二次函数讲义-详细汇总
第一讲二次函数的定义
知识点归纳 :二次函数的定义：一般地，如果y = ax?+bx+c（a,b,c是常数，a式0），那么y叫做x的二次函数.二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0
考点：二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式
例1、函数y= （m + . 2 ）x m鼻+ 2x —1是二次函数，则m= _________
例2、下列函数中是二次函数的有（)
1 2 2 2 1
① y=x + :② y=3 (x —1) 2+ 2; ③ y= (x + 3) —2x ;④ y= 2+ x
x x
A . 1个
B . 2个
C . 3个D. 4个
例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套.据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x,请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式.
例4、如图，正方形ABCD的边长为4, P是BC边上一点，QP丄AP交DC于Q,如果BP=x, △ ADQ的面积为y,用含x 的代数式表示y.
A D
B t3 C
训练题：
1、已知函数y=ax2+ bx+ c (其中a, b, c是常数)，当a ______ 时，是二次函数；当a_, b ______ 时，是一次函数; 当a ___ , b ___ , c ___ 时，是正比例函数.
2、若函数y=(m2+2m- 7)x 2+4x+5是关于x的二次函数，贝U m的取值范围为_____________ 。
2m +1
3、已知函数y=(m—1) x +5x- 3是二次函数，求m的值。
4、已知菱形的一条对角线长为a,另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S与对角线a的关系.
5、请你分别给a, b, c一个值，让y = ax2 - bx c为二次函数，且让一次函数y=ax+b的图像经过一、
象限
6. 下列不是二次函数的是( )
8 .如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为栅
栏.(1)求梯形的面积y与高x的表达式；(2)求x的取值范围.
9.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm , BC=12cm .点P从点A开始沿AB方向向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q 从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动.如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围.
A . y=3x2+ 4
B . y= - 3x2
C y= .X2-5
7 .函数y= ( m-n) x2+ mx + n是二次函数的条件是(
A . m、n为常数，且m^0
C. m、n为常数，且n丰0
D. y= (x + 1) (x - 2)
)
B. m、n为常数，且m丰n
D. m、n可以为任何常数
10 .已知：如图，在Rt△ ABC中，/ C=90 ° , BC=4, AC=8 .点D在斜边AB上，分别作DE丄AC , DF丄BC,
垂足分别为E、F，得四边形DECF .设DE=x , DF=y .
(1)AE用含y的代数式表示为：AE= __________ ;
(2)求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；
(3)设四边形DECF的面积为S,求S与x之间的函数表达式.
135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁
知识点归纳:
1、求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1 )公式法：
严、2 2 2
2 , b '4ac-b 十云「冃/ b 4ac-b、丄冃+八、y_ax +bx+c_a x+——i + -------------------- ,???顶点是 (一，)，对称轴是直线
2a 丿4a 2a 4a
b
x
2a
(2 )运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点
2、二次函数的图象及性质：
(1)二次函数y=ax2(a^ 0)的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a>0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a v 0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大.
(2)二次函数y r ax2Ex c的图象是一条对称轴平行y轴或者与y轴重合的抛物线.要会根据对称轴和图像判断二次函数的增减情况。
3、图象的平移:左加右减，上加下减
例1、
例2、已知直线y= —2x + 3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为(—3, m).
(1)求a、m的值；
(2)求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；
(3)x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；
(4)求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积.
第二讲二次函数的图像和性质
例3、求符合下列条件的抛物线
y=ax 2的表达式：
(1) y=ax 2经过(1, 2);
1
(2) y=ax 2与y=2x 2的开口大小相等，开口方向相反; 2 1
(3) y=ax 与直线 y=2x + 3 交于点(2, m ).
例4、抛物线y=ax 2 + bx + c 如图所示，则它关于 y 轴对称的抛物线的表达式是
_ 2
例7、已知二次函数 y= (m- 2) x +( m + 3) x + m+ 2的图象过点(0, 5)
(1) 求m 的值，并写出二次函数的表达式；
(2 )求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴.
