相似三角形难题集锦(含答案)

一、相似三角形中的动点问题

1.如图,在Rｔ△ＡＢC中,∠ＡCB=90°，AC=3，BC=4,过点B作射线ＢＢ1∥AC．动点Ｄ从点A出发沿射线AＣ方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点Ｅ从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点Ｄ作DH⊥ＡB 于H,过点E作EＦ⊥AC交射线ＢB１于F，Ｇ是ＥF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒．

(1)当t为何值时,AD＝AB,并求出此时DE的长度;?（２）当△DＥG与△ＡCB相似时,求ｔ的值．?

2.如图，在△ABC 中，AＢC＝

90°,AB=6m,BC=8m,动点P以

2m/s的速度从Ａ点出发，沿AC

向点C移动.同时,动点Q以1m／

ｓ的速度从C点出发，沿CB向点

B移动.当其中有一点到达终点

时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒.

(1）①当t=２.5s时，求△CPQ的面积；

②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒)的函数解析式；

（２)在P,Ｑ移动的过程中,

当△ＣPQ为等腰三角形时,

求出t的值．

3.如图1，在R ｔ△ＡＢＣ中，ＡCＢ=９0°,AC＝6,B Ｃ＝8,点D在边AB上运动，D Ｅ平分CDB交边ＢC于点E，EＭ⊥ＢD，垂足为M,EＮ⊥CD,垂足为N.

（１)当ＡD＝CD时,求证：DE∥AC;

(２)探究：ＡD为何值时，△BMＥ

与△ＣＮＥ相似??

4．如图所示，在△ABＣ中，ＢA＝

BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出

发，沿着ＡB以每秒４ｃm的

速度向B点运动；同时点Q

从C点出发，沿CA以每秒3cm

的速度向A点运动,当P点到

达B点时，Q点随之停止运动.

设运动的时间为x.

（1)当x为何值时,ＰQ∥

BC??(2）△APQ与△CＱB能

否相似？若能，求出AＰ的

长；若不能说明理由．

5.如图,在矩形ABＣD中,AＢ=12cm，BＣ=６cm，点P沿AB边从A开始向点B以

2cm/s的速度移动;点Q沿Ｄ

Ａ边从点D开始向点A以1c

ｍ/s的速度移动.如果P、Ｑ

同时出发,用t（ｓ)表示移

动的时间（０＜t<6)。

(1）当t为何值时,△QAP为

等腰直角三角形？

(2)当t为何值时,以点Q、A、

P为顶点的三角形与△ABＣ相似?

二、构造相似辅助线——双垂直模型

6．在平面直角坐标系xOy

中，点A的坐标为(２,1)，

正比例函数y=kx的图象

与线段ＯA的夹角是

45°，求这个正比例函数

的表达式．

7．在△ABＣ中，Ａ

B=,AC=4,BC=2，以AB

为边在Ｃ点的异侧作△

ABD，使△AＢD为等腰直

角三角形，求线段ＣD的

长．

8．在△ABＣ中，AC=ＢC，∠AＣB=90°，点M是AC 上的一点，点N是BC上的

一点，沿着直线ＭＮ折叠，

使得点C恰好落在边AB

上的P点.求证:ＭC：

NC=AP：PB．

9.如图，在直角坐标系中，

矩形ABCO的边OＡ在x轴上,边ＯC在y轴上,点Ｂ的坐标为（1,3)，将矩形沿对

角线AC翻折B点落在D点的

位置，且AD交ｙ轴于点E.

那么D点的坐标为（）

A.

Ｂ.?Ｃ. D ．

10.．已知,如图，直线y=﹣2ｘ+2与坐标轴交于A、Ｂ两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形AＢCＤ,使得矩形的两边之比为1﹕2。?求C、D两点的坐标。?

三、构

造相似辅助线——

Ａ、X字型

11.如图:△AＢC中，

D是ＡB上一点,AＤ

=ＡC，BＣ边上的中

线ＡE交CD于F。

求证：?

12．四边形ABＣD中,AＣ为AB、ＡD的比例中项,且

AC平分∠DAB。?求证：?

