拓扑空间与连续映射

定义2.2.1

例2.2.5

作业

§2.2拓扑空间与连续映射

本节重点:拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射的概念.

注意区别:拓扑空间的开集与度量空间开集的异同；连续映射概念的异同.

现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质（定理2.1.2）出发来建立拓扑空间的概念．

定义2.2.1 设X是一个集合，T是X的一个子集族．如果T满足如下条件：

（l）X，∈T；

（2）若A，B∈T，则A∩B∈T ；

（3）若则称T是X的一个拓扑．

如果T是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑T而言的拓扑空间；此外T的每一个元素都叫做拓扑空间（X，T）或X中的一个开集．即：A∈T A是开集

（此定义与度量空间的开集的性质一样吗）

经过简单的归纳立即可见，以上定义中的条件（2）蕴涵着：有限多个开集的交仍是开集，条件（3）蕴涵着：任意多个开集的并仍是开集．

现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．

定义2.2.2 设（X，ρ）是一个度量空间·令为由X中的所有开集构成的集族．根据定理2.1.2，（X，）是X的一个拓扑．我们称为X的由度量ρ诱导出来的拓扑．此

外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，ρ）的拓扑时，指的就是拓扑；在称度量空间（X，ρ）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间（X，）

因此，实数空间R，n维欧氏空间（特别，欧氏平面），Hilbert空间H都可以

叫做拓扑空间，它们各自的拓扑便是由例2.1.1，例2.1.2和例2.1.3中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑．

例2.2.1 平庸空间．

设X是一个集合．令T ={X，}．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间（X，T）为一个平庸空间．在平庸空间（X，T）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集．

例2.2.2 离散空间．

设X是一个集合．令T =P（X），即由X的所有子集构成的族．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；可知，在离散空间（X，T）中，X的每一个子集都是开集．

例2.2.3 设X＝{a，b，c}．令T ={，{a}，{a，b}，{a，b，c}}．

容易验证，T是X的一个拓扑，因此（X，T）是一个拓扑空间．这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间．

例2.2.4 有限补空间．

设X是一个集合．首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每次提起．因此在后文中对于X的每一个子集A，它的补集X－A我们写为．令

T ={U X|是X的一个有限子集}∪{}

先验证T是X的一个拓扑：

（1）X∈T (因为=)；另外，根据定义便有∈T．

（2）设A，B∈T如果A和B之中有一个是空集，则A∩B∈T,假定A和B都不是空集．这

时是X的一个有限子集，所以A∩B∈T ．

（3）设．令,显然有

如果，则

设任意选取．这时是X的一个有

限子集，所以

根据上述（1），（2）和（3），P是X的一个拓扑，称之为X的有限补拓扑．拓扑空间（X，P）称为一个有限补空间．

例2.2.5 可数补空间．

设X是一个集合．令

T ={U X|是X的一个可数子集}∪{}

通过与例2.2.4中完全类似的做法容易验证（请读者自证）T 是X的一个拓扑，称之为X的可数补拓扑．拓扑空间（X，T ）称为一个可数补空间．

一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？

定义2.2.3 设（X，P）是一个拓扑空间．如果存在X的一个度量ρ使得拓扑P即是

由度量ρ诱导出来的拓扑，则称（X，P）是一个可度量化空间．

根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？从§2．1中的习题2和3可以看出，每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间．然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此它不是可度量化的；例2.2.3中给出的那个空间只含有三个点，但不是离散空间，也不是可度量化的．由此可见，拓扑空间是可度量空间的范围要广泛．进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论．

现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射．

定义2.2.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．如果Y中每一个开集U的原象（U）是X中的一个开集，则称f是X到Y的一个连续映射，或简称映射f连续．

按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了§2．1中的定理2.1.4的启发．并且那个定理也保证了：当X和Y是两个度量空间时，如果f:X→Y是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，反之亦然．（按照约定，涉及的拓扑当然都是指诱导拓扑）

下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最重要的性质．

定理2.2.1 设X，Y和Z都是拓扑空间．则

（1）恒同映射：:X→X是一个连续映射；

（2）如果f:X→Y和g:Y→Z都是连续映射，则gof:X→Z也是连续映射．

证明（l），所以连续．

（2）设f:X→Y,g:Y→Z都是连续映射

这证明gof连续．

在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象．如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合和映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等．并且对于后者都要提出一类来予以重视，例如线性代数中的（线性）同构，群论中的同构，集合论中的—一映射，以及初等几何学中的刚体运动（即平移加旋转）等等．我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射．下面将从连续映射中挑出重要的一类来给予特别的关注．

定义2.2.5 设X和Y是两个拓扑空间．如果f：X→Y是一个—一映射，并且f和：Y→X都是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚．

