双曲线知识点及题型总结学生版

双曲线知识点及题型总结 1 双曲线定义：

①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．

要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.

②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线

2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122

22=-b

x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中

|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.

3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

5.曲线的简单几何性质

a x －22b

y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R

⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：

①若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程?=-02222b y a x x a

b y ±=

②若渐近线方程为x a

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x

③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，

焦点在y 轴上）

④特别地当?=时b a 离心率2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a

x ，y =－

x (什么是共轭双曲线?) ⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2

，两准线之距为2

122a K K c

⑹焦半径：2

1()a PF e x ex a c

=+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；

2()a PF e x ex a c

=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；

当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）

⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22

22b

y a x )0(≠λ

⑻与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是122

2=--+k

b y k a x 6曲线的内外部

(1)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22

00221x y a b

?->.

(2)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的外部22

00221x y a b

?-<.

7曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a

y ±=.

(2)若渐近线方程为x a

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-22

22b y a x .

(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，

焦点在y 轴上）.

8双曲线的切线方程

(1)双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b

-=.

（2）过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是

00221x x y y

a b

-=. （3）双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.

9线与椭圆相交的弦长公式

AB =若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则弦长 ]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+=

]4)[()1

1(1

1212212122y y y y k

y y k

-+?+

=-?+=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；

高考题型解析

题型一：双曲线定义问题

1.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

2.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程

322=+--k y

k x 表示双曲线”的( ) A .充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件.

3.给出问题：F 1、F 2是双曲线162

x －20

2y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离

等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.

该学生的解答是否正确若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上. _________.

4.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ|=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 . 题型二：双曲线的渐近线问题

1.双曲线42

x －9

2y =1的渐近线方程是( )

A . y =±23

x B.y =±32x C.y =±49x D.y =±9

2.过点（2，－2）且与双曲线22

x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )

A .22y －42x =1 B.42x －22y =1 C.42y －22x =1 D.22x －4

2y =1

题型三：双曲线的离心率问题

1已知双曲线 x 2a 2 － y 2

2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支

上，且∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率e 的最大值为（） A ．4

B ．53

C ．２

D ．73

2.已知21,F F 是双曲线)0(,12

2>>=-

b a b

y a

的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲

线的左支交于A 、B 两点,若2ABF ?是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( )

A. 2

B.3

C. 2

D. 3

3.过双曲线M:

的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别

相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )

4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为2

，则该双曲线的离心率为( )

2 B. 2 C .2 D. 22

5..已知双曲线1

(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

A.( 1,2)

B. (1,2)

C.[2,+∞)

D.(2,+∞)

题型四：双曲线的距离问题

1.设P是双曲线

－

=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于( )

A.1或5

B.6

C.7

D.9

2.已知双曲线1

的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是

A.(

) B. (-3,3) C.[

] D. [-3,3]

3.已知圆C 过双曲线92

x －16

2y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到

双曲线中心的距离是____________. 题型五：轨迹问题

1.已知椭圆x 2+2y 2 =8的两焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆上任一点。AP 是⊿AF 1F 2的外角平分线，且 F 2?=0.则点P 的轨迹方程是 .

2.双曲线x 2－y 2 =4的两焦点分别为F 1、F 2，A 为双曲线上任一点。AP 是∠F 1AF 2的平分线，且 P F AP 2?=0.则点P 的轨迹是（）

A.椭圆的一部分

B.双曲线的一部分

C.圆的一部分

D.抛物线的一部分 3求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(22=++y x 都外切的动圆圆心的轨迹方程

高考例题

1.已知21,F F 是双曲线12

=-y x 的左、右焦点,P 、Q 为右支上的两点,直线PQ 过2F ,且倾斜角为α,则PQ QF PF -+11的值为 ( )

A 24

B 8

C 22

D 随α的大小变化

2.过双曲线02222=--y x 的右焦点作直线l 交曲线于A 、B 两点,若4=AB 则这样的直线存在 ( )

A 0条

B 1条

C 2条

D 3条

3. 直线53

+-=x y 与曲线12592=+y x x 的交点个数是 ( )

A 0个

B 1个

C 2个

D 3个

4. P 为双曲线122

22=-b

y a x 上一点,1F 为一个焦点,以1PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位

置关系为 ( )

