1 单自由度体系的自由振动
y s
y(t)
s=-k(y+y s )w=mg F(t)=-m y
§1 单自由度体系的自由振动
一、无阻尼的自由振动：
如下图，以单自由度体系为例，设此梁上的集中质量为m ，其重量为W
mg =，
梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用s y 表示，与s y 相
应的质量位置称为质量的静力平衡位置。若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。
1、建立运动方程
建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。
今考虑在振动过程的某一瞬时t ，设质量在此瞬时离开其平衡位置的位移为y ，取质量为隔离体，则在质量上作用有三种力：质量的重量W ，杆件对质量的弹性恢复力S 和惯性力F(t)。根据达朗伯原理，这三个力应成平衡，即 W+S+F(t)＝0 （1） 在弹性体系中，弹性恢复力S 为 ()s k y y s =-+
上式中的K 为一常数，称为刚度系数，代表简支梁上使质量在运动方向产生单位位移时需要加在质量上的沿质量运动方向的集中力的量值。式中负号表示s 的指向和位移的方向相反。 而 1y s W k
=?
即 y s W k =?
因此，将()s k y y s =-+和y s W k =?代入式（1）得 ()0
F t
ky =-+ （2）
上式表明，如果以静力平衡位置作为计算位移的起点，则建立体系的运动方程时，可以不考虑重力W 的影响。这对其他体系的振动（包括受迫振动）也同样适用。
将2
2
()d y F t m
dt
=-代入式（2）得：
2
2()0d y m ky t dt
+=
令2
k m
ω=
dy y dt
=
（速度）
2
2
d y y
dt
=
（加速度）
则
2
2
()0d y m
ky t dt
+= 可变为
2
y y ω+=
（3）
此为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，它反映了这种振动的一般规律。
若采用柔度法建立运动方程（建立位移方程），以静力平衡位置作为计算位移的起点，则梁在质量m 处除惯性力2
2()d y F t m
dt
=-这个假想的
外荷载作用外，再无其他外力作用。所以由达朗伯原理可知，梁在集中质量m 处任一运动瞬时的位移为
2
2
()()d y y t F t m
dt
δδ
==- 即
1
()0m y y t
δ
+
=
（4）
式中δ为一常数，代表简支梁上集中质量处在质量的运动方向作用
单位荷载时所产生的静力位移。δ称为结构的柔度系数，它与刚度系数k
的关系为
1k
δ=
则（4）式可变为
2
y y ω+=
式中
2
1k m m
ωδ
=
= 与建立质量动平衡方程所得的结果相同。
2、运动方程的解
式（3）为二阶常系数线性微分方程，其通解为
12()cos sin y t c t c t
ωω=+ （5）
取()y t 对时间的一阶导数，则该体系在任一瞬时的速度为
12()()sin s y t v t c t c co t
ωωωω==-+
式中的常数1c 和2c 可由初始条件得出。 设0t =时，0(0)y y =
0(0)v v = 则10c y =
2v c ω
=
代入（5）得 0
0()cos sin v y t y t t ωωω
=+
（6）
00()sin cos y t y t v t
ωωω=-+
（7）
在以上各式中，0y 及0v 各称为初始位移和初速度。 式（6）也可写成单项式：
()sin()y t A t ωε=+
（8）
再将其展开得：
()sin cos cos sin y t A t A t ωεωε
=+ （9）
比较（6）和（9）得 0sin y A ε
=
cos v A ε
ω
=
2
A =
00
arctan(
)y v ωε=
式()sin()y t A t ωε=
+表示一简谐振动，A
代表最大的位移，称为振幅；ε
称为初相角，最大位移的初相角均决定于质量的初位移及初速度。在简谐振动中，位移、速度和加速度等物理量均按正弦或余弦规律变化，而正弦或余弦函数是周期函数，所以它们都是周期振动，每经历一定时间，结构出现前后同一运动状态（包括位置、速度等）所需的时间间隔称为振动周期，用符号T 表示。
由式（8）可知，在时间由t 经过2T
π
ω
=以后，该式变为
2()sin ()sin()y t A t A t πωεωεω??
=++=+????
