十字相乘法优秀教(学)案
9.15 十字相乘法
教学目标：
1.理解十字相乘法的概念，掌握用十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式的方法。
2.通过复习导入，启发学生从现有的知识探索新知。
3.通过课堂交流思考，形成从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质，让学生在学习中体验成功的喜悦。
教学重点：能较熟练地用十字相乘法把形如q px x ++2的二次三项式分解因式。
教学难点：把q px x ++2分解因式时，准确地找出a 、b ，使q b a =? p b a =+。
教学过程：
一、 复习导入：
师：前几节课我们学习了因式分解，首先请同学们先回忆一下什么叫做因式分解。
1.复习因式分解
因式分解：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
实质是(和差化积)与（整式乘法）是“积化和差”的过程正好（相反）
2.师：之前我们都学习了哪些分解因式的方法？
答：提取公因式法，公式法，
在日常生活中，如取款，上网等都需要密码，有一种用因式分解法产生的密码，方便记忆，原理是如对于多项式44n m -，因式分解的结果
是))()((22n m n m n m ++-，取7,7==n m 时，则各个因式的值是,98)(,14)(,0)(22=+=+=-n m n m n m 于是便可把“01498”作为一个密码，那么对于2256y xy x ++，取8,6==y x 时，用上述方法产生的密码可以是_________.
师：要想知道密码是什么，关键要将上式分解因式，那2256y xy x ++能用提取公因式法和公式法来因式分解吗？不能！那类似于这样的多项式又该如何分解呢？这就是我们今天这节课要学习的一种新的分解因式的方法——十字相乘法。（在讲新课之前我们先看几个小练习）
3.填空：
=++)4)(3(x x =-+)4)(3(x x
=+-)4)(3(x x =--)4)(3(x x
4.问题：你有什么快速计算类似多项式的方法吗?
答:仔细观察分析各题，我们可以得出，在整式的乘法中,有
填空
ab x b a x b x a x +++=++)())((2 二、探索新知：
1、观察与发现
等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是整式乘法运算。
反过来可得 等式的左边是（二次三项式）,
右边是两个(一次二项式)相乘,这个过程将(和差)的形式转化成(积)的形式,进行的是(因式分解).
师：既然从左到右进行的是因式分解，那么我们可不可以利用上面等式左右两边形式上的关系来将和等式左边具有相同特点的多项式进行因式分解呢？（答：可以）
师：方法是什么呢？（教师启发）等式右边是因式分解的结果，结果是两个二项式相乘，在这两个二项式中有一项是相同的，都是x ，相乘正好得到2x ，还剩下a 和b ，那么要想确定因式分解的结果，我们关键要确定什么呢？（确定a 和b ）那么a 和b 如何确定呢？满足什么条件呢？(它们的乘积等于常数项，它们的和等于一次项系数)这样我们就可以把这个二次三项式因式分解了。
提问：试一试，现在有一个多项式342++x x 让你分解因式，我们该如何分解呢？
分析：根据总结的方法，要找到a+b=一次项系数4 ab=常数项3 （板书）各种情况
师：能否找到两个整数使它们同时满足和为4，积为3呢？
答：能！所以)3)(1(342++=++x x x x
师：那么通过上面的尝试，你能说一说在寻找这两个整数的时候我们是从它们的和着手较方便还是从它们的积着手方便呢？
答：乘积。
师：在对342++x x 进行因式分解的时候，我们还可以借助画十字交叉线来分解，2x 分解为,x x ?常数项3可分解为31?，把它们用交叉线来表示：x +1
x +3
按十字交叉相乘，它们积的和就是x x x 43=+恰好等于一次项，所以得到)3)(1(342++=++x x x x
定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
2、小结步骤：
师：那么讲了这么多，我们能不能来总结一下用十字相乘法进行因式分解的步骤呢？
关键：（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；
（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；
3、例题分析
接下来我们通过几个例题来加深一下理解：
例1：分解因式
1.1272+-x x
2.
3.1282++x x
4.12112--x x （注：其中1.2.3教师板书讲解，4学生练习，1题如果我写验证一下我分解的对不对，该如何检验呢？按照整式乘法从右向左乘回去。） 练一练：在下列各式的横线上填入“+”和“—”号。
)4____)(3___(1272x x x x =+-
)2____)(6____(1242x x x x =-+
)6_____)(2____(1282x x x x =++
)1_____)(12____(12112x x x x =--
师：由上述练习请你说一说你寻找的两数的符号是如何确定的？ 在))((2b x a x q px x ++=++中，
1242-+x
x
当q>0时，a 、b （ 同号 ），且a 、b 的符号和p 的符号（ 相同 ）.
