高一数学-指数函数-函数的值域与最值-(教案)

授课类型

T-指数函数

C-函数的值域与最值

T-指数函数

教学目的

1、掌握指数函数的概念和指数运算的性质

2、掌握指数函数的图像和性质，并能够根据指数函数的性质解决一些变形的指数函数的问题；利用指数函数建议数学模型解决实际问题。

3、掌握函数值域与最值的解法

教学内容

1．一张白纸对折一次得两层，对折两次得4层，对折3次得8层，问若对折x 次所得层数为y ，则y 与x 的函数表达式是：2x

y =.

2．一根1米长的绳子从中间剪一次剩下

12米，再从中间剪一次剩下1

4

米，若这条绳子剪x 次剩下y 米，则y 与x 的函数表达式是：12x

y ??

= ???

.

问题：这两个函数有何特点?

同步讲解

一、指数函数的概念

你知道么？

一般地,指数函数y=a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：

a＞1 0＜a＜1 图象

性质

①定义域：R

②值域：（0,+∞）

③过点（0,1）,即x=0时y=1

④在R上是增函数,当x＜0时,0＜y＜1;当

x＞0时,y＞1

④在R上是减函数,当x＜0时,y＞1;当

x＞0时,0＜y＜1

利用指数函数的性质，比较下列各组中两个数的大小.

（1）3

2和 1.7

2；（2）

2

3

0.6-和

3

4

0.6-.

【分析与解答】（1）因为指数2x

y=函数在()

,

-∞+∞上是增函数，又3 1.7

>，所以3 1.7

22

>.

（2）因为指数函数0.6x

y=在()

,

-∞+∞上是减函数，又

23

34

->-，所以

23

34

0.60.6

--

>.

求下列函数的定义域与值域。

（1）

1

4

2x

y-

=（2）

2

3

x

y

-

??

= ?

??

（3）1

421

x x

y+

=++

【分析与解答】根据指数函数的定义域为R，逐个分析。

【解】（1）由404

x x

-≠?≠

所以定义域为}

{,4

x x R x

∈≠

且

1

4

1

021

4

x

x

-

≠∴≠

-

所以值域为{}

0,1

y y y

>≠

（2）定义域为R。

233

1

322

x x

x

y

--

≥

??????

∴==≥=

? ? ?

??????

故值域为{}1

y y≥

（3）定义域为R，

令2x

t=，则()2

2

0,2111

t y t t t

>=++=+>

所以值域为{}1

y y>

函数()()

,x x

f x a

g x b

==的图像如图，试确定,a b的大小；若()()

3127

f g

==，求()()

,

f x

g x的解析式。【分析与解答】由图像知，()()

11,1

f g a b

<∴<<

由题意：327

a b

==

所以，3,27

a b

==

所以函数的解析式分别为：()()

3,27

x x

f x

g x

==

已知函数)1

(1

2

2>

-

+

=a

a

a

y x

x在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值

【分析与解答】解：)1

(1

2

2>

-

+

=a

a

a

y x

x，

换元为)

1

(1

2

2a

t

a

t

t

y<

<

-

+

=，对称轴为1-

=

t.

当1

>

a，a

t=，即x=1时取最大值，略

解得a=3 (a= －5舍去)

银行一年定期储蓄年利率为1.89%，如果存款到期不取继续留存于银行，银行自动将本金及80%的利息（20%利息缴纳利息税）自动转存一年期定期储蓄.

（1）某人以一年期定期储蓄存入银行20万元，问5年后，这笔钱扣除利息税后的本利和为多少，精确到1元. （2）设本金为a元，年利率为r，扣除利息税20%后的本金和为y，写出y随年x变化的函数式.

【分析与解答】（1）1年后的本利和为()12020 1.89%80%201 1.89%80%y =+??=+?；

2年后的本利和为()()2

21111.89%80%1 1.89%80%201 1.89%80%y y y y =+??=+?=+? ；

……

5年后的本利和为 ()5

5201 1.89%80%y =+?. 由计算器计算得 521.5584y ≈. 所以，5年后的本利和为215584元.

（2）根据上面计算，得 ()180%x y a r =+?.

1.将指数函数()()0,1x f x a a a =>≠，表示成一个奇函数和一个偶函数的和。 答案；()()()11

22

x x x x f x a a a a --=

-++ 2、若函数()()0,1x

f x a x a a a =-->≠有两个零点，则实数a 的取值范围是_________ 答案：1a >

3、求下列函数的定义域、值域： （1）1

21

8x y -= （2）11()2x y =- （3）3x

y -= （4）1(0,1)1

x x

a y a a a -=>≠+． 解：（1）210x -≠ ∴12x ≠

原函数的定义域是1{,}2

x x R x ∈≠， 令1

21t x =

- 则0,t t R ≠∈ ∴8(,0)t

y t R t =∈≠得0,1y y >≠，

所以，原函数的值域是{0,1}y y y >≠．

（2）11()02

x

-≥ ∴0x ≥ 原函数的定义域是[)0,+∞，

令11()2

x

t =-(0)x ≥ 则01t ≤<， y t =在[)0,1是增函数 ∴01y ≤<，

所以，原函数的值域是[)0,1． （3）原函数的定义域是R ， 令t x =- 则0t ≤，

3t y =在(],0-∞是增函数， ∴01y <≤，

、（1）阅读不等式

()

试用上面的方法解不等式

()(x g x =2 ???

12y ?= ?函数的单调递减区间是1y ??

∴= ?