即在时间由t 经过2T π
ω
=
后，结构出现前后相同的运动状态，故周期T
为2T π
ω
=，单位为秒。 令
1f T =
，f 为频率。则2f
ωπ=，ω称为圆频率，也为自振频率。
据2
k m
ω
=
得
ω=
=
=
=
此为单自由度体系无阻尼自由振动时自振频率的计算公式。由上式可以看出，自振频率只与反映结构固有属性的结构刚度和质量有关，而与外界引起自由振动的初始条件无关，所以也常将自振频率称为固有频率。结构在振动过程中的许多动力特性，都与反映结构固有属性的自振频率
m
l
W
有关。如果单自由度体系上的质量m 维持不变，但增加体系的刚度，则 体系的自振频率将增大；相反，如果体系的刚度维持不变，而是增加体系的质量，则体系的自振频率将减小。在解决实际结构振动问题时，可以根据此规律，通过调整结构的自振频率，达到调整结构动力反应的目的。 例题
1、图示一等截面简支梁，截面抗弯刚度为E I ，跨度为l ，在梁的跨度中点有一集中质量m ，如果忽略梁本身的质量，试求梁的自振周期T 和自振频率ω。
解：对于简支梁，在集中质量m 处施加单位力，即可求出柔度系数：
3
48l
EI
δ=
∴
22T ππ
==
ω=
=
2、图示一等截面竖直悬臂杆，长度为l ，截面面积为A ，惯性矩为I ，弹性模量为E ，杆端重物重为W ，设杆件本身质量可以忽略不计，试分别求水平振动和竖向振动时的自振周期。
解：水平振动时 柔度系数为3
3l
EI
δ= ∴
22T
ππ
== 竖向振动时
s s W l y E A
?==
∴
2T
π
==
二、有阻尼的自由振动：
质量的自由振动实际上不可能延续无限长时间，因为质量的振动一般受到阻尼的影响。阻尼可来自不同方面，如介质（空气、液体等）的阻力、支承部分的摩擦等，此处考虑的是一种粘滞阻尼，其与速度成正比，用R 表示。
即R c y =-
式中c 称为阻尼系数，负号表示阻力R 的方向与速度y
的方向相反。
1、建立运动方程：
考虑阻尼时，在质量上有三种力作用：杆件对质量的弹性恢复力S 、阻力R 和惯性力()F t 。根据达朗伯原理，得 ()0S R F t ++=
0ky c y m y ---=
即 202c k y y y m m
ωω++
=
令 2c m
ξω=
（阻尼比） 且 2
k m
ω=
则 2
20y y y ξωω++=
（10）
此为二阶常系数齐次线性微分方程 2、运动方程的解：
二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程为
22
20r r ξωω++=
其根为
1,20r ξωω=-±=
由于根号里的值可能为正、负或零，所以应分三种情况（即1ξ<，
1ξ>，1ξ=）来讨论方程的解。
（1）当1ξ<时，满足这一条件的阻尼，称为小阻尼情况。这时特征方程的根1r 、2r 是一对复根，即
/
1,2r i ξωωξωω=-±=-±
则（10）式的通解为：
//
12()(sin cos )t y t e B t B t ξωωω-=+ （11）
其中
/ωω=
常数1B 及2B 可由初始条件决定。设0t =时，0(0)y y =，0(0)y v =
则（11）式可写成：
//
00
0/
()(
sin cos )t
v y y t e
t y t ξωξωωωω
-+=+
（12）
亦可写为
//()sin()t y t e B t ξωωε-=+ （13） B 及/
ε同上方法可求得。
由式（13）可知：有阻尼自由振动的圆频率为
/ωω=
振动的周期为
/
/
2T π
ω
=
=
。
一般说建筑结构的ξ值很小，约在0.01~0.1之间，它对自振频率的影响不大，因此求自振频率时可略去阻尼的影响，近似取 /ωω=。
其次有阻尼自由振动的振幅为t Be ξω-，是按指数t e ξω-的规律衰减。阻尼振动虽然大体上具有周期振动的形状，但并不属于周期振动。因为振幅随着时间的增加在不断减小，但在每一周期/
T 内的振动图形又接近于简谐振动的形式。因此，阻尼振动可被认为是振幅不断减小的简谐振动。
（2）当1ξ>时，满足这一条件的阻尼，称为大阻尼情况。这时特征方程的根1r 、2r 是两个不相等的实根，即：
1,2r ξωω=-±
则（10）式的通解为：
((12()t
t
y t c e
c e
ξωξωω-+--=+
这时的解答只包含指数函数，而不再包含简谐振动的因子
/
/
sin()t ωε+，所以振动将随着t
的增大而单调下降，运动已没有振动性，
只是一种衰减运动。
（3）当1ξ=时，满足这一条件的阻尼，称为临界阻尼情况。这时方程的通解为
12()()t
y t c c t e ξω-=+
与1ξ>的情况相同，体系已没有振动性，只是一种衰减运动。 由上述情况可知，当阻尼系数由小逐渐增大时，体系从衰减振动的情况转变为不发生振动的纯衰减运动，而其过渡的临界条件即为
12c m ξω
=
=，这时的阻尼系数c
称为临界阻尼系数，用c c 表示，即
2c c m ω= 相应地有 2c
c c m c ξω
=
=
即阻尼比ξ为阻尼系数c 与临界阻尼系数c c 的比值。
对于大多数在空气中振动的结构来说，一般都属于小阻尼的范围，以后只限于讨论这种情况的振动。
§2 单自由度体系的受迫振动
一、无阻尼的受迫振动： 1、建立运动方程：
()0ky m y P t --+=
即2
()P t y y m
ω+=
2、运动方程的解：
此方程为二阶常系数线性非齐次微分方程，它的解由齐次通解
1()0y t =和特解2()0y t =两部分相加而成，即
12()()()y t y t y t =+
齐次通解为 0
10()cos sin v y t y t t ωωω
=+
特解为
20
1()()sin ()t y t P t d m τωττ
ω
=
-?