当q<0时，a 、b （ 异号 ），且绝对值较大的因数与p 的符号（ 相同 ).
师：如果分的更加详细些，又该如何呢？
思考1：例如，若二次三项式q px x ++2能找到两数a 、b 使它分解为))((2b x a x q px x ++=++，则：
）且（或且时，则）当（）
且（或且时，则）当（时，则）当（时，则）当（b a b a b a b a p q b a b a b a b a p q b a p q p q >><<<<><><<>>>,0,0;_____,0______,0_____0,04,0,0;_____,0______,0_____0,030
______,0_____0,02b______0
a______0,0,01（这留作我们今天课后的第一个思考题，希望同学们利用中午的时间讨论一下。）
例2：分解因式
1. 2. 2245y xy x +- 3. 4524+-x x
3.4)2(5)2(2++-+y x y x 练：1.36524--x x
2.3)2(2)2(222----x x x x
（注：其中3和4小题，应用数学中的整体思想）
思考2：我们现在所研究的都是二次项系数是1的二次三项式用十字相乘法进行因式分解，那么当二次项的系数不是1，而是其他数字时呢？
例如：1232--x x
这是我们今天这节课的第二个思考题。
4、拓展练习：
452+-x x
问题：若0=?B A ，下面两个结论对吗？
（1） A 和B 同时都为0，即A=0且B=0；
（2） A 和B 中至少有一个为0，即A=0或B=0。
请结合上面的结论，运用十字相乘法解下列一元二次方程：
1）0672=++x x ； 2）1272
-=+x x ； 分析：此例是运用十字相乘法因式分解，先把等号左边因式分解，然后再求解。
三．分层布置作业：
四．本课小结：
这节课主要学了什么？
用十字相乘法进行因式分解，步骤是：
（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；
（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；
师：还记不记得我们刚刚上课时提到的那个密码问题，那么密码究竟是什么呢？我们一起来看一下！
思考3：老师在读书的时候学到十字相乘法时，曾经心里有这样一个疑惑，是不是所有的二次三项式都可以用十字相乘法进行因式分解呢？如果不是，那满足什么条件的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解呢？这留作我们今天这节课的第三个思考题。
十字相乘法在化学计算中的应用
十字相乘法概念 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项a分解成两个因数a1,a2的积 a1?a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接 写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1 c1 ╳ a2 c2 a1a2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即 a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法. 就是比较两个分数的大小 例;a/b与c/d 则=ad与cb 就是两个分子分母互相乘 来比较乘积的大小 先看一则例子 例：将质量分数分别为30%和5%的盐酸按一定比例混合后得到质量分数为10%的盐酸，计算需加入的30%和5%盐酸的质量比是多少？ 分析：可用十字交叉法进行计算 [解]设：30%和质量5%的盐酸的质量为x和y，有 x 30%\ /10%-5% 5% 1 — = 10% ———= —= — y 5%/ \30%-10% 20% 4 答：需要的30%和5%的盐酸的质量为1：4 什么是十字交叉法？ 即根据质量分数不同（如a，b，且a>b）的两份溶液按比例混合后得到另一质量分数的溶液（如c），则混合前溶液的质量（如x和y）比例可用以下公式进行计算： （说明：混合前a>b，混合后的质量分数大小必为a 因式分解——十字相乘法导学案 【学习目标】 （1）了解“二次三项式”的特征； （2）理解“十字相乘”法的理论根据； （3）会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。 【学习过程】 一 、温故知新 （1）请直接填写下列结果 （x+2）（x+1）= ；（x+2）（x-1）= ； （x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。 把上述式子左右对调，你有什么发现？ 二、探求解决：（2）把x 2+3x+2分解因式 分析∵ (+1) × (+2) ＝＋2 ---------- 常数项 (+1) ＋ (+2) ＝+3 ---------- 一次项系数 ---------- 十字交叉线 2x + x = 3x 解：x 2+3x+2 = (x+1) (x+2) （3）按（2）中的方法把652 ++x x 分解因式 。 三、例题分析： 例1 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式 -x + 7x = 6x 顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。 练习1： x 2-8x+15= ； 练习2： x 2+4x+3= ； x 2-2x-3= 。 小结：对于二次项系数为1的二次三项式的方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 例２ 试将 -x 2-6x+16 分解因式 提示：当二次项系数为-1时 ，先提取-1，再进行分解 。 x x 12? x ??7? x 1 - 例3 用十字相乘法分解因式： （1）2x 2-2x-12 （2） 12x 2-29x+15 提炼：对于二次项系数不是1的二次三项式它的方法特征是“拆两头，凑中间”。 四、巩固训练 1．把下列各式分解因式： （1）1522--x x = ； (2) =-+1032x x 。 2．若=--652m m (m ＋a )(m ＋b )，则 a 和b 的值分别是 或 。 3．