整式的加减讲义

知识要点

一、整式的有关概念

1．单项式

（1）概念：注意：单项式中数与字母或字母与字母之间是乘积关系，例如：

2x 可以看成12x ?，所以2x 是单项式；而2x 表示2与x 的商，所以2

x 不是单项式，凡是分母中含有字母的就一定不是单项式. （2）系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 例如：212x y -的系数是12

-；2r π的系数是2.π 注意：①单项式的系数包括其前面的符号；②当一个单项式的系数是1或1-时，“1”通常省略不写，但符号

不能省略. 如：23,xy a b c -等；③π是数字，不是字母.

（3）次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数.

注意：①计算单项式的次数时，不要漏掉字母的指数为1的情况. 如32

2xy z 的次数为1326++=，而不是5；

②切勿加上系数上的指数，如522xy 的次数是3，而不是8；322x y π-的次数是5，而不是6. 2．多项式

（1）概念：几个单项式的和叫做多项式. 其含义是：①必须由单项式组成；②体现和的运算法则.

（2）项：在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几个单

项式就叫几项式.例如：2231x y --共含有有三项，分别是22,3,1x y --，所以2

231x y --是一个三项式. 注意：多项式的项包括它前面的符号，如上例中常数项是1-，而不是1.

（3）次数：多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数.

注意：要防止把多项式的次数与单项式的次数相混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和. 例如：多项式2242235x y x y xy -+中，222x y 的次数是4，43x y -的次数是5，25xy 的次数是3，故此多项式的次数是5，而不是45312++=.

3．整式：单项式和多项式统称做整式.

4．降幂排列与升幂排列

（1）降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列.

（2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列. 注意：①降（升）幂排列的根据是：加法的交换律和结合律；②把一个多项式按降（升）幂重新排列，移动多项式的项时，需连同项的符号一起移动；③在进行多项式的排列时，要先确定按哪个字母的指数来排列. 例如：多

项式24423332xy x y x y x y ----按x 的升幂排列为：42233432y xy x y x y x -+---；按y 的降幂排列为：42323432y x y xy x y x --+--.

二、整式的加减

1．同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.

注意：同类项与其系数及字母的排列顺序无关. 例如：232a b 与323b a -是同类项；而232a b 与325a b 却不是同类项，因为相同的字母的指数不同.

2．合并同类项

（1）概念：把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项.

注意：①合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，如235a b ab +=显然不正确；②不能合并的项，在每步运算中不要漏掉.

（2）法则：合并同类项就是把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变.

注意：①合并同类项，只是系数上的变化，字母与字母的指数不变，不能将字母的指数相加；②合并同类项的依据是加法交换律、结合律及乘法分配律；③两个同类项合并后的结果与原来的两个单项式仍是同类项或者是0.

3．去括号与填括号

（1）去括号法则：括号前面是“＋”，把括号和它前面的“＋”去掉，括号内的各项都不变号；括号前面是“－”，把括号和它前面的“－”去掉，括号内的各项都改变符号.

注意：①去括号的依据是乘法分配律，当括号前面有数字因数时，应先利用分配律计算，切勿漏乘；②明确法则中的“都”字，变符号时，各项都变；若不变符号，各项都不变. 例如：()();a b c a b c a b c a b c +-=+---=-+；③当出现多层括号时，一般由里向外逐层去括号，如遇特殊情况，为了简便运算也可由外向内逐层去括号.

（2）填括号法则：所添括号前面是“＋”号，添到括号内的各项都不变号；所添括号前面是“－”号，添到括号内的各项都改变符号.

注意：①添括号是添上括号和括号前面的“＋”或“－”，它不是原来多项式的某一项的符号“移”出来的；②添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可用去括号来检验. 例如：()();.a b c a b c a b c a b c +-=+--+=--

4．整式的加减

整式的加减实质上是去括号和合并同类项，其一般步骤是：

（1）如果有括号，那么先去括号；（2）如果有同类项，再合并同类项.