此为杜哈梅积分
二、有阻尼的受迫振动： 1、建立运动方程：
在有阻尼的受迫振动过程中，质量上有四种力作用：弹性恢复力s 、惯性力()F t 、阻尼R 、荷载()P t 。据达朗伯原理，其运动方程为：
x g
(t)+x(t)
x g (t)
x(t)
m m
()0m y c y ky P t ---+=
即2
()2P t y y y m
ξωω++=
2、运动方程的解：
由齐次通解1()0y t =和特解2()0y t =两部分相加而成，即 12()()()y t y t y t =+
//
00
10/
()(
sin cos )t
v y y t e
t y t ξωξωωωω
-+=+
()
/
20
/
1()()sin ()t t y t P e
t d m ξωττωττ
ω
--=
-?
三、由基础运动引起的受迫振动：
当发生地震时，地面运动将引起结构物的受迫振动。 图示为由于基础水平运动引起的单质点体系 某一时刻的变形情况。以()g x t 表示基础的位移；
()x t 表示质量m 对基础的相对位移；质量m 的
总位移为()()g x t x t ??+??，则作用于质量m 上的
惯性力为()()()g F t m x t x t ??
=-+????
。若考虑阻尼的
影响，则根据达朗伯原理，作用于质量上的弹性恢复力s 、惯性力()F t 、阻尼R 应平衡，则动力平衡方程为： ()0S R F t ++=
即
()()()()0
g m x t x t c x t kx t ??
-+--=????
或 2
()2()()()g x t x t x t x t ξωω++=-
将此式与有阻尼受迫振动方程比较，有：()g x t -
相当于()P t m
，则该方
程的初始条件为零的解为：
()
/
/
1
()()sin ()t t g x t x e
t d ξωττωττ
ω
--=-
-?
单自由度系统机械振动 1. 图示系统的轮和绳之间无相对滑动，只作纯 滚动，建立系统的运动微分方程，并求系统 的固有频率，圆盘转动惯量为J ，质量块的 质量为m ，弹簧刚度为K 。 2． 图所示，W=1000N ，k=2 104N/m ，图示位 置弹簧已承受初压力F 0=100N ，现将支承突 然撤去，重块落下后作自由振动时的振动位 移表达式？（取重力加速度g=10m/s 2） 3．如图所示为一台机器，其总质 量为M ，安装在一个弹簧和一 个阻尼器上，弹簧常数为k ，阻 尼系数为c 。机器工作时旋转中 心为O ，角速度为ω，不平衡 质量大小为m ，偏心距离为e 。 机器只能在垂直方向运动。求机器振动时传给地面的力的最大值。 W K
4．图示系统中，质量m 上受激励力为 F （t ）=sin ωt+10sin10ωt 时， 求质量m 的稳态响应 5. 图示系统的轮和绳之间无相对滑动，只作纯滚动，建立系统的运动微分方程，并求系统的固 有频率，圆盘转动惯量为J ，质量块的质量为m ， 弹簧刚度为K 6. 一重块与两弹簧相连，W=490N ，k=9800N/m ， 图示位置弹簧不受力，现将支承突然撤去，重块 落下后作自由振动时的振动位移表达式？ 7. 如图所示为一台机器，其总质量为m ，通过一个弹簧和一个阻尼器安装在基础上，弹 簧常数为k ，阻尼系数为c 。基础的运动为 y(t)=Ysin ωt ，机器只能在垂直方向运动。求 基础振动时传给机器的力的最大值。 W K K
8．图示系统中，质量m上受激励力为 F（t）=sinωt+10sin10ωt时， 求质量m的稳态响应。 9.一般振动问题，如图所示： 三类振动问题分别是： （1）振动分析，已知，求； （2）振动环境预测或载荷分析，已知，求； （3）系统识别，已知，求。 10. 振动问题的分类，根据自由度数分，有， 和。 11. 简谐振动x=Asin(ωt+φ)，其中的振动位移为，振幅 为， 振动频率为为，振动的初相位为 12. n个自由度振动系统有个固有频率，有个固有 振型， 其中的第i阶主振型有个节点。
一、填空题 1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动）和非线性振动；确定性振动和（随机振动）；（自由振动）和强迫振动。 2、周期运动的最简单形式是（简谐运动），它是时间的单一（正弦）或（ 余弦）函数。 3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。 4、简谐激励下单自由度系统的响应由（瞬态响应）和（稳态响应）组成。 5、工程上分析随机振动用（数学统计）方法，描述随机过程的最基本的数字特征包括均值、方差、（自相关函数）和（互相关函数）。 6、单位脉冲力激励下，系统的脉冲响应函数和系统的（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和系统的（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 2、在离散系统中，弹性元件储存( 势能)，惯性元件储存（动能），（阻尼）元件耗散能量。 4、叠加原理是分析（线性）系统的基础。 5、系统固有频率主要与系统的（刚度）和（质量）有关，与系统受到的激励无关。 6、系统的脉冲响应函数和（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（往复弹性）运动。 1．