第五章-多元函数微分学
第五章 多元函数微分学
我们已经讨论了一元函数微积分学，运用一元函数微积分学已能解决不少实际问题。但是在大量的实际问题中，遇到的却是多个变量的问题，仅有一元函数微积分的方法，还不足以解决问题。本章在一元函数微积分的基础上，讨论多元函数的微分法及应用。多元函数微分学是一元函数微分学的推广和发展，但两者之间又有一些本质上的差异，如一元函数有单调性的概念，而多元函数就没有简单的相仿概念，这种差异主要是由多元函数的特殊性产生的。
本章主要叙述二元函数的微分学。这是因为由一元函数到二元函数，单与多的差异已充分显露出来，而二元、三元以至n 元函数之间，仅有形式上的差异，而本质上是相同的。
§5-1 二元函数的极限与连续
一、基本内容提要
1. 二元函数的概念
,(,),(,),,,(,)(()),(,).
f
D P x y D z P x y z f z x y z P z f x y z f P D f x y ∈→==设是平面上的一个点集若对任意点变量按照一定法则都有唯一确定的值和它对应,即其中为某一定法则则称是变量的二元函数(或称为点的函数),记作或称为的定义域 2. 二
元函数的极限
0000000000(,)(,)
000(1)(,)(,),0,0,(,)(,),|()|(,)(,)(,),lim (,)(,)((,)(,)).
(2)(,)(,)x y x y P x y f x y D P x y D U P f P A A f x y x y x y f x y A f x y A x y x y P x y f x y D εδδε→?>?>?∈-<→=→→分析定义：设是函数的定义域内的聚点若使都有成立,则称常数为函数在时的极限记作
或
描述性定义：设是函数的定义域000,(,),(,),(,)(,)(,)P x y D P f x y A A f x y x y x y ∈→内的聚点若动点以任何方式趋近于时总无限接近于一个确定的常数则称常数为函数在时的极限.
3. 二
元函数的连续性
00000000(,)(,)
0000121212(1)(,)((,,)),lim
(,)(,),
(,)(,,)(2).
(3)(,),,,,()()(),
()min (),(x y x y P D
f x y U P x y z f x y f x y f x y P x y z f x y D P P D P D f P f P f P f P f P f P →∈=?∈?∈≤≤=定义：若有内有定义且
则称函数在点处连续.
多元初等函数在其定义区域内是连续的最值定理：若在有界闭区域上连续则使都有
其中00)max ().
(4)(,),,(,)(,),,().
P D
f P f x y D M m f x y D c m M P D f P c ∈=?∈?∈=介值定理：若在有界闭区域上连续分别是在上的最大值和最小值,则使注：上述最值定理、介值定理对三元及三元以上的函数同样成立.
二、示例
题型一 多元函数的概念
22222
22
2
2
4ln().
40
(2)4,()0
z x x y y x x x y x y y x y x =-+?-??-+≥-+≥????->>????1求的定义域即如右图例解
22
,
,(,),(,).y f x y x y f x y f x y xy x ?
?+=-- ??
?2设求例
2
2
222
2221,,1(1)(1)
(,),11(1)1(1)
(,),
1()(1)
(,).
1u
x y u x v y
uv v y x
v
u uv u v u v f u v v v v v x y f x y y
x y xy f x y xy xy
+==
?
???+??=??=??
+--????=-=
= ? ?++++????
-=+---=+设则所以从而
解
(,)2,(,(,)).
(,(,))2(2)24.f x y x y f xy f x y f xy f x y xy x y xy x y =+=++=++3设求例解
22
22
2
2
2
2
2
2
22
2
22
22
,,,.
,
(,),
,,
1
,1.
y y
f xy x y f xy
x x
xy u x
y
v
y
x
f u v
y
u v xy
x
y
y y
f xy y y
x x x
????
=+
? ?
????
?
=
?=
??
??
=
??=
??
=+
==
??
?
????
=+=+=+
? ?
????4设求
设则所以
再令得
例
解
题型二二元函数的极限
220
(1)lim.(2)lim().
x x
y y a
x y
a
x y+
→+∞→
→+∞→
+
+
5求下列极限：
为常数例
2
22
22
000
111
(3)lim1().(4))sin cos.
(1),,0,0,
11
00(,),
lim0.
(2)lim lim lim0.
(3
x
x y
x x
y a y
x
y
x x x
y a y a
a y
x x y
x y x y
x y
x y
x y x y
x y
x y
+++
+
→∞→
→→
→+∞
→+∞
→→→
→→
??
+
?
??
→+∞→+∞>>
+
<<+→→+∞→+∞
+
+
=
+
==
为常数
因故不妨设从而
所以
解
2
x
11
)lim1lim1.
11
(4)sin cos,)0,
11
)sin cos0.
x
x x y
x y
x x
y a y a
x
y
x
y
e
x x
y
x y
y
x y
+
+
→∞→∞
→→
→
→
→
→
??
????
+=+=
??
