考研数学二试题及标准答案

2002年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题解析

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）

（1）设函数???????≤>-=0,

e ,0,2arcsin e 1)(2tan x a x x x

f x

x

在0=x 处连续，则=a ______．

【答案】2-

【考点】函数的左极限和右极限、函数连续的概念 【难易度】★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

若函数)(x f 在0x x =处连续，则有;)()(lim )(lim 00

x f x f x f x x x x ==+-→→

解析：tan 0001tan lim ()lim lim 2arcsin

22

x x x x e x

f x x x

+++→→→--=-== 20

lim ()lim ,(0),x

x x f x ae a f a --

→→===

()f x 在0x =处连续(0)(0)(0),f f f +

-

?==即 2.a =- （2）位于曲线x

xe y -=,+∞<≤x 0下方，x 轴上方的无界图形的面积是______．

【答案】1

【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积 【难易度】★★

【详解】解析：所求面积为1)(0

0=-=+-=-==

+∞

-∞

+-+∞--∞

+∞

+-??

?x

x x

x x

e

dx e xe

e xd dx xe S ．

其中，(

)01

lim lim lim =--=-+∞

→+∞

→-+∞

→x

x x

x x

x e e x xe

洛必达.

（3）微分方程02

='+"y yy 满足初始条件10

==x y

，2

1

|0=

'=x y 的特解是______． 【答案】1y x =+

【考点】可降阶的高阶微分方程 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

可降阶的高阶微分方程,若缺x ，则令dy

dp p

y p y =''=',. 解析：方法1：将2

0yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=.以初始条件1

(0)1,(0)2

y y '==代入，有1112C ?

=，所以得1

2

yy '=.即21yy '=，改写为2()1y '=.解得2,y x C =+2y x C =±+.再以初值代入，21C =±所以应取""+且21C =.于是特解1y x =

+.

方法2：这是属于缺x 的类型(,)y f y y '''=.命,dp dp dy dp

y p y p dx dy dx dy

'''==

==. 原方程2

0yy y '''+=化为20dp yp

p dy +=，得0p =或0dp y p dy

+= 0p =即

0dy dx =，不满足初始条件1

'02

y x ==，弃之， 由0dp y

p dy +=按分离变量法解之，得1.C y 由初始条件11,'002

y y x x ====可将1C 先定出来：

1111

,212

C C ==.于是得12dy dx y =,解之，得222,y x C y x C =+=±+.以0

1x y ==代入，得

21C =±，所以应取“+”号且21C =.于是特解是1y x =+.

（4）++++∞→n

n n n π

2cos 1πcos 1[1lim

=++]πcos 1n n Λ______． 【答案】

22

π

【考点】定积分的概念 【难易度】★★★

【详解】解析：记 121cos 1cos ...1cos n n u n n n n πππ??=++++++????111cos ,n i i n n

π

==+∑

所以 101

1lim lim 1cos 1cos n n n n i i u xdx n n π

π→∞→∞==+=+∑?

1

1

1

20

2cos 2cos

2cos

2

2

2

x

x

x

dx dx dx πππ===?

??

1

2

22

2sin

2x ππ

π

=?

=

.

（5）矩阵??

??

?

?????-----222222220的非零特征值是______．

【答案】4

【考点】矩阵的特征值的计算 【难易度】★★

【详解】解析：22222

2

2

022

22

22E A λ

λ

λλλλ

λλ-=--=--20

001

1

(4)222

λλλλλ==--

故4λ=是矩阵的非零特征值.（另一个特征值是0λ=(二重)）

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）

（1）设函数)(u f 可导，)(2

x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=?x 时，相应的函数增量y ?的线性主部为1.0，则)1(f '＝（ ） （A ）－1． （B ）0.1．

（C ）1．

（D ）0.5．

【答案】D

【考点】导数的概念、复合函数的求导法则 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点： ①dy 为y ?的线性主部； ②)()]([))]([(x g x g f x g f ''='； 解析：在可导条件下，0

()x x dy

y x o x dx

=?=

?+?.

当00x x dy dx =≠时0

x x dy x dx =?称为y ?的线性主部， 现在2()2dy x f x x x dx '?=?，以1,0.1x x =-?=-

代入得(1)0.2dy x f dx

'?=?，由题设它等于0.1，于是(1)0.5f '=，应选（D ）.

（2）设函数)(x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ ） （A ）.d )(2

0t t f x

?

（B ）.d )(20t t f x

?

（C ）

.d )]()([0

t t f t f t x

--?

（D ）

.

d )]()([0

t t f t f t x

-+?

【答案】D

【考点】函数的奇偶性、积分上限的函数及其导数 【难易度】★★

【详解】解析：[()()]t f t f t +-为t 的奇函数，

[()()]x

t f t f t dt +-?

为x 的偶函数，（D ）正确，（A ）、

（C ）是x 的奇函数，（B ）可能非奇非偶.例如()1f t t =+，均不选.

