高中数学必修五第一章
解三角形复习知识点
一、知识点总结
【正弦定理】
１.正弦定理:
2sin sin sin a b c
R A B C
=== (R 为三角形外接圆的半径）. 2.正弦定理的一些变式:
()sin sin sin i a b c A B C ::=::;()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R
=
=2c
R =； ()
2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；(４）R C
B A c
b a 2sin sin sin =++++ ３．两类正弦定理解三角形的问题:
(１)已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
（2)已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解,两解，无解)
【余弦定理】
1．余弦定理： 222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-?
2.推论:
222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=??
+-?
=
??
?+-=
??
. 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边,则: ①若2
2
2
a b c +=,则90C =； ②若2
2
2
a b c +>,则90C <； ③若2
2
2
a b c +<,则90C >．
３．两类余弦定理解三角形的问题：(１）已知三边求三角．
(2)已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.
【面积公式】
已知三角形的三边为a,b,c,
1.111sin ()222
a S ah a
b C r a b
c ===++（其中r 为三角形内切圆半径)
2.设)(2
1
c b a p ++=
,))()((c p b p a p p S ---=
【三角形中的常见结论】
（１）π=++C B A （2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-
2cos 2sin
C B A =+,2
sin 2cos C
B A =+;A A A cos sin 22sin ?=， (3）若?>>
C B A c b a >>?C B A sin sin sin >> 若C B A sin sin sin >>?c b a >>?C B A >> （大边对大角，小边对小角）
（4）三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 （5)三角形中最大角大于等于
60,最小角小于等于
60
(6) 锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.
钝角三角形?最大角是钝角?最大角的余弦值为负值 (7）ABC ?中，A ，B,Ｃ成等差数列的充要条件是
60=B .
(８) ABC ?为正三角形的充要条件是A,Ｂ,Ｃ成等差数列,且a,ｂ,c 成等比数列. 二、题型汇总
题型１【判定三角形形状】
判断三角形的类型
(１)利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式．
(2）在ABC ?中,由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形
是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+???>+???<+??ABC 是锐角三角形
?
(注意：是锐角A ?ABC 是锐角三角形?）
(３) 若B A 2sin 2sin =，则Ａ＝B 或2
π
=
+B A ．
例1.在ABC ?中,A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ?形状.
题型2【解三角形及求面积】
一般地,把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a,ｂ,ｃ叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
例２.在ABC ?中，1=a ,3=
b ，030=∠A ，求的值
例3.在ABC ?中,内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3
π
=
C ．? (Ⅰ)若ABC ?的面
积等于3,求b a ,；
(Ⅱ)若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+，求ABC ?的面积．
题型3【证明等式成立】
证明等式成立的方法:(1）左?右，(2)右?左，（3)左右互相推.
例4．已知ABC ?中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,求证：B c C b a cos cos +=.
题型4【解三角形在实际中的应用】
仰角 俯角 方向角 方位角 视角
例5．如图所示,货轮在海上以４0km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B 点观测灯塔Ａ的方位角为１10°，航行半小时到达C 点观测灯塔Ａ的方位角是6５°,则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少?