综合训练一

综合训练一

一、选择题（共12小题；共60分）

1.

已知，，若，则实数的取值范围为

A. C. D.

2. 若复数（其中，是虚数单位）的实部与虚部相等，则

A. B. C. D.

3. 在等差数列中，若，，则的值是

D.

4.

已知双曲线的一条渐近线为

A. B. C.

5. 将名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排人，青岛至少安排人，则

不同的安排方法数为

A. B. C. D.

6.

若不等式成立的必要条件是，则实数的取值范围是

A. B. C. D.

7.

在区间内随机取两个实数，，则满足的概率是

A. B. D.

8.

如图所示，一个几何体的三视图中四边形均为边长为的正方形，则这个几何体的体积为

A. B. C. D.

9. 如图：，分别是函数的图象与两

条直线，的两个交点，记，则图象大

致是

A. B.

C. D.

10. 已知为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中的常数项是

A. B. C. D.

11. 如图所示点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆

的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围

是

A. B. D.

12. 已知函数函数．若函数恰

好有个不同零点，则实数的取值范围是

A. B.

D.

二、填空题（共4小题；共20分）

13. 已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为．

14. 在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成的角

的取值范围是．

15. 对于（为公比）的无穷等比数列（即项数是无穷项），我们定义（其中

是数列的前项的和）为它的各项的和，记为，即，则循环小数

的分数形式是．

16. 对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使

得对任意都有恒成立，则称函数有一个宽度为的通道．给出下列函数：

①；

②；

③；

④．

其中在区间上通道宽度可以为的函数有（写出所有正确的序号）．

三、解答题（共7小题；共80分）

17. 在中，已知，，且．

（1）求角的大小和边的长；

（2）若点在内运动（包括边界），且点到三边的距离之和为，设点到，的距离分别为，，试用，表示，并求的取值范围．

18. 某权威机构发布了年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”．随后，

该市某校学生会组织部分同学，用“分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：

（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若幸福度不低于分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这人中随机选取人，至多有人是“极幸福”的概率；

（3）以这人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．

19. 如图，在四棱锥中，，，，

，．

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．

20. 已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线

与椭圆交于，两点，且点的坐标为，点是椭圆上的任

意一点，点满足，．

（1）求椭圆的方程；

（2）求点的轨迹方程；

（3）当，，三点不共线时，求面积的最大值．

21. 已知函数．

（1）当时，求的极值；

（2）若，存在两个极值点，，试比较与的大小；

（3．

22. 已知曲线的参数方程为，以原点为极点，以轴的正半轴为极

轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标系方程；

（2）设是曲线上的点，是曲线上的点，求的最小值．

23.

