九年级数学圆的基本概念和性质-教学设计

第二十八章圆

§28.1圆的概念及性质

一、教学设计思想

圆是初中几何中重要的内容之一。本节通过第一课时建立圆的概念，认识圆的轴对称性与中心对称性。讲解时将观察与思考、操作与实践等活动贯穿于教学全过程，使学生积累一定的数学活动经验。第二课时加深学生对弦、弧之间关系的认识，掌握垂径定理及其逆定理。教学时先让学生动手操作来发现结论，再通过推理的方式说明结论的正确性。

数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题。利用现代多媒体帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式。

二、教学目标

知识与技能：

1．能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等；

2．认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；

3．能说出等弦、等弧之间的关系，能灵活运用垂径定理及逆定理进行有关计算和证明。

过程与方法：

1．经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，熟记圆及有关概念；

2．通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法；

3．利用圆的对称性通过折叠来发现垂径定理，充分体验探索的过程。

情感态度价值观：

体会“从一般到特殊”的数学思想方法及在解决问题的过程中与他人合作的重要性。

三、教学重难点

重点：（1）揭示与圆有关的本质属性；（2）垂径定理探索及其应用。

难点：垂径定理探索及其应用。

教学过程设计

第一课时

一、观察与思考

观察汽车和皮带转动轮的视频或图片

提问：车轮是什么形状的？

生：圆形（问题简单，一起回答）

教师又问：“为什么车轮要做成圆形呢？难道不可以做成别的形状，比方说三角、四边形等？”

生：“不能！”“它们无法滚动！”

出示小人骑不同轮子小车的课件

师：那我们这样吧，把轮子作成椭圆的，可不可以，同时在黑板上画一椭圆。

生：不行，这样一来，车子前进时，就会一忽儿高，一忽儿低。

教师再进一步启发：为什么做成圆形就不会一下高，一下低呢？

学生思考，同桌讨论，并回答：

因为车轮上的任何一点到轴心的距离都相等的。

二、大家谈谈

同学们知道怎样画出一个圆么？你都有哪些方法

学生畅所欲言，然后老师动画演示画圆的过程，总结圆定义并板书。

平面上到定点O的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点O叫做圆心，线段OA叫做圆的半径。

以O为圆心的圆，记做⊙O，读作：圆O。

几个概念：

1．弦和直径．

利用上述图形，让学生任意连结圆上两点，就得到一条线段．指出：连结圆上任意两点的线段叫做弦．如线段CD，AB，EF，DF都叫做⊙O的弦．（如图2）

进一步指出：图中弦AB经过圆心O，我们把经过圆心的弦叫做直径．最后让学生观察，得出：直径等于半径的2倍．

2．弧．

继续观察图2，发现，连结圆上任意两个点可以得到一条弦。同时，这两个点还将圆分成两部分，我们把每一部分叫做圆弧，即：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。用符号“⌒”表示，如以C 、D 为端点的弧，记做CD ⌒。

继续引导学生观察会进一步发现，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧我们把它叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，如图中的弧CED ⌒，ECF ⌒等，小于半圆的弧叫做劣弧。如图中的CD ⌒，EF ⌒

等。

3．等圆．

能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．（用投影或电脑演示圆重合的过程，图3）

4．等弧．

电脑或投影演示两段弧重合的过程，指出：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．

概念辨析：

1．直径是弦，弦是直径．这句话正确吗？（学生口答并说明理由）

教师强调：直径是弦，但在一般情况下弦不是直径，只有在弦经过圆心时，这弦才叫做直径．

2．半圆是弧吗？弧是不是半圆？（学生口答，并说明理由）

教师强调：半圆是弧，但在一般情况下弧不是半圆，只有直径的两个端点分圆成的两条弧才是半圆．

3．长度相等的两条弧是等弧吗？为什么？（学生口答）

教师强调：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或等圆中的弧．（教师用两根长度相等的铁丝，变成弧度不同的两条弧加以比较，此难点很容易被突破）

