2014年全国课标1理科数学

2014年全国课标1理科数学

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合{}{}

2

230,22A x x x B x x =--≥=-≤<，则A

B =

A ．[]2,1--

B ．[)1,2-

C ．[]1,1-

D ．[)1,2

解析：{}()(){}{}

2

23031013A x x x x x x x x x =--≥=-+≥=≤-≥或，

{}22B x x =-≤<又，A B =[]2,1--，故选A

2．()()

3

2

11+-i i =

A ．1i +

B ．1i -

C ．1i -+

D ．1i --

解析：()()()()()

()32

22

111211211++++--i i i i i i i i i ===---，故选D

3．设函数()(),f x g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是

A ．()()f x g x 是偶函数

B ．()()f x g x 是奇函数

C ．()()f x g x 是奇函数

D ．()()f x g x 是奇函数

解析：()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则()()f x g x 是奇函数，排除A

()f x 是奇函数，()f x 是偶函数，()g x 是偶函数，则()()f x g x 是偶函数，排除B ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则()()f x g x 是奇函数，C 正确

()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x g x 是奇函数，则()()f x g x 是偶函数，排除

D ，故选C

4．已知F 为双曲线()22:30C x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为

A B ．3

C D ．3m

解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长b A

5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 A ．

18 B ．38 C ．58 D ．78

解析：周六没有同学的方法数为1，周日没有同学的方法数为1，所以周六、周日都有同学

参加公益活动的概率为44227

28

P -==，故选D 6．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终

边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =

在[]

0,π的图像大致为

解析：由已知1,sin ,cos OP PM x OM x ===，又()11

22

f x OP OM MP ?=，所以()1

sin cos sin 22

f x x x x ==

，故选C 7．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1，2，3，则输出的M = A ．

203 B ．72 C ．165

D ．158

解析：当2n =时，33,2,22M a b ===； 当3n =时，838,,323M a b ===；当4n =时，15815

,,838M a b =

==； 此时运算终止，15

8

M =，故选D

8．设0,,0,,22ππαβ????

∈∈ ? ?

????

且1sin tan cos βαβ+=,则 A ．32

π

αβ-=

B ．32

π

αβ+=

C ．22

π

αβ-=

D ．22

π

αβ+=

解析: 由1sin tan cos βαβ+=

得

sin 1sin sin cos cos cos sin cos cos αβ

αβααβαβ

+=∴=+ 即()sin cos αβα-=,所以()sin sin 2παβα??-

=- ??

?

,由已知0,,0,,22

ππαβ????

∈∈ ? ??

?

?

?

所以,02

2

2

2π

π

π

π

αβα-

<-<

<

-<

,sin y x =在,22ππ??

-????

上单调递增,所以

,22

2

π

π

αβααβ-=

--=

,故选C

9.不等式组1,

24

x y x y +≥??

-≤?的解集记为D,有下面四个命题

()()12:,,22,:,,22,p x y D x y p x y D x y ?∈+≥-?∈+≥

()()34:,,23,:,,21,p x y D x y p x y D x y ?∈+≤?∈+≤-其中的真命题是

A ．23,p p

B ．12,p p

C ． 14,p p

D ．13,p p 解析:令()()()()222x y m x y n x y m n x m n y +=++-=++-,所以

122m n m n +=??

-=?,解得43

1

3m n ?=????=-??

,所以()()4122033x y x y x y +=+--≥,因而可以判断12,p p 为真,故选B

10.已知抛物线2

:8C y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若4FP FQ =,则QF =

P

A ．72

B ．3

C ． 5

2

D ．2

解析:由已知2,2,P F x x =-=又4FP FQ =,则()

442Q x -=-,1Q x ∴=,过Q 作QD 垂直于l ，垂足为D ，所以3QF QD ==，故选B

11．已知函数()3

2

31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值

范围是

A ．()2,+∞

B ．()1,+∞

C ． (),2-∞-

D ．(),1-∞-

解析：当0a =时， ()2

31f x x =-+有两个零点，不满足条件

当0a ≠时，()2

2'363f x ax x ax x a ??=-=-

???，令()2'030f x ax x a ??=?-= ??

?， 解得2

0x x a

==

或， 当0a <时，()3

2

31f x ax x =-+在()22,

0,,0a a ????-∞+∞ ? ?????

和递增，递减，2241=f a a ??