? ?
????
??
=
=
因为有界函数而所以
2
24002222
24244
02
2
400
lim .
lim lim ,(1)1lim x y x x y x y xy x y y xy k x k x y x k k k xy x y ++→→→→→→→+===++++6说明不存在选用路径则
显然其值随取值不同而不同,所以极限
不存在.
例解
2
24
(0,0).
,(,)(0,0)(1)(,)0,(,)(0,0)xy x y f x y x y x y ?≠?
=+??=?
7讨论下列函数在点处的连续性例
22
22
2
240000
42222
2()
,(,)(0,0)(2)(,)0,(,)(0,0)(1)6lim (,)lim ,(,)(0,0)cos (2),sin cos sin (cos sin )0|(,)||sin 4|0(0,x x y y xy x y x y f x y x y x y xy f x y x y f x y x r y r r f x y r r
r x θ
θθθθθθ→→→→?-≠?
=+??=?
=+=??=?
-≤==≤→→由例知极限
不存在所以在点处不连续.
令则
解00
0),
lim (,)0(0,0),
(,)(0,0).
x y y f x y f f x y →→→==故
所以在点处连续
{}{}222
222
2
2
2
2222221112221(,)(,)|,lim (,),(,).
lim (,),(,),,
(,)(,)|,(,),(,),(,)()()x y r
x y r f x y D x y x y r f x y a f x y D f x y a f x y a x y r f x y D x y x y r P x y P x y D P x y D f P f P +→+→=+<===+==+≤?∈?∈≤8设在内连续且证明在上至少可取得最大值和最小值之一因
补充定义
当则在有界闭区域上连续故使有
例证2121212().
,,()(),
(,),,,.
f P P P D f P f P a f x y D P P D ≤∈?==?若则
即是常数那么内任一点处函数取得最大值也是最小值,结论成立.
若至少有一不属于则结论也成立
§5-2 偏导数和全微分
一、基本内容提要
1. 偏导数和高阶偏导数
0000000000000000
(,)
0000(,)
00000
(,)
0000(,)
(1)(,)(,)(,)(,)
lim
,
,(,),(,)(,)(,)
lim
,
,(,),(,).
(2)x x y x x x y x x y y y x y z f x y P x y f x x y f x y z
x
x
f z x y f x y x
f x y y f x y z y
y
f z x y f x y y
?→?→=+?-?=????+?-?=????偏导数的定义：设在点的某邻域内有定义,则
亦记作
；
亦记作
二阶偏(,)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,).
(,),(,),(,)(,).
x y xx xy yx yy xy yx xy yx z f x y D f x y f x y z f x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y D D z x y z x y ===导数：设在区域内具有偏导数如果这两个偏导数的偏导数仍然存在,则称这个偏导数的偏导数为的二阶偏导数记为
如果在内连续则在内有 2. 全
微分
(1)(,)(,)(,)(,)(),
,,(,),(,)(,),(,)(,),d ,d d d .
(2)z f x y x y z f x x y y f x y z A x B y o A B x y x y z f x y x y A x B y z f x y x y z z A x B y
A x
B y ρρ=?=+?+?-?=?+?+??==?+?==?+?+定义：如果在处的全增量
可以表示为
其中,不信赖于而仅与点有关则称函数在点处可微称为在点处的全微分记作即
可微的必要条件：
(i )(,)(,),(,)(,).(ii)(,)(,),(,)(,),(,),(,)(,)d (,)d (,)d .
(3)(,)(,)(,),(,),(,)(,)x y x y x y z f x y x y x y f x y z f x y x y x y f x y f x y z f x y x y z f x y x f x y y z f x y x y f x y f x y z f x y x y ====+==若在点处可微则在点处连续若在点处可微则在点处存在且有点处的全微分
可微的充分条件：若在点处连续则在点处可微.
3. 复合函数求导法
(1)(),(),(,)(,),[(),()]d d d .d d d (2)(,),(,)(,),(,)(,)(,),[(,),(,)]u v u x v x x z f u v x u v z f x x x z z u z v f f x u x v x
u x y v x y x y z f u v x y u v z f x y x y ?ψ?ψ?ψ?ψ?ψ====??''=?+?=?+???====设在点处可导在对应于的点处可微则复合函数在点处可导,且
设在点处偏导数存在在对应于点的点处可微则复合函数在(,),,.x y z z u z v x u x v x z z u z v y u y v y
?????=?+???????????=?+??????点处可导且
4. 隐
函数求导法
(1)(i )(,)0()d .d (ii)(,,)0(,),.(2)(,,,)0
(i )(,,,)0(,),(,)x y y x z
z
F x y y y x F y
x F F x y z z z x y F F z
z
x F y F F x y u v G x y u v u u x y v v x y ===-==??=-=-??=??=?
