1.9三角函数的简单应用

———潮汐问题

一、教学目标

1、知识与技能目标：巩固已学过的三角函数的知识，求给定自变量的函数值。已知三角函数值，求角。

2、能力目标：培养学生数学的实际应用能力和意识。

3、情感、态度和价值观：让学生进一步了解数学来源于生活。

二、教学重点：用三角函数刻画潮汐变化规律。

三．教学难点：对实际问题的数学解释。

四．学情分析—————————————————————————————————————————————————————————————————————————五．学法指导：启发，类比，小组讨论

六．教学方法：探究交流，讲练结合

七、教学过程：

1、新课引入：在客观现实世界中存在着大量的周期性变化现象，而要定量地去刻画这些现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型。这节课我们将来学习三角函数模型的简单应用。

2、提出问题：

若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况（生答：水深情况等）

我们要到一个陌生的港口时，是非常想得到一张有关那个港口的水深与时间的对应关系数值表。那么这张表格是如何产生的呢请同学们看下面这个问题。

问题1：如图所示，下面是某个码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：时

间

水

深

水的深度变化有什么特点吗（生答：水的深度开始由米增加到米，后逐渐减少一直减少到，又开始逐渐变深，增加到米后，又开始减少。）

大家发现，水深变化并不市杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律，为了更加直观明了地观察出这种周期性变化规律，需要画图。电脑呈现作图结果。

通过观察图像，发现跟我们前面所学过哪个函数类型非常的相似（生答：跟三角函数模型

。）

请同学们把其中的A、?、φ、b求出来。(生答：

)

有了这个模型，我们要制定一张一天24内整时刻的水深表，就是件非常容易的事情了，

时

刻

水

深

时

刻

水

深

问题2：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有米的安全间隙（船底与洋底的距离），试问：该船何时能够进入港口在港口能呆多久

师生一起分析：货船能够进入港口所需要满足的条件是什么

解我们知道三角方程在实数范围内有解就有无数个，那么在[0，24]范围内,其他一些解该怎么求呢（图像）

发现：在[0，24]范围内，方程的解共有4个。

得到了4个交点的横坐标值后，大家结合图象说说货船应该选择什么时间进港什么时间出港呢（生答：货船可以在0时30分钟左右进港，早晨5时30分钟左右出港；或者是中午12时30分钟左右进港，在傍晚17时30分钟左右出港。）

大家看看刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小，船身会上浮，换句话说，随着货物的卸载，货船的安全深度不再向开始那样一直是一个常数，

现在它也是一个关于时间的变量，而实际水深也一直在变化，这样一来当两者都在改变的时候，我们又改如何选择进出港时间呢

问题3：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域

分析：

我们先把货船安全需要满足的条件给写出来：安全即需要：实际水深安全水深

即：，

通过图象可以看出，当快要到P时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区。那么P 点的坐标如何求得呢

P点横坐标即为方程解，很显然，精确解我们是无法求

得，我们只能是求得其近似解，前面我们在求方程的近似解的时候通常采用什么方法（二分法）

由图得点P在[6，7]，故我们只需要算出6，，7三个时刻的安全水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题。

时间实际水深安全水深是否安全

6．05米4．3米安全

6．54．2米4．1米较安全

7．03．8米4．0米危险

货船应该在6时30分驶离港口。

3、课堂小结：

思想方法：

（1）对实际问题处理过程是，首先是挖掘其中的数学本质，将实际问题转化为数学问题；体现了数学中的转化思想；

（2）在对一些数据处理的过程用到了估算的思想；

（3）在用代数方法处理困难的一些题目的解决中，用到了数形结合的思想；

（4）在方程的求解过程中，用到了算法中“二分法”思想。

八．板书设计

九．关键词：三角函数的简单应用 十．教学反思

第二课时 随堂训练

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．电流强度I (A )随时间t (s )变化的关系式是I ＝5sin(100πt ＋π3)，则当t ＝1

200

s

时，电流强度I 为( )

A ．5 A

B ． A

C ．2 A

D ．－5 A

解析： 当t ＝1200 s 时，I ＝5sin(100π×1200＋π3)＝5cos π

3

＝ A.

答案： B

2．如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t (s)满足

函数关系式θ＝12sin(2t ＋π

2

)，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )

，1π B ．2，1π ，π D ．2，π

解析： t ＝0时θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故频率为1

π

.

答案： A

3．已知简谐运动f (x )＝2sin ? ??

