(完整版)二次函数解析式练习题
二次函数图象与性质
知识点一、二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的函数称为二次函数(quadratic funcion) .其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.
知识点二、二次函数的图象及画法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是对称轴平行于y轴(或是y轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同.
1. 用描点法画图象
首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.
2. 用平移法画图象
由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到a 值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k).
知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
1.函数y=ax2(a≠0)的图象与性质：
函数
a的符
号
图象
开口
方向
顶点坐
标
对称轴增减性最大(小)值y=ax2a>0 向上(0，0) y轴
x>0时，y随x增大而增大
x<0时，y随x增大而减小
当x=0时，
y最小=0
y=ax2a<0 向下(0，0) y轴
x>0时，y随x增大而减小
x<0时，y随x增大而增大
当x=0时，
y最大=0
2.函数y=ax2+c(a≠0)的图象及其性质:
(1)当a>0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最小=c
(2)当a<0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最大=c
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质：
二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是，对称轴是直线
函数二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)
图象
a>0 a<0
性质(1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延
伸，顶点是它的最低点.
(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左
向右下降，在对称轴的右侧，抛物线自左向右
上升.
(1)当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延
伸，顶点是它的最高点.
(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左
向右上升；在对称轴右侧，抛物线自左向右下
降.
知识点四、抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用
a，b，c的代数式作用字母的符号图象的特征
a 1. 决定抛物线的开口方向；
2. 决定增减性
a>0 开口向上
a<0 开口向下
c 决定抛物线与y轴交点的位置，交
点坐标为(0，c)
c>0 交点在x轴上方
c=0 抛物线过原点
c<0 交点在x轴下方决定对称轴的位置，对称轴是直线ab>0 对称轴在y轴左侧
ab<0 对称轴在y轴右侧
b2-4ac 决定抛物线与x轴公共点的个数b2-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点b2-4ac=0 顶点在x轴上
b2-4ac<0 抛物线与x轴无公共点
1.求二次函数解析式的方法
一般来说，二次函数的解析式常见有以下几种形式.
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
(2)顶点式：
y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)
要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需要已知三个独立条件.
当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后列出三元一次方程组求解.
当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式y=a(x-h)2+k求解.
2.确定二次函数最值的方法
确定二次函数的最大值或最小值，首先先看自变量的取值范围.再分别求出二次函数在顶点处的函数值和在端点处的函数值，比较这些函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值.
①若自变量的取值范围是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示.
图(1)中，抛物线开口向上，有最低点，则当时，函数有最小值是；
图(2)中，抛物线开口向下，有最高点，则当时，函数有最大值是.
②若自变量的取值范围不是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示.
图(1)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；
(完整版)求二次函数的解析式--专题练习题-含答案
求二次函数的解析式 专题练习题 姓名： 班级： 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2，点A ，C 分别在 y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A ，B 和 D(4，－)，求抛物线的解析式． 23 2．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中点 A(－1，0)，点C(0，5)，D(1，8)都在抛物线上，M 为抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求直线CM 的解析式； (3)求△MCB 的面积． 3．已知一个二次函数，当x ＝1时，y 有最大值8，其图象的形状、开口方向与 抛物线y ＝－2x 2相同，则这个二次函数的解析式是( ) A ．y ＝－2x 2－x ＋3 B ．y ＝－2x 2＋4 C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8 D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6 4．已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经 过点(2，1)，求二次函数的解析式． 5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x 与y 的部分对应值如下表： x … －4 －3 －2 －1 0 …