定理2.2.2 设X，Y和Z都是拓扑空间．则

（1）恒同映射：X→X是一个同胚；

（2）如果f：X→Y是一个同胚，则：Y→X也是一个同胚；

（3）如果f：X→Y和g：Y→Z都是同胚，则gof：X→Z也是一个同胚．

证明以下证明中所涉及的根据，可参见定理2.2.1，定理

l．5．3和定理1．5．4．

（l）是一个—一映射，并且，都是连续的，从而是同胚．

（2）设f：X→Y是一个同胚．因此f是一个—一映射，并且f和都是连续的．于

是也是一个—一映射并且和也都是连续的，所以也是一个同胚．（3）设f：X→Y和g：Y→Z都是同胚．因此f和g都是—一映射，并且f，，g

和都是连续的．因此gof也是—一映射，并且gof和都是连续的．所以gof是一个同胚．

定义2.2.6 设X和Y是两个拓扑空间．如果存在一个同胚f：X→Y，则称拓扑空间X 与拓扑空间Y是同胚的，或称X与Y同胚，或称X同胚于Y．

粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间．

定理2.2.3 设X，Y和Z都是拓扑空间．则

（1）X与X同胚；

（2）如来X与Y同胚，则Y与X同胚；

（3）如果X与Y同胚，Y与Z同胚，则X与Z同胚．

证明从定理2.2.2直接得到．

根据定理2.2.3，我们可以说：在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系．因而同胚关系将这个拓扑空间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚．

拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质．换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．

拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质．

至此我们已经做完了将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连

续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一段时期才完成的工作．在数学的发展过程中对所研究的问题不断地加以抽象这种做法是屡见不鲜的，但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象（或其中的某一个方面）的精粹而进行的一次提升，是一个去粗取精的过程．也正因为如此，新的概念和理论往往有更多的包容．拓扑学无疑也是如此，一方面它使我们对“空间”和“连续”有更为纯正的认识，另一方面也包含了无法列入以往的理论中的新的研究对象（特别是许多无法作为度量空间处理的映射空间）．这一切读者在学习的过程中必然会不断地加深体会．

作业：

P55 2,5,6,8,9,10

《点集拓扑学》复习题

《点集拓扑》复习题一、概念叙述 1、拓扑空间 2、邻域、邻域系 3、集合A 的凝聚点 4、闭包 5、基子基 6、子空间 7、（有限）积空间 8、隔离子集 9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、1A 空间 14、2A 空间 15、可分空间 16、Lindeloff 空间 17、i T 空间（1,2,3,4i =） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间二、判断题 1、有限集不可能有聚点（） 2、拓扑空间X 的子集A 是闭集的充要条件是A A = （） 3、如果A B ?≠?，则A B A B ?=? （） 4、设Y 是拓扑空间X 的子空间，A 是Y 的子集，则A 在Y 中的导集是A 在X 中的导集与Y 的交。（）５、若:f X Y →是同胚映射，则()f X Y = （）６、离散空间中任意子集的导集都是空集（）７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集（）８、度量空间必是2A 空间（）９、在l R 中，(],a b 是开集（）１０、映射:f X Y →是连续映射的?若拓扑空间Ｘ中序列{}i x 收敛于 x X ∈，则扑拓空间Ｙ中相应序列(){}i f x 收敛于()f x （）１１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则Y C ? （）１２、2A 空间必为可分空间（）１３、正则且正规空间必为0T 空间（）１４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集（）１５、设Ｘ是一个拓扑空间，A X ?，则点x 是集合Ａ的一个凝聚点 ?在{}A x -中有一个序列收敛于x （）１６、度量空间也是拓扑空间（）１７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间（）１８、拓扑空间X 是一个连通空间当且仅当X 中不存在既开又闭的非空真子集. ( ) 19、若拓扑空间中的子集A 是连通集，则它的闭包A 也是一个连通集。

