空间中两条线段之间的最短距离
空间中两条线段之间的最短距离
设空间中有两条线段 AB 和 CD ，设 A 点的坐标为 ),,(111z y x ，B 点的坐标为 ),,(222z y x ，C 点的坐标为 ),,(333z y x ，D 点的坐标为 ),,(444z y x 。 设 P 是直线 AB 上的一点，P 点的坐标 ),,(Z Y X 可以表示为
??
???-+=-+=-+=)()()(121121121z z s z Z y y s y Y x x s x X 。
当参数 10≤≤s 时，P 是线段 AB 上的点；当参数 0s 时，P 是 AB 延长线上的点。
设 Q 是直线 CD 上的一点，Q 点的坐标 ),,(W V U 可以表示为
??
???-+=-+=-+=)()()(343343343z z t z W y y t y V x x t x U 。
当参数 10≤≤t 时，Q 是线段 CD 上的点；当参数 0
P ,Q 两点之间的距离为
222)()()(W Z V Y U X PQ -+-+-= 。
距离的平方为
),(t s f =2PQ 222)()()(W Z V Y U X -+-+-=
2341231)]()()[(x x t x x s x x ---+-=2
341231)]()()[(y y t y y s y y ---+-+2341231)]()()[(z z t z z s z z ---+-+ 。
要求直线 AB ，CD 之间的最短距离，也就是要求 ),(t s f 的最小值。 对 ),(t s f 分别求关于 s ，t 的偏导数，并令偏导数为0 ：
??
???=??=??0),(0
),(t t s f s t s f
展开并整理后，得到下列方程组：
???????????--+--+--=-+-+-+--+--+-----+--+--=--+--+----+-+-)
)(())(())((])()()[()])(())(())([())(())(())(()])(())(())([(])()()[(343134313431234234234341234123412312131213121341234123412212212212z z z z y y y y x x x x t z z y y x x s
z z z z y y y y x x x x z z z z y y y y x x x x t
z z z z y y y y x x x x s z z y y x x 如果从这个方程组求出的参数 s ，t 的值满足 10≤≤s ，10≤≤t ，说明 P 点落在线段 AB 上，Q 点落在线段 CD 上，这时 PQ 的长度
222)()()(W Z V Y U X PQ -+-+-=
就是线段 AB 与 CD 的最短距离。
如果从方程组求出的参数 s ，t 的值不满足 10≤≤s ，10≤≤t ，说明不可能在线段 AB 内部找到一点 P ，在线段 CD 内部找到一点 Q ，使得 PQ 的长度就是线段 AB 与 CD 的最短距离。
这时，可以分别求 A 点到线段 CD 的最短距离、B 点到线段 CD 的最短距离 、C 点到线段 AB 的最短距离、D 点到线段 AB 的最短距离。
（求法参看《数学中国》论坛上的帖子：“空间中一个点到空间中一条线段的最短距离”。） 然后，比较这4个距离的大小，其中最小的一个，就是线段 AB 到 CD 的最短距离。
下面看一个例子。
设 A 点的坐标为 ),,(111z y x )0,0,4(=，B 点的坐标为 ),,(222z y x )0,3,0(= ，C 点的坐标为 ),,(333z y x )1,3,4(=，D 点的坐标为 ),,(444z y x )4,3,4(-= 。
方程组
???????????--+--+--=-+-+-+--+--+-----+--+--=--+--+----+-+-)
)(())(())((])()()[()])(())(())([())(())(())(()])(())(())([(])()()[(343134313431234234234341234123412312131213121341234123412212212212z z z z y y y y x x x x t z z y y x x s z z z z y y y y x x x x z z z z y y y y x x x x t
z z z z y y y y x x x x s z z y y x x 即
?
??-?-+?-+?=-+++-?+?+?---?+-?-+?=-?+?+?--++-)5()1(0)3(00])5(00[)]2(0030)4[()1(0)3()3(04)]2(0030)4[(]03)4[(222222t s t s 即 ??