y …－5 0 3 4 3 … (1)求此二次函数的解析式； (2)画出此函数图象； (3)结合函数图象，当－4＜x≤1时，写出y的取值范围． 6．已知一个二次函数的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)和C(0，－3)三点； (1)求此二次函数的解析式； (2)对于实数m，点M(m，－5)是否在这个二次函数的图象上？说明理由．7．已知抛物线在x轴上截得的线段长是4，对称轴是x＝－1，且过点 (－2，－6)，求该抛物线的解析式． 8．已知y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝x2－2x－3. (1)b＝____，c＝____； (2)求原函数图象的顶点坐标； (3)求两个图象顶点之间的距离． 9．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式．
专题用待定系数法求二次函数的解析式
精心整理 精心整理 专题1-用待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的解析式常见的三种表达形式： 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0） 顶点式：y=a(x －h)2+k （a ≠0，（h ，k ）是抛物线的顶点坐标） 交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2)（a ≠0，x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标） 例1.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点坐标为（－2，4），且经过原点，求二次函数解析式. 求二次4例2x=－1x=－11. 2.3.4.二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。 5.已知二次函数的图象与x 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式 6.抛物线的顶点为（－1，－8），它与x 轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。 7.二次函数的图象与x 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。 8.把二次函数25 3212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的
精心整理 精心整理 解析式。 9.二次函数y=ax 2+bx+c ，当x ＜6时y 随x 的增大而减小，x ＞6时y 随x 的增大而增大，其最小值为－12，其图象与x 轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。 10.已知一个二次函数的图象过（1，5）、（1,1--）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。 11.已知二次函数图象的顶点为（2,k ）,在一次函数y=x+1上，并且点（1,1）在图像上，求此二次函数解析式 12.已知二次函数y=ax 2-2ax+c(a 不为0)的图像与x 轴交于A 、B 两点，A 左B 右，与y 轴正半轴交于点C ，AB=4，OA=OC,求二次函数的解析式 13. 2且x 114.3,0）， （1Q 点坐15（1（2）
九年级数学二次函数几种解析式的求法素材
二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考 试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代 入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2-3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系 数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2+bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过A 点， 且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y= x x 23212 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.
再将点(1,2)代入求得a=-21 ∴y=-,4)1(212++x 即y=-.272 12+-x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函 数,122+-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移 两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x 3)3(22--=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ） 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为 2，求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=a ?
求二次函数解析式分类练习题
求二次函数解析式分类练习题 类型一：已知顶点和另外一点用顶点式 例1、已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数关系式． 练习： 1．已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10），求其解析式 类型二：已知图像上任意三点（现一般有一点在y轴上）用一般式 例2、已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式． 练习： 1、已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．求解析式 类型三：已知图像与x轴两个交点坐标和另外一点坐标，用两根式 例3、已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 练习：已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）． （1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）.写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）.这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 巩固练习： 1、已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式．