已知是常数，对任意实数，不等式都成立．

（1）求的值；

（2）设，求证：．

答案

第一部分

1. C 【解析】，，

又因为，

所以．

2. A 【解析】复数

由条件复数（其中，是虚数单位）的实部与虚部相等，得，，

解得．

3. B 【解析】设等差数列的公差为，

因为，，

所以，，

联立解得，

所以

4. A 【解析】由已知得

5. C

【解析】名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排人，青岛至少安排人，分两类，

第一类，青岛安排人，济南安排人，有种，

第二类，青岛安排人，济南安排人，有种，

根据分类计数原理可得种．

6. A

【解析】不等式，则，

因为不等式成立的必要条件是，

所以

解得．

7. D 【解析】由题意可得，的区域为边长为的正方形，面积为，满足

的区域为图中阴影部分，

面积为的概率是．

8. C 【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个正方体挖去两个圆锥所得的组合体，由正方体的棱长为，

故正方体的体积为：，圆锥的体积为：

故这个几何体的体积为

9. C 【解析】由已知条件及所给函数的图象知，图象从点到点的变化正好是半个周期，故，只有C符合．

10. C

【解析】根据程序框图，得初始值：，，

第一次循环：，，

第二次循环：，，

第三次循环：，，

第四次循环：，．

因为，跳出循环，

输出，

所以二项式的可以化为：，

令，得，

所以展开式中的常数项是．

11. B 【解析】抛物线的准线，

由抛物线定义可得，

圆的圆心为，半径为，

所以的周长，

由抛物线及圆可得交点的横坐标为，

所以，

所以．

12. D 【解析】函数恒过定点，

当时，函数有个零点；

当时，函数与有一个交点，与有一个交点，所以此

时有两个不同零点；

当时，若函数有两个零点时，则函数一定与

有一个交点，与有一个交点，或者函数与函数有两个不同的

交点，所以方程一定有解，则，即时，函数与无交点，与有一个交点．综上的取值范围是

．

第二部分

【解析】根据条件，在．

14.

【解析】因为，

所以与成角可化为与成角．

因为是正三角形可知当与重合时成角为，

因为不能与重合因为此时与平行而不是异面直线，

所以．

15.

．

16. ①③④

【解析】函数①，在区间上的值域为，满足，

所以该函数在区间上通道宽度可以为；

函数②，在区间上的值域为，

满足，

所以该函数在区间上通道宽度可以为；

函数③，在区间上的图象是双曲线在第一象限的部分，其渐近线为，满足，

所以该函数在区间上通道宽度可以为；

函数④，在区间上的值域为，

满足，

所以该函数在区间上通道宽度可以为．

故满足题意的有①③④．

第三部分

17. （1）因为，

所以，

所以

所以，

由余弦定理得：

所以．

（2）由（）知，为以为直角的直角三角形，

如图，

设到的距离为，

，得

所以，

化目标函数为，

由题意得：在与点重合时最小，为，

当直线过点时有最大值为．

所以的取值范围为．

18. （1）众数：；中位数：．

（2）设表示所取人中有个人是“极幸福”，至多有人是“极幸福”记为事件，则

．

（3）的可能取值为，，，．

则，，．

，，，

．

所以的分布列为：

所以．

19. （1）因为，，，

所以，

结合，可得分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

可得，，，，，，

所以，，，

得，，

所以且，

因为，是平面内的相交直线，

所以．

因为，

所以．

（2）由（）得平面的一个法向量是

设直线与平面所成的角为，

则，

解之得，

因为，

所以，可得的坐标为，

设平面的一个法向量为，，

由

令，可得

所以

由图形可得二面角的平面角是锐角，

所以二面角的平面角的余弦值为．

20. （1）因为双曲线的顶点为，，

所以椭圆两焦点分别为，．

设椭圆方程为，

因为椭圆过点，

所以，得．

所以．

所以椭圆的方程为．

（2）设点，点，

由及椭圆关于原点对称可得，

所以，，，

．

由，得，

即

同理，由，得

得

由于点在椭圆上，则，得，

代入式得．

当时，有，

当，则点或，

此时点对应的坐标分别为或，其坐标也满足方程，

所以点的轨迹方程为．

（3）点到直线的距离为

的面积为．

而（当且仅当时等号成立），

所以

当且仅当时，等号成立．

由解得

所以的面积最大值为，此时，点的坐标为或．

21. （1）当时，，

定义域为

，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故，没有极大值．

（2），

．

因为，

所以，

所以，

令，得，

所以

设，则当时，，

所以设，

则当时，，

所以在上单调递减，，

即恒成立．

综上所述，．

（3）由（Ⅱ）知，当时，恒成立，

即恒成立．

设，则，

所以，

所以，，，，，

所以，

所以，．

22. （1）由可得，

所以，即．

（2）曲线的参数方程为，消去得：．

所以曲线的直角坐标方程为．

因为是曲线上的点，是曲线上的点，

所以的最小值等于到直线的距离的最小值．设，到直线的距离为，

则．

所以的最小值为．

23. （1）设，

所以的最大值为．

因为对任意实数，都成立，

即，所以．

设，

则的最小值为．

因为对任意实数，都成立，

即，所以．

所以．

（2）由⑴知．

因为，

且，

所以，所以．