2018版高中物理第1章机械振动第4节探究单摆的振动周期教师用书粤教版选修3_4

第四节探究单摆的振动周期

1．(3分)如图1－4－1，把一个有孔的小木球装在弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在光滑杆上，能够自由振动，这个系统可称为弹簧振子吗？若将小木球改为同体积的钢球呢？

图1－4－1

【答案】小球为木球时，系统不能看作弹簧振子，小球为钢球时，系统可看作弹簧振子．系统能否看成弹簧振子需同时满足两个条件：①小球运动过程中不受阻力，②小球质量明显大于弹簧质量．第一种情景中不满足条件②.

2．(3分)简谐运动这种运动形式具有什么特征？

【答案】简谐运动是物体在平衡位置附近所做的往复性运动．因此它具有往复性的特点．(也可认为，做简谐运动的物体每隔一定时间它将重复原先的运动，它具有周期性的特点)．它又是以平衡位置为中心的振动，因此又具有对称性的特点．

3．(4分)如图1－4－2，小球套在光滑水平杆上，与弹簧组成弹簧振子，O为平衡位置，小球在O附近的AB间做简谐运动，设向右为正方向，则：

图1－4－2

(1)动能最大的位置在________．

(2)加速度为负向最大的位置在________．

【解析】平衡位置是振动物体运动速度最大的位置，也即动能最大的位置，即图中O 点；因加速度是矢量，做第(2)问要看准正方向，因正方向向右，所以加速度为负向最大的位置在A.

【答案】(1)O (2)A

学生P 8

一、单摆 1．组成

(1)细线，(2)小球． 2．理想化要求

(1)质量关系：细线质量与小球质量相比可以忽略． (2)线度关系：球的直径与线的长度相比可以忽略． (3)力的关系：忽略摆动过程中所受阻力作用．

实验中为满足上述条件，我们尽量选择质量大，体积小的球和尽量细轻的线． 二、单摆的回复力 1．回复力的提供

摆球的重力沿圆弧方向的分力． 2．回复力的特点

在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F ＝－mg

l

x .

3．运动规律

单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律． 三、单摆振动周期的实验探究

1．探究单摆的振幅、位置、摆长对周期的影响 (1)探究方法：控制变量法． (2)实验结论

①单摆振动的周期与摆球质量无关． ②振幅较小时周期与振幅无关．

③摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小． 2．周期公式

(1)提出：周期公式是惠更斯首先提出的．

(2)公式：T T 与摆长l 的二次方根成正比，与重力加速度g 的二次方根成反比．

学生P 9

一、透析单摆模型 1．运动特点

(1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，在运动过程中只要速度v ≠0，半径方向都受向心力．

(2)摆球以平衡位置为中心做往复运动，在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都受回复力．

2．摆球的受力

(1)任意位置：如图1－4－3所示，G 2＝G cos θ，F －G 2的作用就是提供摆球绕O ′做变速圆周运动的向心力；G 1＝G sin θ的作用是提供摆球以O 为中心做往复运动的回复力．

图1－4－3

(2)平衡位置：摆球经过平衡位置时，G 2＝G ，G 1＝0，此时F 应大于G ，F －G 的作用是提供向心力；因在平衡位置，回复力F 回＝0，与G 1＝0相符．

(3)单摆的简谐运动

在θ很小时(理论值为5°)，sin θ≈θ＝x

l ，G 1＝G sin θ＝mg l

x ，G 1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F 回＝G 1＝－mg l

x ＝－kx .因此，只有在摆角θ很小时，单摆才做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律，图象是正弦或余弦曲线．

二、单摆振动的周期 单摆的周期公式T ＝2π

l

g

是惠更斯从实验中总结出来的．单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回复力越大，加速度越大，由于摆球的运动轨迹是圆弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力．在有些振动系统中g 不一定为9.8 m/s 2

，因此出现了等效重力加速度的问题．

1．公式中的g 由单摆所在的空间位置决定．

由G M

R

2＝g 知，g 随地球表面不同位置、不同高度的变化而变化，在不同星球上也不相同，

因此应求出单摆所在处的等效值g ′代入公式，即g 不一定等于9.8 m/s 2

.

