与圆有关的位置关系及圆中的计算练习题(含答案)

与圆有关的位置关系及圆中的计算（讲义）

? 课前预习

1. 半径为r 的圆的周长为__________，面积为__________．

2. 如图，圆心角为n °的扇形的弧长为_______，面积为________．

3. 已知圆上一段弧长为4π cm ，它所对的圆心角为120°，则圆的半径为____________．

4. 默写圆周角定理的相关推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；

推论2：________________________________________； _______________________________________________． 推论3：圆内接四边形对角互补．

5. 我们知道扇形能够围成圆锥，如图，从半径为4的⊙O 上剪下一个圆心角度数为n 的扇形，用其围成一个圆锥，在围成的过程中，扇形的弧长与底面圆的周长恰好相等．已知圆锥底面圆的半径为1，则n 的值为__________．

6. 根据给出的圆锥的相关信息，画出圆锥的三视图，并标注相

关线段长．

? 知识点睛

1. 点与圆的位置关系

d 表示__________①点在圆外：_____________； ②点在圆上：_____________； ③点在圆内：_____________．

A

2. 直线与圆的位置关系

d 表示__________________的距离，r 表示__________． ①直线与圆相交：____________； ②直线与圆相切：____________； ③直线与圆相离：____________．

切线的性质定理：__________________________________； 切线的判定定理：__________________________________ __________________________________________________． *切线长定理：______________________________________ __________________________________________________． *3. 圆与圆的位置关系

d 表示__________的距离，R 表示________，r 表示_________． ①圆与圆外离：_________________； ②圆与圆外切：_________________； ③圆与圆内切：_________________； ④圆与圆内含：_________________； ⑤圆与圆相交：_________________． 4. 圆内接正多边形

_______________________________叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的_________. 中心角：___________________________________________； 边心距：___________________________________________． 5. 圆中的计算公式

弧长公式：____________________．

扇形面积公式：①________________；②________________． 圆锥的侧面积公式：_________________________________． 圆锥的全面积公式：__________=__________+__________． 扇形及其所围圆锥间的等量关系：

①________________________________________________； ②________________________________________________．

? 精讲精练

1. 矩形ABCD 中，AB =8

，BC ，点P 在AB 边上，且BP =3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，

PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ） A ．点B ，C 均在圆P 外

B ．点B 在圆P 外、点

C 在圆P 内 C ．点B 在圆P 内、点C 在圆P 外

D ．点B ，C 均在圆P 内

2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，

∠A =60°，BC =4 cm ，以点C 为圆 心，以3 cm 长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是__________．

3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4．以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边AB 有且只有

一个公共点，则R 的取值范围是_________________．

4. 在△ABC 中，∠C =90°，AC =3 cm ，BC =4 cm ．若⊙A ，⊙B 的半径分别为1 cm ，4 cm ，则⊙A ，

C

B

A

E

⊙B 的位置关系是_______．

5. 若有两圆相交于两点，且圆心距为13公分，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径（ ）

A ．25公分、40公分

B ．20公分、30公分

C ．1公分、10公分

D ．5公分、7公分

6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，∠CDB =20°，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的

延长线于点E ，则∠E =______．

第6题图 第7题图 7. 如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，点C 是劣弧AB 上的一个动点，若∠P =40°，则∠

ACB =_______．

8. 如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，

B ，

C 是切点，A ，

D 是⊙O 上两点， 如果∠

E =46°，∠DC

F =32°，那么 ∠A =______．

9. 如图，O 是正方形ABCD 的对角线

BD 上一点，⊙O 与边AB ，BC 都相切，点E ，F 分别在边AD ，DC

上．现将△DEF 沿着EF 对折，折

痕EF 与⊙O 相切，此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE =2，则正方形ABCD 的边长是________．