-+ ???

为极小值，()01=f 为极大值，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，

只需22410,a 2=f a a ??-+><-

???

即为; 当0a >时，()32

31f x ax x =-+在()22,0,0,a a ????

-∞+∞

? ?????

和递增，递减，()01=f 为极大值，2241=f a a ??-+ ???

为极小值，不可能有满足条件的极值，故选C

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

A .

B .6

C .

D .4

解析：几何体为如图所示的一个三棱锥P ABC -，底面ABC 为等

腰三角形，,A 4,AB BC C == 顶点B 到AC 的距离为4，面P A C A B C ⊥面，且三角形PAC

为以A 为直角的等腰直角三角形，所以棱PB 最长，长度为6，故选B

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.8()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 .(用数字填写答案) 解析：8

8

8

()()()()x y x y x x y y x y -+=+-+，故展开式中2

2

x y 的系数为

1

28882820C C -=-=-

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .

解析：乙没去过C 城市，甲没去过B 城市，但去过的城市比乙多，所以甲去过A ，C ，三人都去过同一个城市，一定是A ，所以填A 15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1

()2

AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 . 解析：1

()2

AO AB AC =

+，如图所示，O 为BC 中点，

即

BC 为圆O 的直径，所以AB 与AC 的夹角

2

π

16.已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且

(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ?面积的最大值为 .

解析：

22(2)(sin sin )()sin (2)()()2b A B c b C b a b c b c a b c bc +-=-?+-=-?-=-，因

为a =2，所以2222

2

2

2

2

12cos 223

b c a a b c bc b c a bc A A bc π

+--=-?+-=?=

=?= ABC ?

面积1sin 24

S bc A ==，而

2222222244b c a bc b c bc a b c bc bc +-=?+-=?+-=?≤

1sin 24

S bc A ==≤三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分)

已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数. (Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；

（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由. 解析: (Ⅰ)证明：当2n ≥时，1111,1n n n n n n a a S a a S λλ+--=-???

=-??①

②

，①-②得

()()11111112,0,n n n n n n n n n n n n n n n a a a a S S a a a a a a a a a λλλλ

+--+-+-+-=-?-=≠∴-=-=

（Ⅱ）存在，证明如下：假设存在λ，使得{n a }为等差数列， 则有2132+a a a =，而1a =1，231,1a a λλ=-=+，

所以()2124λλλ-=+?=，此时{n a }为首项是1， 公差为4的等差数列 18. (本小题满分12分

)

从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2

s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中

μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .

(i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；

（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .

12.2.

若Z ～2

(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.

解析:

(Ⅰ)0.021700.091800.221900.332000.242100.082200.02230200

x =?+?+?+?+?+?+?=()()()

()()()()222

22

2

2

2

0.021702000.091802000.221902000.332002000.242102000.082202000.022********

s =?-+?-+?-+?-+?-+?-+?-=

（Ⅱ）(i)由(Ⅰ)知, 2

δ=2

s =150,

所以12.2δ=≈,

1

1

B

(187.8212.2)(20012.220012.2)0.6826P Z P Z <<=-<<+=

（ii ）100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数X 服从二项分布

()100,0.6826B ,所以

1000.682668.26EX =?=

19. (本小题满分12分)

如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. (Ⅰ) 证明：1AC AB =；

（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB=BC ，求二面角111A A B C --的余弦值. 解析:

(Ⅰ) 证明：

侧面11BB C C 为菱形,令1

1BC B C O =∴11BC B C ⊥又1AB B C ⊥,

11111AB BC B BC ABC AO ABC AO BC =∴⊥?∴⊥面面,又O 为1B C 中点,所以三

角形1ACB 为等腰三角形,所以1AC AB = （Ⅱ）

1AC AB ⊥

，o 160CBB

∠=，AB=BC ，令1AC =

∴1

BC

BC AB =∴又由已知可求222,2AO BO AO BO AB AO BO =

=∴+=∴⊥ 11,AO B

C B C BO O ⊥=11AO BB C C ∴⊥面

1

如图所示建立空间直角坐标系O xyz -

()1,1,0,0,,0,A B B C ??

??? ? ? ? ??????

? , 111330,,

,1,0,AB A B AB ???∴=-== ? ????,111,

B C BC ??

==- ?

???

