ (理)若011<+b a a b D .||||||b a b a +>+ 7.若13)(2+-=x x x f ,12)(2-+=x x x g ,则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A .)()(x g x f > B .)()(x g x f = C .)()(x g x f < D .随x 值变化而变化 8.下列各式中最小值是2的是( ) A .y x +x y B .4 5 22++x x C .tan x +cot x D .x x -+22 9.下列各组不等式中,同解的一组是( ) A .02>x 与0>x B .01 )2)(1(<-+-x x x 与02<+x C .0)23(log 2 1>+x 与123<+x D .112≤--x x 与112≤--x x 10.(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,那么a 的取值范围是( ) A .}8|{a a C .}8|{≥a a D .}8|{≤a a 高中数学必修(5)不等式专题检测 说明:本试卷分第一卷和第二卷两部分,第一卷50分,第二卷100分,共150分;答题时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题共50分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题5分,共50分). 1.若R c b a ∈,,,且b a >,则下列不等式一定成立的是 ( ) A .c b c a -≥+ B .bc ac > C . 02 >-b a c D .0)(2 ≥-c b a 2.若0< B .a b a 1 1>- C .3 131b a < D .3 2 3 2b a > 3.若关于x 的不等式m x x ≥-42 对任意]1,0[∈x 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .3-≤m B .3-≥m C .03≤≤-m D .03≥-≤m m 或 4.已知实数x ,y 满足x 2+y 2=1,则(1-xy )(1+xy )有 ( ) A .最小值 21 和最大值1 B .最小值 4 3 和最大值1 C .最小值21和最大值4 3 D .最小值1 5.设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y y x x b +++=11, a 与b 的大小关系 ( ) A .a >b B .a ---x a x x 在内有解,则实数a 的取值范围是( ) A .4-a C .12->a D .12---x a 则实数a 的取值范围是 ( ) A .1||a D .2||1< 高一数学不等式练习题 1、不等式1 1 2x <的解集是( ) A .(,2)-∞ B .(2,)+∞ C .(0,2) D .()0,∞-?(2,)+∞ 2、不等式2 01x x -+≤的解集是( ) A .(1)(12]-∞--,, B .[12]-, C .(1)[2)-∞-+∞,, D .(12]-, 3、已知集合M ={x |x 2<4},N ={x |x 2-2x -3<0},则集合M ∩N =( ) (A ){x |x <-2} (B ){x |x >3} (C ){x |-1<x <2} (D ){x |2<x <3} 4 ) A. D. 5、不等式203x x ->+的解集是( ) (A)(-3,2) (B)(2,+∞) (C) (-∞,-3)∪(2,+∞) (D) (-∞,-2)∪(3,+∞) 6、若不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ???,成立,则a 的最小值为( ) A.0 B.2- C.5 2- D.3- 7、设x 、y 为正数,则有(x+y)(1 x +4 y )的最小值为( ) A .15 B .12 C .9 D .6 8、.若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) (A)a <-1 (B)a ≤1 (C) a <1 (D )a ≥1 9、下面给出的四个点中,位于???>+-<-+01, 01y x y x 表示的平面区域内的点是( ) (A )(0,2) (B)(-2,0) (C)(0,-2) (D)(2,0) 10、已知函数()???≥ -<+-=01 1x x x x x f ,则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是( ) (A) {}121|-≤≤-x x (B) { }1|≤x x (C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x 不等式综合练习题 常用不等式有:(1 2211 a b a b +≥≥≥+ ; (2)a 、b 、c ∈R ,222 a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时取=;) (3)若0,0a b m >>>,则b b m a a m +<+(糖水的浓度问题)。 常用的放缩技巧有:(1)21111111 1(1)(1)1n n n n n n n n n -=<<=-++-- <<= 1、对于实数c b a ,,中,给出下列命题: ①22,bc ac b a >>则若; ②b a bc ac >>则若,22; ③22,0b ab a b a >><<则若; ④b a b a 1 1,0<<<则若; ⑤b a a b b a ><<则 若,0; ⑥b a b a ><<则若,0; ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0; ⑧11 ,a b a b >>若,则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ 2、已知c b a >>,且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 3、设0,10>≠>t a a 且,比较2 1log log 21+t t a a 和的大小 4、设2a >,1 2 p a a =+ -,2422-+-=a a q ,试比较q p ,的大小 5、比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 6、下列命题中正确的是 A 、1y x x =+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2 C 、4 23(0)y x x x =-->的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =-->的最小值是2- 7、若21x y +=,则24x y +的最小值是______ 8、正数,x y 满足21x y +=,则 y x 1 1+的最小值为______ 9、如果正数a 、b 满足3++=b a ab ,则ab 的取值范围是_________ 10、(1)已知c b a >>,求证:2 22222ca bc ab a c c b b a ++>++ ; (2) 已知R c b a ∈,,,求证:)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++; (3)已知,,,a b x y R +∈,且 11,x y a b >>,求证:x y x a y b >++; (4)若a 、b 、c 是不全相等的正数,求证: lg lg lg lg lg lg 222 a b b c c a a b c +++++>++; (5)已知R c b a ∈,,,求证:2222a b b c +22 ()c a abc a b c +≥++; (6)若* n N ∈(1)n +< n ; (7)已知||||a b ≠,求证:|||||||| |||| a b a b a b a b -+≤-+; (8)求证:222111 1223n ++++<。 