2．g 还由单摆系统的运动状态决定．

如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a ，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g ′＝g ＋a .再如，单摆若处于在轨道上运动的航天飞机内，摆球完全失重，回复力为零，则等效值g ′＝0，所以周期为无穷大，即单摆不摆动了．

3．g 还由单摆所处的物理环境决定

如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和竖直电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有g ′的问题．

三、等效单摆的探究 1．实际摆的等效摆长的求法

实际摆的摆球不可能是质点，对不规则的摆动物体或复合物体，摆长均为从悬点到摆动物体重心的长度，而从悬点到摆线与摆球连接点的长度通常叫摆线长．等效摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定是摆线的长度．如图1－4－4所示，摆球可视为质点，各段绳长均为l ，(a)、(b)中摆球做垂直纸面的小角度摆动，(c)中小球在纸面内做小角度摆动，O ′为垂直纸面的钉子，OO ′＝l /3，等效摆长分别为l a ＝l sin α，l b ＝l ＋l sin α，

l c 半个周期为l ，另半个周期为

2l

3

，周期分别为T a ＝2π l sin α

g

，T b ＝2π l

＋sin α

g

，T c ＝π

l

g

＋π 2l 3g

.

图1－4－4

若摆球不可视为质点，摆球的直径为d ，则l a ＝l sin α＋d 2，l b ＝l ＋l sin α＋d

2

，l c

的半个周期为l ＋d 2，另半个周期为23l ＋d

2

，周期分别为T a ＝2π

l sin α＋

d

2

g

，T b ＝2π

l ＋l sin α＋

d

2

g

，

T c ＝π

l ＋

d 2

g

＋π

4l ＋3d

6g

2．可等效为单摆的圆周运动

若物体在光滑的半径较大的圆周上做小幅度的圆周运动时，如图1－4－5所示，小球所受重力沿切线方向指向平衡位置的分力的大小为F ＝G sin θ，在R ?AB 时，θ很小，θ≈sin θ，F ＝－mg

R

·x ＝－kx ，符合简谐运动的动力学特征，因此可以将此运动等效为单摆的简谐运动，其等效单摆的周期公式T ＝2π

R g

.

图1－4－5

一、单摆周期公式的应用

两个单摆甲和乙，它们的摆长之比为4∶1.若它们在同一地点做简谐运动，则

它们的周期之比T 甲∶T 乙＝________.在甲摆完成10次全振动的时间内，乙摆完成的全振动次数为________．

【导析】 单摆的周期与摆长的平方根成正比，与当地重力加速度的平方根成反比． 【解析】 本题主要考查对单摆周期公式的理解．因两单摆在同一地点做简谐运动，g 相同，由周期公式T ＝2π

l

g

知T ∝l ，因此周期之比为2∶1；甲完成10次全振动的时间t ＝10T 甲，乙在相同时间内完成的全振动次数．

n ＝t

T 乙

＝20. 【答案】 2∶1 20

处理单摆问题：一要充分理解单摆摆动的情景；二要充分理解周期公式中各量的意义、

1．有一摆长为L 的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被挡住，使摆长发生变化．现使摆球做小角度摆动，图1－4－6为摆球从右边最高点M 摆至左边最高点N 的闪光照片(悬点和小钉未摄入)，P 为摆动中的最低点，每相邻两次闪光的时间间隔相等，则小钉距悬点的距离为( )

图1－4－6

A ．L /4

B ．L /2

C ．3L /4

D ．条件不足，无法判断

【解析】 题图中M 到P 为四个时间间隔，P 到N 为两个时间间隔，即左半部分单摆的周期是右半部分单摆周期的1

2，根据周期公式T ＝2π

l g 可得，左半部分单摆的摆长为L 4

，即小钉距悬点的距离为3L /4，故C 选项正确．

【答案】 C 二、等效摆长问题

如图1－4－7所示，ACB 为光滑弧形槽，弧形槽半径为R ，R ?AB .甲球从弧形

槽的球心处自由落下，乙球从A 点由静止释放，问两球第1次到达C 点的时间之比．

图1－4－7

【导析】 球在槽上的运动可看成简谐运动，到C 点的时间为单摆周期的1

4；甲球做自

由落体运动．

【解析】 甲球做自由落体运动．R ＝12

gt 2

1，所以t 1＝

2R

g

.乙球沿圆弧做简谐运动(由

于AC ?R ，可认为摆角θ<10°

)此振动与一个摆长为R 的单摆振动模型相同，故此等效摆长为R ，因此第1次到达C 处的时间为t 2＝14T ＝2π R /g 4＝π2 R /g ，所以t 1∶t 2＝22π

.