=--3522x x (x －3) (__________)。 4 ．分解因式： （1）22157x x ++； (2) 2384a a -+； (3) 2576x x +- (4) 261110y y -- ５．把下列各式因式分解： (1) 3ax 2+6ax+3a (2) x 2-4y 2 (3)x 4-8x 2+16 （4）2ax 2+6ax+4a 6.先阅读学习，再求解问题： 材料：解方程：=-+1032x x 0。 解：原方程可化为 （x+5）（x-2）=0 ∴x+5=0或 x-2=0 由x+5=0得x=-5 由x-2=0得x=2 ∴x=-5或 x=2为原方程的解。 问题：解方程：x 2-2x=3。 十字相乘法习题 1.232++x x 2.562++x x 3.11122++x x 4.17182++x x 5.342++x x 6.342+-x x 7.322-+x x 8.322--x x 9.672+-x x 10.652--x x 11.62-+x x 12.62--x x 13.22625a a +- 14.2024--x x 15.8624++x x 16. 42718x x +- 17.2223y xy x +- 18. 22149b ab a +- 19.8722--ax x a 20.10322-+mn n m 21. 223613b yb y +- 22. 9102+--a a 23. a a a 12423+-- 24. 222265x y x y x -- 25. 3)(4)(2++-+x b a b a 26. 10)2(3)2(2-+++y x y x 27. 12)4(7)4(222++++x x x x 28.2224)3(x x -- 29.6)25)(35(22--+++x x x x 30.24)4)(3)(2)(1(++-+-x x x x 31. 223x x -- 32. 2257x x +- 33. 2321a a -- 34. 23145b b +- 35.22157x x ++ 36. 2384a a -+ 37. 2576x x +- 38. 261110y y -- 39.313122+-x x 40.272442++x x 41.8652-+x x 42.1322++x x 43.61362+-y y 44.6732--a a 45.15442-+n n 46.3562-+x x 47.13852--x x 48. 2152-+x x 49.220920y y -- 50.2252310a b ab +- 51. 222231710a b abxy x y -+ 52. 53251520x x y xy -- 53. 22122+-）（x x 54. 108)2(39)2(324+---y x y x 55.8306251022++-+-y x y xy x 54. 222210173b a abxy y x +- 55. 2222)332()123(++-++x x x x 十字相乘法分解因式 【学习目标】 1、能熟练地把形如的二次三项式因式分解。 2、通过课堂交流，培养合作学习能力，提高自己的表达能力。 3、通过对规律的探索，提升自己从特殊到一般，从具体到抽象的思维品质。【学习重点和难点】 重点：熟练地把形如的二次三项式因式分解 难点：在分解形如的二次三项式时能准确找到各个因式。 【课前导学】 1、计算： (1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x－1) (3) (x－2)(x+1) (4) (x－2)(x－1) (5) (x+2)(x+3) (6) (x+2)(x－3) (7) (x－2)(x+3) (8) (x－2)(x－3) 2、问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢 (x + a)(x + b) = 反之可得：= 3、由此你能发现把形如x2+px+q二次三项式分解因式的方法吗 提示：⑴可从一次项系数和常数项找规律； ⑵可用具体的例子来说明。 【课堂研讨与展示】 一、交流展示 例1、分解因式: ⑴⑵x2-5x+6 ⑵⑷x2+2x-3 二、梳理归纳 1、独立思考下列问题（比一比，谁的语言简练准确，有更多发现，师点拨：由特殊到一般） （1）要将二次三项式因式分解，需要找到两个数a 和b ，使它们的 等于 ，并且验证它们的 等于 ，如果满足这两个条件就可以利用十字相乘法进行因式分解。 （2）所有形如 的二次三项式在有理数范围内都能分解因式吗请举例说明。 （3）因式分解的符号规律你能发现吗 当q>0，p>0时 当q>0，p<0 当q<0，p>0时 当q<0，p<0 三、综合延伸： 1、类比上述方法，把下列各式分解因式 （1）2 (xy)5xy+6 - （2）4220x x -- （3）()()2223320x x x x +++- 2、先填空,再分解[尽可能多的]（发散拓展）： 四、检测与反馈 （1）276x x -+ （2）2215x x +- （3）22421x xy y -- （4）4220x x -+ （5）222(2)11(2)24x x x x +-++ （6）3412a a a --+ 五、拓展 我们已经学会了二次项系数为1的一类二次三项式的分解因式，那么如果二次项系数不是1还能使用我们本节课学习的方法吗让我们深入思考一下~！ （1）2224x x --+ （2）232118x x -+ （3）243x x -- （4）226y y +- 十字相乘法 1．2() +++型的因式分解 x p q x pq 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 22 x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ ()()()()()因此，2()()() +++=++ x p q x pq x p x q 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式 例1．把下列各式因式分解： (1) 276 x x ++ -+(2) 21336 x x 小结： 例2．