《数学分析》(华师大二版)课本上的习题664896

P.124 习题

1．试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点ξ，使0)(='ξf ：

（1）?????=≤<=0

1

01sin

)(x x x

x x f π， （2）11||)(≤≤-=x x x f

解 （1）因为f 在]1

,0[π

连续，在)1

,

0([π可导，且)1

()0(π

f f =，所以由Rolle 定

理，)1

,

0(π

ξ∈?，使得0)(='ξf 。

（2）因为??

?<->='0

10

1)(x x x f ，且)0(f '不存在，故不存在一点ξ，使0)(='ξf

2．证明：（1）方程033

=+-c x x （这里c 为常数）在区间]1,0[内不可能有两个不同的实根；

证明 设c x x x f +-=3)(3

，由于方程033)(2

=-='x x f 在)1,0(内没有根，所以（由P.120，例1）方程033

=+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实根。

（2）方程0=++q px x n

（n 为正整数）当n 为偶数时至多有两个实根；当n 为奇数时至多有三个实根。

证明 设q px x x f n

++=)(，于是0)(1

=+='-p nx x f n 。当n 为偶数时，n -1为

奇数，故方程0)(1=+='-p nx

x f n 至多有一个实根（因为幂函数p nx n +-1严格递增），

从而方程0=++q px x n

至多有两个实根；

当n 为奇数时，n -1为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：方程

0)(1=+='-p nx x f n 至多有两个实根，从而方程0=++q px x n 当n 为奇数时至多有三

个实根。

3．证明：若函数f 和g 均在区间I 上可导，且)()(x g x f '≡'，I x ∈，则在区间I 上

f 和

g 只相差一常数，即c x g x f +=)()(（c 为某一常数）

证明 令)()()(x g x f x F -=，则F 在区间I 上可导，且0)()()(≡'-'='x g x f x F ，由推论1，存在常数c ，使得c x F =)(，即c x g x f +=)()(

4．证明 （1）若函数f 在],[b a 上可导，且m x f ≥')(，则)()()(a b m a f b f -+≥ （2）若函数f 在],[b a 上可导，且M x f ≤'|)(|，则)(|)()(|a b M a f b f -≤- （3）对任意实数21,x x ，都有|||sin sin |1221x x x x -≤-

证明 因为f 在],[b a 上可导，所以f 在],[b a 上满足Lagrange 中值定理的条件，于是),(b a ∈?ξ，使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ

（1）因为m x f ≥')(，所以)())(()()(a b m a b f a f b f -≥-'=-ξ，从而有

)()()(a b m a f b f -+≥

（2）因为M x f ≤'|)(|，所以)(|||)(||)()(|a b M a b f a f b f -≤-?'=-ξ （3）不妨设21x x <，正弦函数x x f sin )(=在],[21x x 上连续，在),(21x x 可导，于是),(b a ∈?ξ，使得|||||cos ||sin sin |122121x x x x x x -≤-?=-ξ

5．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1）

a

a

b a b b a b -<

<-ln ，其中b a <<0 证明 设x x f ln )(=，则f 在],[b a 上连续且可导，所以f 在],[b a 上满足Lagrange 中值定理的条件，于是),(b a ∈?ξ，使得)(1