2、 已知二次函数的图象过（3，-2）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 3、已知二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 。若AC=20,BC=15, ∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式 4、已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式． 小测： 1、二次函数y=0.5x 2-x-3写成y=a(x-h)2+k 的形式后,h=___,k=___ 2、抛物线y=－x 2－2x ＋3的开口向 ，对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y 最__值 = ,与x 轴交点 ,与y 轴交点 。 3、二次函数y=x 2－2x －k 的最小值为－5，则解析式为 。 4、已知抛物线y=x 2+4x+c 的的顶点在x 轴上，则c 的值为_________ 6、抛物线 的顶点是(－2,3)，则m= ,n= ;当x 时,y 随x 的增大而增大。 7、已知二次函数 的最小值 为1，则m= 。 8、m 为 时，抛物线 的顶点在x 轴上。 9、已知一个二次函数的图象经过点(6,0), 且抛物线的顶点是(4,－8)，求它的解析式。 10、已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1，且通过点(2,8). 1．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式； 2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式． 3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式． 4． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。 5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝－1时有最小值－4，且图象在x 轴上截得线段长为 4，求函数解析式． 6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 7.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 8. 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x 轴相切．(1)求二次函数的解析式。 n m x y ++=2)(2m x x y +-=624 22++=mx x y
求二次函数解析式的几种方法
沁乐教育 沁心学习乐在其中 2015年秋季九年级数学辅导资料 第二讲函数图像性质及应用 学校：姓名：
二次函数的图象与基本性质 （一）、知识点回顾 【知识点二：抛物线的图像与a 、b 、c 关系】 （1） a 决定抛物线的开口方向：a>0，开口向 ________ ；a<0，开口向 ________ （2） c 决定抛物线与 ________的位置：c>0，图像与y 轴的交点在___________； c=0，图像与y 轴的交点在___________；c<0，图像与y 轴的交点在___________； （3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置，我们总结简称为：___________； （4）△＝b 2 －4ac 决定抛物线与________交点情况： △＝b 2 －4ac ?? ???<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与x x x 000 【知识点三：二次函数的平移】
设0,0>>n m ，将二次函数2 ax y =向右平移m 个单位得到___________；向左平移m 个单位得到___________；向上平移n 个单位得到___________；向下平移n 个单位得到___________。简单总结为___________，___________。 （注意：要用以上方法对二次函数图象进行平移，要先化成顶点式再操作） 【知识点四：二次函数与一元二次方程的关系】 二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y ，当0=y 时，即变为一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax ，从图象上来说，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的 交点的横坐标x 的值就是方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根。 【知识点五：二次函数解析式的求法】 （1） 知抛物线三点，可以选用一般式：c bx ax y ++=2 ，把三点代入表 达式列三元一次方程组求解； （2） 知抛物线顶点或对称轴、最大（小）值可选用顶点式： k h x a y +-=2)(；其中抛物线顶点是),(k h ； （3） 知抛物线与x 轴的交点坐标为)0,(),0,(21x x 可选用交点式： ) )((21x x x x a y --=，特别：此时抛物线的对称轴为直线 )(2 1 21x x x += （二）、感悟与实践 例1： （1）求二次函数y ＝x 2 －4x ＋1的顶点坐标和对称轴. （2）已知二次函数y ＝－2x 2 －8x －6，当___________时，y 随x 的增大而增大；当x ＝________时，y 有_________值是___________． 变式练习1-1：二次函数y ＝－x 2 ＋mx 中，当x ＝3时，函数值最大，求其最大值．
求二次函数解析式 综合题 练习+答案
求二次函数解析式：综合题 例1 已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解析式． 分析：本题可以利用抛物线的一般式来求解，但因 A(-1，0)、B(1，0)是抛物线与x轴的交点，因此有更简捷的解法． 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴(即y=0)有交点(x1，0)，(x2，0)．那么显然有 ∴x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．因此，有 ax2+bx＋c=a(x-x1)(x-x2) ∴抛物线的解析式为 y=a(x-x1)(x-x2) (*) (其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标) 我们将(*)称为抛物线的两根式．
对于本例利用两根式来解则更为方便． 解：∵抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0) ∴设抛物线的解析式为 y＝a(x＋1)(x-1) 又∵抛物线过M(0，1)，将x=0，y=1代入上式，解得a=-1 ∴函数解析式为y=-x2＋1． 说明：一般地，对于求二次函数解析式的问题，可以小结如下： ①三项条件确定二次函数； ②求二次函数解析式的一般方法是待定系数法； ③二次函数的解析式有三种形式： 究竟选用哪种形式，要根据具体条件来决定． 例2 由右边图象写出二次函数的解析式．
