基本不等式中“1的妙用”

一、考法解法

命题特点分析

此类题目主要特点是：1、两个变量是正实数（使用基本不等式的前提），2、有一个代数式①的值已知，求另一个代数式②的最小值，其中两个代数式一个是整式ax by +，一个是分式

m n x y

+，当然会在此基础上进行变形。解题方法荟萃主要是凑出可以使用基本不等式的形式：

y x x y μλ+的形式，多数情况下是让两个代数式相乘。二、典型题剖析

例1：（1）已知,x y R *∈，21x y +=，求12x y

+的最小值；（2）已知,x y R *

∈，23x y +=，求12x y +的最小值；（3）已知,x y R *∈，322x y

+=，求62x y +的最小值；（4）已知,x y R *∈，2x y xy +=，求2x y +的最小值；

【解析】这四个题目中，（1）是“1的替换”的最基础题目，已知整式的值为1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换。【答案】（1）121222(2)()145249x y x y x y x y y x

+=++=+++≥+= 当且仅当22x y y x =即13x y ==时取等号（2）121121221(2)()145243333

x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=（）（）当且仅当22x y y x =即13x y ==时取等号（3）1323662=()(62)9218622y x x y x y x y x y

+++=+++≥+ 当且仅当

63x y y x =即32+222x y ==时取等号

（4）因为2x y xy +=，所以121y x +=，然后1242=(+2y)(+)=48x y x y x y x y x

+++≥ 当且仅当4x y y x

=即24x y ==时取等号例2：（1）已知,x y R *∈，1x y +=，求

1213x y +++的最小值；（2）已知,x y R *

∈，1x y +=，求22

11x y x y +++的最小值；（3）已知,x y R *∈，1x y +=，求1223

x y y +++的最小值；（4）已知,x y R *

∈，231x y +=，求123x y y +++的最小值；【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数。

【答案】

（1）整式变形成113x y +++=，

12112132(1)22(13)()(12)1135133133

y x x y x y x y x y +++=++++=+++≥+++++++ 当且仅当32(1)=13

y x x y ++++取等号（2）2222(1)2(1)1(1)2(1)1111212111111

x y x x y y x y x y x y x y +-+++-+++=+=+-+++-+++++++ 11111

x y =+-++ 然后求当1x y +=时，代数式1111

x y +++的最小值（3）整式变形成235x y y +++=，求代数式

1223x y y +++最小值

（4）假设分式变形为2()(3)

x y y λ

μλμ+++的形式，保证x 的系数与y 的系数之比等于整式中的系数之比，即2==2+3λλμλμ，，1,=2μλ∴=，分式变形为22223

x y y +++ 整式变形为2234x y y +++=，然后求22223

x y y +++的最小值。例3：（1）已知,x y R *∈，1x y +=，求

12x x y +的最小值；（2）已知()0,1x ∈，，求121x x

+-的最小值；【解析】这两个题目的变式又不同于之前的形式，（1）主要是分式的一个分子的系数不是一个常数，而是2x y

的形式，因为比较接近我们使用基本不等式的形式，所以对另一个分子替换；（2）中好像是缺了整式，但仔细观察不难发现，其实分母之和为定值。

【解析】

（1）12221122x x y x y x x y x y x y ++=+=++≥+当且仅当2x y y x

=时取等号（2）因为(1)1x x +-=，然后求

121x x +-的最小值三、达标与拓展

1．若正数x ，y 满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是（）

A ．524

B ．5

28 C ．5 D ．6 【解析】正数x ，y 满足xy y x 53=+，

15153=+∴y x ， ()553312251353512545943515343=?+≥+++=+???

? ??+=+∴y x x y y x x y y x y x y x ，当且仅当y

x x y 53512=时取等号即y x 43+的最小值是5【答案】C. 2. 已知,x y 均为正实数，且32x y +=，则

2x y xy +的最小值为．

【解析】试题分析：323272721217(3)()62222

y x y x x y x y x y x y xy x y +?+++=++?=≥=+，当且仅当3232x y y x x y +=???=??即26122323x y ?=?+???=?+?时，等号成立，即2x y xy +的最小值是762+． 3. 设00，a b >>，若3是3a 与3b 的等比中项，则11a b

+的最小值为（） A ．8 B ．4 C ．1 D ．14

【【解析】因为3是3a 与3b 的等比中项，所以1a b +=

1111()()2224a b a b a b a b b a

+=++=++≥+=【答案】B ． 4．已知的最小值是则

b a b a b a 3a 1b 21,1,0,0+++=+>>__________.

