2015届高三数学综合训练试题1

2015届高三数学周综合训练试题1

姓名 得分

一、选择题：（本大题共10道小题，每小题5分，共50分。每小题只有一个正确答案）

1．已知集合2{|9},{|33}M x x N x z x ===∈-≤<,则M N =

（ ） A ．? B ．{3}- C ．{3,3}-

D ．{3,2,0,1,2}--

2

．函数lg y x =+

（ ） A ．{|0}x x > B ．{|01}x x <≤ C ．{|1}x x > D ．{|1}x x ≥ 3．()f x 是奇函数，则①|()|f x 一定是偶函数；②()()f x f x ?-一定是偶函数；③()()0f x f x ?-≥；④()|()|0f x f x -+=，其中错误的个数有 （ ）

A ．1个

B ．2个

C ．4个

D ．0个

4．命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是 （ ）

A ．“若一个数是负数,则它的平方不是正数”

B ．“若一个数的平方是正数,则它是负数”

C ．“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”

D ．“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”

5

．函数sin 2y x x =在,63ππ???

???

上的最大值为 （ ） A ．1 B ．2 C

D

．2

6．若平面向量(1,2)=-a 与b 的夹角是180°

，且||=b b 等于 ( )

A ．(6,3)-

B ．(3,6)-

C ．(6,3)-

D ．(3,6)-

7．设变量x 、y 满足线性约束条件?????≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数y x z 32+=的最小值为 （ ）

A ．6

B ．7

C ．8

D ．23

8．已知直线1l 与圆2220x y y ++=相切,且与直线2:l 3460x y +-=平行,则直线1l 的方程是（ ）

A ．3410x y +-=

B ．3410x y ++=或3490x y +-=

C ．3490x y ++=

D ．3410x y +-=或3490x y ++=

9．已知函数x x x f 3)(3-=，若过点A （0,16）的直线方程为16y ax =+，该直线与曲线)(x f y =相切，则实数a 的值是 （ ）

A ．3-

B ．3

C ．6

D ．9

10．对函数()sin f x x x =，现有下列命题：①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 的最小正周期是2π； ③点(,0)π是函数()f x 的图象的一个对称中心；④函数()f x 在区间0,2π??????上单调递增，在区间,02π??-????

上单调递减。其中是真命题的是 （ ） A ．①④ B ．②④ C ．②③ D ．①③

二、填空题(本大题共5道小题，每小题5分，共25分.)

11．设数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则7a 的值为__ __．

12．已知角α的终边经过点(),6P x -，且3tan 4

α=-，则x 的值为 ． 13．右下图1是某学生的数学考试成绩茎叶图,第1次到14次的考试成绩依次记为1214A A A ，，…，．

右下图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是 ．

14. 一个几何体的三视图如上左图所示，则该几何体的体积为_________________.

15．代号为“风神”的台风于某日晚8点在距港口的A 码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米／时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A 码头从受到台风影响到影响结束，将持续________小时．

三、解答题：

（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．（12分）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C =

（1）求角C 的大小；（2

cos()4A B π-+

的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．

17．（12分）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X （单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X 每增加10，Y 增加5；已知近20年X 的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．

（1）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表

（2年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．

正视图侧视图俯视图

18. （12分）如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ?为等腰三角形，90APD ∠=，

平面PAD ⊥ 平面ABCD ，且1,2,AB AD E ==、F 分别为PC 和BD 的中点．

（1）证明：//EF 平面PAD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积．

19．（13分）. 已知等差数列{}n a 的公差为1-, 且27126a a a ++=-,

（1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ； （2）将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项,记{}n b 的前n 项和为n T , 若存在*N m ∈, 使对任意n N *∈总有n m S T λ<+恒成立, 求实数λ的取值范围.

20．（13分）已知1F ，2F 分别是椭圆15

:22

=+y x E 的左、右焦点1F ，2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点。

（1）求圆C 的方程； (2)设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b ，当ab 最大时，求直线l 的方程。

21.（13分）已知函数2

(),()ln ,0a f x x g x x x a x

=+=+>其中。 （1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值;

（2）若对任意的[]12,1,()x x e e ∈为自然对数的底数都有12()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围。

2015届高三数学周综合训练试题1

姓名 得分

一、选择题：（本大题共10道小题，每小题5分，共50分。每小题只有一个正确答案）

1．已知集合2{|9},{|33}M x x N x z x ===∈-≤<,则M N =

（ B ） A ．? B ．{3}- C ．{3,3}-

D ．{3,2,0,1,2}--

2

．函数lg y x =+

（ D ） A ．{|0}x x > B ．{|01}x x <≤ C ．{|1}x x > D ．{|1}x x ≥ 3．()f x 是奇函数，则①|()|f x 一定是偶函数；②()()f x f x ?-一定是偶函数；③()()0f x f x ?-≥；④()|()|0f x f x -+=，其中错误的个数有 （ B ）

A ．1个

B ．2个

C ．4个

D ．0个

4．命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是 （ C ）

A ．“若一个数是负数,则它的平方不是正数”

B ．“若一个数的平方是正数,则它是负数”

C ．“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”

D ．“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”

5

．函数sin 2y x x =在,63ππ???

???

