学而思高中完整讲义直线与圆锥曲线板块一直线与椭圆学生版

1．椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程：

①22

221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22

221(0)y x a b a b

+=>>，焦点是1(0)F c -，

，2(0)F c ，，且222c a b =-． 3．椭圆的几何性质（用标准方程22

221(0)x y a b a b

+=>>研究）：

⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤；

⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；

⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，

，，； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，

如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段

12B B ．

⑸椭圆的离心率：c

e a

，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁；

反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．

4．直线l ：0Ax By C ++=与圆锥曲线C ：()0f x y =，

的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，

平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：

板块一.直线与椭圆(1)

设直线l ：0Ax By C ++=，圆锥曲线C ：()0f x y =，

，由0

()0Ax By C f x y ++=??=?

，

消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=．

若0a ≠，24b ac ?=-，0?>?相交；0?

若0a =，得到一个一次方程：①C 为双曲线，则l 与双曲线的渐近线平行；②C 为抛物线，则l 与抛物线的对称轴平行．

因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．

5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．

求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；

另外一种求法是如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分

别为11()()x y x y ，，，，则弦长公式

为

|11A k x y y

=--．两根差公式：

如果12x x ，

满足一元二次方程：20ax bx c ++=，

则12x x -==

0?>）． 6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：

①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．

②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．

【例1】

直线y kx =2

213

x y +=交于不同两点A 和B ，且1O

A O

B ?=（其中O 为坐标原点），求k 的值．

【例2】在平面直角坐标系xOy 中，

经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2

212

x y +=有

两个不同的交点P 和Q ．

⑴求k 的取值范围；

⑵设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，

，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．

典例分析

⑴求椭圆的方程；

OA OB ?的值．【例5】已知椭圆中心在原点，一个焦点为1(0F -，，且离心率e 满足：24

e 33

，，成等

比数列．

⑴求椭圆方程；

⑵是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线

x =-平分，若存在，求出l 的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．

【例6】直线y kx b =+与椭圆2

214

x y +=交于A 、B 两点，记AOB ?的面积为S ，

⑴求在001k b =<<，

的条件下，S 的最大值； ⑵当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．

椭圆上且0,||||AC CO AC CO ?==．

⑴求椭圆的方程；

⑵若平行于CO 的直线l 和椭圆交于,M N 两个不同点，求CMN △面积的最大值，并求此时直线l 的方程．

【例8】如图，点A 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>短轴的下端点．过A 作斜率为1的直线交椭

圆于P ，点B 在y 轴上，且BP x ∥轴，9AB AP ?=． ⑴若B 点坐标为(01)，

，求椭圆方程； ⑵若B 点坐标为(0)t ，

，求t 的取值范围．

为坐标原点， (,OM OA OB λμλμ=+，若OM OA OB λμ=+，求实数

【例12】已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，

且12||2F F =

，

⑴求椭圆C 的方程；

⑵设过点D (0,4)的直线l 与椭圆C 交于,E F 两点，O 为坐标原点，若OEF △为直角三角形，求直线l 的斜率．

⑴求椭圆C 的方程；

⑵是否存直线l ，满足2

PA PB PM ?=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请

说明理由．

【例16】已知椭圆2

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率e =，右准

线方程为2x =．

⑴求椭圆的标准方程；（准线方程2

a x c

=）

⑵过点1F 的直线l 与该椭圆交于M ，N 两点，且222F M F N +=，求直线l 的方程．

【例17】设椭圆22

1x y a b

+= (0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率e =， M 、

N 是直线l ：2

a x c

=上的两个动点，且120F M F N ?=．

⑴若12||||25F M F N ==a 、b 的值．

⑵证明：当||MN

取最小值时，12F M F N +与12F F 共线．

【例18】已知椭圆2

:14

y C x +=，过点()03M ，

的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ．

⑴若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；

⑵设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=（O 为坐标原点），求当AB 数λ的取值范围．

【例19】已知1F 、2F 分别是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，右焦点2(0)F c ，到上

顶点的距离为2

，若2a =．

⑴求此椭圆的方程；

⑵点A 是椭圆的右顶点，直线y x =与椭圆交于M 、N 两点（N 在第一象限内），

又P 、Q 是此椭圆上两点，并且满足120||||NP NQ F F NP NQ ??