))((ln ln ln

a b a b f a b a b -=-'=-=ξ

ξ，因为b a <<<ξ0，所以

a a

b a b b a b -<-<-ξ，从而a

a

b a b b a b -<<-ln （2）

h h h h <<+arctan 12

2

，其中0>h

证明 设x x f arctan )(=，则f 在],0[h 上满足Lagrange 中值定理的条件，于是

),0(h ∈?ξ，使得2

1)0)((0arctan arctan arctan ξξ+=

-'=-=h

h f h h 。因为

h <<ξ0，所以

h h

h h <+<+2211ξ，从而h h h h <<+arctan 12

2。 6．确定下列函数的单调区间：

（1）2

3)(x x x f -= （2）x x x f ln 2)(2

-=

（3）2

2)(x x x f -= （4）x

x x f 1

)(2-=

解 （1）x x f 23)(-='，令0)(='x f ，得2

3=x 当23≤

x 时，0)(≥'x f ，f 递增；当2

3

>x 时，0)(<'x f ，f 递减。 （2）f 的定义域为0>x 。x x x x x f 1414)(2-=-='，令0)(='x f ，得2

1=x

当2

10≤

>x 时，0)(>'x f ，f 递增。

（3）f 的定义域为20≤≤x 。2

21)(x

x x x f --='，令0)(='x f ，得1=x

当10≤

（4）f 的定义域为0≠x 。01

11)(2

22>+=+='x

x x x f ，故f 在其定义域 ),0()0,(∞+?-∞递增。

7．应用函数的单调性证明下列不等式：

（1）3tan 3x x x ->，)3

,0(π

∈x

证明 设3tan )(3

x x x x f +-=，则f 在0=x 连续，且0)0(=f 。因为

0tan 1sec )(2222>+=+-='x x x x x f ，)3

,

0(π

∈x ，故f 在)3

,

0(π

严格单调递

增，又因f 在0=x 连续，于是0)0()(=>f x f ，从而3tan 3x x x ->，)3

,0(π

∈x 。

（2）

x x x

<

，)2

,0(π

∈x

证明 先证

x x

sin 2<π，为此证明：x x sin 2<π。设π2s i n )(-=x x x f ，

则f 在2π

=x 连续，且0)2(=πf 。因为0cos )tan (sin cos )(2

2<-=-='x x x x x x x x x f ，)2,0(π

∈x 。所以f 在)2,0(π严格单调递减，于是0)2()(=>πf x f ，从而π2sin >x x ，)2

,0(π

∈x 。

其次证明：x x

0cos 1)(>-='x x f ，)2

,

0(π

∈x 。所以f 在)2

,

0(π

严格单调递增，又因f 在0=x 连

续，于是0)0()(=>f x f ，从而x x sin >，)2

,

0(π

∈x 。

（3）)

1(2)1ln(22

2x x x x x x +-<+<-，0>x 证明 先证：)1ln(22x x x +<-，0>x 。令)1l n (2)(2

x x x x f +--=，则f 在0=x 连续，且0)0(=f 。因为01111)(2

<+-=+-

-='x x x x x f ，0>x 。所以f 在0>x 严格单调递减，又因f 在0=x 连续，于是0)0()(=

2

x x x +<-，0>x 。 其次证明：)1(2)1ln(2x x x x +-<+，0>x 。令)1ln()

1(2)(2

x x x x x f +-+-

=，则

f 在0=x 连续，且0)0(=f 。因为0)1(11)1(221)(2

2

22>+=+-++-='x x x x x x x f ，0>x 。

所以f 在0>x 严格单调递增，又因f 在0=x 连续，于是0)0()(=>f x f ，从而

)

1(2)1ln(2

x x x x +-<+，0>x 。

8．以)(x S 记由))(,(a f a , ))(,(b f b , ))(,(x f x 三点组成的三角形面积, 试对)(x S 应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.

证明 因为1

)(1)(1

)(21)(x f x

b f b a f a x S ?=

, 若)(x f 在],[b a 连续, 在),(b a 可导, 则易见)(x S 也在],[b a 连续, 在),(b a 可导, 且0)()(==b S a S . 故由罗尔定理知, 存在

),(b a ∈ξ, 使得0)(='ξS . 而

))]()(())(([2

1

0)(11)(1

)

(21)(a f b f a b x f x f b f b a f a

x S ---'='?=

', 故

))(()()(a b f a f b f -'=-ξ.

P.132习题

1．试问函数3

2

)(,)(x x g x x f ==在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？

解 因为2

3)(,2)(x x g x x f ='='，故当0=x 时，0)0(,0)0(='='g f ，不满足柯

西中值定理的条件，所以在区间[-1, 1]上不能用柯西中值定理。

2．设函数f 在],[b a 上可导，证明：存在),(b a ∈ξ，使得

)()()]()([222ξξf a b a f b f '-=-

证明 设)()()]()([)(2

2

2

x f a b a f b f x x F ---=，则)(x F 在],[b a 上连续并可

导，且)()()()(2

2b F a f b b f a a F =-=，由Rolle 定理，存在),(b a ∈ξ，使得

0)()()]()([2)(22='---='ξξξf a b a f b f F ，从而

)()()]()([222ξξf a b a f b f '-=-

3．设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数。证明：

)()

