中学数学教学论-重点笔记
中学数学教学论
绪论
考点一：中学数学教学论的研究对象与任务
该课程起源于近代师范教育的产生。1919年秋，陶行知先生提出以“教学法”代替“教授法”，此举为政府所接受。
总的研究对象仍然是“数学教学”，主要任务仍然是解决“教什么”与“如何教”的问题，即数学课程目标和内容的问题,这既是数学教学论的基础理论问题之一,也属于数学课程论的研究范畴。当然也涉及“为什么教”和“教给谁”的问题。
中学数学教学论主要从教师角度来研究数学教学过程。其研究任务可划分为三个方面：
（1）数学教学的理论基础，主要解决数学教学为什么教，教给什么样的对象，教什么样的内容三个问题；
（2）具体数学活动的教学；
（3）数学教师的日常工作。
考点二：中学数学教学论的特点
（1）中学数学教学论是一门具有高度综合性的独立的学科：
（2）中学数学教学论与实践的关系十分直接：
（3）中学数学永远处于发展的过程之中。
考点三：中学数学教学论的学习方法
（1）必须广泛地学习并运用有关学科的知识和方法：
（2）理论联系实际；
（3）开展实验研究。
中学数学教学论
第一章中学数学教学论的课程基础
第一节：中学数学课程目标。
考点一、中学数学课程目标定义
中学数学课程目标是中学数学教学的指南。它既决定中学数学课程的内容，又决定中学数学的教学模式和方法，同时也是评价中学数学教学质量的主要依据。全面、正确、深入地理解中学数学课程目标,从全局上掌握中学数学课程内容,不仅对于教师深入钻研和处理教材,恰当地选择教学方法,从而有效地提
高教学质量,全面完成教学任务至关重要，而且对于中学数学教学改革的继续深入开展,也是必需的。
考点二、研究中学数学课程目标的依据（因素）：
1、国家的教育方针和基础教育的任务；
2、数学的特点和作用；
3、学生的认知和心理特征。
考点三、中学数学课程目标分析：
我国基础教育现行的数学课程目标分为两个大的阶段：义务教育阶段数学课程目标；普通高中数学课程目标。
1、义务教育阶段数学课程目标阶段分为三个层次：总体目标，学段目标，各大块数学内容的具体目标。
2、高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。
中学数学教学论
3、总的来说，高中数学课程目标与义务教育阶段数学课程目标虽有某些提法不同，但体现出的实质精神是一致的，即都是全面反映数学素质教育的要求，充分体现数学教学是数学活动的教学这一现代数学教学观念。
第二节：中学数学课程内容
考点一：中学数学课程内容定义
中学数学课程的内容具体规定了课程目标的各个方面应达到的深广程度，并在一定意义上指明了实现课程目标的基本程序。
考点二：影响中学数学课程内容的主要因素：
1、社会方面的因素
（1）社会生产的发展；
（2）科学技术的发展；
（3）政治经济因素；
2、数学本身的因素
3、教育方面的因素
（1）教育理论的发展；
（2）教师水平的改善；
（3）学生水平的提高。
考点三：选择中学数学课程内容的因素
1、基础性原则
2、应用型原则
3、可接受性原则
中学数学教学论
4、教育性原则
5、衔接性原则
6、灵活性与统一性相结合的原则
7、可行性原则
考点四：现行中学数学课程内容的框架
1.初中数学课程内容框架
（1）数与代数
（2）空间与图形
（3）统计与概率
（4）课题学习
2.高中数学课程内容框架（现行数学教学大纲中规定的内容）
整个高中数学课程分为必修课和限定选修课两大部分。其中必修课是全体高中学生共同学习的部分,限定选修课又分成供理科选用和供文科选用两个部分。学生按自己的意愿也相应地分成理科和文科两个选课方向，对于每一个选课方向的学生来说，该方向的选修内容也就成了必修内容。
（1）必修课包含：①集合、简易逻辑。②函数。③不等式④平面向量。