分析：看图时要注意特殊点．例如顶点，图象与坐标轴的交点． 解：由图象知抛物线对称轴x=-1，顶点坐标(-1，2)，过原点(0，0)或过点(-2，0)． 设解析式为y=a(x＋1)2+2 ∵过原点(0，0)，∴a＋2=0，a=-2．故解析式为 y=-2(x+1)2+2，即y=-2x2-4x． 说明：已知顶点坐标可以设顶点式． 本题也可设成一般式y=ax2+bx＋c，∵过顶点(-1，2)和过原点(0，0)，
求二次函数解析式练习题
求二次函数解析式练习题 1.已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式． 2.已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式． 3.已知一个二次函数对称轴x=8,函数最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式 4.已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．
5.已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 6.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）、二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 7. 已知二次函数的图象过（3，-2）、（2，-3）、二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 8.已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点，与x轴交于点C。若 AC=20,BC=15,∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式
9.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.（1）.已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）；（2）.已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）；（3）.已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3） ． 10.已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）.写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）.这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 11.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式：（1）.已知抛物线的顶点在原点，且过点（3，－27）；（2）.已知抛物线的顶点在（1，－2），且过点（2，3）；（3）.已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．
二次函数解析式的求法专题
1 / 1 二次函数解析式的求法专题 一、一般式：（利用图像上的三点） 1、根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式：（1）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）；（2）当x=1时，y=0;x=0时,y= -2，x=2 时，y=3 二、顶点式： 1、 对称轴是y 轴且过点A （1，3）、点B （－2，－6）的抛物线的解析式为 ． 2、根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式：（1）当x=3时，y 最小值=-1，且图象过（0，7）；（2）图象过点（0，-2） （1，2）且对称轴为直线x=23 ；（3）抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10） 2.1、已知二次函数的图象顶点是（-1，2），且经过（1，-3），求这个二次函数。 3、一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y= - 2x 2 相同，这个函数解析式为____________ 三、交点式： 1、 当二次函数图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1= -3，x 2=1时，且与y 轴交点为（0，-2），求这个二次函数的解析式 1.1、已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。 2、抛物线与x 轴的交点横坐标为1和5，并且经过点（0，6），求这个二次函数的关系式。 四、用距离来表示： 1、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ，c = ． 五、平移型： 1、抛物线y=21 x 2向上平移2个单位长度后得到新抛物线的解析式为____________。 2、把抛物线y=3x 2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是 3、抛物线23x y =的图象向右移动两个单位，再向下移动一个单位，这时抛物线的解析式为 _______ 4、把抛物线c bx x y ++=2的图像向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图像的解析式是532+-=x x y ， 则有（ ） A ．b =3，c =7 B ．b =－9，c=－15 C ．b =3，c =3 D ．b=－9，c =21 5、将抛物线y=－2x 2+4x 向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到抛物线的解析式为 . 6、把抛物线y= 12x 2 向左平移三个单位, 再向下平移两个单位所得的关系式为________. 六、定义型： 1、当_____=m 时，函数21(1)m y m x +=-是二次函数，它的开口_______。 2、当m=_________时，函数y = (m 2 －4))3(42-+--m x m m x + 3是二次函数，其解析式是__________________， 3、若抛物线2432(5)m m y x m --=+-的顶点在x 轴下方，则m 的值为 ( ) (A) m=5 (B)m=-1 (C) m=5或m=-1 (D) m=-5 七、对称型： 1、把函数y=－2x 2的图象沿x 轴对折，得到的图象的解析式为（ ）。 A 、y=－2x 2 B 、y=2x 2 C 、y=－2(x+1)2 D 、y=－2(x －1)2 2、抛物线2(2)y x =+关于x 轴对称的抛物线的解析式是_________________。
二次函数的三种表达形式.