==一个方程确定的隐函数
二元方程确定的一元隐函数的导数为
三元方程确定的二元函数的偏导数为
方程组确定的隐函数
由两个方程构成的四元方程组确定的两个二元隐函
数的,,,
x x y y u v u v x 偏导数；的求法是：分别对方程组关于,,,,(,,)0
(ii)(,,)0d d d d (),(),,
d d d d ()x x y y y u v x y u v u v F x y z G x y z y z y z
y y x z z x x x x x x
m n n m =??=?
==>求导(此时注意是的函数),然后以；为未知数解二元一次方程组即可.
由两个方程构成的三元方程组确定的两个一元隐函数
的导数的求法是：对方程组关于求导,然后以为未知数解二元一次方程组即可.
一般地,在一定条件下,对于有个方程、个变量的方程组来说,.,,,,,,m n m z z
z x y
x y -????有个因变量就有个自变量关键是事先要明确哪些变量是因变量哪些变量是自变量这应根据具体问题确定.例如题目所求的是即可知是因变量是自变量.
二、示例
题型一 偏导数、连续、可微的关系
22
222222000
(0(,)0,0(0,0)(1)(2)(3)(4)(,)(,)(0,0)(1)lim (,)lim(0(0,0),
(,)x y x x y y x y x y z f x y x y f x y f x y f x y x y f f x y →→→→?++≠?==?
?
+=?
=+==1讨论函数
在点处：是否连续？是否存在偏导数？是否可微？和在点是否连续？
由有界函数与无穷小的乘积为无穷小得
故在点例解20
00
(0,0)
(0,0).
(2)1
sin
(,0)(0,0)
1
||
lim
lim lim sin
0,||
x x x x f f x f x x x
x
x
x →→→?-====?处连续因
同理
(0,0)
2220
0((,)(,)),
(,)(0,0).
(3)(2)(0,0)0,(0,0)0,((0,0)d (0,0)d )1
(()()sin
,
((0,0)d (0,0)d )
lim
lim x y x y x y f f x y f y x y
f x y f f z f x f y z x y z f x f y ρρρρ
ρρ
→→?==?==?-+=?=?+?==?-+=因故在点处的偏导数存在由知故
其中
于是
00
00
01
sin
0,
(0,0)d (0,0)d (),
(,)(0,0),d 0.
(4)(,)(0,0),
(,)2sin (,)2lim 20,
x y x y x y x y x y x
z f x f y o f x y z
x y f x y x f x y y x ρρ
ρ==→→→==?=++=≠===即
所以在点处可微且
当时而
又
00
lim
||,lim (,)(,)(0,0).(,)(0,0).
,(,),(,)(,)(,)x x x y x y x y x x f x y f x y f x y f x y f x y x y f x y →→→=不存在故不存在,所以在点处不连续同理在点处不连续注：由本例可知在点处连续是处可微的充分条件而不是必要条件.
22
222222
20000
,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)(0,0)(0,0),(0,0),lim (,)lim lim ,1,lim (,)
,(,)(0x y x x x y kx y kx
x y xy
x y x y
z f x y x y f f y kx xy kx k
f x y x y x k y k k f x y f x y →→→==→→?≠?+==??=?
====+++2讨论函数
在点处是否连续？是否存在？
选择路径则
该极限值随取值不同而不同故
不存在从而在点例解200(0,0)
(0,0)
,0).
00(,0)(0,0)lim lim 0,
0,
(0,0),(0,0).
,,(,)(,)x x x y f f x f x x
x x
f y
f f z f x y P x y →→-?-===??=??/=处不连续又因
同理
所以存在注：由本例可知对多元函数而言可偏导连续,这与一元函数可导必定连续绝然不同.
二元函数在点处可微、连续及可偏导之间有如下关系：
题型二 显函数的偏导数运算
2arctan
22
arctan arctan arctan 2222arctan arctan arctan 222
arctan
()e
,d .
1
2e ()e (2)e ,11
12e ()e (2)e ,1d e
(y x
y
y y
x
x x
y
y y
x
x
x
y x
z
z x y z x y
z y x x y x y x
x y x z y x y y x y
x y x z --------?=+?????=-+??-?=+ ??????
+ ????=-+???=-???
+ ???
=3设求与所以
例解
[]222arctan arctan arctan 2222)d (2)d .
1
1e (2)e e .1y
y
y
x x x x y x y x y z y xy x x y x y
x x y y x ---++-?--=-+???=??+??
+ ???
[][][]
[][][]2
222
2
2
,,
11()()()d ,22.11()()()()221
()()()(),221
()()22
y ax
y ax z y ax y ax t t a
z z a x y z y ax a y ax a y ax a y ax a x a
a y ax y ax y ax y ax z a y ax a y ax a x ?ψ??ψ??ψψ??ψψ??+-=
++-+??-???''=+?--?++?+-??''=+--+++-?'''''=+?+-?+??42设具有二阶连续偏导数试求例解[][][][][][][]222()()()()()()22
11
()()()(),2211
()()()(),22y ax a y ax a a a
y ax y ax y ax y ax z y ax y ax y ax y ax y a
z y ax y ax y ax y ax y a
ψψ??ψψ??ψψ??ψψ'+?--?''''''=++-++--?''=++-++--??''''''=++-++--?同理
所以
2
222
0.
z z a x y ??-=??2
(,,),sin cos ,sin sin ,cos ,0,.
sin cos sin sin cos 10,.u f x y z x r y r z r u u u
x
y z x y z
u r u u x u y u z
r x r y r z r
u u u
x y z u u u x y z r x y z u r θ?θ?θθ?θ?θ
====???++=??????????=?+?+???????????=++????????