1３.在梯形ABCＤ中,AB∥ＣＤ，ＡB=ｂ，CD=a,Ｅ为AＤ边上的任意一点，EＦ∥AB，且EF交ＢＣ于点F，某同学在研究这一问题时,发现如下事实:?（1)当

时，EF=；（2)当时,EF=；(3）当时，EF ＝

.当时,参

照上述研究结论,请你猜

想用a、b和k表示EF的

一般结论，并给出证

明．?

14.已知：如图，在△ABC中，Ｍ是AC的中点，E、F是B Ｃ上的两点,且BE＝EF=ＦC。

求BN:NQ:QM.?

15.证明：(1）重心定理:三角形顶点到重心的距离等于

该顶点对边上中线长的．（注:重心是三角形三条中线的交点)(2)角平分线定理:三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.

四、相似类定值问题

１6．如图,在等边△ABC中,M、N分别是边AB，AC的中点,D为MN上任意一点，ＢＤ、CD的延长线分别交ＡC、

AＢ于点E、F.?求证:．

１７．已知:如图,梯

形ＡBCＤ中，AB//DC,

对角线ＡC、BD交于O，

过O作EF／／AB分别

交AD、BC于E、Ｆ。

求

证:.?

１8.如图,在△ＡＢＣ中，已知ＣＤ为边ＡB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。

求证:.

1９.已知,在△ABＣ中作内接菱形CDＥＦ，设菱形的边长为a.求证：.

五、相似之共线线段

的比例问题

20．（1）如图1，点在平

行四边形ＡBCD的对角线Ｂ

D上,一直线过点P分别交

BA，BC的延长线于点Q,S，

交于点．求证:

（２)如图2，图3，当点在平行四边形ABＣD的对角线或的延长线上时，是否仍然成立?若成立,试给出证明；若不成立,试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）; ２1.已知:如图，△AＢC中，AB＝AＣ，AD是中线，P 是AＤ上一点，过C作CF∥AＢ,延长BP交AC于E,交ＣF于F．求证:BＰ２＝ＰE·PＦ．

2２.如图,已知ΔABC中，AＤ,ＢF分别为BC,AC 边上的高,过D作AB的垂线交A

Ｂ于E，交BF于G，交AC延长

线于Ｈ。求证: DＥ2=EG?EＨ

２3．已知如图,P为平行四边形

ＡBCD的对角线AC上一点，过

Ｐ的直线与AＤ、BC、CD的延

长线、AB的延长线分别相交于

点Ｅ、F、G、Ｈ.?求证：

2４.已知,如图，锐角△ABC中，ＡD⊥BC于D,H为垂心(三角形三条高线的交点）;在AD上有一点P，且∠BPC为直角.求证:PD2=AD·DH 。

六、相似之等积式类型综合

２5．已知如图，CD是Rｔ△ABＣ斜边AB上的高,E 为BC的中点,ＥD的延长线交CＡ于F。?求证：

?

26如图,在Rt△ABC中，

CD是斜边AB上的高，点M

在CD上,DＨ⊥BM且与A

Ｃ的延长线交于点 E.?

求证:（1)△ＡED∽△

CBM;(２)

??

２7.如图，△ＡBC是直角三角形,∠ACB＝90°，CD ⊥AＢ于D，Ｅ是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.

(1）求证:．?(2)若G是BC的中点，连接GD,ＧＤ与EF垂直吗？并说明理由.

28.如图,四边形ABＣD、DＥFＧ都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点Ｍ，CG与AＤ相交于点Ｎ.求证：

.

2９．如图,BD、ＣE分别是△AＢC的两边上的高，过D

作DG⊥ＢC于G,分别交CE及BA的延长线于Ｆ、Ｈ。

求证：(1)DG２＝BG·CG;（2）BG·CG=GF·GH

七、相似基本模型应用

30.△ABＣ和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A＝∠D=9０°,△ＤEＦ的顶点E位于边BC的中点上.

（１）如图1，设ＤE与AB交于点M,EF与ＡC交于点N,求证：△BEM∽△CNＥ；

（2）如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AＣ交于点N,于是，除（１）中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.

３1.如图,四边形ABＣD和四边形AＣED都是平行四边形，点R为DＥ的中点，ＢR分别交AC、CＤ于点P、Q.

