抛物线方程及性质的应用
抛物线方程及性质的应用
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.(2013·安阳高二检测)过点(-1,0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
2.将两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n,则( )
A.n=0
B.n=1
C.n=2
D.n≥3
3.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=( )
A.4
B.8
C.8
D.16
4.(2013·长春高二检测)抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最小的点的坐标是( )
A.(,)
B.(1,1)
C.(,)
D.(2,4)
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为( )
A.y=x-1或y=-x+1
B.y=(x-1)或y=-(x-1)
C.y=(x-1)或y=-(x-1)
D.y=(x-1)或y=-(x-1)
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.设已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为.
7.(2012·北京高考)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点.其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为.
8.(2013·珠海高二检测)过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=,|AF|<|BF|,则|AF|= .
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.已知顶点在原点,焦点在x轴的负半轴的抛物线截直线y=x+所得的弦长|P1P2|=4,求此抛物线的方程.
10.(2013·昆明高二检测)已知抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,又知此抛物线上一点A(4,m)到焦点的距离为6.
(1)求此抛物线的方程.
(2)若此抛物线方程与直线y=kx-2相交于不同的两点A,B,且AB中点横坐标为2,求k的值.
11.(能力挑战题)已知过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(p>0)相交于B,C两点,当直线l的斜率是时,=4.
(1)求抛物线G的方程.
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.
答案解析
1.【解析】选C.点(-1,0)在抛物线y2=x的外部,故过(-1,0)且与其有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为x轴.
【举一反三】若把本题中的点(-1,0)改为(1,1),则此时与y2=x只有一个公共点的直线有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
【解析】选B.因为点(1,1)在抛物线y2=x上,所以作与y2=x只有一个公共点的直线有两条,其中一条为切线,一条为平行于x轴的直线.
2.【解题指南】数形结合.
【解析】选C.根据抛物线的对称性,
正三角形的两个顶点一定关于x轴对称,且过焦点的两
条直线的倾斜角分别为30°和150°,如图,所以正三角
形的个数n=2,所以选C.
3.【解析】选B.如图所示:
∵直线AF的斜率为-,
∴∠AFK=60°,
∴∠PAF=60°.
又|PA|=|PF|,
∴△APF为等边三角形.
在Rt△AKF中,|FK|=4,
∴|AF|=8,∴|PF|=8.
4.【解析】选B.设抛物线y=x2的切线l与2x-y-4=0平行.
∴k l=2,设l方程为y=2x+b.
由消去y得x2-2x-b=0.
由Δ=(-2)2-4×1×(-b)=4+4b=0得b=-1,
而b=-1时,切点横坐标为1,
这时切点为(1,1).
5.【解题指南】设出A,B点的坐标,利用抛物线的定义表示出|AF|,|BF|,再利用|AF|=3|BF|,确立l的方程.
【解析】选 C.抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,因为|AF|=3|BF|,所以x1+1=3(x2+1),所以x 1=3x2+2.因为|y1|=3|y2|,所以x1=9x2,所以x1=3,x2=.当x1=3时,=12,此时y 1=±=±2,若y1=2,则A(3,2),B,此时k AB=,此时直线方程为y=(x-1).若y 1=-2,则A(3,-2),
B,此时k AB=-,此时直线方程为y=-(x-1).
6.【解题指南】求出抛物线方程,利用点差法.
【解析】由题意知抛物线的方程为y2=4x,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1≠x2,
两式相减得,-=4(x 1-x2),
∴==1,
∴直线l的方程为y-2=x-2,即y=x.
答案:y=x
7.【解题指南】写出直线l的方程,再与抛物线方程联立,解出A点坐标,再求面积.
【解析】抛物线y2=4x的焦点F(1,0),直线l:y=(x-1).由解得A(3,2),B(,-).所以S△OAF=×1×2=.
答案:
【变式备选】已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB= .
【解题指南】联立方程求出A,B两点后转化为解三角形问题.
【解析】联立消y得x2-5x+4=0,解得x=1或x=4.
不妨设A在x轴上方,于是A,B的坐标分别为(4,4),(1,-2),又F(1,0),
可求|AB|=3,|AF|=5,|BF|=2,利用余弦定理得cos∠AFB==-. 答案:-
8.【解析】抛物线y2=2x的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-,设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1x2==.
设|AF|=m,|BF|=n,则x1=m-,x2=n-,
所以有解得m=或n=,
所以|AF|=.
答案:
9.【解析】设抛物线方程为y2=-2px(p>0),把直线方程与抛物线方程联立得
消元得x2+(3+2p)x+=0①,判别式Δ=(3+2p)2-9=4p2+12p>0,解得p>0或p<-3(舍),
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则①中由根与系数的关系得x1+x2=-(3+2p),x1·x2=,代入
弦长公式得·=4,
解得p=1或p=-4(舍),
把p=1代入抛物线方程y2=-2px(p>0)中,得y2=-2x.
综上,所求抛物线方程为y2=-2x.
10.【解题指南】(1)利用定义建立方程求得p值.(2)利用“设而不求”的思想求解.
【解析】(1)由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),其准线方程为x=-.
∵A(4,m)到焦点的距离等于A到其准线的距离.
∴4+=6,∴p=4,
∴此抛物线的方程为y2=8x.
(2)由消去y得k2x2-(4k+8)x+4=0.
∵直线y=kx-2与抛物线相交于不同两点A,B,则有
解得k>-1且k≠0,
∵AB中点横坐标为2,则有==2,
解得k=2或k=-1(舍去).
∴所求k的值为2.
【拓展提升】“中点弦”处理方法
当涉及弦中点的坐标、弦所在直线斜率之间的关系时,可以“设而不求”,采用平方差法.
(1)代端点.把弦的两端点坐标(x1,y1),(x2,y2)代入圆锥曲线方程.
(2)“平方差”.将两方程作差,利用平方差公式.
(3)得斜率.把x1+x2=2x0,y1+y2=2y0(中点坐标(x0,y0))代入可得,即直线的斜
率.
(4)求结论.由点斜式求直线方程或代入转化求其他.
11.【解析】(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),当直线l的斜率是时,l的方程为y=(x+4), 即x=2y-4,
由得2y2-(8+p)y+8=0,
∴
又∵=4,∴y2=4y1,
由这三个表达式及p>0得
y1=1,y2=4,p=2,则抛物线的方程为x2=4y.
(2)由题意可设l:y=k(x+4),BC的中点坐标为(x0,y0).
由得x2-4kx-16k=0,
∴x0=2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k,
∴线段BC的中垂线方程为y-2k2-4k=-(x-2k),
∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为:
b=2k2+4k+2=2(k+1)2,
由Δ=16k2+64k>0得k>0或k<-4.
∴b∈(2,+∞).