=++= ??????
5设且
证明：与无关因为
所以与无关例证
222(,)0,(,)()().
.(,)()(),()(),()(),()(),()()()()()()()().u x y u u x y f x g y u u u u x y x y
u x y f x g y u
f x
g y x u
f x
g y y
u
f x
g y x y
u u u u f x g y f x g y f x g y f x g y x y x y ≠=????=?????=??'=??'=??''=?????''''=?=?=?????6设的二阶偏导数存在且证明：的充要条件是必要性若则
从而
例证
2.,,u u u u x y x y
u u u
u
y x x y
???=???????????=
? ???????充分性若即
亦即
2
()d ()0,
0,ln 0,ln ,ln (),ln ()d (),
e e ()().x x
y u u u u
y x x y
u u x y u
u y x u
y x
u
x x
u x x y u f x g y ?ψ??ψ??????-? ???????=??? ???= ????
????= ?????
???=?=+?
=?=??或
从而有
所以
与无关即故
所以
()()0
e ,,,,.
e e e ,
d d d (
e )(e )(e ).d d dz
Leibniz ,
d (
e )()(e )e e ()e ,d d (e )()e ,d p q r x y z
p q r x y z p q r p q r x y
z p q r
p q r p p
x k
k x p k x x x p p k q
y y q z
u xyz p q r Z x y z
u x y z z x y z x y z x y x C x x p x p x y y q y
+++++++-=?=∈???=???=?????==+=+=+∑7设求其中注意到
有
由公式同理
例解
d
(e )()e ,dz
()e ()e ()e ()()()e .r
z z r p q r x y z x y z p q r
z z r z
x p y q z r x p y q z r x y z ++++=+?=+?+?+=+++???所以
22(,),(,)(,),(,2),(,2),(,2),(,2).(,2),(,2)2(,2)2,
(,2)2(,2)2(,2)4(,2) 2.xx
yy x xx
xy x y xx xy yx yy f x y f x y f x y f x x x f x x x f x x f x x f x x x x f x x f x x x x f x x f x x f x x f x x ''''=='''''==''+=''''''''+++=8设具有二阶连续偏导数且求因两边对求导,得
两边再对求导,得
从而由例解(,)(,)(,)5(,2)4(,2)2(1)(,2),,(,2)2(,2)1(2)
(1)(2)1
(,2)0,(,2).2
xx
yy xx
xy x xx xy xx
xy
f x y f x y f x y f x x f x x f x x x x f x x f x x f x x f x x ''''=''''+='=''''+=''''==以及有二阶连续偏导数得又因两边对求导得
由解得
32
22323
3
2
(,),(,),(,).
3
(,),11
(,)()d (),
32
(,)(),
3
(,)3
(),
1().2
x y x y y x f x y x y x f x y y f x y f x y x y x f x y x y x x x y x y y x f x y y x f x y y y y y y C ????=+=+=+=+=++'=+=+'==
+?9已知求因故
两边对求导得
与已知条件比较得
积分得
例解
322111
(,).
322f x y x y x y C =+++所以
题型三 隐函数的偏导数运算
222222(,)e sin()0,d .(,,)e sin(),(,,)e cos(),
(,,)2e e cos(),(,,)e cos(),
cos()e x y x y x y x x y x y y x y z x y x z z z x y y z xyz z F x y z y z xyz F x y z y yz xyz F x y z yz y z xz xyz F x y z y xy xyz F z
yz xyz y x F +++++++=-==-'=-'=+-'=-'?-=-='?10设是由方程确定的函数求记则
故
例解222222,e cos()
cos()2e e ,e cos()
d d d [cos()
e ]d [cos()2e e ]d .
e cos()
x y x y x y y x y z x y x y x y x y y xy xyz F z xz xyz yz y z y F y xy xyz z z z x y x y
yz xyz y x xz xyz yz y z y y xy xyz ++++++++-'?-+=-='?-??=
+??-+-+=-所以
22212112(,)1
(,)()2
2
,(,),,d .
11220,
2.z z x y F x z y z x y z z z
F u v z x y
x z z z F F x z x x x x F z x F F z
=++-++=?????????
??''?++?-+= ? ??????
??'-?=''?+-11设由方程
确定且可微求和方程两边对求导
解得
例解
12212121211220,2.()d ()d d d d .y z z z F F y z y y y y F z y F F z
x F x y F y z z
z x y x y F F z ??????