A 内切

B 外切

C 内切或外切

D 无公共点或相交

5. 设21,F F 是双曲线14

=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F ,则21F PF ?的面积为 ( )

A 1 B

C 2

D 5 6. 设21,F F 是双曲线14

=-y x 的左、右焦点,P 在双曲线上,当21PF F ?的面积为1时,21PF PF ?的值为( ) A 0 B 1 C

D 2 7.过点A （0，2）可以作___条直线与双曲线x 2

－4

y ＝1有且只有一个公共点

过点P (4,4)且与双曲线

x 216

－y 2

＝1只有一个交点的直线有 ( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条

8.已知A （3，2），M 是双曲线H ：1322

=-y x 上的动点，F 2是H 的右焦点，求22

MF AM +的最小值及此时M 的坐标。

9. 已知双曲线C ：)1(13

≥=-x y x ，一条长为8的弦AB 两端在C 上运动，AB 中点为

M ，则距y 轴最近的M 点的坐标为。

10.P 为双曲线x 2－y 2

＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1

上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．

11.直线l ：1+=kx y 与双曲线C ：1222=-y x 的右支交于不同的两点A 、B 。

（Ⅰ）求实数k 的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F 若存在，求出

k 的值。若不存在，说明理由。

12.已知两定点1(F 2F 满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线E ，直线ｙ＝kx －1与曲线E 交于A 、B 两点。（Ⅰ）求ｋ的取值范围；

（Ⅱ）如果63,AB =且曲线E 上存在点C ，使,OA OB mOC +=求m ABC ?的值和的面积S 。

练习题

1.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7，0)，直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN

中点的横坐标为﹣32

，则此双曲线的方程是（）

A ．4

2y x -=1 B ． 3422y x -=1 C ．2522y x -=1 D ．5

2y x -=1 2.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（） A.3 B .

6 D.

3 3、已知双曲线-

x 2

2b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF

的面积为2

a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（）

A ．30o

B ．45o

C ．60o

D ．90o

4、已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥，

2||||21=?PF PF ，则该双曲线的方程是

A ．13222=-y x

B ．12322=-y x

C ．1422=-y x

D ．14

22=-y x

5、已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，

若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

A ．324+

B ．13-

C ．

3+ D ．13+

6. 直线y ＝x ＋3与曲线4

y 4x

x 2

-=1的交点的个数是（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个

7.若双曲线x 2－y 2=1右支上一点P (a , b )到直线y =x 的距离是2，则a ＋b 的值为（）。（A ）－2

（B ）2

1 （C ）－2

1或2

1 （D ）2或－2

8.已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂

直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )

A ．(1，＋∞)

B ．(1,2)

C ．(1,1＋2)

D ．(2,1＋2) 9.设P

为双曲线4

2x －y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方

程是．

10.求与圆A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________

11.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(

（1）求双曲线C 的方程；

（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>?OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.

12.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；

(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．

双曲线考点与题型归纳

双曲线考点与题型归纳一、基础知识 1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a?(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线?.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．?当|PF1|－|PF2|＝2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支. 当|PF1|－|PF2|＝－2a(2a＜|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支. ?若2a＝2c，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞2c，则轨迹不存在；若2a ＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 2.双曲线的标准方程 (1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)． (2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2 a2－x2 b2＝1(a＞0，b＞0)．3．双曲线的几何性质

二、常用结论 (1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2 a ，也叫通径． (2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2 b 2＝t (t ≠0)． (3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b . (4)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . 考点一双曲线的标准方程 [典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y 2 12＝1 B.y 23－x 2 2＝1 C ．x 2－ y 2 3 ＝1 D.3y 223－x 2 23 ＝1 (2)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2 12＝1 B.x 212－y 2 4＝1 C.x 23－y 2 9 ＝1 D.x 29－y 2 3 ＝1 [解析] (1)法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0， b ＞0)，由题意得??? 4a 2－9 b 2 ＝1，b a ＝ 3，解得? ???? a ＝1， b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2 －y 2 3 ＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得