10. 如图，在⊙O 中，FC 为直径，长为8．分别以F ，C 为圆心，以⊙O 的半径R 为半径作弧，与⊙

O 相交于点E ，A 和D ，B ，则A ，B ，C ，D ，E ，F 是⊙O 的六等分点，

顺次连接AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，F A ．

过点O 作OG ⊥BC ，垂足为G ，则OG

长为_______．

11. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB

，BC 于点D ，E ，点F 在线段AC

的延长线上，且1

2

CBF CAB ∠=∠．

（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线； （2）若AB =5，sin 5

CBF ∠=

，求BC 和BF 的长． P

O

F

E D

C B

A F

D

12. 如图，⊙O 的半径是1，A ，B ，C 是圆周上的三点，∠BAC =36°，则劣弧BC 的长是___________．

第12题图 第13题图

13. 如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ′，则图中阴影部分的面

积是________．

14. 如图，一把打开的雨伞可近似地看成一个圆锥，若伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末

端各点所在圆的直径AC 的长为12分米，伞骨AB 的长为9分米，则制作这样的一把雨伞至少需要绸布面料__________平方分米．

15. 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是腰长为4、底边为2的等腰三角形，则

这个几何体的侧面展开图的面积为__________．

16. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为4，则图中阴影部分的面积为__________．

俯视图

左视图

主视图

44

17. 如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50 cm ．小红同学为了在圣诞节联欢

晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是____________．

18. 如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1 cm 的圆形，使之恰好围成图2所示的一个

圆锥，则圆锥的高为_______．

【参考答案】 ? 课前预习

1. 2πr ，πr 2

2. 180

n r π，2360n r π 3. 6 cm

4. 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

5. 90

6.

图形略

? 知识点睛

1. 点到圆心，圆的半径．d r >；d r =；d r <．

2. 圆心O 到直线l ，圆的半径．d r <；d r =；d r >．

图1

图2

圆的切线垂直于过切点的半径；

过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线． 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等． 3. 圆心之间，大圆半径，小圆半径．

d R r >+；d R r =+；d R r =-；0d R r <-≤；R r d R r -<<+． 4. 顶点都在同一圆上的正多边形，外接圆；

一个正多边形的相邻的两个顶点与它的中心的连线的夹角叫中心角； 正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离叫做边心距．

5. 180n R l π=．①2360n R S π=；②2

lR

S =．

S =πlr ．

全面积=侧面积+底面积．

①圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长；②圆锥的侧面积等于扇形面积．

? 精讲精练

1. C

2. 相交

3. 34R <≤或125

R = 4. 外切 5. B 6. 50° 7. 110° 8.

99°

9. 2

10.

11. （1）证明略；（2）BC =20

3

BF =

12. 25π 13. 6π 14. 54π 15. 4π

16. 163π

17. 18°

18.

与圆有关的位置关系及圆中的计算（随堂测试）

1. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，且AB >AD +BC ．若AB 是⊙O 的直径，则直线CD

与⊙O 的位置关系是_______________．

第1题图 第2题图

2. 如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至点C ，使得AC =3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D ．若

CD

=，则线段BC 的长度为__________．

3. 如图，

如果从半径为9 cm 的圆形纸片上剪去1

3

圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接

缝处不重叠），那么这个圆锥的高为___________．

4. 如图是某公园的一角，已知∠AOB =90°，AB ︵的半径OA 的长是6米，C 是OA 的中点，点D 在AB

︵上，且CD ∥OB ，则图中休闲区（阴影部分）的面积是___________．

【参考答案】

1. 相交

2. 1

3. cm

4. (62

π-

m 2

与圆有关的位置关系及圆中的计算（习题）

? 巩固练习

1. 在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为2．下列说法中不正确．．．

的是（ ）

A ．当a < 5时，点

B 在⊙A 内 B ．当1< a < 5时，点B 在⊙A 内

C ．当a < 1时，点B 在⊙A 外

C 3B

D ．当a > 5时，点B 在⊙A 外

2. 已知⊙O 1，⊙O 2的半径分别是12r =，24r =，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能取的值是（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

3. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，⊙O 是以AB 为直径的圆，则直线CD 与⊙O 的位置关系