拓扑空间

算子拓扑空间 1..算子拓扑空间：设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Τ为2Χ到2Χ的一个算子，记Ω={A∈2Χ|A=TA}。定义1.若ζ?Ω，则称T为X的一个强算子，Ω中元素称为强算子开集，如果T进一步还是一个保并算子（算子运算与并运算可交换次序的算子），则称Ω为X的一个强算子拓扑。定义2.若?≠Ω?ζ则称T为X的一个弱算子，Ω中的元素称为弱算子开集，如果T进一步还是一个保并算子，则称Ω为X的一个弱算子拓扑。强算子开集和弱算子开集统称为算子开集，或称T开集。强算子拓扑和弱算子拓扑统称为算子拓扑，又称T拓扑。我们约定：下文讨论的算子开集均指强算子开集，算子拓扑均指强算子拓扑。由算子开集的定义显然有：（1）{X，?} ?Ω；（2）Ω中任意多个成员的并仍在Ω中；事实上，设Γ?Ω，因T（? A∈ΓA）=? A∈Γ TA=? A∈Γ A,故? A∈Γ A∈Ω （3）Ω中两个成员的交集不一定在Ω中。定义 3. 设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Τ为2Χ到2Χ的一个保并算子，Ω={A∈2Χ|A=TA}，若ζ?Ω，则称（X，Ω）为一个算子拓扑空间。一般地，若ζ 1和ζ 2 都是X上的拓扑，则ζ 1 ∩ζ 2 是X上的拓扑。对算子拓扑也有类似结论：命题1.设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Ωi为由算子T i诱导的算子拓扑（i=1，2）则Ω1∩Ω2是X上的算子拓扑。 T 1（A）∩T 2 （A），A∈Ω 1 ∩Ω 2 证：令TA= ? A ?Ω1∩Ω2 一方面当A∈Ω 1∩Ω 2 时，TA= T 1 （A）∩T 2 （A）=A∩A=A 所以，A∈Ω；

另一方面当A ?Ω 1∩Ω 2 时，TA≠A，所以，A?Ω；可见Ω 1∩Ω 2 =Ω是由T诱导的拓扑。命题2.设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Ωi为由算子T i诱导的算子拓扑（i=1，2）则Ω1?Ω2是X上的算子拓扑。 T 1（A）， A∈Ω 1 证：令TA= T 2（A）， A∈Ω 2 类似地可证Ω 1? Ω 2 =Ω是由T诱导的算子拓扑。 ? A ?Ω1且A ?Ω2 2.算子连续映射：有了算子拓扑空间，我们可以在这个空间上讨论算子连续映射，就像在拓扑空间中讨论连续映射可以得到一系列连续映射的等价刻划那样，我们将会得到算子连续映射的一系列等价刻划。参考文献：[1] 尤承业基础拓扑学讲义[M] 北京：北京大学出版社，1997 [2] 钱有华，陈胜敏杨忠道定理在算子开集理论下的推广[J] 浙江科技学院学报，2004，16（1）：1-3 [3] 钱有华，关于算子紧空间[J] 浙江师范大学学报（自然科学版），2003， 26（4）：333-336

《点集拓扑学》第3章§33商空间

§3.3商空间本节重点:掌握商空间、商拓扑、商映射的定义．将一条橡皮筋的两个端点“粘合”起来，我们便得到了一个像皮圈；将一块正方形的橡皮块一对对边上的点按同样的方向两两‘粘合”起来，我们便得到了一个橡皮管，再将这个橡皮管两端的两个圆圈上的点按同样的方向两两“粘合”起来，我们又得到了一个橡皮轮胎……这种从一个给定的图形构造出一个新图形的办法可以一般化．我们在第一章中讨论过等价关系和商集的概念．所谓商集乃是在一个集合中给定了一个等价关系之后将相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说便是分别将每一个等价类中的所有的点“粘合”为一个点后得到的集合．在定义1.5.6中我们也曾说起过在一个集合X中给定了一个等价关系R之后，从集合X到商集X/R有一个自然的投射p：X→X/R，它是一个满射．注意到了这一点，下面引出商拓扑和商空间的概念的方式便显得顺理成章了．定义3.3.1设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．容易验证(请自行验证)Y的子集族．是Y的一个拓扑．我们称为Y的（相对于满射f而言的）商拓扑．容易直接验证在上述定义的条件下，Y的一个拓扑是Y的商拓扑当且仅当在拓扑空间（Y，）中FY是一个闭集的充分必要条件是（F）是X中的一个闭集．定理3.3.1且设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．则（1）如果是Y的商拓扑，则f:X→Y是一个连续映射；（2）如果是Y的一个拓扑，使得对于这个拓扑而言映射f是连续的，则这也就是说商拓扑是使映射f连续的最大的拓扑．证明（1）根据定义自明．（2）如果U∈，由于满射f对于Y的拓扑而言连续，故因此U∈．这证明．定义3.3.2设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．我们称映射f为一个商映射，如果它是一个满射并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑．根据定理3.3.1可见商映射是连续的．下面的这个定理告诉我们如何利用商映射来验证一类映射的连续性．定理3.3.2设X，Y和Z都是拓扑空间，且f:X→Y是一个商映射．则映射g：Y→Z连续当且仅当映射gof:X→Z连续．证明由于商映射f连续，故当g连续时gf连续．另一方面，设gf连续，若W∈，则．然而所以根据商拓扑的定义．这便证明了g连续．为了应用定理3.3.2，如何知道一个拓扑空间的拓扑是相对于从另一个拓扑空间到它的一个满射而言的商拓扑便成了一个有意思的问题．我们在这里只给出一个简单的必要条件．为此先陈述开映射和闭映射的定义．定义3.3.3设X和Y是两个拓扑空间．映射f: X→Y称为一个开映射（闭映射），如果对于X中的任何一个开集（闭集）U，象集f(U)是Y中的一个开集（闭集）．定理3.3.3设X和Y是两个拓扑空间．如果映射f: X→Y是一个连续的满射，并且是一个开映射（闭映射），则Y的拓扑便是相对于满射f而言的商拓扑．证明我们证明当f是开映射的情形．设Y中的使f连续的拓扑为,商拓扑为如果V∈，由于映射f连续，，因此V∈．并且．