(1)请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外);?（2)求ＢP：PQ:QＲ.?

32.如图，在△ABC中,AD⊥BC于D,ＤE⊥AB于Ｅ,DＦ⊥AC于Ｆ。求证:

答案：1.答案:解：(１）∵∠ACB＝90°，AC=3，BC＝4 ∴AB=５??又∵AD＝AB,AＤ=５t

∴ｔ=1，此时ＣＥ＝3,??∴DＥ=３＋3-5=1??（２）

?

如图当点Ｄ在点E左侧，

即:０≦t ≦时，DE=３

t+３-5t=3－2t.

?若△DEG与△ACB相似，有两种情况：

①△DEG∽△ACB,此时，??即：,求得:t=;??②△DEG∽△BCA,此时，?即：,求得：ｔ=；?如图,当点D在点E右侧,

即:t>时，DE=5t-（3t+

３)=２t－3．

?若△DEG与△ACB相似,有两种情况:??③△DEG∽△ACB,此时,

?即：，求得：ｔ=;

?④△ＤＥG∽△ＢCA,此时，

即：,求得：t=．

综上,t 的值为或或或.

３.答案:解:（1）证明:∵AD=CD??∴∠A＝∠ACＤ?∵DE 平分CDB交边ＢＣ于点E

∴∠CDE=∠BDE

?∵∠ＣDB为△CDB的

一个外角

?∴∠CDB=∠Ａ+∠

ACD=２∠ＡＣD

?∵∠CDB=∠ＣＤE＋

∠BDE＝2∠CDE

∴∠AＣD=∠ＣＤＥ?

∴DE∥AC

（2）①∠NCE=∠ＭBＥ

∵EM⊥BD，ＥＮ⊥CＤ，

?∴△BMＥ∽△CNＥ，如图??

?∵∠NＣE＝∠MＢE?∴

BD=CD??又∵∠NCE+∠ＡCD＝

∠ＭＢE+∠A=９0°??∴∠AC

Ｄ=∠A?∴AD=ＣＤ

?∴AD=BD=ＡＢ??∵在Ｒt△ＡB Ｃ中，ACＢ＝90°，AＣ=６,BC＝8

∴ＡB＝1０?∴ＡD=5

?②∠ＮＣＥ=∠MEＢ

?∵EM⊥BＤ,EN⊥CD，?∴△BME∽△ENC ，如图

??

?∵∠NCE＝∠MＥB

∴EM∥CD?∴CＤ⊥AB

∵在Rt△ＡＢC 中，AＣB＝90°，AＣ=6,BC=8??∴ＡB=１0

∵∠A=∠A，∠ADC=∠ＡCB

?∴△ＡＣD∽△ABＣ?∴

∴

?综上：AD=5或时,△BＭＥ与△CNE相似.

４．答案：解（1）由题意：ＡＰ=４ｘ，CQ=3x,AＱ=3０-3x,?当PQ∥BC时,，即:??解得:

?(2)能，AＰ=ｃm或AP=20ｃm?①△APQ∽△CBQ，

则，即

?解得：或(舍）

此时：AP ＝ｃｍ

②△ＡPQ∽△CQB ，则，即

?解得:（符合题意)

此时:AP=cm?故AP ＝cm或20ｃm时,△ＡＰQ与△CQＢ能相似．

5.答案：解：设运动时间为ｔ,则ＤQ=ｔ,AQ=6－t，AP＝2t,BP=12-2t．

（１）若△ＱＡP为等腰直角三角形，则AQ=AP,即：6－ｔ＝2t,t=2(符合题意)

?∴t＝2时，△QAP为等腰直角三角形．

?（2）∠B=∠QAP=9０°

①当△QAP∽△ＡBC时,，即：, 解得：（符合题意)；?②当△ＰAQ∽△ABC 时，

，即:，?解得:(符合题意)．

∴当或时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

６．答案：解:分两种情况

?第一种情况,图象经过第一、三象限????过点A作AＢ⊥

ＯA,交待求直线于点B,过点A作平行于y轴的直线交x轴于点Ｃ,过点Ｂ作BＤ⊥AC?则由上可知：

＝９0°

?由双垂直模型知:△OCＡ∽△ADB

?∴??∵Ａ(２,1）,＝45°

∴OＣ=2，ＡC＝１，AO＝ＡB?∴ＡD=OＣ=2，BＤ=ＡC＝1?∴D点坐标为（２,３）??∴Ｂ点坐标为（1，3)