⑤三角函数。⑥数列。⑦直线和圆的方程。⑧圆锥曲线方程。⑨直线、平面、简单几何体。⑩排列、组合、二项式定理。?概率。?研究性课题。
（2）选修课分为理科选修课和文科选修课。
理科选修课包含：①概率与统计。②极限、数学归纳法。③导数。④复数。⑤研究性课题。
文科选修课包含：①统计。②导数。
中学数学教学论
3、高中数学课程内容框架（《数学课程标准》中规划的内容）
高中数学课程分必修和选修。必修课程由5个模块组成;选修课程有4个系列，其中系列1、2由若干模块组成，系列3、4由若干专题组成。选修课程系列一由1由2个模块组成。。选修课程系列二由3个模块组成。
（1）必修课程覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过髙的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
（2）选修课程系列1是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的，系列2则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设计的。系列1、系列2的内容是选修系列课程中的基础性内容，凡选修其中一个系列的学生，该系列的模块都要学习。系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容反映了某些重要的数学思想，学生可根据自己的兴趣、志向选择其中一部分专题学习。
高中数学课程要求把数学探究、数学建模的思想以不同的形式渗透在各模块和专题内容之中，并在高中阶段至少安排较为完整的一次数学探究、一次数学建模活动，高中数学课程还要求把数学文化内容与各模块的内容有机结合。
考点五、中学数学课程体系的编排原则，你认为我国现行教材在这方面做得如何？
原则：编排中学数学课程体系时，既要保持数学科学的基本特征，又要符合学生的认识规律和心理发展规律，这三方面的协调统一，就是中学数学课程体系的编排的基本原则。除了遵循上述基本原则外，中学数学课程内容的编排
中学数学教学论
还要照顾到初高中的分段和同物理化学等学科的相互配合。
我国现行教材在保证基础知识教学、基本技能训练、基本能力培养的前提下，删减了老教材中次要的，用处不大的而且学生接受有困难的内容。新增了一些为了进一步学习打基础的、有广泛应用的而且学生能够接受的新知识．更新了老教材中的某些概念、内容的讲法和部分数学语言及数学符号，更新了教学手段和教学方法。在教材内容的编排和体系上，注重了调动学生学习的积极性和主动性，注意了知识的连贯性、整体性、统一性、层次性，注意把学生作为学习的主体来编排内容，符合学生的认识特点。强调理论联系实际，重视培养学生用数学的意识，注意了引导学生把所学知识用到相关学科和生活、生产实际中去，使学生在获取知识和运用知识的同时，发展思维能力、提高思维品质，充分体现了素质教育的精神。
考点六、国内外关于中学数学课程体系的类型：
1、以结构为基础的统一教学；
2、基本保留传统体系的分科数学；
3、混合数学（或称综合数学）。
第三节、中学数学课程改革简介
考点一、古代的数学课程（19世纪以前）
数学教育起源于世界上文化发展最早的地区，数学教育最早在这埃及、巴比伦、中国、印度萌芽。就数学教育的影响和发达程度而言，应该首推古希腊和古中国。古中国则是东方文化的源头。
1、古希腊是现代西方文化的源头。毕达哥拉斯在教学中把数学分为算术、几何、天文、音乐四大科，这是人类第一次把数学按其研究内容进行分科。
中学数学教学论
（1）教育对象是奴隶主
（2）教育内容分为三个阶段:第一阶段,7-14岁，入文法学校学计算;第二阶段,14-18岁，入体育馆学哲学，其中教授的数学有几何、算术、天文等;第三阶段,18-20岁，入学园，主要学习哲学，包括较高的数学知识。