?''?
+?+-+= ? ???????
?'-?=''?+-''-+-??=
+=''??+-再方程两边对求导
解得
所以
sin (,,)e 2,e d ,d .d (),(),d d d .(1)
d d d
e 2,d d e 0,
d d d .(2)
d sin
e d x z xy x xy xy x z x t
u f x y z xy t t
u x
y y x z z x u f f y f z x x y x z x
xy x y y y x y x x x y y
x x
t
t x t
--=-====???=+?+????-=?
???+-+= ? ??
???=-=??
12设具有一阶连续偏导数,且求
：由题意可知,故
对两边关于求导得
故
对两边关于求导,例解sin()d e 1,
d d
e ()1.(3)
d sin()
(2)(3)(1)d e ()1.d sin()x x x x z z x z x z x z x x z u f y f x z f x x x y x z z -??=?- ?-??
-=--????-?=-+-????-???
得故
将代入得
,e cos ,e sin ,,.,(,),(,),,.e cos ,e sin 1e cos e sin 0e sin e cos cos ,e
u u u
u
u
u u u u z z
z uv x v y v x y
u u x y v v x y z u v z u v v u v u x x x
y y y
x v x y v
u v v v x x u v v v x x u v
x ??===??==??????=+=+???????=??=?????=?-??????
???=?-?????
?=?13设求由题意可知故
对两边关于求导得解得
例解sin .e
e cos ,e sin 0e cos e sin 1e sin e cos sin cos ,.e
e
cos sin ,e sin cos .e u u
u
u
u u u u u u
u
v v
x x v y y v
u v v v y y u v v v y y u v
v v
x x z v v u v
x z v v u v y ?=-??=??=?????=?-??????
???=?-?????
??==-???-=??+=?对两边关于求导得解得
所以
22
(1)0d ().
d e 10,y t x t t y
y y x x t y t =+-=?=?++=?
14已知由方程组确定,求方程组两边对求导得
例解
221100
120e e 0
21e e 1e d e .d (21)e (21)e [2(21)]
d .d (21)00,1,d 1,
e ,
2e (1e d t y y t t t y y t y y
t t y y
t t t
t
t t t t
t x t t y y x t y t y y y x x t y
y t y t y y x t y t x y y x y x --==='+-=???''+?+=??'=-???'=-=?+?
'=='-'''--+-??=
?-??===-'??''=-=-=- ???解得
所以
又
当时,故
120
112
),
d d d 2
e (e 1).
d t t t t
t y x y x x -=--=='?? ???=
=-'所以
(,)(,,,)(,,)0,(,)0,,,,,.
(,,)0
(),(),(,)0d d 0d d d d 0d d y z t z t u u x y u f x y z t g y z t h z t u u
f g h x y
g y z t z z y t t y y h z t z t g g g y y z t h h y y ====????=?==?=??'''++=??
?
?''+=??15已知由方程和确
定其中均为可微函数求由题意可知由确定对求导,得
解得
例解
d d d d ,d d .
d d y t
z t t z y z
z t t z
x y z t y t z
y z t y z t t z
g h z y g h g h g h t y g h g h u
f x
g h f g h f u z t f f f f y y y g h g h ''?=-
?''''-??''?=
?''''-?
?'=?''''''-?''''=++=+''''?-所以
§5-3 多元函数微分学的应用
一、基本内容提要
1. 微分学在几何上的应用 000000000
0000000000000(1)(i )(),(),
(),
(,,),,()()()
()()()()()()0,
((),(),())x x t y y t z z t P x y z t t P x x y y z z x t y t z t P x t x x y t y y z t z z x t y t z t ΓΓ,Γ====---==''''''-+-+-='''=±空间曲线的切线与法平面
设曲线以参数方程给出
为上一点对应参数则点处的切线方程为
点处的法平面方程为
称为T 000(ii)(,,)0(,,)0
(,,)(,,).
x y x x y z P t P F x y z G x y z P F F F G G G ΓΓ=??
=?=±?在点处的切向量.取正号时,的指向与参数增大时的移动走向一致.
设曲线以一般方程给出
则在点处的切向量为
T T
000000000000000
0000(2)(,,)0,(,,)()()()()()()0,
,()()()
(,,)x y z x y z x y x F x y z P x y z P F P x x F P y y F P z z P x x y y z z F P F P F P F F F P ∑∑,∑∑=-+-+-=---===±曲面的切平面与法线
设曲面的方程为为上一点则曲面在点处的切平面方程为
点处的法线方程为
称为曲面在点处的法向量.
n
2. 多元函数的极值与Lagrange 乘数法
00000000000000000(1)(i )(,)(,)(,)(,),(,)(,),(,)(,)0,
(,)(,).