??π3x ＋φ(|φ|<π2)的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )

A ．T ＝6，φ＝π6

B ．T ＝6，φ＝π

3

C ．T ＝6π，φ＝π6

D ．T ＝6π，φ＝π

3

解析： T

＝2πω＝2ππ3

＝

6，代入(0,1)点得sin φ＝1

2

.

∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.

答案： A

4．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )

解析： 令AP 所对圆心角为θ，由|OA |＝1， 则l ＝θ，sin θ2＝d

2，

∴d ＝2sin θ2＝2sin l

2

，

即d ＝f (l )＝2sin l

2

(0≤l ≤2π)，它的图象为C.

答案： C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合．将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝________，(其中t ∈[0,60])．

解析： 如图，秒针每秒钟走10π60＝π

6(cm)，

∴L AB ＝π

6t (cm)，∴2θ＝πt

65＝πt 30，

∴θ＝πt 60，∴d AB ＝5×sin πt 60×2＝10sin πt 60

.

答案： 10sin πt

60

6．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ω

x ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π

2

)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7

月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为________．

解析： 由条件可知?

????

A ＋

B ＝9，

－A ＋B ＝5，∴B ＝7，A ＝2.

又T＝2(7－3)＝8，∴ω

＝π

4

，令3×

π

4

＋φ＝

π

2

，

∴φ＝－

π

4

，

∴f(x)＝2sin(

π

4

x－

π

4

)＋7.

答案：f(x)＝2sin(

π

4

x－

π

4

)＋7

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．如图是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，求这个振子振动的函数解析式．

解析：设函数解析式为y＝A sin(ωt＋φ)，

则A＝2，由图象可知T＝2×－＝

4

5

，∴ω＝

2π

T

＝

5π

2

.

∴

5π

2

×＋φ＝

π

2

.∴φ＝

π

4

.

∴函数的解析式为y＝2sin(

5π

2

t＋

π

4

)．

8．一个被绳子牵着的小球做圆周运动(如图)．它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动．已知绳子的长度为l，求：

(1)P的纵坐标y关于时间t的函数解析式；

(2)点P的运动周期和频率；

(3)如果ω＝

π

6

rad/s，l＝2，φ＝

π

4

，试求y的最值；

(4)在(3)中，试求小球到达x轴的正半轴所需的时间．

解析：(1)y＝l sin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)．

(2)由解析式得，周期T＝

2π

ω

，频率f＝

1

T

＝

ω

2π

.

(3)将ω＝

π

6

rad/s，l＝2，φ＝

π

4

代入解析式，

得到y＝2sin?

?

??

?

π

6

t＋

π

4

，t∈[0，＋∞)．

最小正周期T＝

2π

ω

＝

2π

π

6

＝12.

当t＝12k＋，k∈N时，y max＝2，

当t＝12k＋，k∈N时，y min＝－2.

(4)设小球经过时间t后到达x轴正半轴，

令

π

6

t＋

π

4

＝2π，得t＝，

∴当t ∈[0，＋∞)时，t ＝12k ＋，k ∈N ，

∴小球到达x 轴正半轴所需要的时间为＋12k ，k ∈N . 尖子生题库

9．(10分)在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h ，低潮时水的深度为 m ，高潮时为16 m ，一次高潮发生在10月10日4∶00.每天涨潮落潮时，水的深度d (m)与时间t (h)近似满足关系式d ＝A sin(ωt ＋φ)＋h .

(1)若从10月10日0∶00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d (m)和时间t (h)之间的函数关系；

(2)10月10日17∶00该港口水深约为多少(保留一位小数) (3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于 m

解析： (1)依题意知T ＝2π

ω

＝12，

故ω＝π

6，h ＝错误!＝，A ＝16－＝，

所以d ＝(π

6

t ＋φ)＋；

又因为t ＝4时，d ＝16，所以sin(4π

6

＋φ)＝1，

所以φ＝－π6，所以d ＝(π6t －π

6

)＋.

(2)t ＝17时，d ＝(17π6－π

6

)＋

＝ 2π

3

＋≈(m)．

(3)令(π6t －π

6)＋<，

有sin(π6t －π6)<－1

2

，

因此2k π＋7π6<π6t －π6<2k π＋11

6π(k ∈Z )，

所以2k π＋4π3<π

6

t <2k π＋2π，k ∈Z ，

所以12k ＋8

令k ＝0，得t ∈(8,12)；令k ＝1，得t ∈(20,24)， 故这一天共有8小时水深低于 m.