把下列各式因式分解： (1) 2524 -- x x +-(2) 2215 x x 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212 ,,,a a c c 写成112 2 a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等 于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成 1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 例3. (1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ 例4. (1) 2576x x +- (2) 261110y y -- 第十一讲 十字相乘法探究解决： （1）请直接填写下列结果 （x+2）（x+1）= ；（x+2）（x-1）= ；（x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。把上述式子左右对调，你有什么发现？ 二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x 进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 （4）归纳： ab x b a x )(2（）（）将x 2+3x+2分解因式，看下图，你有什么启发？ x 2 +3x +2 2x + x = 3x 例 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式-x + 7x = 6x 例1. 用十字相乘法分解因式： （1）x 2-8x+15 （2）x 2+4x+3 （3）-x 2 -6x+16 练习 1．把下列各式分解因式： （1）1522x x = ； (2) 1032x x 。（3） x 2-2x-3= 。2．若6 52m m (m ＋a )(m ＋b )，则a 和b 的值分别是或。3. 分解因式(1)24142x x (2)36152a a (3)5 42x x (4)22x x (5)1522y y (6) 24 102x x x x 12 x 7x 1 例2．已知，如图，现有a a 、b b 的正方形纸片和a b 的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至 少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为22 252a ab b ，并标出此矩形的长和宽。反馈练习 1．若652m m (m ＋a )(m ＋b )，则a 和b 的值分别是或． 2．3522x x (x －3) (__________)．3.如图，正方形卡片 A 类、 B 类和长方形卡片 C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)、宽为(a ＋b)的大长方形， 则需要C 类卡片张．4．分解因式： （1）22157x x ； (2) 2384a a ；（3）15 22x x (4) 2576x x (5) 261110y y （6）10 32x x 5．先阅读学习，再求解问题： A a a B b b C b a 第3题图 十字相乘法 1．2()x p q x pq +++型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式 例1．把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 小结： 例2．把下列各式因式分解： (1) 2524x x +- (2) 2215x x -- 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212 ,,,a a c c 写成112 2 a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等 于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成 1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 例3. (1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ 例4. (1) 2576x x +- (2) 261110y y -- 十字相乘法 十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 x2-5x+4x2+6x+8x2-7x+10 x2-3x-10x2+8x-202x2+5x-3 6x2-x-13x2+5x-22x2+3x+1 4x2-17x+410x2－21xy+2y2 一元二次方程应用题 专题：增长率问题： 1、某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米。设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x ，则可列方程为 ________________； 3、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某市城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示） (1)根据图中所提供的信息，回答下列问题：2001年底的绿地面 积为公顷，比2000年底增加 了公顷；在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增加最多的是年； （2）为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地总面积达到72．6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增长率． 1、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。甲沿直航线航行180海里到达厦门；乙沿原来航线绕道香港后来厦门，共航行了720海里，结果乙比甲晚20小时到达厦门。已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度（其中两客轮速度都大于16海里/小时）？ 