(ii)(,)(,)(,)(,),(,x y z f x y x y f x y f x y f x y x y f x y f x y x y f x y z f x y x y f x y x y x y ====二元函数的极值
函数在点处取得极值的必要条件
若是的极值且在点处可偏导则有
即是的驻点函数在点处取得极值的充分条件
若在点的某邻域内连续且具有二阶连续偏导数如果0000000200200200000000)(,),(,),(,),(,),(a)0,(,),0,0(b)0,(,)(c)0,(,)(,),(,),(,),(,xx xy yy x y f x y A f x y B f x y C f x y AC B f x y A A AC B f x y AC B f x y x y f x y f x y f x y ===-><<-<-=是的驻点记则
当时是极值且当时是极大值当时是极小值；
当时不是极值；当时需作进一步讨论.
注：若在处有定义但不存在).
(2)Lagrange (,),(,)0,(,)(i )Lagrange (,,)(,)(,),
Lagrange .
(ii)0,0,0x y z f x y x y z f x y L x y f x y x y L L L λ?λλ?λ====+===仍有可能是极值条件极值与乘数法
设是目标函数在条件下求函数的极值的步骤：
作函数
其中称为乘数令得方程组
00000(,)(,)0
(,)(,)0.(,)0(iii)(,,),(,),,Lagrange x x y y f x y x y f x y x y x y x y x y λ?λ??λ+=??
+=??=?
解上述方程组得则是该问题的可能极值点至于是否确为极值点可由具体问题讨论确定,在实际问题中,常常可根据问题本身的意义确定.
上述乘数法可以推广到目标函数是三元及三元以上的多元函数,或附加条件多于一个的情形.
二、示例
题型一 空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线
23221
,2,2213,3
.
113,,,23(1,4,3).
,0,
320,
1,
3.
1(1,2,1),(1,4,3),121
.143
3x x t y t z t l y z l l t t t t t t t x y z t ΓΓ
Γ-===-=-=+??= ???
=-⊥?=--===-=-=---+==-=-1设曲线：和直线：求的与垂直的切线直线的方向向量
曲线的切线的方向向量
由题意,即
亦即
解得
当时,切点为切线方程为当时,切点例解s T s T s T T (3,18,27),(1,12,27),31827
.11227x y z -=--+--==--为切线方程为
T 1222
22212194
1.
173(1)4
111,1,,1,1,
,1.22(,,)(,,)(3,1,).
111,,13,,1(1,2,222P x y z x x y z x P P P x y z x y z x y z P ?++=??=??+-+=
??????
=- ? ?????
=?-???
?=?-=- ? ?????
2求曲线对应于的点处的切线方程对应于曲线上的点为由此可知,所求切线有两条.曲线上任一点处的切向量为
点处的切向量
例解T T 22),
1
1
12.1
22
111,,13,,1(1,2,2),
221
1
12.1
22P y x z P y x z -
--==-????
=-?--= ? ?????
-
-+==对应的切线方程为
点处的切向量
对应的切线方程为
T
第七章 多元函数的微分学
第七章多元函数的微分学 一、多元函数微分学网络图 二、内容与要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。
4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5.会求多元隐函数的偏导数。 6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件， 了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值， 会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。 难点多元复合函数二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。 三、概念、定理的理解与典型错误分析 1．求多元函数极限的方法 （1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则 注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. （2）利用多元函数极限的四则运算。 （3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算. （4）对于证明或求时，感觉极限可能时零， 而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而 由夹逼定理知从而 2．判断多元函数极限不存在的方法 （1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。
注意： 与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限， 我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。 例1 而知不存在. 例2 在原点的两个累次极限都不存在，但是 由于，因此. 由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在， 但二重极限存在，但我们有下面的结论。 定理7。1 若累次极限和二重极限都存在，则三者相等。 （2）推论。若存在且不相等，则不存在。 3．求多元函数的偏导数
第十七章多元函数微分学习题课
第十七章 多元函数微分学习题课 一 疑难问题与注意事项 1.(,)z f x y =在),(000y x P 可微的等价定义： 1）0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ?=+?+?-=?+?+，0 () lim 0o ρρρ →=； 2）00000 [(,)(,)] lim 0x y z f x y x f x y y ρρ →?-?+?=； 3）, y x y B x A z ?+?+?+?=?βα()() ()() ,0,0,0,0lim lim 0x y x y αβ??→??→= =． 2.求(,)f x y 在00(,)x y 处的偏导数方法小结： 答 1）利用定义求（主要适用于分段函数的分段点处的偏导数）： 0000000 (,)(,) (,)lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=?， 0000000 (,)(,) (,)lim y y f x y y f x y f x y y ?→+?-=?. 2）转化为一元函数的导数： ()0 000,(,)x x x df x y f x y dx ==，() 000,(,)y y y df x y f x y dy == . 例如，2(,)(f x y x y =+-(1,1)x f . 解 () ()211 ,1(1,1)2x x x d x df x f dx dx ==== =. 3）先求偏导函数，在代值，即 ()0 00(,)(,),x x x y f x y f x y =，0 00(,) (,)(,)y y x y f x y f x y =. 3.求(,)z f x y =（初等函数不含分段点）的偏导函数方法小结： 答 1）求 z x ??，把y 当常数，对x 求导，求z y ??，把x 当常数，对y 求导. 2）运用轮换性，若在(,)z f x y =中，把x 换成y ， y 换成x ，(,)z f x y =不变，则称(,)z f x y =关于x 和y 具有轮换性.若已经求出 z x ??，只要在z x ??把x 换成y ， y 换成x ，
高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
多元函数微分学知识点梳理
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
最新多元函数微分法及其应用习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