(2)()(lim

2

a f h

a f h a f h a f h ''=--++→ 证明 因为f 在点a 处具有连续的二阶导数，所以f 在点a 的某邻域)(a U 内具有一阶导数，于是由洛必达法则，分子分母分别对h 求导，有

)

())()((2

1))()(lim )()(lim (21)()()()(lim 212)()(lim )(2)()(lim 000020a f a f a f h a f h a f h a f h a f h h a f a f a f h a f h h a f h a f h a f h a f h a f h h h h h ''=''+''=-'--'+'-+'=-'-'+'-+'=-'-+'=--++→→→→→ 4．设2

0π

βα<

<<。证明存在),(βαθ∈，使得

θα

ββ

αcot cos cos sin sin =--

证明 设x x f sin )(=，x x g cos )(=，则g f ,都在],[βα连续，在),(βα可导，且g f '',都不等于0，)()(βαg g ≠。由柯西中值定理，存在),(βαθ∈，使得

θ

θαβαβsin cos cos cos sin sin -=--，即

θαββ

αcot cos cos sin sin =-- 5．求下列不定式极限

（1）1cos lim sin 1lim

00==-→→x

e x e x

x x x （2）33

3sin 3cos 2lim 3cos sin 21lim

6

6

=--=-→

→x x x x x x ππ

（3）111

sin lim sin 1

11

lim 1

cos )1ln(lim 000=+?=--+=--+→→→x x x x x x x x x x x

（4）2sin 2lim cos 1lim cos 1tan lim cos 11sec lim sin tan lim

02020200==-=-=--=--→→→→→x

x

x x x x x x x x x x x x x x x （5）1sin 1

lim tan sec lim tan sec sec lim 5sec 6tan lim

2

2

22

2

====+-→

→→→x x x x x x x x x x x x ππππ （6）

2121lim 2lim 11lim )1(1lim 111

lim 00000=+=+=+--=---=??? ?

?--→→→→→x xe e e xe e e e x x e e x x x x x x x x x x x x x x x （7）x

x x sin 0

)

(tan lim →

解 0t a n lim 1tan sec lim 1)ln(tan lim sin 1)ln(tan lim

)ln(tan sin lim 202

20000=-=-===→→→→→x

x x x x

x x x x x x x x x x x 所以1)

(tan lim 0)

ln(tan sin lim sin 0

===→→e e x x x x

x x

（8）x

x x

-→11

1

lim

解 因为11

1

lim 1ln lim ln 11lim 111-=-=-=-→→→x x x x x x x x ，所以1ln 11

lim 1111lim ---→==→e e

x x x x

x x （9）x

x x 1

2

)1(lim +→

解 因为 012lim )1ln(lim

)1ln(1lim 20202

0=+=+=+→→→x x x

x x x x x x 所以 1)1(lim 0)1ln(1

lim

1

2

20===++→→e e

x x x x

x x

（10）0lim 11

lim 1

ln lim ln lim ln sin lim 02

0000=-=-===+++

++→→→→→x x x x x

x x x x x x x x x （11）=-=-=??? ?

?-→→→422022220220sin lim sin sin lim sin 11

lim x x x x x x x x x x x x 31

242sin 4lim 1222cos 2lim 422sin lim

02

030-

=-=-=-=→→→x x x x x x x x x x （12）??

?

?

?→→=??

? ??x x x x x x e x x tan ln 1

lim 1

202tan lim

=-=-

=-=??? ??→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x cos sin 2cos sin lim 21

tan sec lim ln )ln(tan lim tan ln 1lim 202020

20 31122sin 2lim 62cos 1lim cos 1lim 22sin 21

lim 020030==-=?-=→→→→x x x

x x x x

x x x x x 所以3

1tan ln 1

lim 1

202tan lim e e x x x x x x x x ==??

? ????

?

?

?→→

P.141 习题

1．求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式 （1）x

x f +=

11)(

解 23)1(21)(-+-='x x f ，2

5

2

2)1(2

31)1()(-+?-=''x x f ， 27

3

3

)1(2

5

31)1()(-+??-='''x x f ，……，2

12)

()

1(2)

12(31)1()(+-+-???-=n n

n

n x n x f

麦克劳林公式为：

)(!