（3）古希腊数学教育的鲜明特点就是强调“理念”，强调训练人的思维
（4）代表人物：柏拉图的教育思想里体现得最为突出。他认为学习数学不是为了实际应用，而是为了锻炼思维,激发学生对理念世界中的抽象而绝对的真理的兴趣。柏拉图的这种数学教育目的观深刻地影响着数学的发展和后世的数学教育。
欧几里德把前辈数学家极端重视数学知识的理论化、逻辑化的观点发展到了顶峰，这在他的《几何原本》中得到了充分的体现。
（5）影响：柏拉图在他所创办的“学园”里，师生之间运用对话方式进行教学，这可以看作是近代和现代数学教学方法中“谈话法”、“问题教学法”的肇始。
2、古中国的数学教育早在奴隶制社会时期就有萌芽。到了封建社会的鼎盛时期（唐朝），出现了中国第一本系统的数学教科书，称为《算经十书》（宋朝）。此书在刻印成书,其中刘徽所注《九章算术》最为重要，涉及几何、代数、算术、三角等范围很广的数学知识，全书釆用问题集的形式，按“问”、“答”、“术”的顺序编写。此书对中国后世数学教育的影响很大，成为历代数学教育的核心教科书。书中的一些术语至今沿用，如“几何”、“方程”、“开方”、“勾”、“股”、“弦”等。宋、元时期，中国传统数学教育达到顶峰。由于发明了印刷术，使前朝传下的算学书籍得以广泛传播。
中学数学教学论
考点二、古希腊的数学教育与古中国的数学教育的不同点。
中国古代数学教育有与古希腊的数学教育不同的特色。中国古代数学教育重经世致用，而轻思维训练，重技术而轻理念,重归纳而轻演绎。古希腊的数学教育则恰好相反,这已如前述。
中国古代数学教育在教学方法上也有自己的特色，即采用个别教学。这种教学方法的最突出优点就是能因材施教。
考点三、近代的数学课程（19世纪一20世纪50年代）
（一）西方数学课程的发展
1、背景：进入19世纪，西方国家陆续开始了产业革命,科学技术迅速发展, 科学教育得到了重视，传统的以人文学科为主的课程体系被新的以科学为中心的课程体系所替代。数学也因其与自然科学密不可分的联系，在学校教育中占了重要地位。
2、数学教育不能满足日益增长的社会需要,其中主要的原因是：（1）教学内容贫乏。中小学的数学内容，基本上仍是传统的算术、代数、几何和三角，它们彼此独立分科,同学生的实际生活脱节，同当时数学科学的成就脱节。（2）教学方法呆板。小学的主要教学方法是利用经验引入计算法则，并解答各种算术应用题，其中不少是故意编造的“应用题”；中学的主要教学方法则是形式地引入理论以及解答应用题，这些应用题大多数也是人为编造的。无论小学中学，学生掌握数学知识主要靠死记硬背,忽视了思维活动。小学与中学之间，教学内容和教学方法都存在严重的脱节现象。
3、19世纪20世纪初，由德国的F?克莱茵和英国的贝利发起并领导的近代化运动在数学教育领域兴起了。
（1）贝利特别强调实用的问题，他提出学校中只需学习“实用数学”，并编
中学数学教学论
写了“实用数学”课本。在他的倡议下，英国教育部曾经把实用数学列入考试纲目。这是由于在传统的数学教育中轻视数学实际应用的自然反应。
（2）克莱茵则侧重于引用近代数学的观点改造传统的中小学数学内容。他写了一套《高观点下的初等数学》。
（3）1908年，在罗马召开了第四届国际数学会议,成立了以克莱茵为主席的改革数学教育的国际委员会。委员会就中小学数学教育改革问题拟订了如下基本方向：
①小学:提高几何在小学算术课程中的作用；改变教科书中应用题的性质（使应用题的内容更紧密地联系周围实际情况）；提高算术教学中直观性的作用,等等。
