全国卷高考全真模拟试题含答案

全国卷高考全真模拟试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，考试时间120分钟，满分150分．

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |lg(x －1)>0}，则A ∩(?U B )＝( ) A ．{x |1

答案 C

解析 B ＝{x |x >2}，∴?U B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩(?U B )＝{x |x <2}，故选C.

2．定义运算??????a b c d ＝ad －bc ，则符合条件????

??z 1＋i －i 2i ＝0的复数z 的共轭复数z 在复平

面对应的点在( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

答案 B

解析 由题意得，2z i －[－i(1＋i)]＝0，则z ＝－i 1＋i 2i ＝－12－i 2，∴z ＝－12＋i

2，其

在复平面对应的点在第二象限，故选B.

3．下列说法中，不正确的是( )

A ．已知a ，b ，m ∈R ，命题：“若am 2

B ．命题：“?x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是：“?x ∈R ，x 2

－x ≤0”

C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题

D ．“x >3”是“x >2”的充分不必要条件 答案 C

解析 本题考查命题真假的判断．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 中至少有一个为真命题，C 错误，故选C.

4．函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )

答案 B

解析 易判断函数为奇函数，由y ＝0得x ＝±1或x ＝0.且当01时，y >0，故选B.

5．sin2α＝2425，0<α<π2，则2cos ? ????π4－α的值为( ) A ．－1

5

B.1

5 C ．－75

D.75

答案 D 解析

2cos ? ????π4－α＝2? ??

??22cos α＋22sin α＝sin α＋cos α，又∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝4925，0<α<π

2，∴sin α＋cos α＝75

，故选D.

6. 执行如图所示的程序框图，若输入t 的值为5，则输出的s 的值为( )

A.9

16 B.54 C.2116

D.118

答案 D

解析 依题意，当输入t 的值是5时，执行题中的程序框图，s ＝1，k ＝2<5，s ＝1＋1

2

，

k ＝3<5，s ＝1＋12－122，k ＝4<5，s ＝1＋12－122＋12

3，k ＝5≥5，此时结束循环，输出的s ＝1

＋12－122＋123＝11

8

，选D. 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

A ．2π－2

3

B ．2π－4

3

C.5π3 D ．2π－2

答案 A

解析 本题考查几何体的三视图和体积．由三视图得该几何体为底面半径为1，高为2的圆柱体挖去一个底面边长为2的正方形，高为1的正四棱锥后剩余的部分，则其体积为2×π×12－13×(2)2×1＝2π－2

3

，故选A.

8．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)?

????|φ|<π2的图象向右平移π12个单位后的图象关于y 轴对称，

则函数f (x )在?

?????0，π2上的最小值为( )

A ．0

B ．－1

C ．－1

2

D ．－

3

2

答案 D

解析 f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移

π12个单位后得到g (x )＝sin ????

??2? ????x －π12＋φ＝sin ? ??

??2x －π6＋φ的图象，又g (x )的图象关于y 轴对称，

∴g (0)＝sin ?

??

??－π6＋φ＝±1，

∴－π6＋φ＝π

2

＋k π(k ∈Z )，

∴φ＝

2π

3

＋kπ(k∈Z)，又|φ|<

π

2

，

∴φ＝－

π

3

，∴f(x)＝sin

?

?

?

?

?

2x－

π

3，又

x∈

?

?

?

?

?

?

0，

π

2，

∴2x－

π

3

∈

?

?

?

?

?

?

－

π

3

，

2π

3

，∴f(x)min＝－

3

2

.

9．设不等式组

?

?

?x＋y≤2，

x－y≥－2

y≥0

，所表示的区域为M，函数y＝1－x2的图象与x轴所

围成的区域为N，向M随机投一个点，则该点落在N的概率为( )

A.

2

π

B.

π

4

C.

π

8

D.

π

16

答案 B

解析本题考查不等式组表示的平面区域、几何概型．在平面直角坐标系画出题中的不等式组表示的平面区域为以(2，0)，(－2，0)，(0，2)为顶点的三角形区域，函数y＝1－x2

的图象与x轴围成的区域如图中的阴影部分所示，则所求概率为

1

2

π×12

1

2

×22×2

＝

π

4

，故选B.

10．如图，在正六边形ABCDEF中，点P是△CDE(包括边界)的一个动点，设AP

→

＝λAF

→＋μAB

→

(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值围是( )

A.

?

?

?

?

?

?

3

2

，4

B．[3,4]

C.

?

?

?

?

?

?

3

2

，

5

2

D.????

??34，2 答案 B

解析 本题考查平面向量的运算、线性规划的应用．以A 为原点，分别以AB ，AE 所在的直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，设正六边形的边长为1，则A (0,0)，B (1,0)，C ? ??

??3

2，32，

D (1，3)，

E (0，3)，

F ? ????－12，

32，设点P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AF →＝? ??

??－1

2，32，AB →＝(1,0)，则由AP →＝λAF →＋μAB →得???

??

x ＝－1

2

λ＋μ，

y ＝32λ

解得?

??

??

λ＝233y ，μ＝x ＋3

3y ，则λ＋μ＝x

＋3y ，又因为点P 在△CDE ，所以当点P 与点D 重合时，λ＋μ取得最大值1＋3×3＝4，当点P 在线段CE 上时，λ＋μ取得最小值3，所以λ＋μ的取值围为[3,4]，故选B.

11．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a >b >0)的下顶点，M ，N 在

椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，α∈?