振动基本研究课题中的系统识别是指根据已知的激励和响应特性分析系统的性质，并可得到振动系统的全部参数。（本小题2分） 2．振动按激励情况可分为自由振动和强迫振动两类。（本小题2分）。 3．图（a）所示n个弹簧串联的等效刚度= k ∑ = n i i k1 1 1 ；图（b）所示n个粘性阻尼串联的等效粘 性阻尼系数= e C ∑ = n i i c1 1 1 。（本小题3分） （a）（b） 题一 3 题图 4．已知简谐振动的物体通过距离静平衡位置为cm x5 1 =和cm x10 2 =时的速度分别为s cm x20 1 = &和s cm x8 2 = &，则其振动周期= T；振幅= A10.69cm。（本小题4分） 5．如图（a）所示扭转振动系统，等效为如图（b）所示以转角 2 ?描述系统运动的单自由度 系统后，则系统的等效转动惯量= eq I 2 2 1 I i I+，等效扭转刚度= teq k 2 2 1t t k i k+。（本小题4分）
习 题 1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mg k δ= 其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知 δ=3 24mgh EJ = 则 k = 3 24EJ h 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 " m x kx =- 所以固有频率3 n 24mh EJ p = 1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角θ 2 a θ＝h α 2F cos α＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ&& 题1-1图 题1-2图 θ F sin α 2 θα h mg θ
其中 12 cos sin ≈≈θ α α h l ga p h a mg ml n 2 2 2 2 2304121==?+θθ&& g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2=== 1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。即为 21211k k k k k += '，212132k k k k k k ++='，4 241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++= ) (42412132314 214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++= 1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。 解： 111/l GJ k = （1） 222/l GJ k = （2） 333/l GJ k = （3） )/(23323223l J l J J GJ k += （4） ) (/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知 ）由（ 题1-3图 题1-4图
习 题 2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值 1 2 .41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。 解：由题意，可求出系统的运动微分方程为 t m x n x p x n 3cos 360 22 =++ 得到稳态解 )3cos(α-=t B x 其中 m k B B B 45.0360 4)1(02 2220 == +-= λζλ 222 122tg λζλ ωωα-=-= n p n 由 d nT i i A A e 2.41 === +η 489 .3π 2797 .0ln 8 .1ln ======d d d d d T p T n T nT η η 又 22n p p n d -= 有 579.32 22=+=n d n p n p p 45.51255.1298.0374 .0838 .01838.0223.02tg 103.1408 .045 .0838.0223.04)838.01(45 .0223.0579 .3797.0838.0579 .33 2 222===-??= == ??+-= === == =ααζω λB p n p n n 所以 x ＝1.103 cos(3t －51?27') 2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给
