高中数学第三章推理与证明1.1.2类比推理教案(含解析)北师大版选修1_2

1．2 类比推理

类比推理

三角形有下面两个性质：

(1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底乘积的1

2

.

问题1：你能由三角形的这两个性质推测空间四面体的性质吗？试写出来． 提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的1

3

.

问题2：由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么？

提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊．

定义

特征

由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，把这种推

理过程称为类比推理. 类比推理是两类事物特征之间的推理.

合情推理

合情推理的含义

(1)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．

(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．

1．类比推理是从人们已经掌握了的事物特征，推测正在被研究中的事物的特征．所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠；

2．类比推理以旧的知识作为基础，推测新的结果，具有发现功能．

平面图形与空间几何体的类比

[例1] (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦； (2)与圆心距离相等的两弦长相等； (3)圆的周长C ＝πd (d 是直径)； (4)圆的面积S ＝πr 2

.

[思路点拨] 先找出相似的性质再类比，一般是点类比线、线类比面、面积类比体积． [精解详析] 圆与球有下列相似的性质：

(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．

(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．

通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.

圆

球

圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 球心与截面(不经过球心的小圆面)圆心的连线

垂直于截面

与圆心距离相等的两条弦长相等

与球心距离相等的两个截面的面积相等

圆的周长C ＝πd 球的表面积S ＝πd 2

圆的面积S ＝πr 2

球的体积V ＝43

πr 3

[一点通] 解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：

平面图形 立体图形 点 点、线 直线 直线、平面 边长 棱长、面积

面积 体积 三角形 四面体 线线角 面面角 平行四边形

平行六面体

圆

球

1．下面类比结论错误的是( )

A ．由“若△ABC 一边长为a ，此边上的高为h ，则此三角形的面积S ＝1

2ah ”类比得出

“若一个扇形的弧长为l ，半径为R ，则此扇形的面积S ＝1

2

lR ”

B ．由“平行于同一条直线的两条直线平行”类比得出“平行于同一个平面的两个平面平行”

C ．由“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”类比得出“在空间中，垂直于同一个平面的两个平面平行”

D ．由“三角形的两边之和大于第三边”类比得出“凸四边形的三边之和大于第四边” 解析：选C 只有C 中结论错误，因为两个平面还有可能相交．

2.如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．

解：如图所示，在四面体P -ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△

ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的

大小．

我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.

定义、定理与性质的类比

[例2]

[精解详析] ①两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是向量； ②从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律， 即：a ＋b ＝b ＋a ，a ＋b ＝b ＋a ，

(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； ③从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算， 即a ＋x ＝0与a ＋x ＝0都有唯一解，x ＝－a 与x ＝－a ；

④在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a ＋0＝a .在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即a ＋0＝a .

[一点通] 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，本例中实数加法的对象为实

数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量

0分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位．因此我们可以从这四个方面进行类比．

3．试根据等式的性质猜想不等式的性质并填写下表.

等式

不等式

a＝b?a＋c＝b＋c ①

a＝b?ac＝bc ②

a＝b?a2＝b2③

答案：①a>b?a＋c>

③a>b>0?a2>b2(说明：“>”也可改为“<”)

4．已知等差数列{a n}的公差为d，a m，a n是{a n}的任意两项(n≠m)，则d＝

a n－a m

n－m

，类比上述性质，已知等比数列{b n}的公比为q，b n，b m是{b n}的任意两项(n≠m)，则q＝________.

解析：∵a n＝a m q n－m，∴q＝?

?

??

?a n

a m

1

n－m

.

答案：

?

?

??

?a n

a m

1

n－m

1．类比推理先要寻找合适的类比对象，如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．

2．归纳推理与类比推理都是合情推理．归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发现的．

1．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( )

A．三角形B．梯形

C．平行四边形D．矩形

解析：选C 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．

2．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝

2S

a＋b＋c

；类比这个结论可知：四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，

四面体P -ABC 的体积为V ，则r ＝( )

A.V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4

B.

2V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4

C.

3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4

解析：选C 设内切球的球心为O ，所以可将四面体P -ABC 分为四个小的三棱锥，即

O -ABC ，O -PAB ，O -PAC ，O -PBC ，而四个小三棱锥的底面积分别是四面体P -ABC 的四个面的面

积，高是内切球的半径，所以V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ＝1

3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，∴r ＝

3V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4

.

3．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29

.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )

A ．a 1a 2a 3…a 9＝29

B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29

C ．a 1a 2…a 9＝2×9

D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9

解析：选D 类比等比数列{b n }中b 1b 2b 3…b 9＝b 9

5，可得在等差数列{a n }中a 1＋a 2＋…＋

a 9＝9a 5＝9×2.

4．类比三角形中的性质： ①两边之和大于第三边； ②中位线长等于底边长的一半； ③三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质：

①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；

②过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的1

4；

③四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方法正确的有( ) A ．① B ．①② C ．①②③

D ．都不对

解析：选C 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．

5．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ―→＝12

()

AB ―→＋AC ―→ ，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：______________________________________.

．解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．

答案：在四面体A -BCD 中，G 是△BCD 的重心，则AG ―→＝13

()

AB ―→＋AC ―→＋AD ―→ 6．运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一条固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以

从给出的简单图形①②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线方程分别是x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b

＞0)与x 2

＋y 2

＝a 2

，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为__________．

解析：由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为b a

， 即k ＝b a

，所以椭圆面积S ＝πa 2

·b a

＝πab . 答案：πab

7．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2

A ＋cos 2

B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．

解：如图，在Rt △ABC 中，

cos 2

A ＋cos 2

B ＝? ????b c 2＋? ??

??a c 2＝a 2＋b

2

c 2＝1.

于是把结论类比到四面体P -A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P -A ′B ′C ′中，若三个侧面PA ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2

α＋cos 2

β＋cos 2

γ＝1.

8．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则T 20T 10，

T 30T 20，T 40

T 30

也成等

比数列，且公比为4100

；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．

(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明； (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．

解：(1)在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－

S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．

证明如下：

∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)

＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋…＋10d ＝100d ＝300，

10个

同理可得：

(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，

所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300. (2)在公差为d 的等差数列{a n }中， 若S n 是{a n }的前n 项和， 则对于任意k ∈N ＋， 数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，

S 4k －S 3k 也成等差数列，且公差为k 2d .

9．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证a 2

1

＋a 2

2≥12

.

证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2

＋(x －a 2)2

， 则f (x )＝2x 2

－2(a 1＋a 2)x ＋a 2

1＋a 2

2＝2x 2

－2x ＋a 2

1＋a 2

2. 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，

所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，所以a 21＋a 2

2≥12

.

(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)类比上述证法，对你推广的结论加以证明． 解：(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1， 求证：a 21＋a 22＋…＋a 2

n ≥1n

.

(2)证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2

，

则f (x )＝nx 2

－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 2

1＋a 2

2＋…＋a 2

n ＝nx 2

－2x ＋a 2

1＋a 2

2＋…＋a 2

n . 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0， 所以Δ＝4－4n (a 2

1＋a 2

2＋…＋a 2

n )≤0.

1 n .

所以a21＋a22＋…＋a2n≥