双曲线知识点复习总结

双曲线知识点总结复习 1.双曲线的定义：（1）双曲线：焦点在x 轴上时1-2222=b y a x （222 c a b =+），焦点在y 轴上时2 222-b x a y ＝1（0a b >>）。双曲线方程也可设为： 22 1(0)x y mn m n -=>这样设的好处是为了计算方便。（2）等轴双曲线：（注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。）例一：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。（要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。）思考：定义中若（1）20a =；（2）122a F F =，各表示什么曲线？ 2.双曲线的几何性质：（1）双曲线（以）（0,01-22 22>>=b a b y a x 为例）：①范围：x a x a ≥≤-且；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点 (,0),(0,)a b ±±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±；⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小。⑥通径22b a （2）渐近线：双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为：等轴双曲线的渐近线方程为：，离心率为：（注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图）例二：方程 1112 2=--+k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是___________________ 例三：双曲线与椭圆 164 162 2=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线的方程为__________________ 例四：双曲线142 2=+b y x 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围是___________________

高中数学双曲线抛物线知识点总结

双曲线平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ< )的点的轨迹。方程 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>> 22 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 简图范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴关于x 轴、y 轴及原点对称关于ｘ轴、y 轴及原点对称准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关系 222c a b =+ 考点题型一求双曲线的标准方程１、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。（1）虚轴长为12,离心率为 54 ; （2）焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）；（3）与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y

解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54 。 ∴b=6,ｃ=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。（2)∵双曲线经过点M(0,１2）， ∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。又2c ＝26，∴c ＝13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (３)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 331916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1, ０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率ｅ的取值范围。解:直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx ＋ay-ab=0。由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(－1,0）到直线l 的距离22 2 d a b = +,

双曲线题型归纳含(答案)

三、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念例1 设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若3||1=PF ，则=||2PF （） A ．1或5 B ．6 C ．7 D ．9 分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出 2||PF 的值．解：Θ双曲线19222=-y a x 渐近线方程为y =x a 3 ±，由已知渐近线为023=-y x ， 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=，||4||12PF PF +±=∴. 12||3, ||0PF PF =>Q ，7||2=∴PF . 故选C ．归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法．（二）基本量求解例2(2009山东理)设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线2 1y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（） A ． 4 5 B ．5 C ．25 D ．5 解析：双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组21b y x a y x ? =? ??=+?，消去y ，得 210b x x a - +=有唯一解，所以△=2()40b a -=，所以2b a =，2221()5c a b b e a a a +===+=，故选D ．

归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能．例3（2009全国Ⅰ理）设双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线y =x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )A.3 B.2 C.5 D.6 解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为 0'0|2x x y x ==．由题意有 00 2y x x =．又有2001y x =+，联立两式解得:2201,2,1()5b b x e a a =∴ ==+=．因此选C ．例4（2009江西）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点，若12F F ，， (0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（） A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3 解析：由3tan 6 2c b π = =2222 344()c b c a ==-，则2c e a ==，故选B ．归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出3 tan 6 2c b π = =体现数形结合思想的应用．（三）求曲线的方程

双曲线知识点归纳总结

双曲线知识点归纳总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

第二章 2.3 双曲线

① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上；当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。若2a =2c 时，即2121F F MF MF =-,当2 12 1F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向右延伸的一条射线；当2112F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线；若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2 AB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01 B A ，双曲线的焦点在y 轴上；当01 ,01 B A ，双曲线的焦点在x 轴上； 5.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

双曲线知识点归纳总结

第二章 2.3 双曲线

右延伸的一条射线；当2 112 F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线；若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2πAB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01φπB A ，双曲线的焦点在y 轴上；当01 ,01πφB A ，双曲线的焦点在x 轴上； 5.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 6. 离心率与渐近线之间的关系 22 2 22222 1a b a b a a c e +=+== 1）2 1?? ? ??+=a b e 2） 12-=e a b 7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. (4)与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22 22b y a x 0(≠λ

双曲线-题型归纳-含答案

三、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念例1 设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若3||1=PF ，则= ||2PF （） A ．1或5 B ．6 C ．7 D ．9 分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出2||PF 的值．解：Θ双曲线 1922 2=-y a x 渐近线方程为x a 3 ±，由已知渐近线为023=-y x ， 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=，||4||12PF PF +±=∴. 12||3, ||0PF PF =>Q ，7||2=∴PF . 故选C ．归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法．（二）基本量求解例2(2009 山东理)设双曲线122 22=-b y a x 的一条渐近线与抛物线 21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（） A ．45 B ．5 C ． 2 5 D ．5