质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。 解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由 m k p n = ，共振时m k p n ==1ω 所以 m k =6 ① 又由 当 86.51 2=+= =m k p n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m 2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。 解：列出平衡方程可得： 222()sin sin()sin()st Q W W k x w e wt x g g W Q x kx w e wt g g kg Q x x w e wt W W ππ-σ+- =+=++=+ 所以：2n kg P W Q h w e W ==， 又因为st st W W k k =σ=σ即 22() st st B w e B W g w =σ-σ将结果代入Q = 即为所求的振幅 2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=，弹簧支承端有运动 t a x s ωco s =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。 题2-4图
结构动力学三级项目 班级：冶金五班 小组成员：邱林凯李海洋 张富张富增 指导老师：王健 2017年4月18日
目录 摘要 (2) 单自由度系统的振动 (3) 单自由度振动系统数学模型的建立 (3) 参数设定与求解 (5) 单自由度系统的强迫振动 (8) 本章小结 (17) 总结与心得 (17)
摘要 振动系统问题是个比较虚拟的问题，比较抽象的理论分析，对于问题的分析可以实体化建立数学模型，通过MATLAB可以转化成为图像。单自由度频率、阻尼、振型的分析，我们可以建立数学模型，最后通过利用MATLAB编程实现数据图形；多自由度主要研究矩阵的迭代求解，我们在分析抽象的理论的同时根据MATLAB编程实现数据的迭代最后可以得到所要的数据，使我们的计算更加简便。 关键词：振动系统；单自由度；MATLAB；多自由度 前言 振动系统是研究机械振动的运动学和动力学，研究单自由系统的振动有着实际意义，因为工程上有许多问题通过简化，用单自由度系统的振动理论就能得到满意的结果。模态是振动系统的一种固有振动特性，模态一般包含频率、振型、阻尼。 利用MATLAB编程并验证程序的正确性。通过程序的运行，能快速获得多自由度振动系统的固有频率以及主振型，为设计人员提供了防止系统共振的理论依据，也为初步分析各构件的振动情况以及解耦分析系统响应奠定了基础。 在结构动力学中，单自由度系统的振动是最简单的运动，但这部分又十分重要。因为从中可得到有关振动理论的一些基本的概念和解决问题的方法，同时它也适用于更为复杂的振动问题，是分析多自由度体系振动问题的基础。因此，搞清楚了单自由度系统的振动，将有助于我们提高分析和解决其他各种振动问题的能力。另外在实际工程中，确实有许多振动问题，可简化为单自由度问题，或近似地用单自由度理论去分析解决。
第3章 单自由度体系的振动 在结构动力学中，单自由度体系的振动是最简单的振动，但这部分内容又十分重要，因为从中可得到有关振动理论的一些最基本的概念和分析问题的方法，同时它也适用于更为复杂的振动问题，是分析多自由度体系振动问题的基础，因此搞清楚了单自由度体系的振动，将有助于我们提高分析和解决其他各种振动问题的能力。另外在实际工程中，确实有许多振动问题，可简化为单自由度问题，或近似地用单自由度理论去分析解决。 本章按有阻尼和无阻尼体系研究自由振动，强迫振动，对弯曲振动做详细讨论，简要陈述剪切振动和旋转振动。 单自由度体系可按如下情况对振动进行分类： 预备知识 ①齐次微分方程：2 0y y ω+=& &的通解：12()cos sin y t C t C t ωω=+，其中1,2C C :微分常数，由初始条件确定。 ②() 12,()sin cos y x t y t C t C t t ωωωω?==-+?& ③cos sin ix e x i x =+ ④单质点体系一般振动形式： 去掉阻尼cy &和外力()P t 影响，即可得到无阻尼体系自由振动。 ⑤2 ()y y P t ω+=& &的解为2 0y y ω+=&&的通解，加上2 ()y y P t ω+=&&的特解组成。 通解： 1sin()y A t ω?=+ 特解： []20 1 ()sin ()t y F t d τωττω = -? 解为通解+特解： ⑥如果杆件的刚度为EI ，则两端刚结的杆的侧移刚度为3 12l EI ；一端铰结的杆的侧移刚度为 33l EI 。 §3.1无阻尼体系自由振动 图3.1(a)所示为无阻尼、单自由度的悬臂梁体系，取出质量隔离体，在其上施加惯性力 y m &&-，如图3.1(b)所示，由0y =∑得：
:单自由度系统自由衰减振动及固有频率、阻尼比的测定实验指导书 陈安远 （武汉大学力学实验教学中心） 1.实验目的 1、了解单自由度系统模型的自由衰减振动的有关概念； 2、学习用频谱分析信号的频率； 3、学习测试单自由度系统模型阻尼比的方法。 2.实验仪器及安装示意图 实验仪器:INV1601B型振动教学实验仪、INV1601T型振动教学实验台、加速度传感器、MSC-1力锤(橡胶头)、重块。 软件:INV1601型DASP软件。 图1实验系统示意图 3实验原理 单自由度系统的阻尼计算，在结构和测振仪器的分析中是很重要的。阻尼的计算常常通过衰减振动的过程曲线（波形）振幅的衰减比例来进行计算。衰减振动波形示于图2。用衰减波形求阻尼可以通过半个周期的相邻两个振幅绝对值之比，或经过一个周期的两个同方向