②中学:在四门数学学科之间建立紧密联系，同时在数学课和物理课之间建立联系;增加高等数学（解析几何和微积分）的基础知识,加强初等数学和高等数学之间的联系；加强函数在算术和代数中的作用、运动在几何中的作用;改变教科书中应用题的性质和解法（加强分析和综合法的作用）；在数学教学中更广泛地应用探索法，等等。
（4）评价：
①这一数学教育的改革运动，当时并未得到绝大多数官方教育机关的承认。
②主要是依靠个别热心的数学教育家付诸实现，因而不能深入到广大学校中去。
（二）中国的数学教育的发展
1、明朝期间，西方文化随着宗教的传播而输入中国。徐光启与意大利传教士利玛窦合译了《几何原本》前六卷，成为中国引进的第一本外国数学教材。
2、自1840年鸦片战争以后，西方文化大量输入中国。清朝数学家李善兰
中学数学教学论
与英国传教士伟力亚烈合译《原本》后九卷，1866年在北京设立算学馆，并以此为几何教科书。
3、在戊戌变法、洋务运动与辛亥革命期间，提出了废科举办学堂的口号，先后办起了学堂并引进了大量外国教材，其中主要的数学教材有：《笔算术学》、《代数备旨》、《形学备旨》、《八线备旨》、《代形合参》等。
4、民国时期，中国的数学教育模式基本上与西方国家类似，教材以自编课本为主、翻译课本为辅。20年代，混合算学开始流行，但30年代以后，又恢复了分科数学。
考点四、我国面向２１世纪的中学数学课程改革主要体现在哪些方面？你如何看待这场变革？
面向2l 世纪我国基础教育改革，体现高等师范教育自身发展的特色和与时俱进的创新成果、数学教学、教学方法、教学模式、数学课堂教学组织形式、数学教学艺术、教学评价等。
（1）新课程教学目的和意义明确，突出了学生的主体地位与个性化。
素质教育要求把培养学生的创新意识和实践能力作为重点，突出学生在教学过程中的主体地位，充分发展学生的个性，锻炼和提高学生终身学习的能力，从而为社会进步培养不同层次不同类型的人才。新课程的教学目的就很好地体现了这些要求。
（2）新课程更新了部分教学内容，使之更加符合学生的认知规律和时代进步的需求。
新课程依据数学学习过程的理论对教学内容进行了更新与精简，摒弃了一些过于陈旧的、次要的且学生接受起来有一定困难的内容，引进了符合时代进
中学数学教学论
步要求与社会发展需要的新内容，广泛地使用集合语言、逻辑关联词及向量工具处理传统内容，增加概率、统计、微积分初步等一系列有着广泛应用的新知识；同时新课程运用发展的联系的观点编排课程结构，注重了数学知识的相互作用和数学思想的相互渗透，使课程结构和内容更加系统化与科学化，知识发展接由浅入深、由低到高、由简单到复杂的逻辑系统安排，符合学生的认知发展规律，为学生的个性品质发展提供了广阔的空间。
（3）新课程注重了知识学习的多元化与选择性，旨在提高学生的综合能力。
（4）新课程加强了数学与社会、生活的联系，强化了对应用意识的培养（5）新课程为教学方法和教学手段的改变与提高提供了广阔的空间。
中学数学教学论
中学数学教学论
第二章中学数学教学的心理学基础
第一节数学知识的学习
考点一：数学知识的有意义学习过程
（一）数学认知结构
（二）获得意义时新旧知识的相互作用
1、归属学习
2、总括学习
3、并列结合学习
（三）知识的保持和组织中新旧知识的相互作用
考点二：获得数学概念的心理分析
（一）概念形成：学生从大量具体例子岀发，从他们实际经验的肯定例证中，以归纳的方式概括出一类事物的共同的本质属性，从而获得概念的方式就是概念形成。以概念形成的方式获得数学概念的心理活动过程大致可分为如下几个阶段：
1、观察概念的不同正面实例
2、分析各实例的属性，并综合岀各实例的共同属性
3、抽象岀各实例的共同本质属性
4、比较正反实例确认本质属性
5、概括岀概念的定义
6、用习惯的形式符号表示概念，如平行线用符号“ 〃”表示
7、具体运用概念
（二）概念同化
中学数学教学论
1、观察概念的定义、名称和符号，揭示概念的本质属性
2、对概念进行特殊的分类