?==525925t s ，解得 ???==1259t s 。
因为 12590<=
10<= P 点的坐标 ),,(Z Y X 为 ???? ?????=-+=-+==-+=-+==-+=-+=0)00(2590)(2527)03(2590)(2564)40(2594)(121121121z z s z Z y y s y Y x x s x X 。 Q 点的坐标 ),,(W V U 为 ???? ?????=--+=-+==-+=-+==-+=-+=0)14(511)(3)33(513)(4)44(514)(343343343z z t z W y y t y V x x t x U 。 线段 AB 与 CD 之间的最短距离，即 PQ 的长度为 222)()()(W Z V Y U X PQ -+-+-= 222)00()32527()42564(-+-+-=5 12256025483622==+= 。 初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD． 版空间直角坐标系空间两点间的距离公式 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 4.3空间直角坐标系 4.3.1空间直角坐标系 4.3.2空间两点间的距离公式 1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点) 4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点) [基础·初探] 教材整理1空间直角坐标系 阅读教材P134～P135“例1”以上部分，完成下列问题．1．空间直角坐标系 定义以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面 画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz ＝90° 图示 说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 2.空间中一点的坐标 空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 最短距离问题 1. 如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值． 2. 如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ） A ． B ． C ．3 D 3. 在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝ 4. 一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）． （1）求该函数的解析式； （2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标． 第题 A B P R Q 图3 A D E P B C 5.如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____． 6.如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近 作法：设a、b的距离为r。①把点B竖直向上平移r个单位得到点B'； ②连接AB'，交a于C；③过C作CD b于D； ④连接AC、BD。 证明：∵BB'∥CD且BB'＝CD，∴四边形BB'CD是平行四边形，∴CB'＝BD ∴AC＋CD＋DB＝AC＋CB'＋B'B＝AB'＋B'B 在a上任取一点C'，作C'D'，连接AC'、D'B，C'B' 同理可得AC'＋C'D'＋D'B＝AC'＋C'B'＋B'B，而AC'＋C'B'>A B'，∴AC＋CD＋DB最短。7.如图,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,若AC,AB是各有一个动点M,N,求BM+MN最小值. 8.如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 . 最短距离问题 摘要：最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题。几何中的最短路线问题是中考热点之一，往往与两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称、勾股定理息息相关。 案例问题： （1）如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M、N 分别表示位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短？理由是？ （2）如图：一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，若村庄M、N在公路AB的同侧，当汽车行驶到什么位置时，到村庄M、N的距离之和最短？请简单证明。 解决问题： 一 建立几何模型： 案例问题（2）可以转化为数学问题： 如图（1），在直线a 同侧有Ａ，Ｂ两点，在直线a 上找一点M ，可使MA+MB 的值最小？ 二 几何模型的解决 你可以在a 上找几个点试一试,能发现什么规律? 思路分析：如图2，问题就是要在a 上找一点M ，使AM 与BM 的和最小。设A ′是A 的对称点，本问题也就是要使A ′M 与BM 的和最小。在连接A ′B 的线中，线段A ′B 最短。因此，线段A ′B 与直线a 的交点C 的位置即为所求。 如图3，为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线a 上另外任取一点N ，连接AN 、BN 、A ′N 。 因为直线a 是A ，A ′的对称轴，点M,N 在a 上，所以AM= A ′M,AN= A ′N 。 ∴AM+BM= A ′M+BM= A ′B 在△A ′BN 中， ∵A ′B ＜A ′N+BN ∴AM+BM ＜AN+BN 即AM+BM 最小。 三 几何模型应用： 两条直线间的对称 题目1 如图，在旷野上，一个人骑马从A 出发，他欲将马引到河a1饮水后再到a2饮水，然后返回A 地，问他应该怎样走才能使总路程最短。 点评：这道题学生拿到时往往无从下手。但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。作法：过点A 作a1的对称点A ′，作a2的对称点A 〞,连接A ′A 〞交a1、a2于B 、C,连接BC.所经过路线如图5： A-B-C-A,所走的总路程为A ′A 〞。 