（3）设)(x y y =是二阶常系数微分方程x

qy py y 3e =+'+"满足初始条件=)0(y

0)0(='y 的特解，则当0→x 时，函数)

()

1ln(2x y x +的极限 （ ）

（A ）不存在． （B ）等于1．

（C ）等于2．

（D ）等于3．

【答案】C

【考点】洛必达法则、佩亚诺型余项泰勒公式 【难易度】★★

【详解】解析：方法1：220000ln(1)222

lim

lim lim lim 2()

()()()1x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+==='''洛洛 方法2：由(0)(0)0,(0)1y y y '''===.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有

22

()00()2x y x o x =+++，代入，有222000222

ln(1)1lim lim lim 211()()()22x x x x x o x y x x o x x

→→→+==++=. （4）设函数)(x f y =在),0(+∞内有界且可导，则（ ） （A ）当0)(lim =+∞

→x f x 时，必有.0)(lim ='+∞

→x f x

（B ）当)(lim x f x '+∞

→存在时，必有.0)(lim ='+∞

→x f x

（C ）当0)(lim 0

=+→x f x 时，必有.0)(lim 0

='+→x f x

（D ）当)(lim 0

x f x '+→存在时，必有.

0)(lim 0

='+→x f x

【答案】B

【考点】导数的概念 【难易度】★★★★

【详解】解析：方法1：排斥法 （A ）的反例21()sin ,f x x x =

它有界，221

()sin 2cos ,lim ()0x f x x x f x x

→+∞'=-+=，

但lim ()x f x →+∞'不存在.(C)与(D)的反例同（A ）的反例.0lim ()0x f x →+

=,但0lim ()10x f x →+

'=≠，（C ）不成立；0lim ()10x f x →+

'=≠，

（D ）也不成立.（A ）、（C ）、（D ）都不对，故选（B ）． 方法2：证明（B ）正确.设lim ()x f x →+∞

'存在，记为A ，求证0A =.用反证法，设0A ≠.若0A >，

则由保号性知，存在00x >，当0x x >时()2

A

f x '>,在区间0[,]x x 上对()f x 用拉格朗日中值定理知,有00000()()()()()(),.2

A

f x f x f x x f x x x x x ξξ'=+->+

-<<

,x →+∞，从而有()f x →+∞，与()f x 有界矛盾.类似可证若0A <亦矛盾.

（5）设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ） （A ）321,,ααα21,ββ+k 线性无关． （B ）321,,ααα21,ββ+k 线性相关． （C ）321,,ααα21,ββk +线性无关． （D ）321,,ααα21,ββk +线性相关．

【答案】A

【考点】向量的线性表示 【难易度】★★★

【详解】解析：方法1：对任意常数k ，向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关.

用反证法，若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故

12k ββ+可由123,,ααα线性表出.

设12112233k ββλαλαλα+=++,因已知1β可由123,,ααα线性表出，设为

1112233l l l βααα=++代入上式，得2111222333()()()l l l βλαλαλα=-+-+-

这和2β 不能由123,,ααα线性表出矛盾.故向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关， 应选（A ）.

方法2：用排除法

取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+即123,,ααα，2β线性相关不成立，排除（B ）.取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+，即123,,ααα，1β线性无关不成立，排除（C ）.

0k ≠时，123,,ααα，12k ββ+线性相关不成立（证法与方法1类似，当1k =时，选项（A ）、（D ）向量组是一样的，但结论不同，其中（A ）成立，显然（D ）不成立.） 排除（D ）.

三、（本题满分6分）

已知曲线的极坐标方程是θcos 1-=r ，求该曲线上对应于6

π

=θ处的切线与法线的直角坐标方程． 【考点】平面曲线的切线、平面曲线的法线 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

①切线方程：)(00

0x x y y y -'=- ②法线方程：)(1

00

0x x y y y -'-

=- 解析：极坐标曲线1cos r θ=-化成直角坐标的参数方程为

(1cos )cos (1cos )sin x y θθ

θθ=-??

=-? 即2cos cos sin cos sin x y θθθθθ

?=-?=-? 曲线上6

π

θ=

的点对应的直角坐标为3313

(

,,,)2424

-- 226

6

6

cos sin cos 1.sin 2cos sin dy dy

d dx dx

d π

π

θθπ

θθθθθθθθ

θ

=

=

=+-==

=-+

于是得切线的直角坐标方程为1333()()2424y x --

=--，即353044

x y --+= 法线方程为1

3133()(()),24124

y x --

=---即31

044x y +-

+=. 四、（本题满分7分）

设???

????

≤≤+<≤-+=,10,)1e (e ,01,232)(22x x x x x x f x x 求函数t t f x F x d )()(1?-=的表达式． 【考点】定积分的分部积分法、积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★ 【详解】解析： 当10x -≤<时22

33213111()(2)().12222

x

x F x t t dt t t x x -=

+=+=+--? 当01x ≤<时，01

1

()()()()x

x

F x f t dt f t dt f t dt --=

=+?