3、把新旧概念系统化,把新概念同化到原认知结构中去
4、辨认、比较正反实例，确认新概念的本质属性，使新概念与原有有关概念精确分化
5、具体应用概念。通过各种形式运用概念，使学生进一步加深对新获得的概念的理解，完成由抽象到具体的认识过程，使有关概念融会贯通形成整体结构
考点三：掌握数学定理的心理分析
（一）获得命题意义的心理分析
1、命题发现
2、命题接受
（二）在证明过程中，影响证明能否顺利完成的因素
1、思路点的准确性
2、扩展力
3、推理能力
4、证明的方法与思考的方法
第二节数学技能和数学问题解决的学习
考点一：数学技能的形成
（一）技能的涵义
1、技能是通过练习而形成的顺利完成某种任务所必需的活动方式或心智活动方式。这里的“活动方式”是指一系列外部可直接观察到的操作的有序组合
中学数学教学论
方式。“心智活动”则是指借助于内部语言在头脑中进行的认知活动，包括感知、记忆、想象和思维等，但以抽象思维为它的主要成分。技能是习得的，表现于迅速、精确、流畅和娴熟的身体运动之中。
2、数学技能是在数学学习过程中通过练习而形成的顺利完成数学任务的一种活动方式或心智活动方式。
（1）数学技能是一种复杂的技能，它含有较多的认知成分。
（2）数学技能与一定的数学知识相联系，表现为一定的数学知识的运用。
（3）数学技能具有连贯系统性，表现为一系列局部技能的恰当组合。
3、技能的分类：我们按技能本身的性质和特点将数学技能分为动作技能和心智技能两大类。
（1）在完成一项任务中，所涉及的一系列实际动作，以合理的、完善的方式组织起来并顺利进行，就是动作技能。
（2）在认识特定事物、解决具体问题中，一系列心智活动以某种合理的、完善的方式进行，就是心智技能。
（3）这两种数学技能既有区别又有联系。
（二）形成数学技能的心理分析
1、定义：新行为主义心理学的刺激一一反应理论认为，形成技能的实质就是一系列的刺激与反应的联结的形成。
2、数学动作技能的形成过程
（1）认知阶段。
（2）分解阶段。
（3）动作定位阶段。
（4）自动化阶段。
中学数学教学论
3、数学心智技能的形成过程
（1）认知阶段。
（2）示范、模仿阶段。
（3）有意识的口述阶段。
（4）无意识的内部语言阶段。
考点二、数学解题教学的心理分析
（一）数学解题过程
对于问题解决的复杂过程，许多研究者从不同角度,用不同方法进行了研究和探索，提岀了各自不同的模式,企图将这一过程清晰地呈现出来。
1、杜威的模式
美国心理学家杜威早在1910年就提出了解决问题过程的五步模式:感觉疑难、确定疑难（识别问题）、提岀可能的答案（假设）、考虑各种结果（检验）、选择解答的方法（包括应用）。
2、纽威尔和西蒙的模式
纽威尔和西蒙用计算机模拟模型研究人类解决问题的思维过程，提岀了以信息处理系统说明问题解决的心理过程模式。
3.奥苏伯尔和鲁宾逊的模式
中学数学教学论
奥苏伯尔和鲁宾逊以几何问题解决为原型，提出了一个解决问题的模式。这个模式不仅描述了解题的一般阶段，而且指出了原有认知结构中各成分在解决问题过程中的不同作用，为培养解决问题能力指明了方向。
4.波利亚的模型
著名数学家、数学教育家波利亚曾以数十年时间醉心于研究数学方法论和数学教学，在他著名的“怎样解题表”中提出了解决数学问题的四步骤模式:弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾。
结合现代教学论与心理学的研究成果,较一致的观点是把解题过程分成四个阶段:理解问题、制定解题计划、完成解题计划、回顾。
中学数学教学论
（二）数学解题过程的心理分析
1、理解问题的过程
2、解法发现过程
第三节数学能力
考点一：数学能力结构概述