2)12(31)1(!32531!2231211)(3322n n n n x o x n n x x x x f +-???-++??-?+-

= （2）x x f arctan )(=到含有5

x 的项

解 因为2

11)(x

x f +=

'，1)0(='f ，所以1)()1(2

='+x f x 。在此式的两端，用莱布尼兹公式，分别对x 求n 阶导数，得

0)()1()(2)()1()1()()1(2=-+++-+x f n n x xf n x f x n n n

令0=x 得递推公式：)0()1()0()1()

1(-+--=n n f n n f

因为有1)0(='f ，于是2)0(-='''f ，24)0()

5(=f 。

又因为2

2)

1(2)(x x x f +-=

''，0)0(=''f ，所以当n 为偶数时，0)0()

(=n f 从而)(5

1

311)(!524!321arctan 553553x o x x x o x x x ++-=++-+

= （3）x x f tan )(=到含有5

x 的项

解 x x f 2

s e c )(='，1)0(='f

x

x

x x x f 3

2cos sin 2tan sec 2)(=

=''，0)0(=''f x x

x f 4

2cos sin 212)(+='''，2)0(='''f x x x x f

5

2)

4(cos sin 2sin 8)(+=，0)0()

4(=f x

x x x f

6

42)

5(cos sin 2sin 1128)(++=，16)0()

5(=f

)(15

2

31)(!516!32tan 553553x o x x x x o x x x x +++=+++

= 2．按例4的方法求下列极限

（1）3332

2030)1())(!3))((21(lim )1(sin lim x

x x x o x x x o x x x x x x e x x

x +-+-+++=+-→→

31)

(3lim ))(3(lim 3

33032

332

0=+=--+++=→→x x o x x x x x o x x x x x

（2）))]1

(1211([lim )]11ln([lim 2222

x o x x x x x x x x x +--=+

-∞→∞→ 21

)]1(21[lim 22=++-=∞→x o x x x x （3）x

x x

x x x x x x x x x x x x sin cos sin lim

)sin cos 1(1lim )cot 1(1lim 2000-=-=-→→→ 31))

(3lim ))(211()(!3lim 3330322330=+=+--+-=→→x

x o x x x o x x x o x x x x 3．求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式： （1）54)(2

3

++=x x x f ，在1=x 处；

解 10)1(=f ；x x x f 83)(2

+='，11)1(='f ；86)(+=''x x f ，14)1(=''f ；

6)(='''x f ，6)1(='''f ；3,0)()(>=n x f n 。所以 32)1()1(7)1(1110)(-+-+-+=x x x x f

（2）x

x f +=

11

)(，在0=x 处 解 1)0(=f ；2

)

1(1

)(x x f +-=

'，1)0(-='f ； 1

)

()

1(!)1()(++-=n n n x n x f

，!)1()0()(n f n

n -=。所以 1

2

15432)

1()1()1(111++++-+-++-+-+-=+n n n n n x x x x x x x x x θ ，10<<θ P.146习题

1．求下列函数的极值 （1）4

3

2)(x x x f -=

解 )23(246)(2

32x x x x x f -=-='，令0)(='x f 得稳定点3

,

0=x 。列表讨论：

（2）2

1)(x

x f +=

解 2

22)

1()

1(2)(x x x f +-='，令0)(='x f 得稳定点1±=x 。列表讨论：

（3）x

x x f 2

)(ln )(=

解 2

22ln )ln 2()(ln ln 2)(x

x x x x x x f -=-='，令0)(='x f 得稳定点2

,1e x =。列表讨论：

（4）)1ln(2arctan )(2x x x f +-

= 解 2

2211111)(x

x

x x x x f +-=+-+='，令0)(='x f 得稳定点1=x 。由于

2

22)1(1

2)(x x x x f +--=

''，021)1(<-=''f ，所以f 在1=x 有极大值2ln 214)1(-=πf 2．设??