第7章 多元函数微分学
§7.1 空间解析几何基本知识 教学内容提要 1. 空间直角坐标系； 2. 空间两点间的距离公式与两点连线的中点坐标公式； 3. 简单的曲面方程。 教学目的与要求 1. 了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及两点连线的中点公式； 2. 了解常用二次曲面的方程及其图形。 教学重点与难点 常用二次曲面的方程及其图形的简单描绘. 教学时数 4 教学过程： 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立 过空间定点0，作三条互相垂直的数轴，他们都以0为原点 且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为x 轴，y 轴， z 轴，统称坐标轴。通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，z 轴 z 在铅垂方向，他们的指向符合右手法则. 2、空间两点间的距离公式 空间任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 21221221221)()()(z z y y x x M M -+-+-= 特殊地，点),,(z y x M 与坐标原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++= 。 例1 在z 轴求与两点)7,1,4(-A 和)25,3(-B 等距离的点的坐标。 二、曲面及其方程的概念 1．曲面方程 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作满足一定条件的点的几何轨迹 ，如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，不在曲面S 上的点的坐标都不满足该方程，则称此方程0),,(=z y x F 为曲面的方程，而曲面S 就叫做方程的图形。 例2 动点),,(z y x P 与两定点)1,3,2(),0,2,1(21-P P 的距离相等，求此动点P 的轨迹。 三、几种常见的曲面及其方程 1、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示 .任一三元一次方程Ax +By +Cz +D =0的图形总是一个平面. 例3 求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为
多元函数微分学习题
6 ．函数 在点 处具有两个偏导数 是函数存在全 第五部分 多元函数微分学( 1) (x,y) (0,0) 在点 (0,0)处 ( ) (x,y) (0,0) xuv 3．设函数 u u(x, y), v v(x, y) 由方程组 2 2 确定，则当 u y u 2 v 2 4．设 f (x, y)是一二元函数， (x 0,y 0) 是其定义域的一点， 则下列命题中一定正确的是 ( ) (A) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 连续，则 f (x,y)在点(x 0,y 0)可导。 (B) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在，则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)连续。 (C) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在，则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)可微。 (D) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 可微，则 f (x,y)在点(x 0,y 0)连续。 答：D 3 x 2 y 2 z 2 在点 (1, 1,2) 处的梯度是 ( ) 1 1 2 1 1 2 1 1 2 (A) ( , , ) (B) 2( , , ) (C) ( , , ) (D) 3 3 3 3 3 3 9 9 9 答：A [ 选择题 ] x 3y 2z 1 0 1 ．设有直线 及平面 2x y 10z 3 0 容易题 1— 36，中等题 37—87，难题 88— 99。 。 (C) 垂直于 4x 2y z 2 0 ，则直线 L ( ) (A) 平行于 。 (B) 在上 答：C (D) 与 斜交。 (A) 连续，偏导数存在 (B) (C) 不连续，偏导数存在 (D) 答：C 连续，偏导数不存在 不连续，偏导数不存在 (A) x (B) v (C) u (D) uv uv uv 答：B y uv 2．二元函数 f (x,y) xy , 2 2 , xy 0, 5．函数 f(x,y,z) x ( )
多元函数微分学复习题及答案
多元函数微分学复习题及 答案 Last revision on 21 December 2020
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????11000，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ，2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22
第五章-多元函数微分学习题参考答案
第五章多元函数微分学习题 练习5.1 1.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状? (1) )(422 2 椭圆抛物面z y x =+ (2) 圆锥面）(4222z y x =+ (3) 椭球面）(19 164222=++z y x (4) 圆柱面）(12 2=+z x 2.求下列函数的定义域: (1)y x z --= 解：?? ?≥-≥0 y x y 即?? ? ??≥≥≥y x x y 200 ∴函数的定义域为{ }y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),( (2) z =解：0≥-y x {}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为 3. ()y x f ,对于函数= y x y x +-,证明不存在),(lim 0y x f x → 分析：由二元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径0(0,0)p p →时，所 得极限值不同即可。 证明： ①(,)0,0)(0,0)p x y x x y p ≠=0当沿轴(此时趋于时， (,)(,0)1,lim (,)1x y f x y f x f x y →→=== ②当0(,)(0)00p x y y kx k p =≠沿直线趋于（，）时， 0011(,)lim (,)1(0)11x y x kx k k f x y f x y k x kx k k →→---= ==≠≠+++
综合①②可知函数极限不存在，证毕。 练习5.2 1.求下列函数的偏导数 ①;,,33y z x z xy y x z ????-=求 解： 23323,3xy x y z y y x x z -=??-=?? ②;,,)ln(y z x z xy z ????=求 解：[]1 211ln() 2z xy y x xy -?=??=? []1 211ln() 2z xy x y xy - ?=??=? ③222ln(),,z z z x x y x x y ??=+???求 解： 1ln()z x y x x x y ?=++??+ 2222)(2)(1))(ln()(y x y x y x x y x y x y x x y x x x z x x z ++= +-+++=+++??=????=?? 222 1()(ln())()()z z x x y x y x y y x y x y x y x y x y ????==++=-=?????++++ ④;,3z y x u e u xyz ????=求 解；2 2,()xyz xyz xyz xyz u u yze ze yzxze z xyz e x x y ??==+=+??? 3222()(())(12)()xyz xyz xyz u u z xyz e xyz e z xyz xye x y z z x y z ????==+=+++???????