2、为了开阔学生视野，某校组织学生从学校出发，步行6千米到科技展览馆参观。返回时比去时每小题少走1千米，结果返回时比去时多用了半小时。求学生返回时步行的速度 3、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速. 十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。 （一）原理介绍：通过一个例题来说明原理。 某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。求该班男生和女生的比例。 方法一：假设男生有A，女生有B。 （A*75+B85）/（A+B）=80 整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。 方法二： 男生：75 5 80 女生：85 5 男生：女生=1：1。 一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A 的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。 AX+B（1-X）=C X=（C-B）/（A-B） 1-X=（A-C）/A-B 因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C） 上面的计算过程可以抽象为： A C-B C B A-C 这就是所谓的十字相乘法。 十字相乘法使用时要注意几点： 第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。 第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。 第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。 1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是：A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：5 分析： 男教练：90% 2% 82% 男运动员：80% 8% 男教练：男运动员=2%：8%=1：4 答案：C 2.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少 A．2∶1 B．3∶2 C. 2∶3 D．1∶2 答案：B 分析：职工平均工资15000/25=600 男职工工资：580 30 600 女职工工资：630 20 男职工：女职工=30：20=3：2 3．（2005年国考）某城市现在有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%。现在城镇人口有（）万。 A30 B 31.2 C 40 D41.6 分析：城镇人口：4% 0.6% 4.8% 农村人口：5.4% 0.8% 城镇人口：农村人口=0.6%；0.8%=3：4 70*（3/7）=30 答案A 4.（2006年国考）某市居民生活用电每月标准用电价格为每度0.50元，若每月用电超过规定的标准用电，超 一元二次解法：（1）公式法 【知识要点】 1．计算方法 一，先将方程变为标准形式)0(02 ≠=++a c bx ax ，确认a ，b ，c 。 如何变： ① 通过移项或通分（如例一，例二，例三）注意：尽量使a 为正整数，方便计算 ② 通过公式计算展开（如例四，例五） 注意：符号 ③ 通过待定系数法结合①②（如例六） 注意：除了X ，其他均看做已知数 二，再计算△，当△=042≥-ac b ，有实数根。如△＜0，则方程无解 三，根据求根公式，将a,b,c , △代入公式，即得：-=2b x a ±。 【典型例题】 领练：例一 例①4722=-x x 例② 02 122412=+-x x 例③05422=-+-x x 例④x x x x 6)1()12()12(2 2++=--+ 例⑤2(3)2(1)7x x x --+=- 例⑥())1(03212 ≠=+++-m m mx x m 测试：例二 1，x x 4212=- 2，11)2(5)31)(13(+-=-+x x x 3，(2)(3) 56x x --= 4，02222=-+-n m mx x 二，熟练掌握△，不解方程，能够判断方程根的情况。 方程有两个实数根→△≥0 方程有两个相等的实数根→△＝0 方程有两个不相等的实数根→△＞0 方程没有实数根→△＜0 例三，变式训练 ①不解方程，请判别下列方程根的情况； （1）22340t t +-= ; （2） 2 16924x x += ; （3）25(1)70y y +-= ; ②方程242()0x a b x ab ---=的根的情况是 ; ③如果关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范 围是 . ④已知0,0,p q <<则一元二次方程20x px q ++=的根的情况是 ; 十字相乘法简介 公务员考试数量关系主要测查报考者理解、把握事物间量化关系和解决数量关系问题的能力，主要涉及数据关系的分析、推理、判断、运算等。觉的题型有：数字推理、数学运算等。了解历年公务员入围分数线，可以让你做到心中有数，高效备考。 公务员行测题库帮助您刷题刷出高分来！ >>>我想看看国考课程。 十字相乘法简介 公务员考试中的数学运算部分主要考察考生的算术式子的计算比较和数学应用题的分析运算能力。考生必须具备熟练的数学运算技能和扎实的数学基础知识，掌握一定的数学思想和方法，才能达到准确、迅速求解的要求。利用十字相乘法解公务员考试中的一些习题是很有效的。下面我们简单介绍一下这种方法，并结合例题分析。 十字相乘法的具体原理如下： 一个集合中的个体，可以有两个（或三个）不同的取值，一部分取值为A,另一部分的取值为B,平均值为C,求取值为A的个体与取值为B的个体的比例，假设A有X，B有（1-X）。 则AX+B(1-X)=C X=(C-B)÷/(A-B) 1-X=(A-C)÷(A-B) 因此X ：(1-X) = (C-B) ：（A-C） 上面计算过程可抽象为 A C-B C B A-C 这就是十字相乘法，使用时要注意：1、用来解决两者之间的比例关系问题，2、得出的比例关系是基数的比例关系，3、总均值放中间，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。 