【答案】

22

π 对这类问题，首先确认符合单摆模型的条件，即沿圆弧运动、小角度摆动、回复力

2．如图1－4－8所示，

图1－4－8

光滑的半球壳半径为R ，O 点在球心的正下方，一小球由距O 点很近的A 点由静止放开，同时在O 点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在O 点相碰，小球由多高处自由落下(OA ?R )．

【解析】 球由A 点开始沿球内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动．因为OA ?R ，所以球自A 点释放后做简谐运动，其周期为T ＝2πR

g

，要使两球在O 点相碰，两者到O 点的运动时间相等．

小球由A 点由静止释放运动到O 点的时间为T

4(2n －1)，n ＝1,2,3…，由于O 点正上方自

由落下的小球到O 的时间也为T

4(2n －1)时两球才能在O 点相碰，所以h ＝12gt 2＝12g 4π2

R

16g (2n

－1)2

＝

n －

2

π2

R

8

(n ＝1,2,3，…)

【答案】

n －

2

π2

R

8

(n ＝1、2、3…)

三、等效重力加速度问题

如图1－4－9所示，带正电的小球与绝缘细线构成的单摆处在场强为E 的竖直

向下的匀强电场中，试求其做简谐运动的摆动周期．

图1－4－9

【导析】 求出等效的重力加速度，利用周期公式进行计算． 【解析】 摆球静止在平衡位置处细线的拉力为F ＝mg ＋qE 故等效重力加速度为g ′＝F m ＝g ＋qE m

周期T ＝2π

l

g ′

＝2π l g ＋

qE m

【答案】 2π

l g ＋

qE m

实际问题中，

1．发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大( ) A ．增大摆球质量 B ．缩短摆长 C ．减小单摆振幅 D ．将单摆由山下移至山顶

【解析】 根据单摆周期公式T ＝2π

l

g

，周期与摆球质量和振幅无关，A 、C 错误；缩短摆长，周期变小，B 错误；由山下移至山顶，g 减小，T 增大，D 正确．

【答案】 D

2．关于单摆，下列说法中正确的是( ) A ．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置 B ．摆球受到的回复力是它的合力 C ．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零

D ．摆角很小时，摆球受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比

【解析】 单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线的方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心)；另外摆球所受的合力与位移大小不成正比，故选A.

【答案】 A

3．要增加单摆在单位时间内的摆动次数，可采取的方法是( )

A ．增大摆球的质量

B ．缩短摆长

C ．减小摆动的角度

D ．升高气温

【解析】 由单摆的周期公式T ＝2π

l

g

，可知周期只与l 、g 有关，而与质量、摆动的幅度无关．当l 增大时，周期增大；g 增大时，周期减小；l 减小时，周期减小，频率增大．所以选B.

【答案】 B

4．如图1－4－10所示，曲面AO 是一段半径为2 m 的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于O 点，AO 弧长10 cm.现将一小球先后从曲面的顶端A 和AO 弧的中点B 由静止释放，到达底端O 的速度分别为v 1和v 2，所经历的时间分别是t 1和t 2，那么( )

图1－4－10

A ．v 1

B ．v 1>v 2，t 1＝t 2

C ．v 1＝v 2，t 1＝t 2

D ．上述三种都有可能

【解析】 因AO ＝10 cm ，半径R ＝2 m ，故小球的运动可看作简谐运动，从而t 1＝t 2.设到达底端O 时小球的速度为v ，由机械能守恒定律得mgh ＝12

mv 2

，故v ＝ 2gh ，依题意

h A >h B ，所以v 1>v 2.

【答案】 B