答案-拓扑学基础a

东北大学秦皇岛分校课程名称：拓扑学基础（答案）试卷： A 考试形式：闭卷授课专业：数学与应用数学考试日期： 2013年 7月试卷：共 3 页一、填空题：（每空2分，共20分） 1．设{1,2,3}X =，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链平凡拓扑，{,,{3},{1,3}}X ?，{,,{1}}X ?， {,,{2}}X ?，{,,{3}}X ?。（注：答案不唯一，正确即可） 2. 汉字“东” 的连通分支的个数是 3 ，抛物线的连通分支的个数是 1 。 ( 3．字母Y 的割点个数为无穷。字母T 中指数为3的点个数为 1 。 4．叙述同胚映射的定义拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也是连续的。二、选择题：（每题2分，共8分） 1．下列说法中正确的是（ B ） A 连通空间一定是道路连通空间 B 道路连通空间一定是连通空间 C 道路连通空间一定局部道路连通 D 以上说法都不对 2．下列说法正确的是（ A ） A 紧空间的闭子集紧致 B 紧致空间未必局部紧致 } C 有限空间一定不紧致 D 列紧空间是紧致空间 3．下列说法错误的是（ A ） A 离散空间都是1T 空间 B 2T 空间中单点集是闭集 C 赋予余有限拓扑不是2T 空间 D 第二可数空间可分 4．下列不具可乘性的是（ D ） A 紧致性 B 连通性 C 道路连通性 D 商映射三、计算题：（共16分） - 1．在上赋予余有限拓扑，记为有理数集合，[0,1]I =。试求'和I 。（4分）答：'= ，I =。 2．确定欧式平面上子集22{(,)|01}A x y x y =<+≤的内部、外部、边界和闭包。（8分）答：内部，22{(,)|01}x y x y <+<；外部，22{(,)|1}x y x y <+ 边界，22{(,)|1}x y x y +=；闭包 A A =。 3．在上赋予欧式拓扑。（4分） { （1）计算道路2t α=与1t β=+的乘积αβ在1 3 处的值。答：αβ在13处的值是4 9 。装订线装订线内不要答题学号姓名班级

空间群

目录 1历史 2空间群的要素 2.1元素，固定点 2.2翻译 2.3滑翔飞机 2.4螺旋轴 2.5一般公式 3空间群的符号 4空间群的分类系统 5在其他维度的空间群 5.1比贝尔巴赫的定理 5.2在小尺寸的分类 5.3双组与时间逆转 6在3维空间群表 7参考 8外部链接历史在2维空间群的17壁纸已几百年的群体。费奥多罗夫（1891年），第一个列举在3维空间群，不久独立Sch?nflies（1891年）和巴洛（1894）列举。这些第一枚举都包含了几个小错误，正确的列表之间费奥多罗夫和Sch?nflies通信过程中发现的230种空间群。元素的空间群在三维空间中的空间群是由32与14种布拉维晶格晶体点群，后者属于7晶格系统之一每个组合。在空间组作为一个单元细胞，包括格居中，反射，旋转和不当的旋转（也称为rotoinversion）点群的对称操作，和螺旋轴和滑移面对称操作的平移对称性的某种组合的结果。所有这些对称操作结果共230独特的空间描述所有可能的晶体对称性的群体相结合。固定点的元素空间组固定的空间点的元素旋转，反射，身份的元素，和不当的旋转。翻译翻译形式的等级3的正常交换子群，称为布拉菲晶格。有14种布拉维晶格可能。空间群由布拉维晶格的智商是一个有限群的32种可能的点群之一。空间groupsThere符号至少8命名空间组的方法。有些方法可以指定几个不同的名字，以相同的空间群，因此完全有成千上万许多不同的名称。数。国际晶体学联合会出版的所有空间群类型的表，并赋予每一个唯一的编号从1到230。编号是任意的，除了具有相同的晶体系统或给出点组连续的数字组。国际符号或赫尔曼Mauguin符号。赫尔曼Mauguin（或国际）符号描述晶格和发电机组的一些的。它有一个缩短的形式称为国际短期符号，这是一个使用最常用的晶体，通常由四个符号。首先介绍了围绕布拉菲晶格（P，A，B，C，我，R或F）。未来三年预计沿晶体的高对称性方向之一，描述最突出的对称操作时可见。这些符号是相同的点群，此外滑翔飞机和螺旋轴，上述。例如，石英的空间群为P3121，显示，它表现出原始的图案（即每单位细胞）围绕一个三重螺