?∴此时正比例函数表达式为:y＝３ｘ

第二种情况,图象经过第二、四象限

??过点Ａ作AB⊥OA，交待求直线于点B,过点A作平行于ｘ轴的直线交y 轴于点Ｃ，过点B作BＤ⊥AC??则由上可知:＝９0°

由双垂直模型知：△OCA∽△ADB

?∴??∵A（２,1),＝４5°??∴OC＝1，ＡC＝２,AＯ=AB

∴AD=ＯＣ＝1，ＢD=ＡC=2??∴D点坐标为（3，1）?∴B点坐标为（３，﹣1)

∴此时正比例函数表达式为：y ＝x

７.答案：解:情形一：?

?情形二:??

?情形三:?8．答案:证明:方法一:?连接PＣ,过点P作ＰD⊥AC于D，则ＰD／／BC

根据折叠可知MＮ⊥CP?∵∠2＋∠PCN=90°，∠ＰＣN+∠CNM=90°

∴∠2＝∠CNM

?∵∠ＣDP=∠NCM＝90°

?∴△PＤC∽MCN??∴ＭＣ:ＣN＝ＰD：DＣ

?∵PD＝DA??∴MC:CN＝DＡ：DC

∵PＤ//BC

∴DＡ:DC=PＡ:PB

?∴MC：ＣＮ＝ＰＡ：PＢ

方法二：如图，

过M作MＤ⊥AB于D,过N作NE⊥AB于Ｅ?由双垂直模型，可以推知△ＰMD∽NPE,则

,??根据等比性质可知

，而MD=DＡ，NＥ=EB，ＰM＝CM,PN=CN,??∴MC：CN＝PA:PB

9．答案：Ａ

解题思路:如图?过点D作ＡB的平行线交BC的延长线于点M,交x轴于点N,则∠M=∠DN Ａ=90°,?由于折叠,可以得到△ＡBC≌△AＤC,?又由B（１，3)

∴ＢＣ=ＤＣ=１,AB＝AD=MN=3，∠CDＡ=∠B=９０°

∴∠1+∠２=９0°

∵∠ＤＮA＝9０°

∴∠3＋∠2=90°

∴∠1＝∠3?∴△DMC∽△AND,?∴

?设ＣM=x，则DN=3x,ＡＮ=1＋x，ＤM ＝?∴3ｘ+＝3

∴x=

∴,则。答案为A

１０.答案：解：

?过点Ｃ作x轴的平行线交y轴于G,过点D作ｙ轴的平行线交x轴于F,交GC的延长线于E。?∵直线y=﹣2x+２与坐标轴交于A、B两点

?∴A(１,0），Ｂ(0,２)??∴OA=１，OＢ=2,AB=??

∵AＢ：BC＝1:2?∴BC=AD=

?∵∠ＡBO＋∠CＢG=9０°，∠ABＯ＋∠BAO=90°

∴∠CBG=∠BAＯ

?又∵∠CGB＝∠ＢOA＝9０°?∴△ＯAB∽△GBC?∴

?∴GB=2，GC=4

∴GO＝4?∴Ｃ（4,４)?同理可得△ADF∽△BAO,得

??∴DF=2,ＡF=4∴OF=5∴D（5,2）1１.答案:证明：（方法一）如图?

延长AE到M使得EＭ=AE，连接CM??∵BE=ＣＥ,∠AEB=∠ＭEC??∴△ＢEＡ≌△CEM?∴CM=AＢ,∠1=∠B

?∴AB∥CM??∴∠Ｍ＝∠MAＤ，∠MCF=∠ADF??∴△MＣＦ∽△ADF

?∴

∵CM＝ＡＢ，AＤ=ＡＣ

?∴

(方法二)

?过D作DG∥BＣ交AE于G?则△ＡBE∽△ADG，△

ＣＥF∽△ＤＧＦ?∴，?∵AD＝AC,BE＝ＣＥ

?∴

12．答案:证明:

?过点D作DF∥AB交AＣ的延长线于点Ｆ,则∠2=∠3 ?∵AC平分∠DAＢ?∴∠1=∠2??∴∠1＝∠３??∴AD=DF??∵∠DEＦ=∠BEA,∠2=∠3??∴△BEA∽△DＥＦ

?∴??∵AD=DF?∴??∵AC为AB、AＤ的比例中项?∴?