???=≠=0

001sin )(2

4

x x x

x x f

（1）证明：0=x 是极小值点；

（2）说明f 的极小值点0=x 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。 证明 （1）对任何0≠x ，有)0(01

sin )(2

4

f x

x x f =≥=，故0=x 是极小值点。 （2）当0≠x 时，有

)1

cos 1sin 2(1sin 21cos 1sin 21sin 4)(222

3x

x x x x x x x x x x f -=-='，作数列 221ππ+=

n x n ，421

ππ+

=n y n ，则0→n x ，0→n y 。即在0=x 的任何右邻域)0(0

+U 内，既有数列}{n x 中的点，也有数列}{n y 中的点。并且0)(>'n x f ，0)(<'n y f ，

所以在)0(0

+U 内f '的符号是变化的，从而f 不满足极值的第一充分条件。又因为

001sin lim

)0(2

40

=-='→x x x f x ，00)1

cos 1sin 2(1sin 2lim )0(20=--=''→x

x x x x x f x ，所以

用极值的第二充分条件也不能确定f 的极值。

3．证明：若函数f 在点0x 处有0)(0<'+x f （>0）0)(0>'-x f （<0），则0x 为f 的极大（小）值点。

证明 设0)(0<'+x f ，0)(0>'-x f ，要证0x 为f 的极大值点。 因为0)

()(lim )(0

000

<--='+

→+x x x f x f x f x x ，所以由极限的保号性，存在0x 的空心右邻域

),(100δx U +，使得),(100δx U x +∈?，有

0)

()(0

0<--x x x f x f ，于是)()(0x f x f <。又因

为0)

()(lim )(0

000

>--='+

→-x x x f x f x f x x ，所以由极限的保号性，存在0x 的空心左邻域

),(200δx U -，使得),(200δx U x -∈?，有

0)

()(0

0>--x x x f x f ，于是)()(0x f x f <。取

},min{21δδδ=，从而),(00δx U x ∈?，有)()(0x f x f <，所以0x 为f 的极大值点。

4．求下列函数在给定区间上的最大最小值： （1）]2,1[,1553

4

5

-++-=x x x y

解 )3)(1(5)34(5152052

2

2

2

3

4

--=+-=+-='x x x x x x x x x y ，令0='y ，得3,1,0=x ，

（]2,1[3-?）。1)0(=y ，2)1(=y ，10)1(-=-y ，7)2(-=y 。于是f 在1=x 处取得最大值2，在1-=x 处取得最小值-10。

（2）x x y 2

tan tan 2-=，)2

,0[π

解 )t a n 1(s e c 2s e c t a n

2s e c 22

2

2

x x x x x y -=-='，令0='y ，得4

π

=x 。因为

0)0(=y ，1)4(=π

y ，且-∞=-=---→

→)tan 2(tan lim )tan tan 2(lim 2

22

x x x x x x ππ。于是f 在4

π

=

x 处取得最大值1，无最小值。

（3）),0(,ln ∞+=x x y

解 x

x x x

x x

y 22ln 1ln 21+=+=

'，令0='y ，得2-=e x 。因为e e y 2)(2

-=-，且0)ln (lim 0

=+→x x x ，+∞=+∞

→)ln (lim x x x 。于是f 在2

-=e x 处取得最小值

e

2

-，无最大值。

5．设)(x f 在区间I 上连续，并且在I 上仅有唯一的极值点0x 。证明：若0x 是f 的极大（小）值点，则0x 必是f 在I 上的最大（小）值点。

解 设0x 是f 的极大值点。

（用反证法）假设0x 不是f 在I 上的最大值点。于是存在1x ，使得)()(01x f x f >。不妨设01x x >，则f 在闭区间],[10x x 上连续，从而f 在],[10x x 上有最小值点x '。因为

0x 是f 的极大值点，所以0x x ≠'，1x x ≠'，于是x '是f 的极小值点，这与f 在I 上仅

有唯一的极值点0x 矛盾。

P.155 习题

按函数作图步骤，作下列函数图象 （1）201562

3

--+=x x x y

解 )5)(1(3151232+-=-+='x x x x y ，令0='y ，得稳定点5,1-=x

)2(6126+=+=''x x y ，令0=''y ，得2-=x

（2）2

2

)

1(2x x y += 解 定义域1-≠x

3)1(x x y +=

'，4

)1(21x x y +-=''，令0='y ，得稳定点0=x ，令0=''y 得2

1

=x 渐近线1-=x ，1

=

y

P.158 总练习题

1．证明：若)(x f 在有限 开区间),(b a 内可导，且

)(lim )(lim x f x f b

x a x -

+

→→=， 则至少存在一点),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf

证明 令????