例6、试写出抛物线y=3x 2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
2
(1) 右移2个单位；(2)左移个单位；(3)先左移1个单位，再右移 4个单位。
例7、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移 3个单位，在向下平移 2个单位，所得图象的解析式是 y=x 2 — 3x+5,
试求b 、c 的值。
_ 2
例5、二次函数y=a(x — h)的图象如图：已知
a=1 , 02 OC 试求该抛物线的解析式。
训练题：
1 .抛物线y= —4x2—4的开口向_____ ，当x= ______ 时，y有最________ 值，y= _____ .
2. ____________ 当m= 时，y= (m—1) x m m—3m是关于x的二次函数.
3. _______________________________________________________ 抛物线y= —3x2上两点 A (x, —27) , B (2, y),则x= _________________________________________________ , y= ______ .
2
4 .当m= ____ 时，抛物线y=(m+ 1)x" m+ 9开口向下，对称轴是__________ .在对称轴左侧，y随x的增大而_______ 在对称轴右侧，y随x的增大而_________ .
5. 抛物线y=3x2与直线y=kx + 3的交点为(2, b),贝V k= __________ , b= _____ .
6. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为__________________________________ y 轴，且经过点(一1,—2),则抛物线的表达式为 _______________________________________________________________
1 1
对于抛物线y= 3x2和y= —3x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是(
3 3
11. 已知函数y=ax2的图象与直线y= —x+ 4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则
a的值为( )
1 1
A . 4
B . 2
C .
D .匚
2 4
1 25
12. 已知二次函数丫=4乂一2 x+ 6,当x= _________ 时，y最小= ________ ;当x ______ 时，y随x的增大而减小.
13 .抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为_______________________ .
2
14 .若二次函数y=3x +mx —3的对称轴是直线x= 1，则m= 。
15 .当n= ______ , m = ______ 时，函数y = (m+ n)x n+ (m—n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的
开口 ________ .
16 .已知二次函数y=x2—2ax+2a+3，当a= _____ 时，该函数y的最小值为0.
17. 二次函数y=3x2—6x+5，当x>1时，y随x的增大而 ____________ ;当x<1时，y随x的增大而______________ ;当x=1 时，函数有最______ 值是__________ 。
在同一坐标系中，图象与y=2x 2的图象关于x轴对称的是(
1
2
A. y= ^x
抛物线，y=4x2,
1 2
B. y= —^x
y= —2x2的图象，开口最大的是(
C. 2
y= —2x
2
y= —
x
A. y=；x22
B. y=4x
C.
y= —2x2无法确定
A .两条抛物线关于x轴对称
B .两条抛物线关于原点对称
C.两条抛物线关于y轴对称 D .两条抛物线的交点为原点
18. 如果将抛物线y=2x2—1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为______________________ 。
19?将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x2—4x—1贝V a= _______ , b = ,c = .
20?将抛物线y= ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3 , - 1)，那么移动后的
抛物线的关系式为______________ _ __________
21、右图是二次函数y i=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，？观察图像写出y2》y i时，x的取值范围_____________
2
22、函数y=ax (a z 0)的图像与直线y=-2x-3交于点(1,b )
(1) 求a和b的值
(2) 求抛物线y=ax2的解析式，并求出顶点坐标和对称轴；
2
(3) x取何值时，二次函数y=ax 中的y随x的增大而增大？
(4) 求抛物线与直线y=-2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积。
23、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出?已知生产x只玩具熊猫的成本为R (元)，每只售价为P (元)，且R, P与x的表达式分别为R=500+ 30x, P=170- 2x ?
(1)当日产量为多少时，每日获利为1750元？
(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
24、某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y (双)是销售单位X的一次函数。
(1) 求Y与X之间的函数关系式；
(2) 在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W(元)与销售单价X之间的函数关系式；
(3) 销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？