11、解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。 12、不等式(0x -的解集是____ 一.选择题 1.已知直线ax+by=1经过点(1,2),则2a+4b的最小值为() A.B.2C.4 D.4 2.已知x,y都是正数,且xy=1,则的最小值为() A.6 B.5 C.4 D.3 3.若a,b都是正数,则的最小值为() A.7 B.8 C.9 D.10 4.下列关于不等式的结论中正确的是() A.若a>b,则ac2>bc2B.若a>b,则a2>b2 C.若a<b<0,则a2<ab<b2D.若a<b<0,则> 5.若m、n是任意实数,且m>n,则() A.m2>n2B.C.lg(m﹣n)>0 D. 6.若直线=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于() A.2 B.3 C.4 D.5 7.若直线mx+ny+2=0(m>0,n>0)截得圆(x+3)2+(y+1)2=1的弦长为2,则+的最小值为()A.6 B.8 C.10 D.12 8.已知不等式的解集为{x|a<x<b},点A(a,b)在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则的最小值为()A.B.8 C.9 D.12 9.若m+n=1(mn>0),则+的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知x+3y=2,则3x+27y的最小值为() A. B.4 C. D.6 11.若x<0,则x+的最大值是() A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.2 12.已知a,b,c,是正实数,且a+b+c=1,则的最小值为() A.3 B.6 C.9 D.12 二.填空题 1.已知正数x,y满足x+y=1,则的最小值为. 2.已知a>0,b>0,且a+b=2,则的最小值为. 3.已知x>1,则函数的最小值为. 4.设2<x<5,则函数的最大值是. 5.函数f(x)=1+log a x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny﹣2=0上,其中mn>0,则的最小值为. 6.已知x>1,则函数y=2x+的最小值为. 4 高中数学必修五不等式测试题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。) 1.设a1b B .1a-b >1 a C .a b D .a 2>b 2 2.设,a b R ∈,若||0a b ->,则下列不等式中正确的是( ) A .0b a -> B .330a b +< C .220a b -< D .0b a +> 3.如果正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,那么( ) A .ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 B .ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 C .ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 D .ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 4.已知直角三角形的周长为2,则它的最大面积为( ) A .3-2 2 B .3+2 2 C .3- 2 D .3+ 2 5.已知0,0a b >> ,则11 a b ++ ) A .2 B . C .4 D .5 6.若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且,则下列代数式中值最大的是( ) A .1122a b a b + B .1212a a bb + C .1221a b a b + D .1 2 7.当0 高中数学-基本不等式测试题 自我小测 1.若a >b >1,P Q = 12(lg a +lg b ),lg 2a b R ?? ???+=,则( ). A .R <P <Q B .P <Q <R C .Q <P <R D .P <R <Q 2.设x ,y ∈R ,且x +y =5,则3x +3y 的最小值是( ). A .10 B .. D .3.已知不等式(x +y )(1a x y +)≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为 ( ). A .2 B .4 C .6 D .8 4.下列命题:①1x x +的最小值是22+的最小值是22的最小值是2;④423x x +-的最小值是2,其中正确的命题的个数是( ). A .1 B .2 C .3 D .4 5.若正数a ,b 满足ab =a +b +3,则ab 的取值范围是__________. 6.(1)若x >0,求12()3f x x x = +的最小值; (2)若x <0,求12()3f x x x =+的最大值. 7.求函数25152 x x y x ++=+(x ≥0)的最小值. 8.建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池,如果池底的造价为每平方米120元,池壁的造价为每平方米80元,求这个水池的最低造价. 9.求函数2212sin cos y αα=+,π02α??∈???? ,时的最小值. 参考答案 1. 答案:B 解析:∵a >b >1?lg a >0,lg b >0, ∴Q =12 (lg a +lg b )P ,12R =(lg a +lg b )=Q ,∴R >Q >P . 2. 答案:D 解析:33x y ≥+. 3. 答案:B 解析:1()1a ax y x y a x y y x ?? ???++=+++211)a ≥++,当且仅当y x 取等号, ∵1 ()9a x y x y ??≥ ??? ++对任意正实数x ,y 恒成立, ∴需21)9≥.∴a ≥4. 4. 答案:A 解析:当x <0时,1x x +无最小值,∴①错误;当x =02+的最小值是2, 2+取得最小值2,但此时x 2 =-3不成立, 2 +取不到最小值2,∴③错误;当x >0时,4 23<0x x --,∴④错误. 5. 答案:[9,+∞) 解析:t (t >0), 由ab =a +b +3≥3,则有t 2≥2t +3, ∴t ≥3或t ≤-1(舍去)3≥. ∴ab ≥9,当a =b =3时取等号. 6. 解:(1)x >0,由基本不等式,得12()312f x x x ≥= +.(新)高一数学不等式测试题
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