数学分析教案_(华东师大版)第十七章__多元函数微分学
第十七章多元函数微分学 教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及 偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18学时 § 1 可微性 一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2．全微分: 例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1 二.偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.
3.求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5. 求偏导数. 例6. 求偏导数. 例7. 求偏导数, 并求. 例8. 求和. 解=, =. 例9 证明函数在点连续 , 并求和. 证 . 在点连续 . ,
不存在 . 三.可微条件: 1.必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和存在 , 且 . ( 证 ) 由于, 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10考查函数 在原点的可微性 . [1]P110 例5 . 2.充分条件:
Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在 , 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 , 则函数在点可微 . 证 . 即在点可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例11 验证函数在点可微 , 但和在点处不连续 . (简证,留为作业) 证
多元函数微分学及应用(隐函数反函数)
习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微， 则将z 看成y x ,的函数，有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。 例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ，求y z x z ????,。
高等数学(同济第五版)第八章-多元函数微分学-练习题册
. 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ）
. 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。
第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题：
多元函数微分学总结
多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念
①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。
第七章多元函数微分高等数学
第七章 多元函数微分学 一、内容分析与教学建议 （一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方 面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。 在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。 （二） 多元函数、极限、连续 先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。 （三） 偏导数与全微分 1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。 2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[ ]ρ y y x z x y x z z y x y x ?+?-?→?→?),(),(lim 0 是 否为0。 3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy y z dx x z dz ??+??= 之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。 （四） 复合函数求偏导 1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ?=，)(x v ?=从中让学生理解口诀的含义。
多元函数微分学复习题及标准答案
多元函数微分学复习题及答案
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第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22 y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =， 2222 2 lim lim 0(0,0)1x x y kx kx f x k x k →→→===++ ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ） （A ）- 14 （B ）14 （C ）-12 （D ）1 2
多元函数微分学习题
第七章 多元函数微分学 【内容提要】 1.空间解析几何基础知识 三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。 空间直角坐标系下两点间的距离公式为： 平面方程：0Ax By Cz D +++= 二次曲面方程： 2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2 2 02 02 0R z z y y x x =-+-+- 圆柱面方程：2 22R y x =+ 椭球面方程：()222 2221,,0x y z a b c a b c ++=>， 椭圆抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b +=> 双曲抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b -=> 单叶双曲面图方程：122 2222=-+c z b y a x (a ，b ，c ＞0) 双叶双曲面方程：222 2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=-> 椭圆锥面方程：222 2220,(,,0)x y z a b c a b c +-=> 2.多元函数与极限 多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数， 记为 ,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数 值，函数值的集合称为值域。 多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式 的一切点(,)P x y D ?，都有
多元函数微分学复习(精简版)
高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y
多元函数微分学复习题及答案
多元函数微分学复习题 及答案 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????110 00，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22
多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？
例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）
(完整word版)(整理)数学分析教案(华东师大版)第十七章多元函数微分学
第十七章多元函数微分学 教学目的： 1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系； 2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18 学时 § 1 可微性 一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2 ．全微分: 例 1 考查函数在点处的可微性. P107 例 1 二. 偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17 —1.
3.求偏导数: 例 2 , 3 , 4 . P109 —110 例 2 , 3 , 4 . 例 5 . 求偏导数. 例 6 . 求偏导数. 例7 . 求偏导数, 并求. 例8 . 求和. =. 例9 证明函数在点连续, 并求和. . 在点连续.
三. 可微条件 : 1. 必要条件 : Th 1 设 为函数 定义域的内点 . 在点 可微 和 存在 , 且 . （ 证 ） 由于 , 微分记为 定理 1 给出了计算可微函数全微分的方法 例 10 考查函数 2. 充分条件 : 不存在 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分 . 在原点的可微性 [1]P110 例 5 .
Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在 点处连续. 则函数在点可微. （证） P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 则函数在点可微. . 即在点可微. 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件. 验证函数在点可微, 但和在点处不连续. （简证, 留为作业） 证