(经典)最全余弦定理的10种证明方法
(经典)最全余弦定理的10种证明方法
——王彦文 青铜峡一中
一、余弦定理
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ?中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有
2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.
二、定理证明
为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:
在ABC ?中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-.
证法一:如图1,在ABC ?中,由CB AB AC =-
可得:
()()CB CB AB AC AB AC ?=-?-
222AB AC AB AC =+-?
222cos b c bc A =+-
即,2222cos a b c bc A =+-.
证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.
(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-?=+=知结论成立. (2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则
在Rt ACD ?中,cos AD b A =,sin CD b A =.
从而,cos BD AB AD c b A =-=-.
在Rt BCD ?中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+
22(cos )(sin )c b A b A =-+
222cos c cb A b =-+
图1
C
A
B
图2-1
D
C
A
B
即,2222cos a b c bc A =+-.
说明:图2-1中只对B ∠是锐角时符合,而B ∠还可以是直角或钝角.若B ∠是直角,图中的点D 就与点B 重合；若B ∠是钝角,图中的点D 就在AB 的延长线上.
(3)当A ∠是钝角时,如图2-2,过点C 作CD AB ⊥,交BA 延长线于点D ,则 在Rt ACD ?中,cos()cos AD b A b A π=-=-,sin()sin CD b A b A π=-=.
从而,cos BD AB AD c b A =+=-.
在Rt BCD ?中,由勾股定理可得:
222BC BD CD =+
22(cos )(sin )c b A b A =-+
222cos c cb A b =-+
即,222
2cos a b c bc A =+-.
综上(1),(2),(3)可知,均有2222cos a b c bc A =+-成立. 证法三:过点A 作AD BC ⊥,交BC 于点D ,则
在Rt ABD ?中,sin BD c α=,cos AD
c α=.
在Rt ACD ?中,sin CD b β=,cos AD
b
β=.
由cos cos()cos cos sin sin A αβαβαβ=+=-可得:
2
cos AD AD BD CD AD BD CD
A c b c b bc
-?=
?-?= 2222AD BD CD bc -?=222222c BD b CD BD CD bc -+--?=
222()2b c BD CD bc +-+=222
2b c a bc
+-=
整理可得2222cos a b c bc A =+-. 证法四:在ABC ?中,由正弦定理可得
sin sin sin sin()
a b c c
A B C A B ===+. 从而有sin sin b A a B =,………………………………………………………………①
sin sin()sin cos cos sin c A a A B a A B a A B =+=+. …………………………②
图2-2
D
B
A
C
βα图3
D
B
A
C
将①带入②,整理可得cos cos a B c b A =-.…………………………………………③ 将①,③平方相加可得22222(cos )(sin )2cos a c b A b A b c bc A =-+=+-. 即,2222cos a b c bc A =+-.
证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点(0,0)A ,(,0)B c ,(cos ,sin )C b A b A ,再由两点间距离公式可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+222cos c cb A b =-+.
即,2222cos a b c bc A =+-.
证法六:在ABC ?中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,222224sin 4sin ()a R A R B C ==+
222224(sin cos cos sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =++ 222224(sin sin 2sin sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =+-+ 2224(sin sin 2sin sin cos())R B C B C B C =+++ 2224(sin sin 2sin sin cos )R B C B C A =+-
22(2sin )(2sin )2(2sin )(2sin )cos R B R C R B R B A =+-
222cos b c bc A =+-
即,结论成立.
证法七:在ABC ?中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,2222cos a b c bc A =+-
22222224sin 4sin 4sin 8sin sin cos R A R B R C R B C A ?=+-
2222sin 2sin 2sin 4sin sin cos A B C B C A ?=+- 22sin 2cos 2cos 24sin sin cos A B C B C A ?=-+-
222cos 22cos()cos()4sin sin cos A B C B C B C A ?-=-+-- 由于cos()cos()cos B C A A π+=-=-,因此
2cos cos()cos()2sin sin cos A B C B C B C A ?=+-+
x
y
图4
B
A(O)
C
cos cos()2sin sin A B C B C ?=--+
cos cos cos sin sin cos()A B C B C B C ?=-+=-+. 这,显然成立.
即,结论成立.
证法八:如图5,以点C 为圆心,以CA b =为半径作C ,直线BC 与C 交于点,D E ,延长
AB 交C 于F ,延长AC 交C 于G .
则由作图过程知2cos AF b A =, 故2cos BF b A c =-.
由相交弦定理可得:BA BF BD BE ?=?, 即,(2cos )()()c b A c b a b a ?-=+?-, 整理可得:2
2
2
2cos a b c bc A =+-.
证法九:如图6,过C 作CD ∥AB ,交ABC ?的外接圆于D ,则AD BC a ==,BD AC b ==.分别过,C D 作AB 的垂线,垂足分别为,E F ,则cos AE BF b A ==,故2cos CD c b A =-.
由托勒密定理可得AD BC AB CD AC BD ?=?+?, 即,(2cos )a a c c b A b b ?=?-+?.
整理可得:222
2cos a b c bc A =+-.
证法十:由图7-1和图7-2可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.
bcosA a
bsinA
c-bcosA
a
c-bcosA
bsinA
图7-2
图7-1
D
E D
A
B
C
C B
余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.
b a
c
2bcosA-c
b-a b
b
图5
G
D
E F
C
A
B c b a
a 图6
F E
D
C
B
A