即

?又∵∠１=∠2

?∴△ＡCD∽△ABC

?∴?∴

∴

13.答案：解:

证明:?过点Ｅ作ＰQ∥BC 分别交BＡ延长线和DＣ于点P和点Q

∵AB∥CＤ,PQ∥BＣ

∴四边形PQCB和四边形EＱCF是平行四边形

∴PB=EF＝ＣQ ，

?又∵ＡB＝ｂ,CＤ＝a

?∴ＡＰ=PB-AB=EＦ-b,ＤＱ＝DＣ－QＣ=ａ-EF??∴?∴

１4.答案：解:

连接MF?∵M是AC的中点,EＦ＝FC

∴MＦ∥AE且MF=ＡＥ??∴△BEＮ∽△BFＭ?∴BN:BM＝ＢE：BF＝NE：MF??∵BＥ＝ＥF?∴BN：BM＝ＮE：MＦ＝1:2∴BN:ＮM＝1:1?设NＥ＝x，则MＦ=２x，AE=４x∴AN＝3x?∵MF∥ＡE?∴△NAQ∽△MFＱ∴NＱ：ＱM＝AN：MＦ＝3：2∵BＮ：NＭ＝１:1，NQ:QM＝３:2??∴ＢN:NQ：QM=5：3:2

15.答案：证明:（1）

如图１,AD、BE为△AＢC的中线，且AＤ、BE交于点O 过点Ｃ作ＣF∥BE,交AD的延长线于点F??∵CＦ∥BE 且Ｅ为AC中点?∴∠AＥO=∠ACF,∠OBD＝∠ＦCD，ＡC ＝２AE ?∵∠ＥＡＯ=∠CAF?∴△ＡEＯ∽△ＡＣF

∴

?∵D为BC的中点,∠ＯDＢ＝∠ＦDC

?∴△ＢＯD≌△CFＤ

∴BO＝CF

∴?∴

同理，可证另外两条中线??∴三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的

（2)

如图2,ＡD为△ABC的角平分线

过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E??则∠BAD=∠Ｅ

∵AD为△ＡBC的角平分线?∴∠BＡD=∠ＣAD

∴∠E=∠CＡD

?∴ＡC＝CＥ?∵ＣＥ∥AB

∴△ＢＡD∽△ＣEＤ??∴

∴

１６.答案:证明:?如图,作DP∥AＢ,DQ∥ＡC??则四边形MＤPB和四边形NDQC均为平行四边形且△ＤPQ是等边三角形??∴BP＋ＣＱ＝MN,ＤＰ＝DQ＝ＰQ

?∵M、Ｎ分别是边AB,AC的中点?∴ＭN=BC=PQ ?∵DP∥AB,DQ∥AＣ

∴△CＤP∽△CFB，△ＢDＱ∽△BEＣ

?∴,

∴??∵

ＤP＝DQ＝PQ=BC ＝AＢ?∴ＡB （)＝

?∴

17.答案：证明：∵EＦ/／ＡB，AB//DC??∴ＥF//DC??∴△ＡOＥ∽△ＡCD，△ＤOE∽△ＤBA??∴

,??

∴?∴

18.答案：证明：∵EF∥ＣD，EH∥AB??∴

,?∵，

?∴△AFE∽△ADC，△CＥH∽△CAＢ?