二次函数的三种表达形式： ①一般式： y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[,] 把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。 ②顶点式： y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。 有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。 解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。 注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。 具体可分为下面几种情况： 当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。 ③交点式： y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] . 已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。 由一般式变为交点式的步骤： 二次函数 ∵x1+x2=-b/a，x1?x2=c/a(由韦达定理得), ∴y=ax2+bx+c =a(x2+b/ax+c/a) =a[x2-(x1+x2)x+x1?x2] =a(x-x1)(x-x2). 重要概念： a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。 a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。 能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
求二次函数解析式练习题
求二次函数解析式练习题 1. 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示对称轴为x=﹣．下列结论中，正确的是（ ） A ．abc ＞0 B ．a+b=0 C ．2b+c ＞0 D ．4a+c ＜2b 【答案】D 2.二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b 2－4ac >0；② 2a +b <0；③ 4a －2b+c =0；④ a ︰b ︰c = －1︰2︰3.其中正确的是( ) (A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④ 【答案】D 3.已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函 数的关系式． 4.已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数 的关系式． 5.已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式． 6.已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 7.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 8.已知二次函数的图象与x 轴交于A,B 两点，与x 轴交于点C 。若AC=20,BC=15,∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式 9.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.（1）.已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）； （2）.已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）； （3）.已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3） 10.已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式； （2）.写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）.这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 11.如图，在平面直c bx ax y ++=2角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2 经过A （-2，-4），O （0，0），B (2,0)三点.(1)求抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线对称轴上一点，求AM +OM 的最小值． 【答案】 解：（1）把A （-2，-4），O （0，0），B （2，0）三点代入c bx ax y ++=2中，得 ?? ???==++-=+-0024424c c b a c b a ………………3分 解这个方程组，得21-=a ，b =1，c =0. 所以解析式为x x y +-=22 1 （2）由x x y +-=221=2 1)1(212+--x ，可得 抛物线的对称轴为x=1,并且对称垂直平分线段OB ． ∴OM =BM ，OM +AM =BM +AM 连接AB 交直线x =1于M ，则此时OM +AM 最小．
求二次函数解析式的基本方法及练习题
求二次函数解析式的基本方法及练习题 二次函数是初中数学的一个重要内容,也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。 二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式:ｙ=ａx 2+ｂx+c (a ≠0)。 2、顶点式:y ＝a(x －h ）2+k (a ≠0）,其中点（h,k)为顶点，对称轴为x=h 。 3、交点式：ｙ=a(ｘ－x 1)（x-x 2） (a ≠０),其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。 求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件,设出恰当的解析式: 1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与ｘ轴的交点距离，通常可设交点式。 探究问题，典例指津： 例１、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(.求这个二次函数的解析式. 分析:由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c （a ≠0)。 解:设这个二次函数的解析式为y=ａx 2＋bx+c (a ≠0) 依题意得:?????=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：?? ???-===432c b a ∴这个二次函数的解析式为y=2ｘ2+3x-4。 例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。 分析:此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2,重新设顶点式y=a(x －h ）2+ｋ (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。 解:依题意，设这个二次函数的解析式为ｙ＝ａ(x －4)2-1 (a ≠０) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。 ∴ａ(0－4）2－1=3 ∴a=4 1 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x-4)2-1,即y ＝4 1x 2－2x+3。
求二次函数解析式的四种方法