A C 第1题图 第2题图 空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC 例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结 初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧 最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。考的较多的还是“饮马问题”。 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变 式问题考查。 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB 最小。 解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线 段最短.） 二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街 道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的 点． 三、一点在两相交直线部 例：已知：如图A是锐角∠MON部任意一点，在∠MON的两边OM，ON 上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. 解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM， ON于点B、点C，则点B、点C即为所求 分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周 长最小 线段之和最短问题 一． 常见数学模型： 1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B,在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。 2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA+PB 最小。 l A 3. 如图，直线和的异侧两点A 、B,分别在直线、上求作一点P 、Q 两点, 使AP+PQ+QB 最小。 4. 如图，直线的同侧两点A 、B ，分别在直线上求作一点P 、Q 两点，且PQ=a , 使AP+PQ+QB 最小。 l 2 l 1 l A B a l 1 A 5。如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM,ON 上作点A ，B 使△PAB 的周长最小。 6。如图,点P,Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形PAQB 的 周长最小。 N 为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型” 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小 6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小 N N N 为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型” 练习题 1．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n)，当n =______时，AC + BC的值最小． B 3．如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10,Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR 周长的最小值． 4．如图,在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。 A E C B 5．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD，连接AC、EC。 已知AB=5,DE=1,BD=8，设CD=x. (1）用含x的代数式表示AC＋CE的长； (2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小? （3）根据(2）中的规律和结论，请构图求出代数式错误!+错误!的最小值 初中数学《最短路径问题》典型题型 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A ，B 在直线L 的两侧，在L 上求一点P ，使得PA+PB 最小。 解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.） 二、 两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短． 解：只有A 、C 、B 在一直线上时，才能使AC +BC 最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A ′，然后连接A ′B ，交“街道”于点C ，则点C 就是所求的点． 三、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小. 解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求 分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小 例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。 A· B M N E 初中数学［最短路径问题］典型题型及解题技巧 最短路径问题中, 关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。考的较多的还是“饮马问题” 。 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题” ，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB 最小。 解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.） 二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短． 解：只有A、C 、B在一直线上时，才能使AC +BC最小．作点A 关于 直线“街道”的对称点A′，然后连接A ′B，交“街道”于点C，则 点C 就是所求的点． 、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A 是锐角∠ MON 内部任意一点，在∠ MON 的两边 OM ，ON 上各取一点B，C ，组成三角形，使三角形周长最小. 