学而思高中完整讲义直线与圆锥曲线板块一直线与椭圆学生版

1.椭圆的定义:平面内与两个定点12F F ,的距离之和等于常数(大于12||F F )的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.

这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 2.椭圆的标准方程:

①22

221(0)x y a b a b +=>>,焦点是1(0)F c -,,2(0)F c ,,且222c a b =-. ②22

221(0)y x a b a b

+=>>,焦点是1(0)F c -,

,2(0)F c ,,且222c a b =-. 3.椭圆的几何性质(用标准方程22

221(0)x y a b a b

+=>>研究):

⑴范围:a x a -≤≤,b y b -≤≤;

⑵对称性:以x 轴、y 轴为对称轴,以坐标原点为对称中心,椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心;

⑶椭圆的顶点:椭圆与它的对称轴的四个交点,如图中的1212A A B B ,

,,; ⑷长轴与短轴:焦点所在的对称轴上,两个顶点间的线段称为椭圆的长轴,

如图中线段的12A A ;另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴,如图中的线段

12B B .

⑸椭圆的离心率:c

e a

=

,焦距与长轴长之比,01e <<,e 越趋近于1,椭圆越扁;

反之,e 越趋近于0,椭圆越趋近于圆.

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4.直线l :0Ax By C ++=与圆锥曲线C :()0f x y =,

的位置关系: 直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离.对于抛物线来说,

平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点,但并不相切.这三种位置关系的判定条件可归纳为:

板块一.直线与椭圆(1)

设直线l :0Ax By C ++=,圆锥曲线C :()0f x y =,

,由0

()0Ax By C f x y ++=??=?

消去y (或消去x )得:20ax bx c ++=.

若0a ≠,24b ac ?=-,0?>?相交;0?

若0a =,得到一个一次方程:①C 为双曲线,则l 与双曲线的渐近线平行;②C 为抛物线,则l 与抛物线的对称轴平行.

因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不是充分条件.

5.连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.

求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的距离公式来求;

另外一种求法是如果直线的斜率为k ,被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分

别为11()()x y x y ,,,,则弦长公式

1

1

2

|11A k x y y

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=--. 两根差公式:

如果12x x ,

满足一元二次方程:20ax bx c ++=,

则12x x -==

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0?>). 6.直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有:

①从方程的观点出发,利用根与系数的关系来进行讨论,这是用代数方法来解决几何问题的基础.要重视通过设而不求与弦长公式简化计算,并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质.

②以向量为工具,利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题.

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【例1】

直线y kx =2

213

x y +=交于不同两点A 和B ,且1O

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A O

B ?=(其中O 为坐标原点),求k 的值.

【例2】 在平面直角坐标系xOy 中,

经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2

212

x y +=有

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两个不同的交点P 和Q .

⑴求k 的取值范围;

⑵设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ,

,是否存在常数k ,使得向量OP OQ +与AB 共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由.

典例分析

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⑴求椭圆的方程;

OA OB ?的值.【例5】 已知椭圆中心在原点,一个焦点为1(0F -,,且离心率e 满足:24

e 33

,,成等

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比数列.

⑴求椭圆方程;

⑵是否存在直线l ,使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ,且线段MN 恰被直线

1

2

x =-平分,若存在,求出l 的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由.

【例6】 直线y kx b =+与椭圆2

214

x y +=交于A 、B 两点,记AOB ?的面积为S ,

⑴求在001k b =<<,

的条件下,S 的最大值; ⑵当2AB =,1S =时,求直线AB 的方程.

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椭圆上且0,||||AC CO AC CO ?==.

⑴求椭圆的方程;

⑵若平行于CO 的直线l 和椭圆交于,M N 两个不同点,求CMN △面积的最大值,并求此时直线l 的方程.

【例8】 如图,点A 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>短轴的下端点.过A 作斜率为1的直线交椭

圆于P ,点B 在y 轴上,且BP x ∥轴,9AB AP ?=. ⑴若B 点坐标为(01),

,求椭圆方程; ⑵若B 点坐标为(0)t ,

,求t 的取值范围.

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为坐标原点, (,OM OA OB λμλμ=+,若OM OA OB λμ=+,求实数

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【例12】 已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,左右焦点分别为1F ,2F ,

且12||2F F =

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⑴求椭圆C 的方程;

⑵设过点D (0,4)的直线l 与椭圆C 交于,E F 两点,O 为坐标原点,若OEF △为直角三角形,求直线l 的斜率.

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⑴求椭圆C 的方程;

⑵是否存直线l ,满足2

PA PB PM ?=?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请

说明理由.

【例16】 已知椭圆2

2

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,离心率e =,右准

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线方程为2x =.

⑴求椭圆的标准方程;(准线方程2

a x c

=)

⑵过点1F 的直线l 与该椭圆交于M ,N 两点,且222F M F N +=,求直线l 的方程.

【例17】 设椭圆22

22

1x y a b

+= (0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ,离心率e =, M 、

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N 是直线l :2

a x c

=上的两个动点,且120F M F N ?=.

⑴若12||||25F M F N ==a 、b 的值.

⑵证明:当||MN

取最小值时,12F M F N +与12F F 共线.

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【例18】 已知椭圆2

2

:14

y C x +=,过点()03M ,

的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B .

⑴若l 与x 轴相交于点N ,且A 是MN 的中点,求直线l 的方程;

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⑵设P 为椭圆上一点,且OA OB OP λ+=(O 为坐标原点),求当AB 数λ的取值范围.

【例19】 已知1F 、2F 分别是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点,右焦点2(0)F c ,到上

顶点的距离为2

,若2a =.

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⑴求此椭圆的方程;

⑵点A 是椭圆的右顶点,直线y x =与椭圆交于M 、N 两点(N 在第一象限内),

又P 、Q 是此椭圆上两点,并且满足120||||NP NQ F F NP NQ ??

+?= ? ???

求证:向量PQ 与AM 共线.

【例20】 一束光线从点1(10)F -,

出发,经直线l :230x y -+=上一点P 反射后,恰好穿过点2(10)F ,

, ⑴求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标; ⑵求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程;

⑶设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点,点Q 为线段AB 上的动点,且不为A 、B ,求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值,并求取得最小值时点Q 的坐标.

【例21】 已知直线220x y -+=经过椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左顶点A 和上顶点

D .

椭圆C 的右顶点为B .点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点,直线AS ,BS 与直线10

:3

l x =

分别交于M N ,两点. ⑴求椭圆C 的方程;

⑵求线段MN 的长度的最小值.

⑶当线段MN 的长度最小时,在椭圆C 上是否存在这样的点T ,使得TSB ?的面积为

1

5

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?若存在,确定点T 的个数;若不存在,说明理由.

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