【解析】令，（（)3a )a 2a b y b x b +++=+解得5

152==

y x ， ()??? ??+++???????+++=+++b b a b a b a a b a 3a 121)3(51252b 3121

()())3(5)2(2)2(53253b 3a 5b a 2225353b a b a b a b a b a b a ++?+++≥++++++=）（5223+=

当()()）

（b 3a 5b a 22253++=++b a b a 即())2(23a b a b +=+取等号. 5. 已知实数x ，y 满足13422=++xy y x ，则y x +2的最大值为．

【解析】实数x ，y 满足1342

2=++xy y x ， xy xy y x +=++∴14422，()2

22221122112??? ??++≤??+=+∴y x y x y x ，解关于y x +2的不等式可得71422≤+y x ，故答案为：7

142． 6. 已知0a >，0b >，21a b +=，则

11343a b a b +++取到最小值为．

【解析】试题分析：令2(34)(3)(3)(43)a b a b a b a b λμλμλμ+=+++=+++，∴13154322

5λλμλμμ?=?+=?????+=??=??

， ∴111112312(3)34()[(34)(3)][]3433435555343a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b

+++=+?+++=++++++++ 322(3)34322553435a b a b a b a b +++≥+?=++，当且仅当212(3)34343a b a b a b a b a b

+=??++???++?时，等号成立，即11343a b a b +++的最小值是3225

+． 7.已知正数,x y 满足1,xy ≤则11112M x y

=+++的最小值为【解析】11()[(1)(12y)]4112M x x y

=++++≥++ 则422M x y

≥++，令22t x y =++，即11122y x t =-+-， 11(1)122xy x x t =-+-≤恒成立，由0?≤得222222t -≤≤+，4422222222

M x y ≥≥=-+++ 8. 若正数,,x y z 满足3456x y z ++=，则

1422y z y z x z ++++的最小值为 . 【解析】1422y z y z x z ++++=163(x z)16322y z x z y z x z

-++=+-++++ 令2,y z a x z b +=+=，则2(2)3()345236y z x z x y z a b +++=++=+=，即

132a b +=，原式=1

127()()3632323

b a b b a a a b ++-=++≥ 9.已知00>>y x ，，且121=+y

x ，若m y x ≥+2恒成立，则实数m 的取值范围是，当m 取到最大值时=x .

【解析】恒成立问题，求2x y +的最小值，即为“1的替换”

答案为：(]8，

∞-，2； 10. 在边长为1的正三角形ABC 中，)00(>>==y x AC y AE AB x AD ，，，且

341x y +=，则BE CD ?的最小值等于 .

【解析】这是结合向量来解的一个题目，BE CD ?的最小值为622

11+.

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键．题型一用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

高中数学基本不等式证明

不等式证明基本方法例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选用。例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--

4 基本不等式的证明(1)

4、基本不等式的证明（1）目标： (,0)2 a b a b +≥的证明过程，并能应用基本不等式证明其他不等式。过程：一、问题情境把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a 并非物体的实际质量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢？把两次称得的物体的质量“平均”一下，以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗？设天平的两臂长分别为12,l l ，物体实际质量为M ，据力学原理有1221,l M l a l M l b == ，有2,M ab M == ,0a b >时，2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构一般，判断两数的大小可采用“比较法”： 02a b +-=≥ 2 a b +≤（当且仅当a b =时取等号）说明：当0a =或0b =时，以上不等式仍成立。从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥（称之“基本不等式” ）当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释：如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用例1 设,a b 为正数，证明：1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意：基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ???

