《数字信号处理》第三版课后习题答案

数字信号处理课后答案

1.2 教材第一章习题解答

1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。 解：

()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3)

0.5(4)2(6)

x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-

2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-??

=≤≤???

其它

（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值；

（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。 解：

（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。 （2）

()3(4)(3)(2)3(1)6()

6(1)6(2)6(3)6(4)

x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-

（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。

（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。

（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。

3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1）3()cos()7

8x n A n π

π=-，A 是常数；

（2）1

()8

()j n x n e π-=。

解：

（1）3214

,

73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w w

π

π==，这是无理数，因此是非周期序列。

5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （3）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （5）2()()y n x n =； （7）0()()n

m y n x m ==∑。

解：

（1）令：输入为0()x n n -，输出为

'000'

0000()()2(1)3(2)

()()2(1)3(2)()

y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--=

故该系统是时不变系统。

12121212()[()()]

()()2((1)(1))3((2)(2))

y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+-

1111[()]()2(1)3(2)T ax n ax n ax n ax n =+-+- 2222[()]()2(1)3(2)T bx n bx n bx n bx n =+-+-

1212[()()][()][()]T ax n bx n aT x n bT x n +=+

故该系统是线性系统。

（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。

令输入为1()x n n -，输出为'10()()y n x n n n =--，因为

'110()()()y n n x n n n y n -=--=

故延时器是一个时不变系统。又因为

12102012[()()]()()[()][()]T ax n bx n ax n n bx n n aT x n bT x n +=-+-=+

故延时器是线性系统。

（5） 2()()y n x n = 令：输入为0()x n n -，输出为'20()()y n x n n =-，因为

2'00()()()y n n x n n y n -=-=

故系统是时不变系统。又因为

212121222

12[()()](()()) [()][()] ()()

T ax n bx n ax n bx n aT x n bT x n ax n bx n +=+≠+=+

因此系统是非线性系统。

（7） 0()()n

m y n x m ==∑

令：输入为0()x n n -，输出为'

00

()()n

m y n x m n ==-∑，因为

0'

00

()()()n n m y n n x m y n -=-=

≠∑

故该系统是时变系统。又因为

1212120

[()()](()())[()][()]n

m T ax n bx n ax m bx m aT x n bT x n =+=+=+∑

故系统是线性系统。

6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。

（1）1

1

()()N k y n x n k N

-==

-∑；

（3）0

()()n n k n n y n x k +=-=

∑

；

（5）()()x n y n e =。 解：

（1）只要1N ≥，该系统就是因果系统，因为输出只与n 时刻的和n 时刻以前的输入有关。如果()x n M ≤，则()y n M ≤，因此系统是稳定系统。

（3）如果()x n M ≤，0

0()()21n n k n n y n x k n M +=-≤

≤+∑

，因此系统是稳定的。

系统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.

（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果()x n M ≤，则()()()x n x n M y n e e e =≤≤，因此系统是稳定的。 7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应()h n 和输入序列()x n 如题7图所示，要求画出输出输出()y n 的波形。 解：

解法（1）:采用图解法

()()()()()m y n x n h n x m h n m ∞

==*=-∑

图解法的过程如题7解图所示。

解法（2）:采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式:

()(2)(1)2(3)

1

()2()(1)(2)

2

x n n n n h n n n n δδδδδδ=-++-+-=+-+- 因为

()*()()

()*()()

x n n x n x n A n k Ax n k δδ=-=-

所以 1

()()*[2()(1)(2)]

2

1

2()(1)(2)

2

y n x n n n n x n x n x n δδδ=+-+-=+-+-

将x(n)的表达式代入上式，得到

()2(2)(1)0.5()2(1)(2)