设(),,

n x y z =为平面11AA B 的一个法向量,则

(1110,

0,33

,1,3,00y z n

AB n n A B x z -=??=??=??=??

?

=?

?

即所以可取

设(),,m a b c =为平面111A B C 的一个法向量,则(11110,

1,0

m B C m m A B ?=?=?

=??同理可取 则1

cos ,7

n m n m n m

<>==

,所以二面角111

A A

B

C --的余弦值为17

20. (本小题满分12分)

已知点A （0，-2），椭圆E

：22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆E 的右焦

点，直线AF O 为坐标原点.

(Ⅰ)求E 的方程；

（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程.

解析: (Ⅰ)

由已知得2222142c a x a E y c c

?=?=???+=??=???=??椭圆的方程：

（Ⅱ）当直线l 垂直于x 轴时，OPQ ?不存在

令直线l 的方程为2y kx =-与2

214x y +=联立消去y 有：()224116120k x kx +-+= ()()2

22231644112644804

k k k k ?=--?+?=->∴>

令()()

122112212216,41

,,,1241k x x k P x y Q x y x x k ?

+=??+?

?=

?+?

PQ =

整理得PQ =O 到直线

l 的距离为d,则d = 所以OPQ ?的面积(

)2

1241

S k PQ d k =

=+ ()0t t >

(

)24412,44t S k t k t t t

??===≤== ? ?+??

+当且仅当即

此时直线l 的方程为22

y x =-或22y x =-- 21. (本小题满分12分)

设函数1

()ln x x

be f x ae x x

-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线

为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ；

（Ⅱ）证明：()1f x >.

解析：(Ⅰ) ()()1

1221111'()ln ln x x

x be x b x f x ae x e ae x x x x x ----??????=++=++?? ? ???????

因为曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线为(1)2y e x =-+，所以

(1)21,'(1)e 2

f a f b ==????

==??代入有 （Ⅱ）证明：由(Ⅰ)知12()ln x x

e f x e x x

-=+，欲证()1f x >，只需证

1

2ln 1x x

e e x x

-+>，即证21ln x x ex e +>，即证2x ln x x x e e +>

令()()2g x ln ,,x x x x h x e e =+

=()()1g'1ln ,',x x

x x h x e

-=+= ()()11g'1ln 0,x ,'0,x 1x x

x x h x e e

-=+=====解得解得

当()()()min 111

0,'0,,'0,g x g x x g x x e e e

<<<>>∴=

()()()max 1

01,'0,1,'0,g x h x x h x x e

<<>><∴=

所以2x ln x x

x e e

+>成立，所以()1f x >

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22.（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB=CE (Ⅰ)证明：∠D=∠E ；

（Ⅱ）设AD

不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，证明：△ADE 为等边三角形.

解析：(Ⅰ)证明：

四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，

∴,D CBE CB CE E CBE E D ∠=∠=∴∠=∠∴∠=∠

（Ⅱ）证明：取BC 中点N ，连接MN ，由MB=MC 得

MN MN BC O ⊥∴在直线上，由AD 的中点为M 得

//AD MN AD BC CBE A CBE E D A E D ⊥∴∴∠=∠∠=∠=∠∴∠=∠=∠，

△ADE 为等边三角形. 23. （本小题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C ：22

149x y +=，直线l ：222x t y t

=+??=-?（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o

30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.

解析：(Ⅰ)曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θ

θ=??

=?

，直线l 的普通方程为260x y +-=；

（Ⅱ）令点P 坐标为()2cos ,3sin θθ,点P 到直线l 的距离为d

4tan 3d φ?

=

==??

?

||2sin 30d

PA d =

=?

,所以

()()max max min min max min ||22|2255

PA d d PA d d ===

=== 24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

若0,0a b >>，且

11

a b

+=. (Ⅰ) 求3

3

a b +的最小值；

（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.

解析：(Ⅰ)

11

,a b a b

+=?=+

0,02a b a b ab >>∴+≥≥3

332

a b +≥=≥法二:

()()()()(2

2

332233a b a b a ab b a b a b ab ab ???+=+-+=++-=-????

()3

3ab ab ?=-?

t =，()()

3395338444

3,'915=915a b t t a b t t t t +=-+=--而，

()

332'0t a b ≥∴+≥,所以33953a b t t +=-≥

（Ⅱ）不存在,a b ，使得236a b +=

因为236a b +≥≥>,所以不存在