+?= ? ???

，

求证：向量PQ 与AM 共线．

【例20】一束光线从点1(10)F -，

出发，经直线l ：230x y -+=上一点P 反射后，恰好穿过点2(10)F ，

， ⑴求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标； ⑵求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；

⑶设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，且不为A 、B ，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．

【例21】已知直线220x y -+=经过椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左顶点A 和上顶点

D ．

椭圆C 的右顶点为B ．点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线10

l x =

分别交于M N ，两点． ⑴求椭圆C 的方程；

⑵求线段MN 的长度的最小值．

⑶当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB ?的面积为

？若存在，确定点T 的个数；若不存在，说明理由．

圆锥曲线培优讲义

圆锥曲线培优讲义 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

一原点三角形面积公式 1. 已知椭圆的离心率为，且过点．若点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，则点称为点M 的一个“椭点”．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y=kx +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB 的面积． 2. 己知椭圆 x 2+2y 2=1，过原点的两条直线 l 1 和 l 2 分别与椭圆交于点 A ，B 和 C ，D ．记 △AOC 的面积为 S ．（1）设 A (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)．用 A ，C 的坐标表示点 C 到直线 l 1 的距离，并证明 S =1 2∣x 1y 2?x 2y 1∣；（2）设 l 1:y =kx ，C (√33, √3 3)，S =1 3，求 k 的值．（3）设 l 1 与 l 2 的斜率之积为 m ，求 m 的值，使得无论 l 1 与 l 2 如何变动，面积 S 保持不变． 3. 已知椭圆()0,01:22 22 >>=+b b y x C αα的左、右两焦点分别为()()0,1,0,121F F -, 椭圆上有一点A 与两焦点的连线构成的21F AF ?中，满足 .12 7,12 1221π π = ∠= ∠F AF F AF （1）求椭圆C 的方程；（2）设点D C B ,,是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称，设直线OC OB CD BC ,,,的斜率分别为4321,,,k k k k ，且4321k k k k ?=?，求 22OC OB +的值. 4. 在平面直角坐标系xoy 内，动点(,)M x y 与两定点(2,0),(2,0)-，连线的斜率之积为1 4 -

高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义

Ⅰ复习提问一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立 (,)0 Ax By C F x y ++=?? =?消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。（2）当0a ≠时，0?>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0?=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0?<，直线l 与曲线C 相离。二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB 的弦长 1212AB AB AB x y y ? ?=???=???=-==-??? 三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠0 0x y ，即22op b k k a =- ；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0 x y ，即22op a k k b =- ；（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0 x y ，即 22op b k k a = ；若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0 x y ，即22op a k k b = ；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)p k y = ≠0 y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p =0 x 。

“圆锥曲线与方程”复习讲义

“圆锥曲线与方程”复习讲义高考《考试大纲》中对“圆锥曲线与方程”部分的要求： (1) 圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. ④了解圆锥曲线的简单应用. ⑤ 理解数形结合的思想. （2）曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 第一课时椭圆一、基础知识填空： 1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________. 2.椭圆的标准方程：椭圆)0b a (1 b y a x 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上, 焦点的坐标分别是是F 1 ______，F 2 ______；椭圆)0b a (1 b x a y 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标分别是F 1 _______，F 2 ______. 3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的______.a 和b 分别叫做椭圆的______长和______长。椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 二、典型例题：例1.（2006全国Ⅱ卷文、理）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23 ＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（）（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 例2.（2007全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（） (A) 3 1 (B) 3 3 (C) 2 1 (D) 2 3 例3．（2005全国卷III 文、理）设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（） A B C ．2 D 1 例4.（2007重庆文）已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线04y 3=++x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）（A ）23 （B ）62 （C ）72 （D ）24 三、基础训练： 1.(2007安徽文)椭圆142 2 =+y x 的离心率为（）（A ） 23 （B ）4 3 （C ） 22 （D ）3 2 2.（2005春招北京理）设0≠abc ，“0>ac ”是“曲线c by ax =+2 2为椭圆”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 3．（2004福建文、理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆

高中数学讲义-圆锥曲线

高中数学讲义圆锥曲线【知识图解】【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的圆锥曲线双曲椭圆抛物几何定义几何标准定义几何标准圆锥曲定义标准

图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。 1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质. 2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力. 3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起

重视. 4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程第1课椭圆A 【考点导读】 1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质; 2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】 1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆 2 213 x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是______ 2.椭圆1 422 =+y x 的离心率为______ 3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23， 0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______

圆锥曲线综合高考实战篇圆锥曲线实用讲义

前言编者编写本书的初衷是以学生为中心，实用性优先，没有花里胡哨的冗杂结论。本书筛选了2010-2018年的各地高考圆锥曲线大题并适当归类讲解，删去了思维跨度大，计算量极高的题，总计一百余题。考虑到高中生学习繁忙，编者尽可能的将本书压缩到了一百余页，并结合丰富的举例，偏向于去教学生怎么思考，往哪个方向思考，怎么去分析思路，并予以启发。不建议基础知识不牢且计算功底弱的学生看这本书，否则效果适得其反。如果连一些基本算理都搞不清的话，则是开卷无益。本书前半部分的讲解足以解决后半部分的习题，所以后半部分则以题目为主，部分内容借鉴了网上公开的免费视频与免费文档，对其分享的思路表示非常感谢！另外，编者对于圆锥曲线的第二第三定义及其衍生的结论并没有去细致讲解，请同学们依据课本自行完善。由于本书核心部分来自孙斌老师。我做二次处理而成，加入了答案和少量自己的见解。如有疏漏与错误，还请包涵与指正。QQ:21113823 湖北省广水实高李大丹目录第一章题目信息转化为坐标表达/2 1.1距离公式与弦长公式/3 1.2题目核心条件转化为坐标/9 1.3转化为坐标后，怎么处理/16第二章获得点的坐标解决问题/25 2.1通过表示点的坐标解决问题/25 2.2怎么获取点的坐标/26 2.3设点与设直线结合起来/41 第三章定点定值/49 3.1什么样的直线过定点/49 3.2怎么解决直线过定点/50 3.3圆过定点与定值举例/58 第四章优化计算/60 4.1反设直线/60 4.2简化运算的技巧/63第五章面积与最值/66 5.1三角形的面积表达/66 5.2求最值之变量化一/77 5.3求最值之均值不等式/79 5.4求最值之借助导数/83第六章切线/86 第七章轨迹方程/98 第八章借助几何分析解决问题/108第九章探索类问题/136 第十章对称问题/143 第十一章弦中点与点差法/149

圆锥曲线讲义(带答案)

个性化辅导授课教案学员姓名：辅导类型（1对1、小班）：年级：辅导科目：学科教师：课题圆锥曲线专题课型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课授课日期及时段年月日时间段教学内容圆锥曲线知识点总结 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<< 3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12 F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。

高中数学竞赛教案讲义(11)圆锥曲线

第十一章圆锥曲线一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0b>0)，参数方程为?? ?==θ θ sin cos b y a x （θ为参数）。若焦点在y 轴上，列标准方程为 122 22=+b y a y (a>b>0)。 3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆 122 22=+b y a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(± a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且a c e =，由c 2+b 2=a 2 知0

高中数学圆锥曲线小结论上课讲义

椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0 20 2y a x b K AB -=。双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.

16全国高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线(练习题)

最新高中数学奥数竞赛试题直线和圆，圆锥曲线课后练习 1．已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ?是等边三角形，则ABC ?的面积是（A ） 33 （B ）2 33 （C ）33 （D ）36 2．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5 4 35+=x y 的距离中的最小值是（A ）17034 （B ）8534 （C ）201 （D ）30 1 3．若实数x, y 满足(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 4．直线13 4=+y x 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是 A B 6．过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于 A ． 3 16 B ． 3 8 C ． 3 3 16 D ．38 7．方程 13 cos 2cos 3sin 2sin 2 2=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆 D. 焦点在y 轴上的双曲线 8．在椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B 。若该椭圆的离心率是 2 1 5-，则ABF ∠= 。 9．设F 1，F 2是椭圆14 92 2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则三角形?PF 1F 2的面积等于______________．