解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A OM ，ON 于点B、点C ，则点B、点C 即为所求分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长 最小 例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河 上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE 中，∵ AC+CE >AE, ∴AC+CE+MN >AE+MN, 即AC+CD+DB >AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。 例：如图，A、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B 两地，问该站建在 连接A ′，A ″，分 别交 B 例谈求线段和的最小值问题 □广西何广保 平面几何中线段和的最小值问题是初中学生较难解决的问题之一，也是棘手问题。笔者就这个问题浏览了05年度全国部分省市的有关中考试题，本文下面将结合中考试题为例予以剖析，供参考。 一、以正方形为载体，求线段和的最小值 例1. 如图1，四边形ABCD是正方形，边长是4，E是BC上一点，且CE＝1，P 是对角线BD上任一点，则PE＋PC的最小值是_____________。 图1 分析：由于BD是正方形ABCD的对角线，连接AP，易证△ADP≌△CDP，所以PA ＝PC，此时求PE＋PC的最小值就转化为求PA＋PE的最小值，连接AE，在△PAE 中，因为PA＋PE以AE，故当点P为A与BD的交点时（即当A、P、E三点共线时），PA＋PE的最小值为AE，由勾股定理可求AE，所求问题可解。 解：连接PA，∵BD为正方形ABCD的对角线 ∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP 又DP＝DP，∴△ADP≌△CDP ∴PA＝PC 连接AE ∵CE＝1，∴BE＝3 在Rt△ABE中， 根据三角形中两边的和大于第三边可知，当P为AE与BD的交点时，PA＋PE的最小值为AE，即PA＋PE≥AE，∴PA＋PE≥5，即PE＋PC≥5，∴PE＋PC的最小值为5（仅当A、P、E三点共线时取等号）。 例2. 如图2，正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AB、BC上，AE＝3，CF ＝1，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PF的最小值是（） 图2 A. B. C. D. 分析：因为动点P在正方形ABCD的对角线AC上，在AD边上取点G，并截取AE ＝AG，易证△PGA≌△PEA，所以PG＝PE，所求PE＋PF的最小值就转化为求PG ＋PF的最小值，连接FG，在△PFG中，PG＋PF的最小值就是FG（仅当F、P、G 三点共线时取得最小值）。 解：在AD边上取点G，并截取AG＝AE，连接PG ∵AC是正方形ABCD的对角线 ∴∠PAG＝∠PAE，又AP＝AP ∴△PAG≌△PAE，∴PG＝PE 连接FG，过点G作GH⊥BC，垂足为H ∵AG＝AE＝3，而四边形ABHG为矩形， ∴BH＝AG＝3，GH＝AB＝8 又CF＝1，HC＝5，∴HF＝5－1＝4 在Rt△FHG中，由勾股定理，得 在△PFG中，PG＋PF≥GF（仅当F、P、G三点共线时取等号） 空间直角坐标系空间两点间的距离公式班级：____________ 姓名：__________________ C ．(－4,0，－6) D ．(－4,7,0) 解析：点M 关于y 轴对称的点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在xOz 平面上的射影的坐标为(－4,0，－ 6)． 答案：C 二、填空题 7．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________． 解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相 同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，所以点B 1的坐标为(a ，b ，c )． 答案：(a ，b ，c ) 8．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________． 解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)． 答案：(－4,1，－2) 9．点P (－1,2,0)与点Q (2，－1,0)的距离为________． 解析：∵P (－1,2,0)，Q (2，－1,0)， ∴|PQ |＝(－1－2)2＋[2－(－1)]2＋02＝3 2. 答案：3 2 10．已知点P ????32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________. 解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为??? ?12，92，－2.又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以 ????32－122＋??? ?52－922＋[z －(－2)]2＝3， 解得z ＝0或z ＝－4. 答案：0或－4 三、解答题 11．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，|AB |＝|AC |＝|AA 1|＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |. 解析：如右图，以A 为原点，射线AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)，因为M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，所以由空间 与轴对称相关的线段之和最短问题 我们经常在考试当中看到求线段之和最小的问题，每当我们看到这样的题型，同学们从今往后就要高兴了，因为我把它们出现的模型整理如下。 首先来看下这几个数学模型： 模型1：两点之间线段最短。 要在l 找点P ，使得PA+PB 最短，这模型最简单，两点之间线段最短。 模型2：将军饮马问题。 在l 上找一点P ，使得PA+PB 最短，作对称。其中BA ’就是最短的值 模型3：两动点找三角形周长最小 在OA ，OB 上找点M 、N ，使得△PMN 周长最小，把P 关于OA ，OB 分别作对称，然后连接两个对称点，交点记为所求，然后周长最小值为P ’P ’’， 模型4：两动点加垂线段最短， 在OA 上找一点M ，使得M 到OB 的距离与M 到P 的距离之和最短。作P 关于OA 的对称点，然后在对称点P ’上作OB 的垂线，交点即为所求，P ’N 就是最短值。 