求二次函数解析式的四种基本方法 二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。 二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。 2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。 3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。 4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0) 求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式： 1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。 4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。 探究问题，典例指津： 例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2 +bx+c (a ≠0)。 解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：?????=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：?? ???-===432c b a ∴这个二次函数的解析式为y=2x 2 +3x －4。 例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。 分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。 解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2 －1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
二次函数求解析式专题练习题
二次函数表达式的确定练习题 姓名__________ 1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式． 2．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式． 3． 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 ． 4．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 5.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 6.已知二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式． 7．把抛物线y ＝(x －1)2沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式． 8．二次函数y ＝x 2－mx ＋m －2的图象的顶点到x 轴的距离为,16 25求二次函数解析式． 9．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值． 10．函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别为( ) A ．4和－3 B ．5和－3 C ．5和－4 D ．－1和4 11．在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( ) 12.已知抛物线y=-x 2+mx+n 的顶点坐标是（-1，- 3 )，则m 和n 的值分别是（ ） A.2,4 B.-2,-4 C.2,-4 D.-2,0 13.已知二次函数2 y ax bx c =++的图象经过原点和第一、二、三象限，则（ ） （A ）0,0,0a b c >>> （B ）0,0,0a b c <<= （C ）0,0,0a b c <<> （D ）0,0,0a b c >>=
《待定系数法求二次函数解析式》专题
《待定系数法求二次函数解析式》专题 班级姓名 【一般式】 例1 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);求它的解析式。 变式：已知一个二次函数，当x=-1时，y=3；当x=1时，y=3；当x=2时，y=6。求这个二次函数的解析式。 【顶点式】 例2 已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。 变式1：已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8，求它的解析式。 变式2：已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
变式3：已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y 轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。 变式4：一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432 ，。求这条抛物线的解析式。 【交点式】 例3 .已知二次函数的图象与x 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式 想一想:还有其它方法吗? 变式1：已知二次函数的图象顶点坐标是(-1,9),与x 轴两交点间的距离是6.求它的解析式。 1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。
2.二次函数y= ax 2+bx+c ，x=－2时y=－6,x=2时y=10,x=3时y=24,求此函数的解析式。 3.已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求此抛物线解析式。 4.二次函数y= ax 2+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。 5.已知二次函数的图象与x 轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式 6.抛物线的顶点为（－1，－8），它与x 轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。 7.二次函数的图象与x 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。 8.把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得二次函数的解析式。
求二次函数解析式的几种方法
沁乐教育沁心学习乐在其中 2015年秋季九年级数学辅导资料第二讲函数图像性质及应用 学校：姓名：
二次函数的图象与基本性质 （一）、知识点回顾 【知识点一：二次函数的基本性质】 【知识点二：抛物线的图像与a、b、c关系】 （1）a决定抛物线的开口方向：a>0，开口向________ ；a<0，开口向________ （2）c决定抛物线与________的位置：c>0，图像与y轴的交点在___________；