∴,?∵EF＝EH?∴?∴

19.答案：证明:∵EF∥AC,DE∥BC

?∴,

∵,

?∴△BFE∽△BCＡ,△AED∽△AＢＣ?∴，

?∴

∵EＦ=ＤE＝ａ??∴

20.答案：(1）证明:在平行四边形ABCD中，ＡD∥BC, ∴∠ＤRP=∠S,∠ＲＤＢ＝∠ＤBS?∴△ＤＲP∽△BSP

∴

同理由ＡＢ∥CD可证△PTD∽△ＰQB

?∴?∴

?∴

?(2）证明：成立,理由如下：

在平行四边形ABＣD中,AD∥ＢＣ，?∴∠ＰRＤ＝∠S，∠RDP=∠ＤBＳ

?∴△DRP∽△ＢSP?∴??同理由AＢ∥CD 可证△ＰTＤ∽△PＱＢ??∴?∴

?∴

21.答案:证

明:??∵AB=A Ｃ,AＤ是中线，?∴ＡＤ⊥BC，BP＝ＣP

?∴∠1=∠2

又∵∠ABC＝∠ACB?∴∠3=∠4

?∵CF∥ＡＢ?∴∠3＝∠Ｆ，∠4=∠Ｆ??又∵∠ＥＰC=∠CPF?∴△EＰC∽△CPＦ

∴??∴BＰ2=PＥ·PF??即证所求22.答案：证明:∵DE⊥AB

?∴＝90°?∵＝９0°

?∴?∵

∴△ADＥ∽△DBE

∴

∴DE2=

?∵BF⊥AC??∴=90°?∵

＝9０°且??∴?∵

?∴△BEG∽△HＥA??∴?∴

＝??∴ＤE2=EG&bull；EH

2３.答案:证明：

??∵四边形ABCＤ为平行四边形

?∴AB∥ＣD,ＡD∥BＣ

?∴∠1=∠2,∠G=∠Ｈ，∠5＝∠6

∴△PAＨ∽△PCG??∴?又∵∠3=∠4?∴

△ＡＰE∽△CPＦ?∴?∴

24.答案:证明：如图，连接BH交AＣ于点E，

??∵H为垂心

?∴BＥ⊥AC

∴∠EBC＋∠BＣA=90°

?∵AD⊥BＣ于Ｄ

∴∠DＡＣ+∠ＢCA=90°??∴∠EBC=∠ＤＡC?又∠BD Ｈ=∠AＤＣ=90°

∴△BDＨ∽△ＡDC??∴,即

?∵∠BPC为直角，AＤ⊥BC?∴ＰD2=BD&middｏt；DＣ?∴PＤ2=AＤ·；DH

2５.答案：证明：∵ＣＤ是Rｔ△ABＣ斜边AB上的高，E 为BＣ的中点

∴CE=EＢ=ＤE

?∴∠B=∠BDE=∠ＦDＡ

∵∠Ｂ＋∠CＡB=90°,∠ACD+∠ＣAB=９0°??∴∠B=∠ACD

?∴∠FDA＝∠ACＤ

?∵∠F=∠F

∴△ＦDA∽△FＣD?∴

∵∠ADC=∠CDＢ=90°，∠B＝∠ACＤ?∴△ACD∽△CBD?∴??∴?即

26.答案：证明：(1)∵∠ACB=∠ADC＝９0°

?∴∠Ａ+∠AＣＤ=90°

?∠BCM+∠ACD＝9０°

?∴∠A＝∠ＢＣM?同理可得:∠ＭDH=∠MBD??∵∠C ＭB＝∠ＣＤB＋∠MＢD=９0°+∠ＭＢD

∠AＤE＝∠ＡDC+∠MＤH=９0°＋∠ＭDＨ??∴∠ADE=∠CＭＢ

∴△AED∽△CBM

?(２)由上问可知：,即

??故只需证明

即可??∵∠A=∠A，∠AＣD=∠ＡＢC??∴△ACＤ∽△ABC ∴，即

?∴

27.答案:（１）将结论写成比例的形式，，可以考虑证明△FDB∽△ＦCD（已经有一个公共角∠F）

Rt△AＣＤ中，E是AC的中点?∴DE=AE??∴∠A=∠ADE??∵∠ＡDE=∠ＦDB

?∴∠A＝∠FDB??而∠A＋∠AＣD=９０°??∠FCD+∠ＡＣD＝９0°

?∴∠A=∠FＣD

∴∠FCＤ=∠FDB

而∠F＝∠F??∴△FBD∽△FDC

∴

?∴??(2)判断:GD与EF垂直?Rt △ＣDB中，G是ＢC的中点，?∴GD＝GB?∴∠GDＢ＝∠ＧBＤ?而∠GＢD+∠FＣD=９0°??又∵∠FCD ＝∠ＦDB(1的结论）?∴∠GDB+∠FDB=90°??∴GD ⊥EF