（一）定义：能力是指人在实践活动中形成和发展起来的并在活动中体现的，直接影响活动的效率，使活动的任务得以顺利完成的个性心理特征。数学能力是指人在数学专业活动中表现出来并保证这种专业活动获得高效率的特殊能力。数学教育的目的之一就是要培养学生的数学能力。
（二）关于数学能力的不同理解
1、能力的分类
（1）专指从事创造性的数学科学研究的能力,或者说，专指数学家所具备的赖以发明创造新的数学理论的特殊能力。
（2）指包括学习数学的能力和创造性研究数学的能力
（3）两者关系的不同看法：
①两种水平的数学能力在性质上是不同的。例如，奥苏伯尔认为,尽管中小学生在其学习过程中也能表现出某种机动灵活性,不受固定程式的束缚，但这至多也只算作创造力的一种辅助能力而已，而与科学家的创造性活动具有质的区别。
②这两种水平的数学能力本质上相同，只是程度上的区别。例如布鲁姆认为，智力活动（当然也包括数学活动）到处都是一样的，无论在科学的前沿或是在三年级的课堂里都是一样的，其间的差别仅在于程度而不在于性质。数学家阿
中学数学教学论
达码也持同样的观点，他认为,在试图解数学题的学生的活动和数学发现者的活动之间，仅仅只是程度上和水平上的差异一一这两种活动在性质上是相似的。
③既不赞成把学习数学的能力同研究数学的能力截然分成两种不同形式的能力，也不同意将两者等同起来，而是把他们看作一个统一的整体。前者是发展后者的基础和条件,后者是前者的发展结果;前者是数学能力统一体的初级水平，后者是高级水平。克鲁捷茨基持这一观点。他在《中小学生数学能力心理学》一书中指出：“对数学的彻底的、独立的和创造性的学习，是发展创造性数学活动能力的先决条件——是对那些包含新的和社会意义的内容的问题，独立地列出公式并加以解答的先决条件。”【我们赞同的观点】
（三）数学能力的结构及其成分
考点二：数学能力分述
（一）数学注意能力
数学注意能力指在数学活动中，对数学对象、思维过程和情感体验的注意能力，它是顺利地进行数学学习的必要前提，是提高数学学习效率的重要保证。
（二）数学观察能力
数学观察能力指对用符号、字母、数字所表示的或文字所表示的数学关系式、命题、问题及对图表、图象（包括教具）、几何图形的结构特点的观察能力，即对概括化、形式化的空间结构和逻辑模式的识别能力。
（三）数学记忆能力
数学记忆能力是指对数学材料的记忆能力，数学记忆包括：
1、对数学材料的背景事实及本质属性的记忆。
2、对数学概念、命题的结构形式的记忆。
中学数学教学论
3、对概念之间、命题之间关系的记忆。
4、对数学问题类型以及解题模式的记忆。
（四）空间想象能力
中学数学教学中的空间想象能力是指人们对事物的空间形式进行观察、分析和抽象思考的能力,它主要包括四个方面的要求:
1、熟悉基本的几何图形，能正确画图，能在头脑中分析基本图形的基本元素之间的度量关系及位置关系。
2、能借助图形来反映并思考客观事物的空间形状及位置关系。
3、能借助图形来反映并思考用语言或式子所表达的空间形状及位置关系。
4、熟练的识图能力，即从复杂的图形中能区分出基本图形，能分析其中的基本图形和基本元素之间的基本关系。
（五）抽象概括能力
数学抽象概括能力是在数学活动中表现出来的抽象概括能力，即抽象概括出研究对象或问题的数量关系和空间形式的能力。
（六）推理论证能力
数学推理论证能力是由已有的数学信息运用数学推理的方式作岀判断的思维能力。即指通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻找证据,给出证明或举出反例;清晰、有条理地表达自己的思考过程,做到言之有理、落笔有据;在与他人交流的过程中，运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑等能力。主要包括：
1、数学逻辑思维能力。
2、直觉思维能力。