《点集拓扑》§2.4 导集,闭集,闭包

§2.4 导集，闭集，闭包本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件；掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件．如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．定义 2.4.1设X是一个拓扑空间，A X．如果点x∈X的每一个邻域U中都

有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x为A 的一个孤立点．即:(牢记)

在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心．某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象．例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得

基础拓扑学讲义11的习题答案

习题 2、1、18 记S 就是全体无理数的集合,在实数集R 上规定子集族 {} 1\A ,A S U U τ=?是E 的开集、 (1)验证τ就是R 上的拓扑; (2)验证(),R τ满足2T 公理,但不满足3T 公理; (3)验证(),R τ就是满足1C 公理的可分空间; (4)证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ就是离散拓扑,从而(),s S τ就是不可分的; (5)说明 (),R τ不满足2 C 公理。证明:(1)○ 1,A U R R U A ττ=?=?? ??∈?∈??=?=??? 所以R 与?都含在τ中 ○ 2()U A U A λλλλλλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ -= - ()0 000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ λλλλλλλλλλ λλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ?∈ -??∈Λ∈-?∈??∈ ? ?∈ - 使 U A λλλλτ∈Λ ∈Λ - ∈ ∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3() ()()() 11221212\\\U A U A U U A A = () ()()() 11221122 11221212121 2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈ ()()1212\U U A A τ∈ ∴τ中两个成员的交集仍在τ中综上所述:τ就是R 上的拓扑 (2)任取一个有理数a ,则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A 这样我们就可以在1 E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ,令有理数2b U ∈

《点集拓扑讲义》第三章-子空间(有限)-积空间-商空间-学习笔记

！！！！！！！！！！！！第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1子空间本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法．讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发．考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义：定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间．

我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间中的 n维单位球面: n维单位开、闭球体: 以及n维单位开、闭方体和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）．定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U＝V∩Y．证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于x∈X（y∈Y），临时记度量空间X（Y）中以x（y）为中心以ε＞0为半径的球形邻域为，. 首先指出：有=∩Y. 这是因为z∈X属于当且仅当z∈Y且(z,y)<ε. 现在设U∈，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，设为A的并．于是

《点集拓扑讲义》第三章子空间(有限),积空间,商空间学习笔记

第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1子空间本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法．讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发．考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义：定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间．

点集拓扑21n维欧氏空间度量空间拓扑空间的概念定义

第二章点集拓扑 §2.1. n 维欧氏空间、度量空间、拓扑空间的概念定义2.1.1．) , ,(n 1ξξ =x ，n R y ∈=) , ,(n 1ηη ，定义 R R R d n n →?: 为 ∑=-= n 1 2 )()y ,(i i i x d ηξ．称d 为n R 上的Euclid 距离．易证距离d 满足： 01．y x 0)y ,( ,0)y ,(=?=≥x d x d ； 02．) x ,()y ,(y d x d =； 03．)z ,()y ,()z ,(y d x d x d +≤， )R z y, ,(n ∈x ．定义2.1.2．( 距离空间，Metrical Space ) X 为非空集合，二元函数 R X X d →?: 满足： 01．非负性：y x 0)y ,( ,0)y ,(=?=≥x d x d ； 02．对称性：) x ,()y ,(y d x d =； 03．三角不等式：)z ,()y ,()z ,(y d x d x d +≤ )R z y, ,(∈x ．称d 为X 上的一个距离，)d ,(X 为距离空间或度量空间．如 X A ?，称)d ,(A 为距离子空间． 0r ,>∈X x ，开球：} ) ,({)r ;(r x y d X y x B <∈=；闭球：} ) ,({)r ;(r x y d X y x S ≤∈=．开集：X A ? ．A x ∈，?球 A x B ?)r ;(，称x 为A 的一个内点．如A 中每个点都是内点，则称A 为开集．开球是开集；2R 中第一象限区域（不含坐标轴）是开集．记)d ,(A 中开集全体为τ，则有如下结论．定理2.1.1．(1) τφ∈X ,； (2) ττ∈?∈)( ,2121G G G G ； (3) τλτλλλ∈?Λ∈∈Λ ∈ )( G G ．例：(1) 离散空间． φ≠X ，定义 ) X y x,( y x ,1y x ,0)y ,(∈?? ?≠==x d ．称X 为离散距离空间． (2) ] ,[b a C 空间． } b] [a, )( )({] ,[上连续函数为t x t x b a C =．] ,[y(t)y ),(b a C t x x ∈==，定义y(t)x(t) max )y ,( -=≤≤b t a x d ， d 是距离． (3) 有界函数空间)(X B ． φ≠X ，} X )( )({)(上有界函数为t x t x X B =．定义 y(t)x (t) sup )y ,( -=∈X t x d ，()(y ,X B x ∈)，d 是距离．称)(X B 为有界函数空间．取 +=N X ，记} )( )( {)(有界　n n x l X B ξξ===∞．)(y ),(n ηξ==n x ，n n sup )y ,(ηξ-=∈N n x d ．定义2.1.3．设 φ≠X ，)(X P ?τ 满足：