c=0，图像与y 轴的交点在___________；c<0，图像与y 轴的交点在___________； （3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置，我们总结简称为：___________； （4）△＝b 2－4ac 决定抛物线与________交点情况： △＝b 2－4ac ?? ? ??<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与x x x 000 【知识点三：二次函数的平移】 设0,0>>n m ，将二次函数2 ax y =向右平移m 个单位得到___________；向左平移m 个 单位得到___________；向上平移n 个单位得到___________；向下平移n 个单位得到___________。简单总结为___________，___________。 （注意：要用以上方法对二次函数图象进行平移，要先化成顶点式再操作） 【知识点四：二次函数与一元二次方程的关系】 二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y ，当0=y 时，即变为一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax ，从图象上来说，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的 交点的横坐标x 的值就是方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根。 【知识点五：二次函数解析式的求法】 （1） 知抛物线三点，可以选用一般式：c bx ax y ++=2，把三点代入表达式列三元一次 方程组求解； （2） 知抛物线顶点或对称轴、最大（小）值可选用顶点式：k h x a y +-=2 )(；其中抛 物线顶点是),(k h ； （3） 知抛物线与x 轴的交点坐标为)0,(),0,(21x x 可选用交点式：
二次函数专题(求二次函数的解析式)
二次函数专题 求二次函数的解析式 确定二次函数的解析式一般采用待定系数法．应根据已知条件的不同特点，适当选取二次函数的一般式、顶点式或交点式，以使计算最简便为宜． （1）已知抛物线上三个点的坐标，最好选用一般式． 例1已知抛物线经过A（0，4），B（1，3）和C（2，6）三点，求二次函数的解析式． （2）若已知条件与抛物线的顶点有关，则用顶点式比较恰当． 例2已知二次函数的图象顶点为（2，3），且经过点（3，1），求这个二次函数的解析式． （3）已知抛物线与x轴两个交点的坐标，选用交点式比较简便． 例3已知A（2，0），B（－1，0），C（1，－3）三个点在抛物线上，求二次函数的解析式．
例4已知二次函数的图象经过点A（3，—2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式．
思路启迪一 已知对称轴是直线x ＝3，因对称轴经过顶点，所以这是与顶点有关的问题． .h 3)-a(x y 12+=设二次函数的解析式为规范解法 把A （3，－2），b （1，0）两点的坐标代入，得 ?????-==?????=+--=+-. 2h ,21a .0h )31(a ,2h )33(a 22解得 .2)3x (21y 2--= 故所求解析式为 思路启迪二 由对称轴是直线x ＝3，且点A 的横坐标是3，知点A （3，—2）是抛物线的顶点，可设解析式为顶点式． 23)-a(x y 22-=设二次函数的解析式为规范解法 21a ,02)31(a ,)0,1(B 2= =--解得得的坐标代入把点 .2)3x (21y 2--=故所求解析式为 思路启迪三 由对称轴是直线x ＝3，可得关于a 、b 的一个方程 .3a 2b =- 又知图象经过两定点，可设解析式为一 般式， .c bx ax y 32++=设二次函数的解析式为规范解法 ???????=++-=++=-.0c b a 2 c b 3a 9, 3a 2b ,得根据题意 解这个方程组，得??? ????=-==.25, 3,21c b a .25x 3x 21y 2+-= 故所求析式为 思路启迪四 由点B （1，0）的纵坐标是0知，它是抛物线与x 轴的交点，若能求出抛物线与x 轴的另一个交点，即点B 关于对称轴x ＝3的对称点．则可设解析式为交点式．
二次函数表达式三种形式练习题
1．把二次函数y=x2﹣4x+5化成y=a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式，结果正确的是（） A．y=（x﹣2）2+5 B．y=（x﹣2）2+1 C．y=（x﹣2）2+9 D．y=（x﹣1）2+1 2．将y=（2x﹣1）?（x+2）+1化成y=a（x+m）2+n的形式为（） A．B．C．D． 3．与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线为（）A．y=1+x2B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2D．y=2x2 4．二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（） A．y=﹣2（x+2）2+4 B．y=﹣2（x﹣2）2+4 C．y=2（x+2）2﹣4 D．y=2（x﹣2）2﹣4 5．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（） A．y=﹣3（x﹣1）2+3 B．y=3（x﹣1）2+3 C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=3（x+1）2+3 6．顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是（） A．y=（x+6）2B．y=（x﹣6）2C．y=﹣（x+6）2D．y=﹣（x﹣6）2 7．已知二次函数的图象经过点（﹣1，﹣5），（0，﹣4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（） A．y=﹣6x2+3x+4 B．y=﹣2x2+3x﹣4 C．y=x2+2x﹣4 D．y=2x2+3x﹣4 8．若二次函数y=x2﹣2x+c图象的顶点在x轴上，则c等于（）A．﹣1 B．1 C．D．2 9．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2 C．y=﹣x2+x+2 D．y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 10．如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（） A．8 B．14 C．8或14 D．﹣8或﹣14 11．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（） A．3.125 B．4 C．2 D．0 12．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为（） A．或﹣B．或﹣C．2或﹣D．或﹣ 13．如果一条抛物线经过平移后与抛物线y=﹣x2+2重合，且顶点坐标为（4，﹣2），则它 的解析式为． 14．二次函数的图象如图所示，则其解析式为． 15．若函数y=（m2﹣4）x4+（m﹣2）x2的图象是顶点在原点，对称轴是y轴的抛物线，则 m=． 16．二次函数图象的开口向上，经过（﹣3，0）和（1，0），且顶点到x轴的距离为2， 则该二次函数的解析式为． 17．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0）， 那么它对应的函数解析式是． 18．二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3）、C（4，5）三点，求出 抛物线解析式． 19．二次函数图象过点（﹣3，0）、（1，0），且顶点的纵坐标为4，此函数关系式为． 20．如图，一个二次函数的图象经过点A，C，B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为 （4，0），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC．则这个二次函数的解析式是． 21．坐标平面内向上的抛物线y=a（x+2）（x﹣8）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若 ∠ACB=90°，则a的值是．
初中数学二次函数试题及答案
一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第 ___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点 P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么 AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是()
9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3， y3)是直线上的点，且-1