???==<<=-

+→→b x x f a x x f b x a x f x F b x a

x )(lim )(lim )()(，则F 在],[b a 内连续，在),(b a 内可导，且)()(lim )(lim )(b F x f x f a F b

x a

x ===-+→→。于是由Rolle 定理，至少存在一点),(b a ∈ξ，

使0)(='ξF ，而在),(b a 内有)()(x f x F =，)()(x f x F '='，从而0)(='ξf 。

填空题 1．=∞

→x x x 1sin

lim ； =→x

x x 1

sin lim 0

2．=+∞

→x

x x 1

)1(lim ；=+→x

x x 10

)1(lim

3．设,212,21221

2n

n n n n n x x +=-=- 则 =∞→n n x lim

4．=-++∞

→)1(lim 2

x x x x ；=++-∞

→)1(lim 2

x x x x

5．若 b x ax x x =-+-→1

3

lim

21，则 =a ，=b 2

1

1-

6．=+→x x x ][lim

0 ， =-→x

x x ]

[l i m 0

7．（1）当0→x 时，~)1ln(x + （2）当0→x 时，~1-x

e （3）当0→x 时，~1)1(-+α

x

8．若函数连续在0)(x x f ，则 =?--?+→?)]()([lim 000

x x f x x f x

9．设函数??

?

??=≠-=0

0)

21()(1

x a x x x f x 在0=x 连续，则 =a

10．若函数???>+≤+=0

),ln(,0,

)(x e x x a x x f 在),(∞+-∞连续，则 =a

11．设f 在1=x 连续，且1)1(=f ，则=++∞

→)](1ln[lim 1x

x x f

12．设})1,0(|{中的无理数∈=x x E ，则 =E sup ；=E inf 13．设}2|{2

<=x x E ，则 =E sup ；=E inf 。 14．若函数可导在a x x f =)(，则 =--+→h

h a f h a f h )

2()(lim

15．若函数可导在0)(>=a x x f ，则 =--→a

x a f x f a

x )()(lim

16．设a x

x

f x f x =-→2

)

3()(lim

0，且)0(f '存在，则=')0(f 17．若函数连续在1)(=x x f ，0)(lim 1

=→x f x ，11)

(lim

1-=-→x x f x ， 则 =')1(f

18．设曲线2

ax y = 与曲线x y ln = 相切，则 =a

19．设函数)(x f 在1=x 有连续导数，且2)1(='f ， 则 =+→)(cos lim

0x f dx

d

x

20．设函数)(x f 在),(∞+-∞ 上可导，且，0)(='x f ，3)0(=f ， 则 =)(x f 选择题

1．设a x n n =∞

→||lim ，则 （ ）

(A) 数列}{n x 收敛； (B) a x n n =∞

→lim ；

(C) a x n n -=∞

→lim ； (D) 数列}{n x 可能收敛，也可能发散。

2．设n n y a x ≤≤，且0)(lim =-∞

→n n n x y ，则}{n x 与}{n y （ ）

(A) 都收敛于a (B) 都收敛但不一定收敛于a (C) 可能收敛，也可能发散； (D)都发散。

3．设数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列}{n n y x （ ）

(A) 收敛； (B) 发散； (C) 是无穷大； (D)可能收敛也可能发散。 4．设n

n

x n

)1(-=，则数列}{n x 是 （ ）

(A) 无穷大； (B) 无穷小； (C) 无界量； (D) 有界量。 5．设2

sin

π

n n x n =，则数列}{n x 是 （ ） (A) 收敛列； (B) 无穷大； (C) 发散的有界列； (D) 无界但不是无穷大。 6．当0→x 时，x

x x f 1

sin 1)(=

是 （ ） (A) 无穷小； (B) 无穷大； (C) 有界但不是无穷小； (D) 无界但不是无穷大。 7．当a x →时，)(x f 为无穷大，)(x g 为有界量，则)()(x g x f 是 （ ） (A) 无穷大； (B) 有界量； (C) 无界但不是无穷大； (D) 以上都不对。 8．设α=-→)(lim x f a

x ，β=+→)(lim x f a

x ，则 （ ）

(A) βα<； (B) βα≤； (C) βα=； (D) 以上都不对。

9．设函数f 在),(δδ+-a a 上单调，则)0(+a f 与)0(-a f (A) 都存在且相等； (B) 都存在但不一定相等； (C) 有一个不存在； (D) 都不存在