点集拓扑学拓扑知识点

(点集拓扑学拓扑)知识点

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

第4章连通性重要知识点本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间本节重点: 掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否? 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形．定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 ?=???)()(A B B A 则称子集A 和B 是隔离的．明显地，定义中的条件等价于?=?B A 和 ?=?A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的．又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的．定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间．显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间．定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价：（l ）X 是一个不连通空间；（2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立；（3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立；（4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集．证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪ B ＝X ，显然 A ∩B=?，并且这时我们有 B B B A B B A B X B B =???=??=?=)()()( 因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求．（2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集，则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要

基础拓扑学讲义1.1的习题答案

习题记S 是全体无理数的集合，在实数集R 上规定子集族 {} 1\A ,A S U U τ=?是E 的开集. （1）验证τ是R 上的拓扑；（2）验证(),R τ满足2T 公理，但不满足3T 公理；（3）验证(),R τ是满足1C 公理的可分空间；（4）证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ是离散拓扑，从而(),s S τ是不可分的；（5）说明 (),R τ不满足2 C 公理。证明：（1）○ 1,A U R R U A ττ=?=?? ??∈?∈??=?=??? 所以R 和?都含在τ中 ○ 2()U A U A λλλλλλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ -= - ()0 000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ λλλλλλλλλλ λλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ?∈ -??∈Λ∈-?∈??∈ ? ?∈ - 使 U A λλλλτ∈Λ ∈Λ - ∈ ∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3() ()()() 11221 212\\\U A U A U U A A = () ()()() 11221122 11221212121 2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈ ()()1212\U U A A τ∈ ∴τ中两个成员的交集仍在τ中综上所述：τ是R 上的拓扑（2）任取一个有理数a ，则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A 这样我们就可以在1 E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ，令有理数2b U ∈

基本群

同伦和基本群在上一次中，我们利用空间的连通性给出了一个拓扑不变量，他可以区分一些简单的空间，但是要想区分更多的空间，需要引入更精细的不变量！几个概念： 1。道路连通：拓扑空间X中的一条道路是指一个连续映射r:I->X,（X=[0,1]），点r (0),r(1)分别叫做道路的起点和终点。若X中的任何两点均有道路连接，则称该空间X为道路连通的。若一条道路的起点和终点重合，则称该道路为环道。 2。同伦：设f,g:X->Y为连续映射，若存在连续映射F:X*I->Y,使得F(x,0)=f(x), F(x,1)=g(x),则称f和g是同伦的；如果还有F(a,t)=f(a)=g(a),则称f和g相对于a同伦。例： 1）若f(x),g(x)：X->Sn,且对任意的x,f(x)和g(x)不相等，则f(x)和g(x)是同伦的。可构造：F(x,t)=(tf(x)+(1-t)g(x))/||(tf(x)+(1-t)g(x))||； 2）在凸集中，任何一个连续映射和恒等映射是同伦的；可构造：F(x,t)=tf(x)+(1-t)g(x)； 3）在凸集中，任何一条以a为基点的环道和一点独点映射a同伦； 3。空间的同伦两个空间X和Y称为是同伦等价的，如果存在一个映射f：X->Y，和g：Y->X，使得fg与IdY同伦，gf与IdX同伦，IdX表示X的恒等映射；如：圆环和圆周就是同伦等价的；注意：空间的同伦等价比同胚等价更弱一些，若X与Y同胚，则一定同伦等价，因为存在f：X->Y，且f存在反函数g,从而fg=IdY,gf=IdX。但同伦推不出同胚，如上例。在我们建立基本群时，我们将拓扑空间限制在道路连通空间上。在道路连通空间X中，任去一个点a，把过点a的所有以a为基点的环道做成一个集合，我们对这个集合定义一个关系： r1与r2等价，当且仅当r1与r2同伦。可以验证这个关系是一个等价关系，从而可以给出该集合的一个划分。设B是由所有的等价类构成的集合，在该集合上定义乘法为：[r1]*[r2]=[r1*r2]。则可以证明给集合对于这个运算具有群的结构，成为X在点a的基本群，记为Pi[X,a]。例：若X为圆盘，任取a属于X,则对于X中的任何以a为基点的环道r，由上面的3）知r与a同伦，从而，B中只含有一个等价类，从而Pi[X,a]={e}；定理：若X为道路连通，则对于任何两点p,q,有Pi[X,p]=Pi[X,q]。该定理表明道路连通空间的基本群和基点的选择无关。对于一般的拓扑空间X，基本群的计算是个很复杂的问题，可以使用棱到群或群在拓扑空间上的作用等来计算。下面，我列举了几种空间的基本群：空间X 基本群凸图形{e} S1 Z Sn(n>1) {e} 环面Z*Z 射影平面Z2 定理：若两个（道路连通的）空间X和Y同伦，则Pi[X,p]=Pi[Y,q]。