振幅之比,这两种基本方式进行计算。通常以一个周期的相邻两个振幅值之比为基准来计算的较多。两个相邻振幅绝对值之比,称为波形衰减系数。 图2衰减振动波形 1、对经过一个周期为基准的阻尼计算 每经过一个周期的振幅的比值为一常量： η=d nT i i e A A =+1 这个比例系数η表示阻尼振动的振幅(最大位移)按几何级数递减。衰减系数η常用来表示振幅的减小速率。叫做振幅减缩率或减幅系数。 如果用减幅系数η的自然对数来表示振幅的衰减则更加方便。 δ=ln （η）=ln d i i nT A A =+1=21ξπξ- δ称为振动的对数衰减率或对数减幅系数。可以利用δ来求得阻尼比ξ。 2、在小阻尼时,由于η很小；这样读数和计算误差较大,所以一般地取相隔若干个波峰序号的振幅比来计算对数衰减率和阻尼比。 4.实验步骤 1、仪器安装 参照仪器安装示意图安装好配重质量块，加速度传感器。 2、开机进入INV1601型DASP 软件的主界面, 进入单通道示波状态进行波形和频谱同时示波，见图2。 3400Hz 、采样点数为2K,标定值和工程单位等参数(按实际
第二章 单自由度系统的自由振动 本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。 §2-1 无阻尼系统的自由振动 无阻尼单自由度系统的动力学模型如图1.1所示。设质量为m ，单位是kg 。弹簧刚度为K ，单位是N ／m ，即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后，弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形?：，同时也产生弹簧恢复力K ?，当其等于重力W 时，则处于静平衡位置，即 W=K ?? 若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x ，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。现设质量m 向下运动 到x ，此时弹簧恢复力为K(?+x)，显然大于重力W ， 由于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘 积)，建立运动方程，取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 改写为 0=+kx x m (1-1-1 令 m k p = 2 (1-1-2) 单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为 02=+x p x (1-1-3) 设方程的特解为 st e x = 将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为 ip s p s ±==+2,1220 则(1-1-3)的通解为 pt D pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4) C 、 D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时 00,x x x x == （1-1-5） ()x m x k W F =+?-= ∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ? ==k mg W x x )
本文讨论简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下单自由度系统的振动微分方程 单自由度系统模型 F t=F0e iωt 式中：F(t)为系统的激振力，F0为简谐力的幅值，ω为激振力的频率，当m、k、c分别为系统的质量、刚度、阻尼，根据力的平衡关系可得该系统在简谐激振力作用下的振动微分方程： mx+cx+kx=F0e iωt 2、系统的响应表达式 单自由度受迫振动微分方程式二阶常系数线性非齐次常微分方程，它的解由两部分组成 x t=x1t+x2(t) 式中x1t是齐次方程mx+cx+kx=0的通解，即为单自由度系统的衰减振动，其通解表达式为 x1t=Ae?nt sin?(ωn t+α) x2t是振动微分方程的特解，其特解为 x2t=Xe iωt=|X|e i(ωt?φ) 受迫振动有两部分组成，前一部分为衰减振动，后一部分是受迫振动，
由于阻尼的存在，衰减振动经过一段时间后就会消失，在衰减振动完全消失之前，系统的振动称为暂态过程，亦称为暂态响应。在此之后是稳定的等幅受迫振动，这是受迫振动的稳态过程，亦称为稳态响应。它是一简谐振动，其频率与激励力的频率相同，与激励力相比落后一相位角φ，称为相位差，X为稳态响应的幅值。 3、频率响应函数 将稳态解代入振动微分方程中可得： ?ω2m+iωc+k Xe iωt=F0e iωt 则系统的频率响应函数可表示为： ω=X F0=1 ?ω2m+iωc+k 令ξ为阻尼比，ξ= mk,λ=ωω0,ω0为系统的固有频率，则 Hω=X F0=1 k[(1?λ2+i2ξλ)] 4、幅频特性曲线及相频特性曲线 根据频率响应函数，令X0=F0k,表示在激振力的作用下弹簧的静伸长量，称为静力偏移，频率响应函数可转变为 X X 0= 1 (1?λ2+i2ξλ) 运用平方差公式，将频率响应函数转化成标准复数形式，即 X X 0= 1 (1?λ2+i2ξλ)=1?λ2 (1?λ2)2+(2ξλ)2?i2ξλ (1?λ2)2+(2ξλ)2 将X X0表示为系统振幅与静力偏移的比值，称为放大系数或动力系数用希腊字母β表示。