解析：双曲线 12 222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组 21 b y x a y x ? =?? ?=+?，消去y ，得210b x x a -+=有唯一解，所以△=2()40b a -=，所以2b a =，2221()5c a b b e a a a +===+=，故选 D ．归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能．例3（2009 全国Ⅰ理）设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )356解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0 '0|2x x y x ==．由题意有 00 2y x x =．又有2001y x =+，联立两式解得:2201,2,1()5b b x e a a =∴==+= 因此选C ．例4（2009 江西）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点，若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（） A ．3 2 B ．2 C ．52 D ．3

双曲线知识点复习总结

双曲线知识点总结复习 1. 双曲线的定义：（1）双曲线：焦点在x 轴上时1-2222=b y a x （222 c a b =+），焦点在y 轴上时2 222-b x a y ＝1（0a b >>）。双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n - =>这样设的好处是为了计算方便。（2）等轴双曲线：（注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。）例一：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。（要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。）思考：定义中若（1）20a =；（2）122a F F =，各表示什么曲线？ 2. 双曲线的几何性质：（1）双曲线（以）（0,01-22 22>>=b a b y a x 为例）：①范围：x a x a ≥≤-且；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点 (,0),(0,)a b ±±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小。⑥通径22b a （2）渐近线：双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为：等轴双曲线的渐近线方程为：，离心率为：（注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图）例二：方程 1112 2=--+k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是___________________ 例三：双曲线与椭圆 164 162 2=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线的方程为__________________ 例四：双曲线142 2=+b y x 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围是___________________

双曲线知识点总结 (1)

双曲线知识点知识点一：双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意： 1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1 、F 2 为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F 1 F 2 的垂直平分线。标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点

轴长实轴长 =，虚轴长= 离心率渐近线方程 1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长 a b2 2 2.等轴双曲线 :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为 3.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） 4.焦点三角形的面积 2 cot 2 2 1 θ b S F PF = ? ，其中 2 1 PF F ∠ = θ 5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0 (1 2 2< = +mn ny mx 7. 椭圆双曲线根据|MF 1 |+|MF 2 |=2a 根据|MF 1 |－|MF 2 |=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0），（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）

高考数学-圆锥曲线-双曲线题型总结

二、双曲线 1、（21）（本小题满分14分）08天津已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是()0,3 1 - F，一条渐近线的方程是0 2 5= -y x. （Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若以()0≠k k为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2 81 ，求k的取值范围. （21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为 22 22 1 x y a b -=（0,0 a b >>）．由题设得 229 a b b a ?+= ? ? = ? ? ，解得 2 2 4 5 a b ?= ? ? = ?? ，所以双曲线方程为 22 1 45 x y -=．的方程为y kx m =+（0 k≠）．点 11 (,) M x y， 22 (,) N x y的坐标满足方程组（Ⅱ）解：设直线l 22 1 45 y kx m x y =+ ? ? ? -= ?? 将①式代入②式，得 22 () 1 45 x kx m + -=，整理得222 (54)84200 k x kmx m ----=．此方程有两个一等实根，于是2 50 4k -≠，且222 (8)4(54)(420)0 k m k m ?=-+-+>．整理得22 540 m k +->．③ 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标 00 (,) x y满足 12 02 4 254 x x km x k + == - ， 002 5 54 m y kx m k =+= - ．从而线段MN的垂直平分线方程为 22 514 () 5454 m km y x k k k -=-- -- ．此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为 2 9 (,0) 54 km k - ， 2 9 (0,) 54 m k - ．由题设可得22 19981 |||| 254542 km m k k ?= -- ．整理得 22 2 (54) || k m k - =，0 k≠．将上式代入③式得 22 2 (54) 540 || k k k - +->，整理得22 (45)(4||5)0 k k k --->，0 k≠．

(完整版)双曲线经典知识点总结

双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0 且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为， . 知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成― x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率：①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。 ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线，所以离心率。（5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是，我们把直线叫做双曲线的渐近线。注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，