高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》知识点讲义

第二章圆锥曲线与方程一、曲线与方程的定义： (),C F x y 设曲线，方程=0，满足以下两个条件： ()(),,C x y F x y ?①曲线上一点的坐标满足=0； ()(),,. F x y x y C ?②方程=0解都在曲线上 ()(),,. C F x y F x y C 则曲线称是方程=0的曲线，方程=0是曲线的方程二、求曲线方程的两种类型： () 1、已知曲线求方程；用待定系数法 ()()() 2,;,x y x y 、未知曲线求方程①设动点②建立等量关系； ③用含的式子代替等量关系；④化简；别出现不等价情况⑤证明；高中不要求

扩展： ()2222 22222x y x y m b a b a m b m <--①与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为+=1 ()() 2222 22221010x y y x k k ka kb ka kb +=>+=>②有相同离心率的椭圆为或 . a c a c -+③椭圆上的点到焦点的最小距离是，最大距离是 12P P F PF ∠④为椭圆上一动点，当点为短轴端点时，最大. 24. AB F ABF a V ⑤为过焦点的弦，则的周长为 ()()1122,,,y kx b A x y B x y l =+⑥直线与圆锥曲线相交于两点，则当直线的斜率存在时，弦长为: ()( )2 22 121 2 12114l k x k x x x x ?? =+-= ++-?? ()2 12121222110114k l y y y y y k k ??=+ -=++-??或当存在且不为时，()2210,0. Ax By A B +=>>⑥当椭圆的焦点位置不确定时，可设椭圆的方程为

圆锥曲线综合复习讲义

圆锥曲线综合复习讲义【基础概念填空】椭圆 1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________. 2.椭圆的标准方程：椭圆)0b a (1 b y a x 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上, 焦点的坐标分别是是F 1 ___________，F 2 ____________；椭圆)0b a (1 b x a y 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标分别是F 1 ____________，F 2 ____________. 3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的______.a 和b 分别叫做椭圆的______长和______长。椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 双曲线 1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的差_____________________的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的_________ , 两焦点之间的距离叫做双曲线的________. 2.双曲线的标准方程：双曲线0)b 0,1(a b y a x 22 22>>=-的中心在______，焦点在_______轴上, 焦点的坐标是____________；顶点坐标是______________,渐近线方程是_____________. 双曲线0)b 0,1(a b x a y 22 22>>=-的中心在______，焦点在_______轴上, 焦点的坐标是____________；顶点坐标是______________,渐近线方程是_____________. 3.几个概念：双曲线与对称轴的交点，叫作双曲线的_____.a 和b 分别叫做双曲线的________长和_______长。双曲线的焦距是_____. a,b,c 的关系式是______________。双曲线的________与________的比称为双曲线的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 4.等轴双曲线：______和_______等长的双曲线叫做等轴双曲线。双曲线是等轴双曲线的两个充要条件：（1）离心率e =_______,（2）渐近线方程是_________. 抛物线 1．抛物线的定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F)__________的点的轨迹叫做抛物线。这个定点F 叫做抛物线的_________ , 定直线l 叫做抛物线的___________. 2.抛物线的标准方程：抛物线2px y 2 = 的焦点坐标为__________，准线方程是___________; 抛物线2px y 2 -=的焦点坐标为__________，准线方程是___________; 抛物线2py x 2 = 的焦点坐标为__________，准线方程是___________; 抛物线2py x 2-=的焦点坐标为__________，准线方程是___________。 3.几个概念：抛物线的_________叫做抛物线的轴，抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________。抛物线上的点M 到________的距离与它到________的距离的比，叫做抛物线的离心率，记作e ， e 的值是_________. 4.焦半径、焦点弦长公式：过抛物线2px y 2 =焦点F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点，则 |AF|=___________,|BF|=____________,|AB|=_____________________