例：某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年的本科生有（）。 A 3920 B4410 C4900 D5490 解析：方法一：按照我们常规的思维方法，大家都能想到的是方程法，这样我们 十字相乘法教学设计 班级姓名组别代码评价 【使用说明与学法指导】 1．在自习或自主时间通过阅读课本用20分钟把预习探究案中的所有知识完成。训练案在自习或自主时间完成。 2.重点预习：十字相乘法教学设计 【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q的二次三项式分解因式； 2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力； 3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质；【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式. 【教学难点】把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p. 【教学过程】 【探究案】 合作探究（一）：探索十字相乘法的原理 1.展开下列多项式，观察展开后的式子中一次项系数和常数项与展开前因式中的常数有何关系？ (1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x－1) (3) (x－2)(x+1) (4) (x－2)(x －1) = = = = （５） (x + a)(x + b) = 2.看谁算得又快又准确？ (1) (x+2)(x+3) (2) (x+2)(x －3) (3) (x －2)(x+3) (4) (x －2)(x －3) = = = = 3．能否把62－－x x 和ab x b a x +++)2（分解成两个一次二项式相乘的形式？试一 试,。 引例：因式分解: x 2 + 4x + 3 将二次三项式x 2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x 2分解为x ·x ，常数项3 分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: x 2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). x +3 x +1 3x + x = 4x 试一试： 因式分解: x 2 － 2x －3 推广：ab x b a x +++ )2（= 归纳：十字相乘法定义： 利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 合作探究（二） 用十字相乘法分解下列因式 例1：将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）： 6= ； 12= ； 24= ； -6= ； -12= ； -24= . 十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两 十字相乘法 个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q)x+pq=(x+p)(x+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x*2+7x+12进行因式分解. 上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以 上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4) 又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3). 讲解： x^2-3x+2=如下： x 1 ╳ x 2 左边x乘x=x^2 右边-1乘-2=2 中间-1乘x+-2乘x（对角）=-3x 上边的【x+（-1）】*下边的【x+（-2）】 就等于（x-1）*（x-2） x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）例题 例1 把2x^2-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3 公务员考试中的数学运算部分主要考察考生的算术式子的计算比较和数学应用题的分析运算能力。考生必须具备熟练的数学运算技能和扎实的数学基础知识，掌握一定的数学思想和方法，才能达到准确、迅速求解的要求。利用十字相乘法解公务员考试中的一些习题是很有效的。下面我们简单介绍一下这种方法，并结合例题分析。 十字相乘法的具体原理如下： 一个集合中的个体，可以有两个（或三个）不同的取值，一部分取值为A,另一部分的取值为B,平均值为C,求取值为A的个体与取值为B的个体的比例，假设A有X，B有（1-X）。 则 AX+B(1-X)=C X=(C-B)÷/(A-B) 1-X=(A-C)÷(A-B) 因此X ：(1-X) = (C-B) ：（A-C） 上面计算过程可抽象为 A C-B C B A-C 这就是十字相乘法，使用时要注意：1、用来解决两者之间的比例关系问题，2、得出的比例关系是基数的比例关系，3、总均值放中间，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。 例：某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年的本科生有（）。 A 3920 B4410 C4900 D5490 解析：方法一：按照我们常规的思维方法，大家都能想到的是方程法，这样我们 设这所高校今年的本科生有x 人，则据题意可列如下方程： ， 解得x= 4900. 我们看到题目的数字比较大，大家动笔计算起来很是复杂，这样虽然是算对了，但是会费很多的时间，这样在公务员考试有限的时间中，会给考生一些压力，并导致答不完题目。下面我们用上面介绍的十字相乘法解答，大家可以对照一下。 方法二：7650÷（1+2%）=7500，即2005年毕业生一共有7500人。 