第1章 单自由度系统的振动 1.1概述 机械振动是工程中常见的物理现象。悬挂在弹簧上的物体在外界干扰下所作的往复运动就是最简单直观的机械振动。广泛地说，各种机器设备及其零部件和基础，都可以看成是不同程度的弹性系统。例如桥梁在车辆通过时引起的振动，汽轮机、发电机由于转子不平衡引起的振动等。因此，机械振动就是在一定的条件下，振 动体在其平衡位置附近所作的往复性的机械运动。 实际中的振动系统是很复杂的。为了便于分析研究和运用数学工具进行计算，需要在满足工程要求的条件下，把实际的振动系统简化为力学模型。例如图示1.1-1 就是个最简单的单自由度质量(m )—弹簧(k )系统。 如果实际系统很复杂，要求的精度较高，简化的力学模型也就复杂。 振动系统中和参数的动态特性，可以用常系数线性微分方程来描述的，称为线性振动。但工程实际中也有很多振动系统是不能线性化的，如果勉强线性化，就会使系统的性质改变，所得的系统只能按非线性振动系统处理。 机械振动分析方法很多。对于简单的振动系统，可以直接求解其微分方程的通解。由于计算机进行数值计算非常方便，所以振动仿真是一种最直接的方法。 由于振动模型中尤其是多自由度振动很方便用矩阵微分方程来描述，所以MATLAB 语言在振动仿真中体现出十分优越的特性。 本章先介绍机械振动的单自由度、多自由度振动的基础，然后介绍仿真计算的各种计算公式，最后通过MATLAB 语言来实现。 1.2单自由度系统的振动 1.2.1 无阻尼自由振动 如图1.1-1所示的单自由度振动系统可以用如下微分方程描述 ： 0=+kx x m (1.2.1-1) 令 m k n = 2ω ，方程的通解为 t b t a x n n ωωcos sin += (1.2.1-2) 式(1.2.1-2)表示了图示(1.1-1)中质量m 的位置随时间而变化的函数关系，反映了振动的形式与特点，称为振动函数。 式(1.2.1-2)中，a 、b 为积分常数，它决定于振动的初始条件。如假定t =0时，质量块的位移 x=x 0，其速度 00V x x == ,则 00 ,x b V a n == ω 即 图 1.1-1
第2章 单自由度(SDOF)系统振动 (Single Degree of freedom) 如果振动系统任意时刻的空间位置只需要一个独立参数来表达，则称为单自由度系统。本章介绍单自由度系统运动方程的建立，以及自由振动的特点和动力响应的计算问题。 2.1 运动方程的建立 此处分别应用基于达朗贝尔原理的直接平衡法、虚位移原理和哈密顿原理建立振动微分方程。 2.1.1 直接平衡法 承受动力荷载作用的任何单自由度系统均可以由图2—1所示的模型来代表。图2—1(a)中，m 为质量块的质量(kg )，是为弹簧的刚度(m N /)，c 为粘滞阻尼系数(m s N /?)，)(t P 为干扰力(N )。 将坐标原点设在质量块的静平衡位置处， 坐标y 即为相对于静平衡位置产生的质量块的 动位移。在任意瞬时取质量块的隔离体，如图 2—1(b)所示，作用于质量块上的力有下列四 种： （1）弹性恢复力（它等于弹簧刚度k 与位 移y 的乘积），ky f s =，与位移的方向相反； （2）阻尼力（假设为粘滞阻尼机理，它 等于阻尼常数c 与速度y 的乘积），y c f D =，与速度的方向相反； （3）惯性力（根据d ’Alembert 原理，它等于质量m 与加速度y 的乘积）， y m f I =，与加速度的方向相反； （4）干扰力，)(t P .（根据竖向力的动平衡条件即直接平衡法得出） )(t P ky y c y m =++ (2—1) 在振动的任意时刻，这四种力都保持着平衡，只是各个力所占的比例不同而
已。由方程(2—1)可知，相对于动力系统的静力平衡位置所建立的运动方程是不受重力影响的。换言之，此类情况可以不考虑重力影响建立方程。由于这个原因，建立方程时，位移都以静力平衡位置作为坐标原点，由此方程仅能得到系统的动位移，而总的位移应该是动力位移响应和静力位移值的叠加。 2.1.2 虚位移原理 以图2—1所示的结构系统说明如何应用虚位移原理建立方程。令质量m 发生虚位移y δ，则作用在质量m 上的四个力所作的总虚功应该等于零，即 0)(=+---y t P y f y f y f s D I δδδδ 式中的负号是因为力的方向和虚位移的方向相反。因为上式中的虚位移不等于零，很容易得到式（2—1）所示的振动方程。 0)(=+---y t P y f y f y f s D I δδδδ， ?0)]([=+---y t P f f f s D I δ， 因为0≠y δ，将四种力的表达式代入前式可推出)12(-?式 在结构系统中某些结构具有这样的特点：弹性变形完全限定于局部的弹簧元件中发生，而结构本身没有弹性变形， 称此为刚体集合系统。现在介绍采用虚 位移原理建立这类振动系统的运动方 程。 例2.1 图2—2所示的系统由两根 刚性杆组成，两根杆用铰连接在一起。在O 点和D 点分别受到阻尼器和弹簧的约束，AD 杆的单位长度的质量m 是均匀的，在无重刚杆DB 中点有一个质量m ，并且m 上作用一个集中力)(t P ，现用虚位移原理建立该系统的振动方程。 解 因为两个杆都是刚性的，所以整个系统仅一个自由度，故其动力响应可以用一个方程来表达。该体系可以用直接平衡法建立方程，但是用虚位移原理更简便。 选择铰的垂向位移)(t y 为基本自由度，而其他的一切位移均可以通过它来表达。例如阻尼器处的位移为2y ，质量m 处的位移为2 y ，作用于结构上的全部力为：