《点集拓扑学》第7章§7.1紧致空间

第7章　紧致性 §7.1　紧致空间本节重点：掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法．（这些方法哪些是充要条件）；掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的．在§5.3中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即Lindeloff空间．现在来仿照这种做法，即将Lindeloff空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间．读者在数学分析中早已见过的Heine－Borel定理断言：实数空间R的任何一个子集为有界闭集的充分必要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖．（在§7.3中我们将要推广这个定理．）因此我们现在作的事也应当在意料之中．定义7.1.1　设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间．明显地，每一个紧致空间都是Lindeloff空间．但反之不然，例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff空间，但它不是一个紧致空间．例7.1.1　实数空间R不是一个紧致空间．这是因为如果我们设 A＝{（－n，n）R|b∈Z+},则A的任何一个有限子族 { },由于它的并为 (-max{},max{}) 所以不是R的一个子覆盖．因此R的开覆盖A没有任何一个有限子覆盖．定义7.1.2　设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集,如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集．根据定义，拓扑空间X中的一个子集Y是X的紧致子集意味着每一个由子空间Y中的开集构成的Y的开覆盖有一个有限子覆盖，这并不明显地意味着由X中的开集构成的每一个Y的覆盖都有有限子覆盖．所以陈述以下定理是必要的．定理7.1.1　设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集．则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．（此定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的）

点集拓扑学练习题(第二章)(答案)

练习（第二章）参考答案：一.判断题（每小题2分） 1. 集合X的一个拓扑有不只一个基，一个基也可以生成若干个拓扑（X ） 2. 拓扑空间中任两点的距离是无意义的.（V ） 3. 实数集合中的开集，只能是开区间，或若干个开区间的并.（X ） 4. 「、T2是X的两个拓扑，则T i UT是一个拓扑.（X ） 5. 平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（V ） 6. 从（X, T i）至U（X, T2）的恒同映射必是连续的。（X ） 7. 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射（V ） 8. 设T i,T2是集合X的两个拓扑，则「T2不一定是集合X的拓扑（X ） 9. 从拓扑空间X到平庸空间丫的任何映射都是连续映射（V ） 10. 设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d A （V ） 11. 设A为平庸空间X （X多于一点）的一个单点集，则d A （X ） 12. 设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d A X （V ）二.填空题：（每空格3分） 1、X二Z+,T二{ZZ …乙…},其中乙={n,n+1,n+2, -}, 贝S包含3的所有开集为Z1,Z2,Z s 包含3的所有闭集为乙,Z4,Z5,Z6,...

包含3的所有邻域为Z1,Z2,Z3,{1} Z3 设A二{1,2,3,4,5} 则 A 的导集为{1,2,3,4} , A 的闭包为{1,2,3,4,5}

2、设X为度量空间,x € X,则d ({x} ) =_ 3、在实数空间R中，有理数集Q的导集是_____ R ____ . 4、x d(A)当且仅当对于x的每一邻域U有 _______________ ; _______ 答案：U (A {x}) 5、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)= _____ — A= ；答案：X ；X 6、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)= ______ — A= ; 答案：X ；X 7、设X {1,2,3} , X 的拓扑T {X, ,{2},{2,3}},则X 的子集 A {1,2}的内部为____________ ；_______ 答案：{2}