双曲线高考知识点及题型总结

双曲线高考知识点及题型总结—(最新最全) 目录双曲线知识点 (2) 1双曲线定义： (2) 2.双曲线的标准方程： (2) 3.双曲线的标准方程判别方法是： (2) 4.求双曲线的标准方程 (2) 5.曲线的简单几何性质 (2) 6曲线的内外部 (3) 7曲线的方程与渐近线方程的关系 (3) 8双曲线的切线方程 (3) 9线与椭圆相交的弦长公式 (4) 高考知识点解析 ........................................................................................................................ 错误!未定义书签。知识点一：双曲线定义问题 ............................................................................................ 错误!未定义书签。知识点二：双曲线标准方程问题 .................................................................................... 错误!未定义书签。知识点三：双曲线在实际中的应用 ................................................................................ 错误!未定义书签。知识点四：双曲线的简单几何性质的应用 .................................................................... 错误!未定义书签。知识点五：双曲线的离心率 ............................................................................................ 错误!未定义书签。知识点六：直线与双曲线 (6) 考题赏析 .............................................................................................................................................................. 7-13分块讲练 .................................................................................................................................... 错误!未定义书签。

(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结

高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点（限考）概要： 1、椭圆：（1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为：； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心率用集合表示为：；（2）标准方程和性质：

注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。（3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线：（1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。用集合表示为：

（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。

4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为：（2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；

二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。

双曲线方程知识点总结_公式总结

双曲线方程知识点总结_公式总结双曲线方程 1. 双曲线的第一定义： ⑴①双曲线标准方程：. 一般方程： . ⑴①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或 ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或. ②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点） “长加短减”原则：构成满足（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

⑴等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. ⑴共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：. ⑴共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：，代入得. ⑴直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑴若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.

经典双曲线知识点

双曲线：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；了解双曲线的简单几何性质。重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质. 难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线. 知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，. 知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、― y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。

圆锥曲线方程知识点总结

§8.圆锥曲线方程知识要点一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2, 2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 222 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：122 2 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. > ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e =. ⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12222 b a b y a x =+ 上的一点，21,F F 为左、右焦点，则》 ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 200201 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(222 2a b c a b d -=和),(2a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆： 12 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b （用 ? -=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF

双曲线重难点题型归纳

双曲线常考重难点题型归纳必考点1：双曲线的定义 1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程标准方程 x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2 b 2＝1(a >0，b >0) 图形例题1：已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -上的点，则|OP |=（） A ． 22 2 B 410 C 7 D 10 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，2 2 2 413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()2 2 103 y x x -=>，而点P 还在函数 2 34y x =-()2 2210334y x x y x ???->-==??，解得13233 2x y ?=? ???=??，即13271044OP =+= D. 例题2：已知F 为双曲线22 :149 x y C -=的左焦点，P ，Q 为双曲线C 同一支上的两点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(13,0)A 在线段PQ 上，则PQF △的周长为________．

【解析】根据题意，双曲线 22 :1 49 x y C-=的左焦点(13,0) F-，所以点(13,0) A是双曲线的右焦点，虚轴长为：6；双曲线图象如图： ||||24 PF AP a -==①||||24 QF QA a -==②而||12 PQ=，①＋②得： ||||||8 PF QF PQ +-=，∴周长为||||||82||32 PF QF PQ PQ ++=+=．故答案为：32．【小结】 1.双曲线定义的主要应用 (1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． 2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解． 4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．双曲线的标准方程例题3：已知双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（） A. 22 1 412 x y -= B. 22 1 124 x y -= C. 2 21 3 x y -= D. 2 21 3 y x-= 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：222 2 tan603 c c a b b a ? ?= ? =+ ? ? ?== ? ，解得：22 1,3 a b ==，双曲线方程为： 2 21 3 y x-=.本题选择D选项.

2019年高二数学双曲线知识点总结

2019年高二数学双曲线知识点总结双曲线是高二数学中较难的内容，同时也是高中数学的重点。下面给高二同学带来数学双曲线知识点，希望对你有帮助。 1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减” a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。当λ>0时，λa与a同方向; 当λ<0时，λa与a反方向; 当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。 ②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 4、向量的的数量积