??

2

3200000111

()12(1)2(1)11021121111ln(1)ln(1)ln 2

02121

t x x t t t

x x t t x t

t x x x te t t dt td

e e x t dt x

e dt e e e e x x x e e e e ----=++=---++=--+=--+

++++=---+=---++++????所以32

11,1022

()1ln ln 2,0111

2x

x x x x x F x e x x e e ?+--≤

已知函数)(x f 在),0(+∞内可导，

1)(lim ,0)(=>+∞

→x f x f x ，且满足

,e ))

()((lim 1

1

0x h

h x f hx x f =+→ 求)(x f ．

【考点】导数的概念、一阶线性微分方程

【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

e =?+?

→?10

)1(lim ；?

-?+='→?)

()(lim

)(0

x f x f x f ，其中?可以代表任何形式；

解析：1

1

()ln h ()()()f x hx h

f x f x hx e

f x ??

+ ??

?

??+= ???

，

001()1()()lim ln lim ln(1)()()h h f x hx f x hx f x h f x h f x →→??++-=+ ???

001()()()()

lim ln()lim ()()()()(),0.()

h h f x hx f x x f x hx f x h f x f x f x x f x x f x →→+-+-=='=≠

从而得到 1()1()

()lim ()xf x h

f x x h f x hx e e

f x '→??

+= ???

由题设

于是推得

()1()xf x f x x '=， 即 2()1

()f x f x x

'= 解此微分方程，得 11

ln ()f x C x

=-

+ 改写成 1()x

f x Ce

-=

再由条件lim ()1x f x →+∞

=，推得1C =，于是得1().x

f x e -=

六、（本题满分7分）

求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及

x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小．

【考点】旋转体的体积、一阶线性微分方程、函数的最大值与最小值 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：dx x f V b

a

x ?

=)(2π

解析：一阶线性微分方程2

1y y x

'-

=-，由通解公式有 22[]dx dx x x y e

e

dx C ??

??

--- ? ???

??

?

?=-+?221[]x dx C x =-+?

22

1(),12x C x Cx x x

=+=+≤≤

由曲线2

y x Cx =+与1,2x x ==及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为

2

222131157()(

)5

23V x Cx dx C C ππ=+=++?,

令6215()052

dV C dC π=+=,得75.124C =-

又()0V C ''>，故75

124C =-为V 的惟一极小值点，也是最小值点，

于是所求曲线为2

75.124y x x =-

七、（本题满分7分）

某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线与线段AB 所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为4:5，闸门矩形部分的高h 应为多少m （米）？

【考点】定积分的物理应用—压力 【难易度】★★★★

【详解】解析：建立坐标系，细横条为面积微元，面积微元2dA xdy =， 因此压力微元 2(1)dp gx h y dy ρ=+- 平板ABCD 上所受的总压力为 110

2(1)h

P gx h y dy ρ+=

+-?

其中以1x =代入，计算得 21P gh ρ=.

抛物板AOB 上所受的总压力为 1

20

2(1),P gx h y dy ρ=+-?

其中由抛物线方程知x y =

，代入，计算得 212

4()315

P g h ρ=+，

由题意12:5:4P P =，即，

25

12

4

4()315

h h =+

解之得2h =（米）（1

3

h =-舍去），即闸门矩形部分的高应为2m . 八、（本题满分8分） 设),2,1()3(,3011

Λ=-=<<+n x x x x n n n ，证明数列}{n x 的极限存在，并求此极限．

【考点】数列的极限 【难易度】★★★

【详解】解析：方法1：考虑

（1） 19

(3)334(3)322(3)2

n n n n n n n x x x x x x x ---

-=--=

-+ 222

93

3()42033

(3)(3)22

n n n n n n n x x x x x x x -+---==≤-+-+

所以132n x +≤（当1,2,n =L ），即3

2

n x ≤（当2,3,n =L ），数列{}2,3,n x n =L 有上界32.

再考虑

（2）21(3)(3)(3)n n n n n n n n n n n

x x x x x x x x x x x ----=

--=

-+

(32)

0.(3)n n n n n

x x x x x -=

≥-+ 2,3,n =L .

所以{}n x 单调增加.单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞

存在，记为.a

(3)由1(3)n n n x x x +=-两边取极限，于是得 (3),a a a =-2230,a a -=

得32a =

或0a =，但因0n x >且单调增，故0a ≠，所以3lim 2

n n x →∞=.

方法2：由103x <<知1x 及13x -（）均为正数，故()

2111113

0(3)

(3).22

x x x x x *<-≤+-== 设302k x <≤

，则 113

(3)(3).22

k k k k k x x x x x +-≤+-== 由数学归纳法知，对任意正整数2n ≥有3

02

n x <≤.

21(3)(32)(3)0.(3)(3)n n n n n n n n n n n n n

n n n

x x x x x x x x x x x x x x x x +-----≤

=

≥-+-+-=

所以{}n x 单调增，单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞

存在，记为a .