例2 证明： 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=，求证：123a b +≥+ 四、小结五、作业反馈32 书P91 习题1，2，3

不等式证明的基本方法

绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法二、知识分析定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab ≥0时，等号成立。几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a 与－b的距离等于它们到原点距离之和。（2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立，即b落在a，c之间。推论1

推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。【典型例题】例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证：

基本不等式的证明

课题：基本不等式及其应用一、教学目的 (1)认知：使学生掌握基本不等式a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R ，当且仅当a=b 时取“=”号)和 ab b a ≥+2 (a 、b ∈R +，当且仅当a=b 时取“=”号)，并能应用它们证明一些不等式． (2)情感：通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力．二、教学重难点重点：两个基本不等式的掌握；难点：基本不等式的应用。三、教材、学生分析教材分析：两个基本不等式为以后学习不等式的证明和求函数的最大值或最小值提供了一种方法，基本不等式的理解和掌握对以后的解题是很有帮助的。学生分析：学生在上新课之前都预习了本节内容，对上课内容有一定的理解。所以根据这一情况多补充了一些内容，增加了课堂容量。四、教学过程（一）引入新课客观世界中，有些不等式关系是永远成立的。例如，在周长相等时，圆的面积比正方形的面积大，正方形的面积又比非正方形的任意矩形的面积大。对这些不等关系的证明，常常会归结为一些基本不等式。今天，我们学习两个最常用的基本不等式。

（二）推导公式 1．奠基如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0 ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥0， ∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，也就是基本不等式1，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？学生回答：a=b，因为a=b a2+b2=2ab 充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)．以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索． 2．探索公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有 a2＋b2≥2ab；

基本不等式的证明

重要不等式及其应用教案教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式． (2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力．教学过程一、引入新课师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？生：求差比较法，即师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法．如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0}．师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法．二、推导公式

1．奠基师：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥0， ∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)．以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索． 2．探索师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有 a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca．

3.4.1基本不等式的证明

《基本不等式》教案 (高一年级下册·必修5第三章第四节) 成都华西中学数学组张宇一、【教材分析】 1、教学内容本节课内容是人教A版教材必修5第三章《不等式》第四节,其教学内容为基本不等式的证明及简单应用。 2、地位与作用本节是在已学不等式性质基础上对不等式进一步认识的重要内容之一，它为选修4-5《不等式选讲》中用以研究不等式提供了一种重要依据。因此本节课起着承上启下的作用。同时本节课给出了《不等式》中2个最重要的不等式，它的探究方法对后续的《不等式选讲》的学习有着方法上的指导意义。二、【学情分析】 1、知识基础：高一年级学生已在初中学习过一元一次不等式等基础知识，并能用这些知识解决相关问题，对不等式证明的书写较为熟悉。 2、认知水平与能力：高一年级学生已初步学会了简单的逻辑推理方法，掌握了一些基本的数学思想方法，能在教师的引导下独立地解决一些基本问题。 3、任教班级学生特点：我班学生基础知识比较薄弱、但是思维较活跃，能比较容易接受教材上的内容，但是要求应用所学的知识解决问题的能力还不足，逻辑推理能力和用数学语言进行正确表达的能力还有待进一步提高。三、【目标分析】 1、教学目标依据教材的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：（1）知识与技能 ①理解基本不等式的内容及证明； ②能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小； ③进一步学会用数学语言对不等式证明进行正确规范地书写。（2）过程与方法 ①在利用赵爽弦图进行推导重要不等式和基本不等式的过程中，经历观察、分析、猜想、论证，形成对两个不等式关系的良好认识； ②在推理论证的过程中进一步理解从特殊到一般和数形结合等数学思想方法的重要性，并学会应用解决相关问题；（3）情感态度与价值观

示范教案(基本不等式证明)

3.4基本不等式： 3.4.1基本不等式的证明从容说课在前两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不等式<组）与简单的线性规划问题.本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展.另外，为基本不等式的应用垫定了坚实的基础，所以说，本节课是起到了承上启下的作用.本节课是通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.通过分析得出基本不等式：，然后从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣，根据本节课的教案内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，进行启发、探究式教案并使用投影仪辅助. 教案重点1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式； 2.从不同角度探索基本不等式的证明过程； 3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路. 教案难点1.对基本不等式从不同角度的探索证明； 2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路. 教具准备多媒体及课件三维目标一、知识与技能 1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式； 2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程； 3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件. 二、过程与方法 1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教案； 2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用； 3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣. 三、情感态度与价值观 1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯； 2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量； 3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，

基本不等式中“1的妙用”

不等式证明的常用基本方法

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基本不等式的证明

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