4.5(3)2(4)(5)

y n n n n n n n n n δδδδδδδδ=-+-+-+-+-+-+-+-

8. 设线性时不变系统的单位取样响应()h n 和输入()x n 分别有以下三种情况，分别求出输出()y n 。 （1）45()(),()()h n R n x n R n ==； （2）4()2(),()()(2)h n R n x n n n δδ==--； （3）5()0.5(),()n n h n u n x R n ==。 解：

（1） 4

5

()()*()()()m y n x n h n R m R n m ∞

=-∞

==

-∑

先确定求和域，由4()R m 和5()R n m -确定对于m 的非零区间如下：

03,4m n m n ≤≤-≤≤

根据非零区间，将n 分成四种情况求解： ①0,()0n y n <=

②0

03,()11n

m n y n n =≤≤==+∑

③3

4

47,()18m n n y n n =-≤≤==-∑

④7,()0n y n <= 最后结果为

0, 0,7()1, 038, 47n n y n n n n n <>??

=+≤≤??-≤≤?

y(n)的波形如题8解图（一）所示。 （2）

444()2()*[()(2)]2()2(2) 2[()(1)(4)(5)]

y n R n n n R n R n n n n n δδδδδδ=--=--=+-----

y(n)的波形如题8解图（二）所示. （3）

55()()*() ()0.5

()0.5

()0.5()

n m

n

m m m y n x n h n R m u n m R m u n m ∞

∞

--=-∞=-∞

==

-=-∑

∑

y(n)对于m 的非零区间为04,m m n ≤≤≤。 ①0,()0n y n <= ②111

10.504,()0.50.5

0.5(10.5)0.520.510.5

n n

n

m

n n n n m n y n ------=-≤≤===--=--∑ ③5410

10.55,()0.5

0.5

0.5310.510.5

n m

n n m n y n ---=-≤===?-∑ 最后写成统一表达式：

5()(20.5)()310.5(5)n n y n R n u n =-+?-

11. 设系统由下面差分方程描述：

11

()(1)()(1)22

y n y n x n x n =

-++-； 设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。 解：

令：()()x n n δ=

11

()(1)()(1)22

h n h n n n δδ=

-++- 2

11

0,(0)(1)(0)(1)12211

1,(1)(0)(1)(0)1

2211

2,(2)(1)2211

3,(3)(2)()22n h h n h h n h h n h h δδδδ==

-++-===++====

=== 归纳起来，结果为

11

()()(1)()2

n h n u n n δ-=-+

12. 有一连续信号()cos(2),a x t ft π?=+式中，20,2

f Hz π

?==

（1）求出()a x t 的周期。

（2）用采样间隔0.02T s =对()a x t 进行采样，试写出采样信号()a x t 的表达式。

（3）画出对应()a x t 的时域离散信号(序列) ()x n 的波形，并求出()x n 的周期。

————第二章———— 教材第二章习题解答

1. 设()jw X e 和()jw Y e 分别是()x n 和()y n 的傅里叶变换，试求下面序列

的傅里叶变换： （1）0()x n n -； （2）()x n -； （3）()()x n y n ； （4）(2)x n 。 解：

（1）00

[()]()jwn

n FT x n n x n n e

∞

-=-∞

-=

-∑

令''00,n n n n n n =-=+，则

'

00()'0[()]()()jw n n jwn jw n FT x n n x n e e X e ∞

-+-=-∞

-=

=∑

（2）*

*

**[()]()[()]()jwn

jwn jw n n FT x n x n e

x n e X e -∞

∞

-=-∞=-∞

=

==∑∑

（3）[()]()jwn

n FT x n x n e

∞

-=-∞

-=-∑

令'n n =-，则

'

''

[()]()()jwn jw n FT x n x n e

X e ∞

-=-∞

-=

=∑

（4） [()*()]()()jw jw FT x n y n X e Y e = 证明： ()*()()()m x n y n x m y n m ∞

=-∞

=

-∑

[()*()][()()]jwn

n m FT x n y n x m y n m e

∞

∞

-=-∞=-∞

=

-∑∑

令k=n-m ，则