上的最大值为 （ C ） A ．1 B ．2 C

D

．2

6．若平面向量(1,2)=-a 与b 的夹角是180°

，且||=b b 等于 ( D )

A ．(6,3)-

B ．(3,6)-

C ．(6,3)-

D ．(3,6)-

7．设变量x 、y 满足线性约束条件?????≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数y x z 32+=的最小值为 （ B ）

A ．6

B ．7

C ．8

D ．23

8．已知直线1l 与圆2220x y y ++=相切,且与直线2:l 3460x y +-=平行,则直线1l 的方程是（ D ）

A ．3410x y +-=

B ．3410x y ++=或3490x y +-=

C ．3490x y ++=

D ．3410x y +-=或3490x y ++=

9．已知函数x x x f 3)(3-=，若过点A （0,16）的直线方程为16y ax =+，该直线与曲线)(x f y =相切，则实数a 的值是 （ D ）

A ．3-

B ．3

C ．6

D ．9

10．对函数()sin f x x x =，现有下列命题：①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 的最小正周期是2π； ③点(,0)π是函数()f x 的图象的一个对称中心；④函数()f x 在区间0,2π??????上单调递增，在区间,02π??-????

上单调递减。其中是真命题的是 （ A ） A ．①④ B ．②④ C ．②③ D ．①③

二、填空题(本大题共5道小题，每小题5分，共25分.)

11．设数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则7a 的值为__ 14 __．

12．已知角α的终边经过点(),6P x -，且3tan 4

α=-，则x 的值为 8 ． 13．右下图1是某学生的数学考试成绩茎叶图,第1次到14次的考试成绩依次记为1214A A A ，，…，．

右下图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是 10 ．

14. 一个几何体的三视图如上左图所示，则该几何体的体积为_____12+3

16π______. 15．代号为“风神”的台风于某日晚8点在距港口的A 码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米／时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A 码头从受到台风影响到影响结束，将持续__2.5__小时．

三、解答题：

（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．（12分）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C =

（1）求角C 的大小；（2

cos()4

A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小． 解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =

因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==

从而又所以则 （II ）由（I ）知3.4

B A π=-于是

cos()cos()4

cos 2sin().6

3110,,,,46612623A B A A A A A A A A A πππ

πππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时

2sin()6A π

+取最大值2．

cos()4A B π

-+的最大值为2，此时5,.312

A B π

π== 17．（12分）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X （单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X 每增加10，Y 增加5；已知近20年X 的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．

（1）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表

正视图侧视图

俯视图

（2）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．

解：（I ）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20

（II ）("132320202010

P ++=发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时")=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)

= 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为

310． 18. （12分）如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ?为等腰三角形，90APD ∠=，

平面PAD ⊥ 平面ABCD ，且1,2,A

B A D E ==、F 分别为P

C 和B

D 的中点． （1）证明：//EF 平面PAD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积． （1）证明：如图，连结AC ． ∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点．

∴F 也是AC 的中点． ………… 2分

又E 是PC 的中点，//EF AP …………4分 ∵EF ?由,PAD PA ?面,//PAD EF ∴面PAD ． …………6分 （2）解：取AD 中点为O ．连结PO ∵面PAD ⊥面ABCD 及PAD ?为等腰直角三角形，

PO ∴⊥面ABCD ，

即PO 为四棱锥P ABCD -的高．

…………10分 2,1AD PO =∴=．又1AB =．

∴四棱锥P ABCD -的体积1233V PO AB AD =??=

…………12分

19．（13分）. 已知等差数列{}n a 的公差为1-, 且27126a a a ++=-,

（1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ； （2）将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项,记{}n b 的前n 项和为n T , 若存在*N m ∈, 使对任意n N *∈总有n m S T λ<+恒成立, 求实数λ的取值范围.

解：(1) 由27126a a a ++=-得72a =-，所以14a =

∴ 5n a n =-， 从而 (9)2

n n n S -=

---------------------6分 (2)由题意知1234,2,1b b b === 设等比数列{}n b 的公比为q ，则2112

b q b ==， ∴141()1281()1212

m m m T ??-??????==-????- 1()2m 随m 递减， ∴{}m T 为递增数列，得48m T ≤< 又22(9)11981(9)()22224n n n S n n n -??==--=---????

， 故max 45()10n S S S ===，

若存在*N m ∈, 使对任意n N *

∈总有n m S T λ<+

则108λ≤+，得2λ≥------------------------13分 20．（13分）已知1F ，2F 分别是椭圆15

:22

=+y x E 的左、右焦点1F ，2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点。

（1）求圆C 的方程； (2)设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b ，当ab 最大时，求直线l 的方程。

【解析】 (Ⅰ) 先求圆C 关于直线x + y – 2 = 0对称的圆D ，由题知圆D 的直径为关于）与圆心（圆心），半径（的圆心所以C D D 0,0,2b -a c r 0,0D 圆,F F 2221===直线02=-+y x 对称4)2()2(:)2,2(22=-+-??y x C C 的方程为圆.

（Ⅱ）由(Ⅰ)知2F (2,0), ,据题可设直线l 方程为: x = my +2,m ∈R. 这时直线l 可被圆和椭圆截得2条弦，符合题意.

圆C:4)2()2(22=-+-y x 到直线l 的距离22m 1|2m |m 1|

2-22m |=d +=++。

22

222

m 14)m 144(4+=+-=?m b ：在圆中，由勾股定理得. 整理得：

联立直线和椭圆方程，设直线与椭圆相交于点),,(),,(2211y x F y x E 5204544)(0145(22212122+=++-=++=+?=-++m m m m

y y m x x my y m ） 由椭圆的焦半径公式得：5

1525)

(210)(52

52222121++?=+-=+-=m m x x x x a 5

158m 14515222222++?=+?++?=∴m m m m ab . .),3[]3,0[)(0,5

1)(上单调递减上单调递增，在在令+∞=?≥++=x f y x x x x f .23.3)3.()(2+±==?≤y x ab m f x f 这时直线方程为取最大值时，当令 所以当23+±=y x ab 取最大值，直线方程为

21.（13分）已知函数2

(),()ln ,0a f x x g x x x a x

=+=+>其中。 （1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值;

（2）若对任意的[]12,1,()x x e e ∈为自然对数的底数都有12()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围。