28.答案：证明：由四边形ＡBCD、DＥFＧ都是正方形可知,∠ＡDC=∠GDE=90°,则∠CDＧ=∠ADE=∠ADG+90°

在和中

???∴≌

?则∠ＤAM=∠DCN?又∵∠ＡNM=∠ＣNＤ

∴△ANM∽△ＣND?则

∴

２9.答案：证明:找模型。

?(１）△BCD、△ＢDG，△CＤG构成母子型相似。∴△BDＧ∽△DCG

∴?∴DG2=BＧ&miｄdot;ＣG

(2）分析：将等积式转化为比例式。

BG·CG＝ＧF&midｄot;GH

∵∠GFＣ＝∠ＥFH,而∠EFH＋∠Ｈ=90°，∠GＦC+∠FCＧ=90°??∴∠H=∠FCG

?而∠HGB=∠CGＦ＝9０°??∴△HBG∽△CFＧ

?∴?∴BG＆ｍｉdｄot;CG＝ＧF&miｄd ｏt；GH．

30.答案:（1）证明:∵∠MEB+∠NEC＝18０°-45°=135°＝∠MEＢ＋∠ＥMB?∴∠ＮEＣ＝∠EMB??又∵∠B=∠C?∴△BEM∽△ＣＮE（2)△COＥ∽△EON??证明:∵∠OEN=∠C=45°，∠COE=∠EON∴△

CO Ｅ∽△ＥＯN 31.

答案:解:（1)△BCP ∽△BER,△CQP ∽△D ＱR ， ?△ABP ∽△CQP ，△ＤQR ∽△A ＢP ?（2)∵AC ∥DE ??∴△BCP ∽△B ＥR ?∴

?∵四边形ABCD 和

四边形ＡCE Ｄ都是平行四边形 ?∴AD ＝ＢC ，AD ＝CE

∴B Ｃ=C Ｅ，即点C 为BE 的中点?∴

又∵A Ｃ∥DE

∴△C ＱP ∽△DQR ?∴ ∵点R 为D Ｅ的中点??∴ＤR=RE

?∴??综上:ＢP:ＰQ:QR ＝３:1:2 ３2.答案:证明:∵AD ⊥B Ｃ,DE ⊥ＡB ??∴△ADB ∽△AED

?∴?∴ＡD 2=AE A Ｂ??同理可证:AD 2=A ＦAC ??∴AE AB ＝A Ｆ

AC

反比例函数典型例题 1、（2011?宁波)正方形的Ａ１B1P １Ｐ２顶点P1、Ｐ2在

反比例函数ｙ＝x 2

（x ＞０)的图象上,顶点A1、B1分别

在x 轴、ｙ轴的正半轴上,再在其右侧作正方形P2P3A2B

２，顶点Ｐ3在反比例函数y ＝x 2

（x>0)的图象上,顶点

A2在x 轴的正半轴上,则P2点的坐标为_____＿_＿___,则点Ｐ３的坐标为______＿＿__。

答案：Ｐ２（2,１） Ｐ

2(3+１,3-１）

2、已知关于x 的方程x2＋３ｘ＋a=0的两个实数根的倒数和等于3，且关于ｘ的方程（ｋ－1）x2+3x-2a ＝0有实根，且ｋ为正整数,正方形ABP1Ｐ2的顶点Ｐ

１、Ｐ2在反比例函数y=x 1

k +（x ＞0)图象上，顶点

A 、

B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上,求点P2的坐标．

答案：(2,1）或（6，

26

)

3、如图，正方形OABC 和正方形AEDF 各有一个顶点在一反比例函数图象上,且正方形ＯABC 的边长为2. (１）求反比例函数的解析式；（2)求点D 的坐标．

答案:(1） y=x 4

(２） (15+,1-5)