圆锥曲线复习讲义全

圆锥曲线复习讲义一、椭圆方程

1、已知椭圆 22 12516 x y +=，12,F F 是椭圆的左右焦点，p 是椭圆上一点。（1）a = ； b = ； c = ； e = ；（2）长轴长= ；短轴长= ；焦距= ； 12||||PF PF += ; 12F PF ?的周长= ；12F PF S ?= = ； 2、已知椭圆方程是19 252 2=+y x 的M 点到椭圆的左焦点为1F 距离为6，则M 点到2F 的距离是 3、已知椭圆方程是 19 252 2=+y x ，过左焦点为1F 的直线交椭圆于A,B 两点，请问2ABF ?的周长是； 4 ．（2012年高考（春））已知椭圆2222 12: 1,:1,124168 x y x y C C +=+=则（） A ．顶点相同 B ．长轴长相同. C ．离心率相同. D ．焦距相等. 5、 (2007)椭圆142 2 =+y x 的离心率为（）（A ） 23 （B ）4 3 （C ） 2 2 （D ） 3 2 6．（2005）若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为2 1，则m=（） A ．3 B ． 23 C ．3 8 D ． 3 2 7.【2102高考】已知椭圆C ：22x a +2 2y b =1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为2，则椭圆C 的方程： 8、【2012高考】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22 221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上，则椭圆1C 的方程；

全国高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线(练习题)

§18直线和圆，圆锥曲线课后练习 1．已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ?是等边三角形，则ABC ?的面积是（A ） 33 （B ）2 33 （C ）33 （D ）36 2．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5 4 35+=x y 的距离中的最小值是（A ）17034 （B ）85 34 （C ）201 （D ）301 3．若实数x, y 满足(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 4．直线134=+y x 椭圆19 162 2=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是 A B C D 6．过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于 A ． 3 16 B ． 3 8 C ． 3 3 16 D ．38 7．方程13 cos 2cos 3sin 2sin 2 2=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆 D. 焦点在y 轴上的双曲线 8．在椭圆 )0(12 22 2>>=+ b a b y a x 中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B 。若该椭圆的离心率是 2 1 5-，则ABF ∠= 。 9．设F 1，F 2是椭圆14 92 2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则三角形?PF 1F 2的面积等于______________． y y y y x x x x

高考一轮复习必备圆锥曲线讲义

Ⅰ复习提问一、直线l 及圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 及圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立0 (,)0 Ax By C F x y ++=?? =?消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 及C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 及双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。（2）当0a ≠时，0?>，直线l 及曲线C 有两个不同的交点；0?=，直线l 及曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0?<，直线l 及曲线C 相离。二、圆锥曲线的弦长公式相交弦AB 的弦长 1212AB AB AB x y y ? ?=???=???=-==-??? 三、中点弦所在直线的斜率（1）若椭圆方程为22 221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率 202(0)b k y a =-≠0 0x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为 202(0)a k y b =-≠0 x y ，即22op a k k b =-；

（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0 x y ，即22op b k k a =；若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0 x y ，即22op a k k b =；（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)p k y =≠0 y ；若方程为22x py =时，相应结论为k p = x 。 Ⅱ 题型及方法一、直线及圆锥曲线的位置关系（1）直线及圆锥曲线有两个不同的公共点的判断：通法为直线代入曲线判断0?>；另一方法就是数形结合，如直线及双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率及双曲线渐近线的斜率大小得到。（2）直线及圆锥曲线只有一个公共点则直线及双曲线的一条渐近线平行，或直线及抛物线的对称轴平行，或直线及圆锥曲线相切。例1.已知两点5(1,)4M ，5(4,)4N --，给出下列曲线方程：①4210x y +-=②22 +y =3x ③2212x y += ④2 212 x y -=在曲线上存在点P ，满足PM PN =的所有曲线方程是（填序号）。练1:对于抛物线C ：24y x =，我们称满足2004y x <的点M （00,x y ）在抛物线的内部，若点M （00,x y ）在抛物线的内部，则直线l ：002()y y x x =+及抛物线C 的位置关系是。

(word完整版)高中数学选修1-1《圆锥曲线与方程》知识点讲义,推荐文档

椭圆一、椭圆及其标准方程 1、画法 {} 121222,2P PF PF a F F a +=<、定义： 3、方程 ()()22 22 22221010x y y x a b a b a b a b +=>>+=>>①或 ② () 22 22+10x y a b a b =>>二、几何性质： 1,. x a y b ≤≤、范围： 2x y O 、对称性：关于、、原点对称. ()()()()12123,0,,0,0,,0,. A a A a B b B b --、顶点 2224,,a b c a b c =+、之间的关系： () 2 25101c b e e a a ==-<<、离心率： 0, 1e e →→越圆越扁扩展： ()2222 22222x y x y m b a b a m b m <--①与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为+=1 ()() 2222 22221010x y y x k k ka kb ka kb +=>+=>②有相同离心率的椭圆为或 .a c a c -+③椭圆上的点到焦点的最小距离是，最大距离是

