湖北省武汉市武昌区 2020 届高三年级四月调研测试理科数学试卷及答案word精品

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武昌区 2020 届高三年级四月调研测试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1．已知集合 A = {x | x 2 - 2x - 3 < 0} ， B = {x |log 2x >0} ，则 A B = A ．{x |1 < x < 2}

B ．{x | 0 < x < 2}

C ．{x | 1 < x < 3}

D ．{x | 0 < x < 1}

2． i 为虚数单位，复数 z = 1 - 2i (1 + i )2

的虚部为

A ． 1

B ． - 1

C ． 1

i

D ． - 1 i

2 2

2 2

3．设等差数列{a n } 的前n 项和为S n ，且a ≠ 0 ，若a 5=3a 3，则

5

9

S S = A ．

5 B ．

9 C ．

5 D ． 5

9 5 3

27

4．已知函数 f ( x ) 是定义域为R 的奇函数，当 x > 0 时， f ( x ) = 2x + 2x - a ，则 f (-1) = A. 3

B. - 3

C. - 2

D. - 1

?2x + y - 2 ≥ 0, 5． 已知实数 x ， y 满足 ?

3x - y - 3 ≤ 0, 则 z = x - 3y 的最小值为

?x - 2 y + 4 ≥ 0,

A ．

- 7 B ． - 6

C ．1

D ．6

6．已知(3x + a )( 1

- 1)5 的展开式中常数项为 14，则实数a 的值为

x

A ． - 1

B ．1

C ． 4

D ． - 4

5

5

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3

7．若tan α = 3 tan 2π7，则3cos()

42sin()

7

παπ

α-

=- A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．已知a = ln 3 ， b = A ． c < b < a

3 ln 2 ， c = log 3 2 ，则 B ． c < a < b

C ． a < b < c

D ． a < c < b

9 ． 已知直三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的 6 个顶点都在球 O 的表面上， 若 AB = AC = 1 ，

AA 1 = 2 , ∠BAC =

23

π

，则球O 的体积为

A ．

32π 3

B ． 3π

C ．

4π 3

D ．

24π 3

10．如图所示，在由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角

形中，设 DF = 3FA ，则

A ．36246363AD A

B A

C =+u u u r u u u r u u u r

B ．36126363AD AB A

C =+u u u r u u u r u u u r

C ． 48246363

AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r

D ．48126363

AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r

11．已知双曲线C : 22

221x y a b

-= (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ， P 为双曲线C

的右支上一点，点 M 和 N 分别是?PF 1F 2 的重心和内心，且 MN 与 x 轴平行，若

| PF 1 |= 4a ，则双曲线的离心率为

A ． 3

B ．2

C ．

D ． 2

12．已知一个正方形的四个顶点都在函数 f ( x ) = x 3 - 9

x + 1的图像上，则此正方形的面积

2

为 A ．5 或

17 B ．5 或 10

C ．5 或 17

D ．10 或 17

2

3 2

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二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．数列{a n } 的前n 项和为 S n ， a 1= 1 ， a n + a n +1=4 ? 3n -1 ，则 S 2020 =

.

14．有人收集了七月份的日平均气温t （摄氏度）与某冷饮店日销售额 y （百元）的有关

① a ? = -32.4 ；

②日销售额 y （百元）与日平均气温t （摄氏度）成正相关；

③当日平均气温为 33 摄氏度时，日销售额一定为 7 百元. 其中正确说法的序号是 .

15．已知 F 是抛物线 y =18

x 2 的焦点，P 为抛物线上的动点，且 A 的坐标为(3,-2) ，则 ||||

PF PA

的最小值是

.

16．已知ω > 0 ，函数 f ( x ) = sin(ωx -

4π ) 的图像在区间(2

π

, π) 上有且仅有一条对称轴，则实数ω 的取值范围是

.

三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（本题 12 分）

在?ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别是a ， b ， c ，且

sin sin sin A B a c

C a b

--=+．

（1）求角 B 的大小； （2）若b = 6 ，且 AC 边上的中线长为 4，求?ABC 的面积．

18．（本题 12 分） 如 图 ， 在 四 棱 锥 P - ABCD 中 ， 底 面 ABCD 是 梯 形 ，

AD // BC ，

AB = AD = DC =

12

BC = 2 ， PB ⊥ AC . （1）证明：平面 PAB ⊥ 平面 ABCD ；

（2）若 PA = 4 ， PB = 2 角 B - PC - D 的余弦值.

，求二面 3 日平均气温t （摄氏度） 31 32 33 34 35 日销售额 y （百元）

5

6

7

8

10

19．（本题12 分）

已知椭圆C：

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>经过点P (2,1)

，离心率为

2

.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过点P 作两条互相垂直的弦PA，PB 分别与椭圆C 交于点A，B，求点P 到直线AB 距离的最大值．

20．（本题12 分）

某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为

单位（一套住宅为一户）．

位：吨），得到统计表如下：

吨时，超过12 吨部分按5 元/ 吨计算水费；若用水量超过16 吨时，超过16 吨部分按7 元

/ 吨计算水费．试计算：若某居民用水17 吨，则应交水费多少元？

（2）现要在这10 户家庭中任意选取3 户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望；

（3）用抽到的10 户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10 户，若抽到k 户月用水量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值．

21．（本题12 分）

已知函数f ( x) = (e -x) ln x （e为自然对数的底数）．

（1）求函数f (x) 的零点，以及曲线y =f (x) 在其零点处的切线方程；

（2）若方程f (x) =m (m ≠ 0) 有两个实数根x1，x2，求证：| x1-x2|< e -1-e

e1 m -

.

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? 1 2 1 2

（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的

第一题计分。

22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本题 10 分）

?x = 2 cos θ

在直角坐标系 xOy 中，已知曲线C 1 的参数方程为? y = 3 + 2sin θ (θ 是参数），以O 为

极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 ρ sin(θ +

4

π

) = 22

.

（1）求曲线C 1 和曲线C 2 的普通方程；

（2）曲线C 2 与 x 轴交点为 P ，与曲线C 交于 A ， B 两点，求

11

||||

PA PB +的值．

23．[选修 4-5：不等式选讲]（本题 10 分）

（1）解不等式| x - 2 | + | x + 3 |≥ 9 ；

（2）若| a |< 1 ， | b |< 1 ，求证：| ab + 1 |>| a + b |.

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