??

??π6，π4，则椭圆

C 的离心率的取值围为( )

A.? ?

?

??0，63 B.? ??

??0，32 C.??

????6

3，32 D.??

????

63

，223

答案 A

解析 因为OP 在y 轴上，在平行四边形OPMN 中，MN ∥OP ，因此M ，N 的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M ，N 关于x 轴对称，|MN |＝|OP |＝a ，可设M (x ，－y 0)，

N (x ，y 0)．由k ON ＝k PM 得y 0＝a 2.把点N 的坐标代入椭圆方程得|x |＝32

b ，点N ? ??

??

32b ，a 2.

因为α是直线ON 的倾斜角，因此tan α＝a 2÷32b ＝a 3b

.又α∈? ????π6，π4，因此

33

≤1，33≤b a <1，13≤b 2

a 2<1，e ＝

1－? ????b a

2∈? ??

??

0，

63，选A. 12．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )<2恒成立，则使x 2f (x )－f (1)

A ．{x |x ≠±1}

B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C ．(－1,1)

D ．(－1,0)∪(0,1)

答案 B

解析 令g (x )＝x 2f (x )－x 2，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－2x ＝x [2f (x )＋xf ′(x )－2]，当

x>0时，g′(x)<0，g(x)单调递减．又f(x)是偶函数，则g(－x)＝x2f(－x)－x2＝x2f(x)－x2＝g(x)，即g(x)是偶函数．不等式x2f(x)－f(1)1，解得x<－1或x>1，选项B正确．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)

13．某单位有员工90人，其中女员工有36人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是________．

答案 9

解析 男员工应抽取的人数为90－36

90

×15＝9.

14．已知三棱锥P －ABC 的顶点P 、A 、B 、C 在球O 的球面上，△ABC 是边长为3的等边三角形，如果球O 的表面积为36π，那么P 到平面ABC 距离的最大值为________．

答案 3＋2 2

解析 依题意，边长是3的等边△ABC 的外接圆半径r ＝12·3

sin60°＝1，∵球O 的表

面积为36π＝4πR 2，∴球O 的半径R ＝3，∴球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝22，∴球面上的点P 到平面ABC 距离的最大值为R ＋d ＝3＋2 2.

15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C

＝________.

答案 565

4

解析 △ABC 中，∵tan B ＝－43，∴sin B ＝45，cos B ＝－35，又S △ABC ＝1

2

ac sin B ＝2c ＝8，

∴c ＝4，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝65，∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B ＝565

4

.

16．过直线l ：x ＋y ＝2上任意一点P 向圆C ：x 2＋y 2＝1作两条切线，切点分别为A ，B ，线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值围为________．

答案 ??

??

??

22，2 解析 依题意，设点P (x 0,2－x 0)，则直线AB 的方程为x 0x ＋(2－x 0)y ＝1(注：由圆x 2＋

y 2＝r 2外一点E (x 0，y 0)向该圆引两条切线，切点分别为F ，G ，则直线FG 的方程是x 0x ＋y 0y

＝r 2)，直线OP 的方程是(2－x 0)x －x 0y ＝0，其中点Q 是直线AB 与OP 的交点，因此点Q (x ，

y )的坐标是方程组???

x 0x ＋2－x 0y ＝1，

2－x 0x －x 0y ＝0

的解．

由???

x 0x ＋2－x 0y ＝1，

2－x 0x －x 0

y ＝0得?

????

x ＝

x 0

2－x 02＋x 20

，

y ＝2－x 0

2－x 02＋x 20

，

即点Q ?

? x 0

2－x 02＋x 20，

?

??2－x 0

2－x 02＋x 20，点Q 到直线l 的距离d ＝?

??

??

?

22－x

02

＋x 20

－22＝

?????

?1x 20－2x 0＋2－22

.

注意到

0<

1

x 20－2x 0＋2

＝

1

x 0－1

2

＋1

≤1，－2<

1

x 20－2x 0＋2

－2≤－

1,1≤????

??1x 2

0－2x 0＋2－2<2，所以22≤????

??1x 2

0－2x 0＋2－22

<2，即点Q 到直线l 的距离的取值

围是??

??

??

22，2. 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 3＝39，且2a 2是3a 1与

a 3的等差中项．

(1)求数列{a n }的通项a n ； (2)若数列{a n }为递增数列，b n ＝

1

log 3a n ·log 3a n ＋2，T n

＝b 1＋b 2＋…＋b n ，问是否存在正整

数n 使得T n >1

2

成立？若存在，求出n 的最小值；若不存在，请说明理由．

解 (1)设数列{a n }的公比为q . 由S 3＝39得a 1(1＋q ＋q 2)＝39. ①

因为2a 2是3a 1与a 3的等差中项，则3a 1＋a 3＝4a 2. 即q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或q ＝3.

代入①式得：当q ＝1时，a 1＝13，{a n }的通项公式为a n ＝13； 当q ＝3时，a 1＝3，{a n }的通项公式为a n ＝3×3n －1＝3n . (2)因为数列{a n }为递增数列，所以a n ＝3n ，b n ＝

1log 33n ·log 33n ＋2＝

1

n n ＋2

＝12

? ??

??1n －1n ＋2. T n ＝12

???

? ?

???1－13＋?

????

1

2－14＋?

??

??

13－15＋…

?

?

?＋?

????1n －1－1n ＋1＋? ????1n －1n ＋2