10．设b x f a

x =→)(lim 2

，则)(lim x f a

x → （ ）

(A) 存在且等于b ； (B) 不存在；

(C) 存在； (D) 可能存在，也可能不存在。 11．设b x f a

x =→|)(|lim ，则|)(lim |x f a

x → （ ）

(A) 存在且等于b ； (B) 存在且等于b -；

(C) 不存在； (D) 不一定存在，若存在即为b 。 12．设|

|sin )(x x

x f =

，则0=x 是f 的 （ ） (A) 连续点； (B) 可去间断点； (C) 跳跃间断点； (D) 第二类间断点。 13．设f 在0x 连续，且)(0x U x ∈?，有0)(>x f ，则 （ ） (A) 0)(0>x f ； (B) 0)(0≥x f ； (C) 0)(0

(C) 在),(b a 上不连续； (D) 在),(b a 上可能连续，也可能不连续。 15．若函数f 在),(b a 上连续，则f （ ） (A) 在),(b a 有界； (B) 在),(b a 无界； (C) 在),(b a 的任一闭区间上有界； (D) 在],[b a 有界。

16．若0>?ε，函数f 在],[εε-+b a 上连续，则f （ ） (A) 在],[b a 上一致连续； (B) 在),(b a 上连续； (C) 在),(b a 上一致连续； (D) 在),(b a 上不一致连续。

17．定义域为],[b a ，值域为]3,2[]1,0[?的连续函数 （ ） (A) 可能存在； (B) 不存在； (C) 存在且唯一； (D) 存在。 18．定义域为],[b a ，值域为),(∞+-∞的连续函数 （ ） (A) 可能存在； (B) 不存在； (C) 存在且唯一； (D) 存在。 19．定义域为],[b a ，值域为)1,1(-的连续函数 （ ） (A) 可能存在； (B) 不存在； (C) 存在且唯一； (D) 存在。 20．设}{n x 是无界数列，则 （ ） (A) ∞=∞

→n n x lim ； (B) +∞=∞

→n n x lim ；

(C) -∞=∞

→n n x lim ； (D) 存在}{n x 的一个子列}{k n x ∞=∞

→k n k x lim

21．设f 是奇函数，且0)

(lim

=→x

x f x ，则 （ ） (A) 0=x 是f 的极小值点； (B) 0=x 是f 的极大值点；

(C) )(x f y =在0=x 的切线平行于x 轴；(D) )(x f y =在0=x 的切线不平行于x 轴 22．设f 在0x 存在左、右导数，则f 在0x （ ） (A) 可导； (B) 连续； (C) 不可导； (D) 不连续。

23．设)(x f y =在0x 可微，记0x x x -=?，则当0→?x 时，dy y -? （ ） (A) 是x ?的高阶无穷小； (B) 与x ?是同阶无穷小； (C) 与x ?是等价无穷小； (D) 与x ?不能比较。

24．设0)(0≠'x f ，记0x x x -=?，则当0→?x 时，dy （ ） (A) 是x ?的高阶无穷小； (B) 与x ?是同阶无穷小； (C) 与x ?是等价无穷小； (D) 与x ?不能比较。

25．设)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则方程0)(='x f 在)3,0(上 （ ） (A) 没有根； (B) 最多有两个根； (C) 有且仅有三个根； (D) 有四个根。 26．设f 在],[b a 上二阶可导，且0>''f ， 则a

x a f x f x F --=

)

()()(在),(b a 上 （ ）

(A) 单调增； (B) 单调减； (C) 有极大值； (D) 有极小值。 27．设f 在],[b a 上可导，],[0b a x ∈是f 的最大值点，则 （ ） (A) 0)(0='x f ； (B) 0)(0≠'x f ； (C) 当),(0b a x ∈时，0)(0='x f ； (D) 以上都不对。