第14章整式的乘法与因式分解复习导学案 【学习目标】 1、复习整式乘除的基本运算规律和法则，因式分解的概念、方法以及两者之间的关系. 2、通过练习，熟悉常规题型的运算，并能灵活运用. 【重点难点】 重点：整式的乘除运算与因式分解 难点：灵活进行整式的乘除运算和多项式的因式分解. 一、知识梳理 1. 有关法则 ⑴幂的四个运算性质： (2)单项式乘以单项式的法则：把系数、同底数幂分别相乘后，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式． ⑶单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. ⑷多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. ⑸单项式除以单项式的法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式． ⑹多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 2. 有关公式： ⑴平方差公式：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差，用字母表示为：(a+b)(a－b)= a2- b2. ⑵完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的再加上（或减去）这两数的平方，即： (a±b)2=a2±2 a b+ b2. 3. 有关概念 ⑴因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. ⑵提公因式法：把多项式各项的公因式提出来，这种分解因式的方法叫做提公因式法，即am bm cm ++=m (a ＋b ＋c ).提公因式法的实质是逆用乘法分配律. ⑶公式法：把乘法公式()()a b a b +-= a 2- b 2、2 ()a b ±= a 2±2 a b + b 2逆用，就得到分解因式的公式22a b -=(a +b )(a －b )，222a ab b ±+=(a ±b )2，这种运用公式分解因式的方法叫做公式法. （4）十字相乘法：pq x q p x +++)(2 =(x +p )(x +q )。 注意：因式分解一般思路： 先看有无公因式，再看能否套公式：套用公式看项数，二项式，平方差，三项式，无定法，完全平方先比划前平方，后平方，还有两倍在中央，完全平方行不通再考虑pq 式 二、专题复习： 专题一 幂的运算性质 【例1】计算(1) (2a )3(b 3)2÷4a 3b 4 (2) (-2)2018 ×(0.5)2017 【配套训练】 1.下列计算不正确的是（ ） A. 2a 3 ÷a =2a 2 B. (-a 3)2=a 6 C. a 4 ·a 3=a 7 D. a 2 ·a 4=a 8 2.计算： 8100 ×0.5301； 专题二 整式的运算 【例2】先化简再求值：[(x -y )2+(x +y )(x -y )] ÷2x ,其中x =3, y =2 【配套训练】 (1)一个长方形的面积是a 2-2ab +a ,宽为a ,则长方形的长为 ； （2）(－3a －2b )(－3a +2b ) = （3）(－3a －2b )(3a +2b ) = （4）(－3a +2b )(3a +2b ) = 专题三 分解因式 【例3】判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由： (1)a 2-4+3a =(a +2)(a -2)+3a ; (2)(a +2)(a -2)=a 2-4; 浅谈十字相乘法解决小学数学应用题 摘要：应用题教学是小学数学教学内容中非常重要的部分，在实际教学过程中很多老师感到很困惑，不知用什么样的方法才能让学生更明白，更清楚、更容易接受。也有很多学生会感到解决应用题非常困难，做题的速度慢，错误率高，不会找题中的数量关系，不会理解题中的已知条件和未知问题，特别是我们农村的小学生，就更难了。为了帮助学生提高应用题解题效率，使其掌握更多，更简单易懂的解题技巧，通过自己教学经验，总结出可以利用十字相乘法解决成正比例关系的应用题，希望能为今后的农村从事数学教学工作者提供帮助。 关键词：十字相乘小学应用题 十字相乘法一般运用在成正比例的应用题中，对于部分小学生的理解能力比较差，分不清楚题目的意思，不知怎么动笔解决此类应用题，我们可以跟学生介绍十字相乘法，这种题你教会学生画出十字架，并跟学生讲清楚，讲明白，为什么要这样写，可以通过题中的那句话来画，同时教学生怎么列式计算，这样学生就不会在乘除法中出现错误了。只要你能画出十字架，你就解决了题目中的一半了。总之只要是成正比例的问题，我们都可以利用画十字架的方法解决。这样学生比较清楚用乘法还是除法。 例：一辆客车3小时行174千米，照这样的速度，它12小时可以行多少千米？这是一道小学四年级上册的应用题，因四年级学生理解能力还不很成熟，可能不管老师怎么讲怎么分析都无法理解，如果我们用十字相乘法学生就容易理解，也容易接受，更容易掌握了。 分析：3小时 174千米表示：3小时行了174千米 12小时 ？千米 表示：12小时多少千米？ 注意点：做这种题时一定要注意单位对齐，并且交叉相乘相等，即：3×？＝12×174。在没学习方程之前可以问学生3和？表示什么数？（因数）再问学生因数等于什么？（因数＝积÷另一个因数），这样为后面解方程打下基础。也可以教会学生谁跟问号相连，谁就写在除法的后面：即÷3，别外两个数字相乘写在除号的前面,即：12×174÷3。如果学了方程就更简单了，可以利用解方法，即３ｘ＝12×174。 例：有5 2千克的糖平均分给3个小朋友，每个小朋友分多少千克？ 这是六年级上册分数除法中的一道题，也是常见的一道题。 52千克 3个 52千克的糖平均分给3个小朋友 ？千克 1个 1个小朋友分得多少千克 分析：3跟问题相连所以将3写在除号的后面，1与52 相乘写在除号的前面， 即：？＝52÷3 用这种方法解决一定要强调学生以下几个方面：（１）单位对齐，可以是横着对齐，也可以纵着对齐。但为了怕学生搞错，再说我们在前面的计算中谈到的对齐都是纵象对齐，所以我们还是强调学生纵向对齐，学生没有那么容易错。单位不同时换成单位统一的。（２）要求学生横着写，横着写容易要求学生单位对齐。