三、一起探究

1．让学生在一张半透明的纸上以O 为圆心画一个圆，将这张纸片沿过点O 的直线对折，你发现了什么？

2．将一个圆绕圆心旋转180°后，是否与原图形重合？这能说明什么事实？

学生活动：动手操作，探索圆的对称性。

结论：圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

四、练习

教材P3—P4 练习1，2

五、小结

这节课我们学习了哪些主要概念？知道了圆的什么性质？

在学生回答的基础上，教师强调：

本节课学习了圆的有关概念．在这些概念中，要特别注意“直径和弦”、“弧和半圆”，以及“同圆、等圆和同心圆”这些概念的区别和联系．

另外还要注意，等圆和等弧的概念，是建立在“能够完全重合”这一前提条件下的，它将作为今后判断两圆或两弧相等的依据．

第二课时

一、引入新课

上节课我们一起认识了圆及圆的有关概念，我们做如下练习。

指出图中所有的弦和弧：

这节课我们继续认识圆中的弦与弧，探究它们之间的关系。

二、观察与思考

让学生做如下操作：

在两张半透明的纸上，分别画出半径相等的⊙O1，⊙O2及相等的两条弦AB，CD，，把两张纸叠放在一起，使⊙O1与⊙O2重合，固定圆心，将一张纸绕圆心旋转适当角度，使弦AB和弦CD重合。

回答：?AB

与

?CD

是什么关系？

思考：（1）在等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的弦相等吗？（2）在同圆中，相等的弦所对的弧相等吗？等弧所对的弦呢？

由此你能得出什么结论？

学生通过动手发现弦、弧之间的关系：

在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等。

三、一起探究

（1）在纸上画出一个圆，并画出任意一条直径及与该直径垂直的一条弦；

（2）将⊙O沿CD所在的直线对折，哪些线段重合？哪些弧重合？由此你得出什么结论？

学生活动：分成小组动手操作，总结得出的结论，并尽力证明

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

四、大家谈谈

如图，⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）与点E，AE=BE。

1．你认为CD与AB垂直吗？为什么？

2．你认为????

AD BD,AC BC

与与分别具有什么样的关系？和同学说说你的结论和理由。

学生活动：小组讨论，总结性质。

结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

五、巩固练习

教材P6练习1，2

六、小结

这节课你的收获什么？你对弦与弧都有了哪些认识？

§28.2过三点的圆

教学目标

1．使学生理解“不在同一直线上的三点确定一个圆”的结论，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法；

2．使学生理解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念；

3．通过定理的教学，培养学生通过动手实践发现问题的能力．

教学重点和难点

定理“不在同一直线上的三个点确定一个圆”是重点；而过不在同一直线上的三点作圆的方法是难点．

教学过程设计

一、类比联想，提出问题

1．提问：确定一条直线的条件是什么？学生回答：两点确定一条直线．

2．我们知道，两点确定一条直线，那么，对于圆来讲，是否也存在由几点确定一个圆的问题呢？提出问题，让学生思考，并进一步讨论：

(1)经过一个点A，是否可以作圆？如果能作，可以作几个？

学生讨论回答后，请一名学生上黑板作图(图1)，并得出：经过一个点A作圆很容易，只要以点A外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数多个．

(2)经过两个点A，B如何作圆呢？能作几个？

同样，在学生讨论回答的基础上，再让一名学生上黑板作图，并得出：经过两个点A，B作圆，只要以与点A，B距离相等的点为圆心，即以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A或点B的距离为半径就可以作出，这样的圆也有无数多个.(图2)

二、动手实践，发现新知

下面来研究，经过三个已知点作圆又会怎么样呢？

仍然让学生讨论，自己动手作图，这时，学生会发现：由于两点确定一条直线，因此三个点就有在同一直线上的三点和不在同一直线上的三个点两种情况．

1．作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点．

例1已知：不在同一直线上的三个已知点A，B，C(图3)

求作：⊙O，使它经过点A，B，C.