(完整)高中数学讲义圆锥曲线

高中数学讲义圆锥曲线【方法点拨】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。 1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质. 2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力. 3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视. 4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程

第1课椭圆A 【考点导读】 1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质; 2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】 1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2 213 x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是______ 2.椭圆142 2 =+y x 的离心率为______ 3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______ 4. 已知椭圆 19822=++y k x 的离心率2 1 =e ，则k 的值为______ 【范例导析】例1.（1）求经过点35(,)22 -，且22 9445x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程。（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P （3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上； ②定量，即根据条件列出基本量a 、b 、c 的方程组，解方程组求得a 、b 的值;③写出方程. 解：（1）∵椭圆焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为22 221y x a b +=（0a b >>），由椭圆的定义知， 2a === ∴10a =，又∵2c =，∴222 1046b a c =-=-=，所以，椭圆的标准方程为 22 1106 y x +=。（2）方法一：①若焦点在x 轴上，设方程为()22 2210x y a b a b +=>>， ∵点P （3,0）在该椭圆上∴ 2 91a =即29a =又3a b =，∴21b =∴椭圆的方程为

(完整word版)高中数学圆锥曲线重要结论讲义

圆锥曲线重要结论椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122 tan 2F PF S b γ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ?=-，

圆锥曲线复习讲义(优选.)

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3、已知椭圆方程是 19 252 2=+y x ，过左焦点为1F 的直线交椭圆于A,B 两点，请问2ABF ?的周长是； 4 ．（2012年高考（上海春））已知椭圆2222 12: 1,:1,124168 x y x y C C +=+=则（） A ．顶点相同 B ．长轴长相同. C ．离心率相同. D ．焦距相等. 5、 (2007安徽)椭圆142 2 =+y x 的离心率为（）（A ） 2 3 （B ） 4 3 （C ） 2 2 （D ） 3 2 6．（2005广东）若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为2 1，则m=（） A ．3 B ． 23 C ．3 8 D ． 3 2 7.【2102高考北京】已知椭圆C ：22x a +2 2y b =1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0），离心，则椭圆C 的方程： 8、【2012高考广东】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22 221 x y a b +=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上，则椭圆1C 的方程； 9、【2012高考湖南】在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为 1 2 的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2 +y 2 -4x+2=0的圆心，椭圆E 的方程； 10．（2004福建理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）

高中数学选修2_1圆锥曲线与方程资料知识点讲义全

第二章圆锥曲线与方程一、曲线与方程的定义： (), 设曲线，方程=0，满足以下两个条件： C F x y ()() ①曲线上一点的坐标满足=0； ? C x y F x y ,, ()() 则曲线称是方程=0的曲线，方程=0是曲线的方程 C F x y F x y C ,,.二、求曲线方程的两种类型：椭圆一、椭圆及其标准方程 1、画法

3、方程 ()()22 22 22221010x y y x a b a b a b a b +=>>+=>>①或 ② ()()()()12123,0,,0,0,,0,. A a A a B b B b --、顶点 ()2222 22222x y x y m b a b a m b m <--①与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为+=1 ()() 2222 22221010x y y x k k ka kb ka kb +=>+=>②有相同离心率的椭圆为或 .a c a c -+③椭圆上的点到焦点的最小距离是，最大距离是 12P P F PF ∠④为椭圆上一动点，当点为短轴端点时，最大. 24.AB F ABF a V ⑤为过焦点的弦，则的周长为 ()()1122,,,y kx b A x y B x y l =+⑥直线与圆锥曲线相交于两点，则当直线的斜率存在时，弦长为: ()( )2 22 121 2 12114l k x x k x x x x ?? =+-= ++-?? ()2 12121222110114k l y y y y y y k k ??=+ -=+?+-??或当存在且不为时， ()2210,0. Ax By A B +=>>⑥当椭圆的焦点位置不确定时，可设椭圆的方程为