这块以我教学生的情况有部分学生以为是交叉写，交叉写就是错的，所以老师在这块一定要强调学生，帮学生订证过来。 小学的数学解题方法是多样的，但对于农村的孩子，5+2=0的教育，基础差，理解能力更差，并且有时在一个班上还存在着部分学生字都不认识几个。而做为一线的数学教师，就应根据自己所带班的实际情况，积极思考，认真总结，找到一种或几种比较让你所带的学生更容易接收，更容易理解的方法来进行教学，只有学生乐于接受的方法才是好办法，我们不一定要根据书本上的方法，或者以前的老方法进行教学。 八年级数学下册《1.3.3 十字相乘法因式分 解》导学案湘教版 1、3、3字相乘法因式分解学习目标：（1）了解“二次三项式”的特征；（2）理解“字相乘”法的理论根据；（3）会用“字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。 【重点难点】 重点：用“字相乘”法分解某些二次项系数为1的二次三项式。难点：二次项系数不是1的二次三项式的分解问题。 【学习过程】 一、温故知新１、因式分解与整式乘法的关系： ；２、已有的因式分解方法： ；３、把下列各式因式分解： (1) 3ax2+6ax+3a (2) (y2+x2)2-4x2y2 (3)x4-8x2+16 二、探索新知１、提出问题： 你能分解2ax2+6ax+4a吗？ ２、探求解决：（1）请直接填写下列结果（x+2）（x+1） = ；（x+2）（x-1）= ；（x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1） = 。（2）把x2+3x+2分解因式分析∵ (+1) (+2) ＝＋2-------- 常数项 (+1) ＋ (+2) ＝+3-------- 一次项系数-------- 字交叉线2x + x =3x 解：x2+3x+2 = (x+1) (x+2)３、归纳概括：字相乘法定义： 。４、应用训练：例1 x2 +6x –7= （x+7）(x-1) 步骤： ①竖分二次项与常数项②交叉相乘，和相加③检验确定，横写因式-x +7x =6x顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。练习1： x2-8x+15= ；练习2： x2+4x+3= ； x2-2x-3= 。小结：对于二次项系数为1的二次三项式的方法的特征是“拆常数项，凑一次项”例２试将6x+16 分解因式提示：当二次项系数为-1时，先提取-1，再进行分解。例3 用字相乘法分解因式：（1）2x2-2x-12 （2）12x2-29x+15提炼：对于二次项系数不是1的二次三项式它的方法特征是“拆两头，凑中间”。 三、课堂小结１、字相乘法： 十字相乘法 “十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用： 十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 例1把m2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为 1 -2 1 ╳ 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为 1 2 5 ╳ -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x2-8x+15=0 分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15， 3×5。 解：因为 1 -3 1 ╳ -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4、解方程 6x2-5x-25=0 分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式， 则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。 解：因为 2 -5 3 ╳ 5 所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 用十字相乘法解一些比较难的题目： 例5把14x2-67xy+18y2分解因式 分析：把14x2-67xy+18y2看成是一个关于x的二次三项式, 则14可分为1×14,2×7, 18y2可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2 -9y 7 ╳ -2y 所以 14x2-67xy+18y2= (2x-9y)(7x-2y) 例6 把10x2-27xy-28y2-x+25y-3分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式 的形式 解法一、10x2-27xy-28y2-x+25y-3 =10x2-（27y+1）x -（28y2-25y+3） 4y -3 7y ╳ -1 =10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） 2 -（7y – 1） 5 ╳ 4y - 3 十字相乘法进行因式分解 【学习目标】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 学习重点：理解十字相乘法的根据。 学习难点：能用十字相乘法分解二次三项式。 学习过程： 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般 规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 【典型例题】用十字相乘法因式分解导学案
(完整版)十字相乘法练习题
十字相乘法 导学案
十字相乘法——高中常用的解方程方法
初中数学十字相乘法练习(20200710023442)
十字相乘法——高中常用的解方程方法
初二 十字相乘法 应用题
十字相乘例题及在资料分析中的使用
2公式法,十字相乘法
国家公务员考试行测：十字相乘法简介
“十字相乘法”教学设计
十字相乘法的运算方法
国家公务员行测：十字相乘法简介
《整式的乘法与因式分解复习》导学案
浅谈十字相乘法解决小学数学应用题
八年级数学下册《1.3.3 十字相乘法因式分解》导学案湘教版
十字相乘法的用法
新人教版 8年级上 数学--十字相乘法分解因式导学案--教案