是（ ） A

第3题图

第4题图

4. 如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，∠AOB =45°．点P 在数轴上运动，若

过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP x =，则x 的取值范围是

_______．

5. 如图，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．如果OP =4，PA =．

第5题图 第6题图 6. 7. 8. 已知宽为3 cm 的刻度尺的一边与⊙O 相切，另一边与⊙O 的两个交点处的读数如图所示（单位：cm ），则⊙O 的半径为__________cm ．

9. 如图1，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC ）纸片放置成轴对称图形，∠ACB =90°，

CD ⊥AB ，垂足为D ，半圆（量角器）的圆心与点D 重合，且CE =5 cm ．如图2，将量角器沿DC 方向平移2 cm ，半圆（量角器）恰与△ABC 的边AC ，BC 相切，则AB 的长为__________cm ．（结

A

6cm 12cm

果保留根号）

图1 图2

10. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，OA

=AB =3，若弦

BC ∥OA ，则劣弧BC 的弧长为________．

第10题图 第11题图

11. 一圆锥的主视图如图所示，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数为________． 12. 已知圆锥底面圆的半径为6 cm ，高为8 cm ，则该圆锥的侧面积为__________cm 2．

13. 如图，把一个半径为12 cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸

筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则该圆锥的底面半径是________cm ．

第13题图 第14题图

14. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，CA =CB =4．分别以A ，B ，C 为圆心，以

2

1

AC 为半径画弧，则三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是____________．

15. 已知在△ABC 中，AB =6，AC =8，∠A =90°．把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其

表面积为S 1，把Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2，则S 1:S 2=________． 16. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =3，BC =4，P 是BC 边上的动点．设BP =x ，若能在AC

边上找到一点Q ，使

∠BQP =90°，则x 的取值范围是________．（提示：考虑90°的圆周角所对的弦是直径）

17. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交⊙O 于点E ，已知∠AEC =∠ODB ． （1）判断直线BD 和⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）当AB =10，BC =8时，求的长．

E

C B

A

A

B C

D

Q

P

A

B

C

BD F

E C

D

B

O

A

? 思考小结

1. 判断与圆有关的位置关系，关键是找准_____和_______，在直线与圆位置关系中，它们分别代表

____________________和_________________．

2. 已知圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，借助扇形及其所围成圆锥间的等量关系，推导圆锥的

侧面积公式S lr =π．（写出证明的关键环节）

3. 借助圆中思考角度及问题处理时“见到什么想什么”处理下面两道题目． 【试题1】已知：点P 是⊙O 外一点，PA 是圆的切线，PC 与⊙O 交于另一点B

．

求证：2PA PB PC =?．

思路分析

① 由要证明的比例形式，将其改写成

PB PA

PA PC

=

的形式，问题转化为证明△

PBA ∽△PAC ；

② 分析相似三角形的特征，问题进一步转化为证明∠PAB =∠PCA ； ③ ∠PAB 跟切线有关，考虑“遇切线，连接圆心和切点”，∠PCA

为圆周角，由

角看弧，找圆心角，连接OB ，转移边，转移角分析． 根据上面提供的思路，写出证明过程．

【试题2】如图，半圆O 的直径AB =7，两弦AC ，BD 相交于点E ，弦CD =，且BD =5，则DE 等于_________．

2

7

思路分析

①“遇直径，找直角”，结合已知的AB和BD的长，连接AD，可求出AD的长，此时DE放到Rt△

DEA中；

②CD长度与半径长相等，则连接OD，OC，可以得到△ODC是等边三角形，圆心角∠DOC=60°；

③“由角看弧，由弧找角”，由圆周角定理可以得到∠DAE=30°，进而得到DE的长．

你还能想到其他的求解方式吗？简要写出求解思路．

【参考答案】

1.A

2.B

3.A

4.

0x ≤

5.120°

6.40°

7.70°

8.25 6

9.

16) +

10.

3

π

11.90

12.60π

13.4

14.8-2π

15.2:3

16.3≤x<4

17.（1）相切，证明略；（2）

20

3 BD=

?思考小结

1.d，r，圆心O到直线l的距离，圆的半径．

2.略

【试题1】证明略

【试题2

】