模型4：如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形PAQB 的 周长最小。 总结一句话，要在哪找点，我们就关于谁作对称！是不是很好理解？ 好吧！我们看看下面这些例题该怎样套上我们的模型！ 题型1：直线类 例题1．如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC ＝10千米，BD ＝30千米，且CD ＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 作点B 关于直线CD 的对称点B'，连接AB'，交CD 于点M 则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M 点时，费用 最小 如右图，在直角△AB'E 中， AE = AC+CE = 10+30 = 40 EB' = 30 M E B' C D A B 线段之与最短问题 一． 常见数学模型: 1、如图,直线l 与l 的异侧两点A 、B,在直线l 上求作一点P,使PA+PB 最小。 2、如图,直线l 与l 的同侧两点A 、B,在直线l 上求作一点P,使PA+PB 最小。 l A 3、 如图,直线与的异侧两点A 、B,分别在直线、上求作一点P 、Q 两点, 使AP+PQ+QB 最小。 4、 如图,直线的同侧两点A 、B,分别在直线上求作一点P 、Q 两点,且PQ=a , 使AP+PQ+QB 最小。 l 2 l 1 5、如图,点P 就是∠MON 内的一点,分别在OM,ON 上作点A,B 使△PAB 的周长最小。 6、如图,点P,Q 为∠MON 内的两点,分别在OM,ON 上作点A,B 。使四边形PAQB 的 周长最小。 l A B a l 1 A N 为方便归类,将这种情况称为“两点之间线段最短型” 5、如图,点A 就是∠MON 外的一点,在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之与最小 6、 、如图,点A 就是∠MON 内的一点,在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之与最小 N 为方便归类,将以上两种情况,称为“垂线段最短型” 练习题 1.在平面直角坐标系中,有A(3,－2),B(4,2)两点,现另取一点C(1,n),当n =______时,AC + BC 的值最小. 2.如图,护城河在CC ’处直角拐弯,宽度保持为4米,从A 处往B 处,经过两座桥:DD ’,EE ’,设护 城河就是东西——南北方向的,A,B 在东西方向上相距64米,南北方向上相距84米,如何设计两座桥梁DD ’,EE ’的位置,使由A 地经过两座桥梁后到B 地的路程最短？最短路程就是多少？ 3.如图∠AOB = 45°,P 就是∠AOB 内一点,PO = 10,Q 、P 分别就是OA 、OB 上的动点,求△PQR 周长的最小值. 4.如图,在△ABC 中,AC ＝BC ＝2,∠ACB ＝90°,D 就是BC 边的中点,E 就是AB 边上一动点,则EC ＋ED N N B 初中数学《最短距离问题》教学设计 课题分析 （1）最短距离问题是初中数学的重要内容之一，也是中考命题的重点之一。学生已有两点之间线段最短的基本知识，故本课应对从直观认识的基础上，着重在不同背景的实际问题中应用，从而渗透化归的数学思想方法。 （2）通过本节的学习，类比、构造、化归转化等数学思想方法的渗透，使学生体会到数学中的美学意义，不断提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。本课对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义。 学情分析 （1）知识基础：学生了解两点之间线段最短等基本知识点，但此后的学习很少涉及此内容，所以学生对此内容的应用较为陌生，所以学生通过本课的学习，须掌握能在不同背景的实际问题中应用。 （2）能力基础：学生的作图能力还是读图能力，添加适当的辅助线、创造适合的条件去在不同背景的实际问题中应用的能力比较薄弱的，这些能力都必须得到加强。 （3）心理基础：因为陌生而害怕，学生在这部分的学习上存在心理的障碍，这不利于学习，故要在题目的设置上让学生更容易得到成就感，才会让学生敢于动手，达到学好的信心，要充分调动学生的积极性。 教学目标 知识目标：掌握两点之间线段最短问题，能在不同背景的实际问题中应用。 技能目标：学习过平移、轴对称、旋转三种图形变换，利用图形变换能解决一些最短距离问题。 情感目标：引导学生对图形观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.体会数学的对称美，体验化归的思想方法，培养合作精神。 重点难点 重点：1.掌握两点之间线段最短问题，能在不同背景的实际问题中应用 2.利用图形变换能解决一些最短距离问题 一、填空题（共6小题） 1、边长为2的正方形的顶点A 到其内切圆周上的最远距离是 _________ ，最短距离是 _________ ． 2、已知点P 到⊙O 上的点的最短距离为3cm ，最长距离为5cm ，则⊙O 的半径为 _________ cm ． 3、（2011?广安）如图所示，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距 离为5cm ，则弦AB 的长为 _________ ． 4、如图，圆锥的底面半径为OB=3，母线SB=9，D 为SB 上一点，且SD=，则点A 沿圆锥表 面到D 点的最短距离为 _________ ． 5、如图，P 为半圆直径AB 上一动点，C 为半圆中点，D 为弧AC 的三等分点，若AB=2，则PC+PD 的最短距离为 _________ ． 6、如图，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A 、B 到河岸的距离分别为AC 和BD ，且AC=BD ，若点A 到河岸CD 的中点的距离为500米，则牧童从A 处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是 _________ 米． 二、解答题（共4小题） 7、正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为多少？ 8、己知圆锥的底面半径是4cm ，母线长为12cm ，C 为母线PB 的中点，求从A 到C 在圆锥的侧面上的最短距离． 2012年 初中数学求最短距离 9、已知如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为9cm，C是母线PB中点且在圆锥的侧面上，求从A到C的最短距离为多少厘米？ 10、如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求：最短距离EP+BP． 