y s y(t) s=-k(y+y s )w=mg F(t)=-m y §1 单自由度体系的自由振动 一、无阻尼的自由振动： 如下图，以单自由度体系为例，设此梁上的集中质量为m ，其重量为W mg =， 梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用s y 表示，与s y 相 应的质量位置称为质量的静力平衡位置。若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。 1、建立运动方程 建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。 今考虑在振动过程的某一瞬时t ，设质量在此瞬时离开其平衡位置的位移为y ，取质量为隔离体，则在质量上作用有三种力：质量的重量W ，杆件对质量的弹性恢复力S 和惯性力F(t)。根据达朗伯原理，这三个力应成平衡，即 W+S+F(t)＝0 （1） 在弹性体系中，弹性恢复力S 为 ()s k y y s =-+
上式中的K 为一常数，称为刚度系数，代表简支梁上使质量在运动方向产生单位位移时需要加在质量上的沿质量运动方向的集中力的量值。式中负号表示s 的指向和位移的方向相反。 而 1y s W k =? 即 y s W k =? 因此，将()s k y y s =-+和y s W k =?代入式（1）得 ()0 F t ky =-+ （2） 上式表明，如果以静力平衡位置作为计算位移的起点，则建立体系的运动方程时，可以不考虑重力W 的影响。这对其他体系的振动（包括受迫振动）也同样适用。 将2 2 ()d y F t m dt =-代入式（2）得： 2 2()0d y m ky t dt += 令2 k m ω= dy y dt = （速度） 2 2 d y y dt = （加速度） 则 2 2 ()0d y m ky t dt += 可变为 2 y y ω+= （3） 此为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，它反映了这种振动的一般规律。 若采用柔度法建立运动方程（建立位移方程），以静力平衡位置作为计算位移的起点，则梁在质量m 处除惯性力2 2()d y F t m dt =-这个假想的 外荷载作用外，再无其他外力作用。所以由达朗伯原理可知，梁在集中质量m 处任一运动瞬时的位移为
第5章 两自由度系统的振动 应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。 如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移z 及平板的转角θ 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。 5.1 双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、x 2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得 ? ? ?=+-=-++00)(2212222212111x k x k x m x k x k k x m (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式 ???=+-=-+00212211dx cx x bx ax x (5-2) 显然此时 2 2 1 2 1 2 1,,m k d c m k b m k k a = == += 但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。 图5-2两自由度的弹簧质量系统
5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 ?? ? ??+=+=)sin()sin(2211ααpt A x pt A x (5-3) 或写成以下的矩阵形式 )sin(2121α+??? ???????=??????????pt A A x x (5-4) 将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组 ? ?? ???=????????????----002122 A A p d c b p a (5-5) 保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即 0)(2 22 =----= ?p d c b p a p 展开后为 0)(24=-++-bc ad p d a p (5-6) 式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是2p 的二次代数方程，它的两个特征根为 )(222 2 2 ,1bc ad d a d a p --??? ??++= bc d a d a +?? ? ??-+=2 22 (5-7) 由于式(5-7)确定的2p 的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此p 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。 5.2.2 主振型 将固有频率p 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比