《点集拓扑学》第3章 §3.1 子空间

拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域

第一章拓扑空间与拓扑不变量数学分析中的连续函数的定义与和值域都是欧氏空间（直线、平面或空间）或是其中的一部分。本章将首先把连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间的连续映射。然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。随后逐步提出拓扑空间的一些基本问题如邻域、开集、闭集、闭包、聚点、导集、内部、边界、序列、极限等。进一步引入紧致性、连通性、可数性与分离性等重要的拓扑不变性 §1.1拓扑空间、开集、闭集、聚点、闭包、邻域一、问题的引入数学分析里我们知道，在连续函数的定义中只涉及距离这个概念，定义域是一维欧氏空间,即实数空间，两点之间的距离d(x,y)=|x-y|,即两两实数之差的绝对值,定义域是n维欧氏空间，两点x=(x1 ,x2,…，x n),Y=(y1,y2,…，y n) 之间的距离 d(x,y)= 。无论是几维空间，它的距离都有下面的性质： 1. d(x,y)≥0 , ?x,y∈n R; 2. d(x,y) = 0 ?x = y ; 3. d(x,y) = d(y,x) ?x,y∈n R; 4. d(x,z) ≤d(x,y) + d(y,z) , ?x,y,z∈n R; 这些性质反映了距离的特征。将n R推广为一般的集合，我们由距离可以抽象出度量以及度量空间的定义。（一）度量空间 1.定义定义1 设X是一个集合，ρ：X×X→R ,如果对于任何x,y,z∈X,有 ①（正定性）ρ（x,y）≥0 并且ρ (x,y) = 0 ?x = y ； ②（对称性）ρ (x,y) = ρ (y,x) ； ③（三角不等式）ρ (x,z) ≤ρ (x,y) + ρ (y,z) 则称ρ是集合X中的一个度量。

拓扑学习题

一、选择题. 1、在实数空间中，有理数集Q 的内部o Q 是（A ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 2、在实数空间中，有理数集Q 的边界Q ?是（D ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 3、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系正确的是（A ） A 、()()()d A B d A d B =； B 、A B A B -=-； C 、()()()d A B d A d B =； D 、A A =. 4、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系错误的是（C ） A 、()()()d A B d A d B =； B 、A B A B =； C 、()()()d A B d A d B =； D 、A A =. 5、平庸空间的任一非空子集为（D ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 6、离散空间的任一子集为（C ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 7、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{1,3}A =的拓扑为（B ） A 、{,{1},{3},{1,3}}T =?； B 、{,,{1}}T A =?； C 、{,,{1},{3},{1,3}}T X =?； D 、{,,{1}}T X =?. 8、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{2,3}A =的拓扑为（B ） A 、{,{3},{2,3}}T =?； B 、{,,{2},{3}}T A =?； C 、{,,{2},{3},{2,3}}T X =?； D 、{,,{3}}T X =?. 9、设126X X X X =???…是拓扑空间126,,,X X X …的积空间，p 是X 到1X 的投射，则p 是（D ） A 、单射； B 、连续的单射； C 、满的连续闭映射； D 、满的连续开映射. 10、设R 是实数空间， Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（B ）

基础拓扑学第4章答案

《基础拓扑学讲义》部分习题解答四 ex.1（P.43）称X 满足0T 公理，如果对X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点。试举出满足0T 公理但不满足1T 公理的拓扑空间的例子。答：{,,}X a b c =,{,,{},{,},{,}}X a a b a c τ=?，则X 满足0T 公理但不满足1T 公理。 ex.6（P.43）证明X 为Hausdorff 空间当且仅当}|),{()(X x x x X ∈=?是乘积空间X X ×的闭集。证：（必要性）要证)(X ?为闭集，只要证它的余集是开集。C X y x ))((),(?∈?，),(y x 为内点。由 C X y x ))((),(?∈知，y x ≠，因X 为Hausdorff 空间知，存在x 的开邻域U ，y 的开邻域V ，使得Φ=V U ∩，于是C X V U y x ))((),(??×∈，所以),(y x 为内点，这就证明了)(X ?为闭集。（充分性）对,,x y X x y ?∈≠，由()X ?的定义知，(,)()x y X ??，即(,)(())C x y X ∈?，由)(X ?为闭集知：()C X ?为开集，于是存在开集,U V 使得C X V U y x ))((),(??×∈，由(())C U V X ×??知，,U V 为,x y

的不相交的邻域，这就证明了X 为Hausdorff 空间。 ex.7（P.43）证明Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。证：设X 是Hausdorff 空间，A 是X 的子空间。,x y A ?∈，则,x y X ∈。因X 是Hausdorff 空间，故x ?的邻域U ，y ?的邻域V ，有U V =?∩。从而()()A U A V =?∩∩∩，因A U ∩是x 在A 中的邻域，A V ∩是y 在A 中的邻域，所以A 是Hausdorff 空间。 ex.16（P.44）记{[,)|}a b a b Γ=<。证明拓扑空间(,)Γ 不是2C 空间。证：设μ是拓扑空间(,)Γ 的拓扑基，设a ∈ ，则 [,1)a a +是开集，从而在μ中存在成员a U ，有[,1)a a U a a ∈?+，并且a U 中最小的成员是a 。显然，当a b ≠时，a b U U ≠。于是μ中有不可数个成员，从而(,)Γ 中不存在可数拓扑基。故拓扑空间(,)Γ 不是2C 空间。