三、选择题（共4小题） 11、如图，在底面周长为12，高为8的圆柱体上有A、B两点，则A、B两点的最短距离为（） A、4 B、8 C、10 D、5 12、（2003?贵阳）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S的最短距离为（） A、B、 C、D、 13、如图，已知圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2，一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A 处．则小虫所走的最短距离为（） 初二数学专题练习最短距离问题 1.如图3－10，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小． 2.A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示） 3.如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+NQ最短． 4.如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点， 且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值 5.如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值是． 6.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABC是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（） A．3．26 C．3 D6 7.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为 8.如图，为了解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂， （1）不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小． （2）另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由． 9.（1）如图1示，∠AOB内有两点M，N，请你确定一点P，使点P到M，N的距离相等，且到OA，OB边的距离也相等，在图上标出它的位置． （2）某班举行文艺晚会，桌子摆成两直线（如图2中的AO，BO），AO桌面上摆满桔子，BO桌面上摆满糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最短． 10.如图，厂A和工厂B被一条河隔开，它们到河的距离都是2km，两个厂的水平距离都是3km，河宽1km，现在要架一座垂直于河岸的桥，使工厂A到工厂B的距离最短．（河的两岸是平行的） ①请画出架桥的位置．（不写画法） ②求从工厂A经过桥到工厂B的最短路程． 11.一次函数y kx b =+的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． （1）求该函数的解析式； （2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．12.如图，在直角坐标系中有四个点A（-6，3），B（-2，5），C（0，m），D?（n，0），当四边形ABCD周长最短时，则m=________，n=________． 13.蚂蚁搬家都选择最短路线行走，有一只蚂蚁 第6讲最短路径问题 知识定位 讲解用时：5分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径 问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。 知识梳理 讲解用时：20分钟 两点之间线段最短 C D A B E A地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？ 选A-B，因为两点之间，直线最短 垂线段最短 如图，点P是直线L外一点，点P与直线上各 点的所有连线中，哪条最短？ PC最短，因为垂线段最短 两点在一条直线异侧 A P L B 如图，已知A点、B点在直线L异侧，在L上选一点P，使PA+PB最短. 连接AB交直线L于点P，则PA+PB 最短. 依据：两点之间：线段最短 两点在一条直线同侧 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位 久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不 得其解的问题： 从图中的A地出发，到一条笔直的河边 l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 作法： 1、作B点关于直线L的对称点B’； 2、连接AB’交直线L于点C； 3、点C即为所求. 证明：在直线L上任意选一点C’（点C’不与C重合），连接AC’、BC’、B’C’. 在△AB’C’中， AC’+B’C’＞AB’ ∴AC’+BC’＞AC+BC 所以AC+BC最短. 课堂精讲精练 【例题1】 已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】根据作图的方法即可得到结论． 解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小， ∴D的作法正确， 故选：D． 讲解用时：3分钟 解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 【练习1.1】 如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需 《空间两点间的距离公式》 本节课为高中必修二第二章第三节第三课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐标系的基础上的推广。距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，点又是确定线、面的几何要素之一，所以本节课对学习点线面的距离公式的推导和进一步学习。 【知识与能力目标】 理解空间内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题。 【过程与方法目标】 通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力。 【情感态度价值观目标】 培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。 【教学重点】 空间两点间的距离公式和它的简单应用。 【教学难点】 空间两点间的距离公式的推导。