分析：作圆的关键是确定圆心和半径．

由于所作圆要经过已知点，所以如果圆心的位置确定了，那么圆的半径也就随之确定．因此，这个问题就转化为找圆心的问题．

因为所求的圆要经过A，B，C三点，所以圆心到这三点的距离相等．因

此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直

平分线上，显然这两条垂直平分线交于一点且到这三点的距离相

等．可见圆心、半径都确定了，圆便可以作出．

教师在黑板上作圆，学生口述，教师写作法，学生随教师一起作图．

证明：因为⊙O的半径为OA，

所以点A在⊙O上，即⊙O经过点A，

又因为点O在AB的垂直平分线DE上，

所以OB＝OA则⊙O经过点B．

同理可证⊙O经过点C．

所以⊙O是所求的圆．

结合以上作法和证明，请同学回答：

师：经过不在同一直线上的三点A，B，C的圆是否存在？生：存在．

师：是否还有其他符合条件的圆呢？生：没有．

师：根据是什么？生：线段AB，BC的垂直平分线有且只有一个交点.

这说明所作的圆心是唯一的，从而半径也是唯一的，则所作圆是唯一的．在黑板上写出：定理过不在同一直线上的三个点确定一个圆．

2．过同一直线上的三点能不能做圆呢？我们不妨试试看．

教师和学生一起用圆规和直尺按照上面的作法作圆，看能否作出圆来，再看不按上面的作法是否有办法作圆．实践的结果是不能作圆．

实际上，假定过A，B，C三点可以作圆，不妨设这个圆心为O．

由点的轨迹可知，点O在线段AB的垂直平分线l′上，并且在线段BC的垂直平分线l″上，即点O为l′与l″的交点，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾．(图4所示)．

所以，过同一直线上的三点不能作圆．

3．现在我们回过头来再看看，由于任意一个三角形的三个顶点都不在同一直线上，所以由定理可知，经过三角形三个顶点可以作且只能作一个圆．

接下来介绍有关概念：

(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形．

(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.

由上面作图方法还可以看出：三角形的外心是三角形三边中垂线的交点．

三、应用举例，巩固新知

练习1判断题

(1)经过三个点一定可以作圆． ( )

(2)任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆． ( )

(3)任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形． ( )

(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等． ( )

练习2工人师傅要铸造一个和残轮片(图5)同样大小的圆轮，需要知道它的半径，你能用本课所学知识，帮助工人师傅解决这一问题吗？写出具体作法．

分析：要想知道圆轮的半径，只要作出圆轮残片所在圆的圆心，而从本节所学定理可知，经过不在同一直线上的三个点可确定一个圆，于是可在残片的圆弧上任取三点，作过此三点的圆，即可确定残片的圆心和半径．

课堂小结

1．先由教师提出问题：

(1)这节课我们主要学习了哪些具体内容？

(2)用什么方法解决过已知点作圆的问题？

(3)学习本节知识需要注意哪些问题？

2．在学生回答的基础上，教师加以小结：

(1)本节课我们主要学习了经过不在同一直线上的三点作圆的问题．

(2)我们在分析过已知点作圆的问题时，紧紧抓住对圆心和半径的探讨．已知圆心和半径就可作一个圆，这是从圆的定义引出的基本思想，因此作圆的问题，是如何根据已知条件找圆心和半径的问题．由于作圆要经过已知点，如果圆心的位置确定了，圆的半径也就随之确定．因此作圆的问题就又变成了找圆心的问题．

(3)学习本节定理，必须注意强调三个点的位置关系，只有当三个点不在同一直线上时，才能确定一个圆，笼统地说“三点确定一个圆”是不确切的．

关于“内接”与“外接”这两个术语，学生常常混淆不清，应指出，“内”与“外”是相对的概念，以一个图形为准，说明另一个图形是在它的里面或外面，这样内外关系即可自明．

§28.3圆心角和圆周角

教学设计思想

本节在探索圆周角和圆心角的关系的过程中，渗透了分类讨论的思想。在探究活动中，学生体会分类讨论点必要性和方法。本节课遵循“以教师为主导，以学生为主体”的教学原则，以“发展学生的思维”为主线。教学过程中，通过设问进行师生之间，学生之间的交流，根据学生反馈的信息，教师对出现的问题及时加以校正。最后通过练习及时反馈学生对知识掌握的情况，通过小结进一步使学生明确本节课的教学目标。

