08.2017年上海高三数学一模分类汇编：立体几何

4（2017浦东一模）. 已知一个球的表面积为16π，则它的体积为

5（2017静安一模）. 用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为 立 方米

6（2017徐汇一模）. 在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==，1AA ，则异面直线1BD 与1CC 所成角的大小为

6（2017闵行一模）. 如图，已知正方形1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中 点，则三棱锥1D ADE -的体积为

6（2017杨浦一模）. 若半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60?，则该截面的面积是

7（2017青浦一模）. 若圆锥侧面积为20π，且母线与底面所成角为4arccos

5，则该圆锥 的体积为

7（2017崇明一模）. 已知圆锥的母线10l =，母线与旋转轴的夹角30α?=，则圆锥的表 面积为

7（2017长宁/嘉定一模）. 若圆锥的侧面展开图是半径为2cm ，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为 3cm

8（2017奉贤一模）. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、

俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角

边长都为1，那么这个几何体的表面积为

9（2017青浦一模）. 将边长为10的正三角形ABC ，按“斜二

测”画法在水平放置的平

面上画出为△A B C '''，则△A B C '''中最短边的边长为 （精确到0.01）

9（2017普陀一模）. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=?，1AB BC ==，若1A C 与平面11B BCC 所成的角为6

π，则三棱锥1A ABC -的体积为

9（2017松江一模）. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体 积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是 2cm

9（2017宝山一模）. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角 形，则该圆锥的侧面积为

9（2017虹口一模）. 一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是

60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于

11（2017静安一模）. 若空间三条直线a 、b 、c 满足a b ⊥，b c ⊥，则直线a 与c （ ）

A. 一定平行

B. 一定相交

C. 一定是异面直线

D. 平行、相交、是异面直线都有可能

11（2017普陀一模）. 设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬45°，且两地所在纬

R ，则A 、B 之间的球面距离是 （结果用含有R 的代数式 表示）

12（2017长宁/嘉定一模）. 如图，已知正三棱柱的底面边长为2cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的长为 cm

13（2017金山一模）. 给定空间中的直线l 与平面α，则“直线l 与平面α垂直”是“直 线l 垂直于平面α上无数条直线”的（ ）条件

A. 充分非必要

B. 必要非充分

C. 充要

D. 既不充分也不必要

13（2017虹口一模）. 在空间，α表示平面，m 、n 表示二条直线，则下列命题中错误 的是（ ）

A. 若m ∥α，m 、n 不平行，则n 与α不平行

B. 若m ∥α，m 、n 不垂直，则n 与α不垂直

C. 若m α⊥，m 、n 不平行，则n 与α不垂直

D. 若m α⊥，m 、n 不垂直，则n 与α不平行

14（2017松江一模）. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在截面1A DB 上，则线段AP 的最小值为（ ）

A. 13

B. 12

C. 3

D. 2

14（2017青浦一模）. 已知空间两条直线m 、n ，两个平面α、β，给出下面四个命题： ①m ∥n ，m n αα⊥?⊥；

②α∥β，m α，n β?m ∥n ；

③m ∥n ，m ∥αn ?∥α；

④α∥β，m ∥n ，m α⊥n β?⊥；

其中正确的序号是（ ）

A. ①④

B. ②③

C. ①②④

D. ①③④

15（2017金山一模）. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）

A. 283π-

B. 83

π- C. 82π- D. 23

π

15（2017普陀一模）. 设l αβ--是直二面角，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且a 、b 与l 均不垂直，则（ ）

A. a 与b 可能垂直，但不可能平行

B. a 与b 可能垂直，也可能平行

C. a 与b 不可能垂直，但可能平行

D. a 与b 不可能垂直，也不可能平行

16（2017静安一模）. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，AB a =，12AA a =，E 、F 分别是棱AD 、CD 的中点；

（1）求异面直线1BC 与EF 所成角的大小；

（2）求四面体1CA EF 的体积；

17（2017青浦一模）. 如图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点；

（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点C 是弧AB 的中点时，求异面直线1A C 与AB 的所成 角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（2）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比；

17（2017虹口一模）. 在正三棱锥P ABC -中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4；

（1）求证：PA BC ⊥；

（2）求此三棱锥的全面积和体积；

17（2017闵行一模）. 如图，在Rt AOB ?中，6OAB π

∠=，斜边4AB =，D 是AB 中点，

现将Rt AOB ?以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上一点，且90BOC ∠=?，

（1）求圆锥的侧面积；

（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的大小；

（用反三角函数表示）

17（2017浦东一模）. 在长方体1111ABCD A B C D -中（如图），11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 中点；

（1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；

（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角

形的四面体成为鳖臑，试问四面体1D CDE 是

否为鳖臑？并说明理由；

17（2017杨浦一模）. 如图，某柱体实心铜制零件的截面边界是长度为55毫米线段AB 和

88毫米的线段AC 以及圆心为P ，半径为PB 的一段圆弧BC 构成，其中60BAC ?∠=；

（1）求半径PB 的长度；

（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1个立方厘米铜重8.9克，按四 舍五入精确到0.1克）；（V s h =?柱底）

17（2017金山一模）. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB 、PD 与平面ABCD 所成的角依次是

4

π和1arctan 2，2AP =，E 、F 依次是PB 、PC 的中点； （1）求异面直线EC 与PD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）

（2）求三棱锥P AFD -的体积；

17（2017奉贤一模）. 已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，点C 是弧AB 的中点；

（1）求三棱锥P ACO -的体积；

（2）求异面直线MC 与PO 所成的角；

17（2017松江一模）. 如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==，E 是棱PC 的中点；

（1）求证：PC BD ⊥；

（2）求直线BE 与PA 所成角的余弦值；

17（2017崇明一模）. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12BB =，求：

（1）异面直线11B C 与1A C 所成角的大小；

（2）四棱锥111A B BCC -的体积；

17（2017宝山一模）. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为

4，侧面积为36； （1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；

（2）求异面直线1A C 与AB 所成的角的大小；

17（2017长宁/嘉定一模）. 如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为30°，且2AB BC ==；

（1）求三棱锥A BCD -的体积；

（2）设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM

所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

17（2017徐汇一模）. 已知PA ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，2AP BC ==，30CBA ?∠=，D 是AB 的中点；

（1）求PD 与平面PAC 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）

（2）求△PDB 绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体的体积；（结果保留π）

19（2017普陀一模）. 现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为7.83/g cm ，总重量为5.8kg ，其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位：毫米）；

（1）这堆螺帽至少有多少个；

（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要

耗材0.11千克，共需要多少千克防腐材料？

（结果精确到0.01）