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、导入部分 我们知道，数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点的距离是（）（），同学们想一下，在空间直角坐标系中，如果已知两点的坐标，如何求它们之间的距离呢？ 二、研探新知，建构概念 1、电子白板投影出上面实例。 2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。 （1）长方体的对角线及其长的计算公式 ①连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线。(如图) ②如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长. 注意：（①）就推导过程而言，其应用了把空间长度向平面长度转化的思想，即通过构造辅助平面，将空间问题降维到平面中处理。 (②)就公式而言，该公式可概括为：长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 （2）两点间的距离公式 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离 （）（）（） 注意：①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。 （①）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间的距离公式； （②）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴上两点间的距离公式。 ②空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离. 三、质疑答辩，发展思维 1、举例：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离。 2.4. 空间直角坐标系与空间两点的距离公式 课程学习目标 ［课程目标］ 目标重点：空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标及空间两点距离公式.目标难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，以及空间距离公式的推导. ［学法关键］ 1．在平面直角坐标系中，过一点作一条轴的平行线交另一条轴于一点，交点在这个轴上的坐标，就是已知点相应的一个坐标，类似地，在空间直角坐标系中，过一点作两条轴确定的平面的平行平面交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点的一个相应的坐标. 2．通过类比平面内两点间的距离公式来理解空间两点的距离公式 研习点1．空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点. 如何理解空间直角坐标系？ 1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础； 2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合； 3．如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系； 4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°. 研习点2．空间点的坐标 1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为P x，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标；2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为P y，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为P z，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量. 2013求最短距离问题大全 一、填空题（共6小题） 1、边长为2的正方形的顶点A到其内切圆周上的最远距离是_________，最短距离是_________． 2、已知点P到⊙O上的点的最短距离为3cm，最长距离为5cm，则⊙O的半径为_________cm． 3、（2011?广安）如图所示，若⊙O 的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离 为5cm，则弦AB的长为_________． 4、如图，圆锥的底面半径为OB=3，母线SB=9，D为SB上一点，且SD=，则点A沿圆锥表 面到D点的最短距离为_________． 5、如图，P为半圆直径AB上一动点，C为半圆中点，D为弧AC的三等分点，若AB=2，则PC+PD的最短距离为_________． 6、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是_________米． 二、解答题（共4小题） 7、正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为多少？ 8、己知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 9、已知如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为9cm，C是母线PB中点且在圆锥的侧面上，求从A到C的最短距离为多少厘米？ 10、如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求：最短距离EP+BP． 三、选择题（共4小题） 11、如图，在底面周长为12，高为8的圆柱体上有A、B两点，则A、B两点的最短距离为（） A、4 B、8 C、10 D、5 12、（2003?贵阳）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC 的中点S的最短距离为（） A、B、 C、D、 13、如图，已知圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2，一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A 处．则小虫所走的最短距离为（） A、12 B、4π C、D、 14、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（）初中数学最值问题典型例题
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