教学目标

知识与技能：

1．能说出圆心角、圆周角的概念；

2．明确圆心角、圆周角的关系，直径所对圆周角的特征，并能灵活应用解决有关问题。

过程与方法：

通过操作、探究，发现圆心角与弦的对等关系，圆心角与圆周角的关系，体验探索过程。

情感态度价值观：

体会从“特殊到一般”的数学思想方法，及在解决问题中体会与他人合作交流的重要性，养成合作学习的习惯。

教学重难点

重点：圆心角和圆心角的性质，圆心角和圆周角的关系

难点：探究圆心角和圆心角相关性质的过程

教学方法

1．采用引导探究法，体现“教为主导，学为主体”的教学原则。

2．学法指导：通过教师的“教”导出学生动脑、动口、动手的“学”，使学生由“学会”向“会学”过渡，力争体现“教是为了不教“的原则。

教学过程设计

第一课时

一、创设情境，引入新课

通过上一节的学习我们知道圆既是轴对称图形又是中心对称图形，那么我利用圆的旋转不变性，将⊙O绕圆心O旋转任意角度α后，出现一个角∠AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点？如图 (如有条件可电脑闪动显示图形．)

在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上．

在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书．顶点在圆心的角叫做圆心角．

再进一步观察，?AB

是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是

?AB

所

对的弦.这节课我们就来研究圆心角与它所对的弧、弦之间的关系．

二、一起探究

1．请同学们自己画一个圆心角∠AOB，再在同一圆中画出与∠AOB相等的另一个圆心角∠COD，再作出它们所对的弦AB，CD。

（1）请大家大胆猜想，∠AOB=∠COD，其余两组量??

AB CD

与，弦AB与CD大小关系如

何？

学生很容易猜出：??

AB CD

=，AB=CD．

教师进一步提问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明，怎样证明呢？

学生最容易想到的是证全等的方法可以得出AB=CD，那么怎样证明弧相等呢？

学生思考并回忆弧与弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；相等的弦所

对的优弧和劣弧分别相等。所以由AB=CD可得??AB CD

=。

（2）如果AB=CD（或??

AB CD

=），那么∠AOB等于∠COD吗？

学生积极思考，同样利用三角形全等可推理证明∠AOB=∠COD。

2．刚才我们探究的是同一圆中圆心角与弦、弧的关系，下面我们如果画两个相等的圆

⊙O1与⊙O2，∠AO1B=∠CO2D，那么AB与CD，??

AB CD

与分别相等吗？反过来，如果AB=CD（或

??

AB CD

=），那么∠AO

1B等于∠CO2D吗？为什么？

学生小组交流，推理证明，老师规范学生的书写格式。

通过探究我们可以知道什么性质？

学生总结，老师补充，板书定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等，相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．

三、巩固练习

课本P9练习1，2

四、课堂小结

这节课你的收获是什么？

五、作业

课本P9习题1，2，3

第二课时

一、类比联想，引入新课

1．显示实际生活中的图形，感受圆周角.

2．电脑显示圆心角，如图1.

A

B O

图1

将圆心角的顶点进行移动.（如图2）

教师边演示角的顶点运动的情况，边讲解：

A B O

图2C

D

E

F

（1）当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如∠AOB ；

（2）角的顶点运动到圆内，如∠ADB ；

（3）角的顶点运动到圆外，如∠AFB ；

（4）当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB 这样的角叫什么角呢？ 学生会马上猜出：圆周角.教师给予鼓励，并引出课题.

3.引导学生探索与讨论.

什么样的角是圆周角呢？鼓励学生尝试自己给圆周角下定义.

估计学生能类比圆心角给圆周角下定义，顶点在圆周上的角叫圆周角. 是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？带着问题，教师出示图

3. 图3图1图图2图

图3图