注意：整式运算的结果仍是整式.

基础巩固

1下列说法正确的是( )

A ．单项式23x -的系数是3-

B ．单项式324

2π2

ab -的指数是7 C ．1x

是单项式 D ．单项式可能不含有字母 2多项式2332320.53x y x y y x ---是次项式，关于字母y 的最高次数项是，关于字母x 的最高次项的系数，把多项式按x 的降幂排列。

3已知单项式4312

x y -的次数与多项式21228m a a b a b +++的次数相同，求m 的值。

4若A 和B 都是五次多项式，则( )

A ．A

B +一定是多项式 B ．A B -一定是单项式

C ．A B -是次数不高于5的整式

D ．A B +是次数不低于5的整式

5若m 、n 都是自然数，多项式222m n m n a b ++-的次数是( )

A ．m

B ．2n

C ．2m n +

D ．m 、2n 中较大的数

6同时都含有字母a 、b 、c ，且系数为1的7次单项式共有( )个。

A ．1

B ．3

C ．15

D ．36

7若2222m a b +与3334

m n a b +--是同类项，则m n += 。

8单项式21412

n a b --与283m m a b 是同类项，则100102(1)(1)n m +?-=( ) A ．无法计算 B ．14

C ．4

D ．1 9若5233m n x y x y -与的和是单项式，则n m = 。

10下列各式中去括号正确的是( )

A ．()222222a a b b a a b b --+=--+

B ．()()

222222x y x y x y x y -+--+=-++-

C ．()22235235x x x x --=-+

D ．()3232413413a a a a a a ??---+-=-+-+?? 11已知222223223A x xy y B x xy y =-+=+-，，求(2)A B A --

12若a 是绝对值等于4的有理数，b 是倒数等于2-的有理数。求代数式()22223224a b a b ab a a ab ??-----??的值。

13已知a 、b 、c 满足：⑴()253220a b ++-=；⑵2113

a b c x y -++是7次单项式；求多项式()22222234a b a b abc a c a b a c abc ??------??的值。

14李明在计算一个多项式减去2245x x -+时，误认为加上此式，计算出错误结果为221x x -+-，试求出正确答案。

15有这样一道题“当22a b ==-，时，求多项式()()

22233322a ab b a ab b -----+的值”，马小虎做题时把2a =错抄成2a =-时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗说明理由。

典型例题

例1．若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，

求()[]

m m m m +---45222的值.

例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式63

5-++cx bx ax 的值。

例3．当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.

例4．已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.

例5．（实际应用）A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利

例6．三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且bc

bc ac ac ab ab c c b b a a x +++++=，则 12

3+++cx bx ax 的值是_______ 。

例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上

写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．（1）“17”在射线 ____上， “2008”在射线___________上．（2）若n 为正整数，则射线OA 上数字的排列规律可以用含n 的代数式表示为__________________________．

例8．将正奇数按下表排成5列:

第一列第二列第三列第四列第五列

第一行 1 3 5 7

第二行 15 13 11 9

第三行 17 19 21 23

第四行 31 29 27 25

根据上面规律，2007应在

A ．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D . 251行,5列

例9．定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为k n

2（其中k 是使k n

2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：

若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是__________．

例10．已知

3xy x y =+，求代数式3533x xy y x xy y

-+-+-的值。

A B D C E O 1 7 2 8 3 9 4 10 5

11 6 12

26 13 44 11 第一次 F ②

第二次 F ① 第三次 F ② …

作业

一、填空题

1、单项式23x -减去单项式y x x y x

2222,5,4--的和，列算式为，化简后的结果是。 2、当2-=x 时，代数式－122-+x x = ，122+-x x = 。

3、写出一个关于x 的二次三项式，使得它的二次项系数为-5，则这个二次三项式为。

4、已知：11=+x

x ，则代数式51)1(2010-+++x x x x 的值是。 5、张大伯从报社以每份元的价格购进了a 份报纸，以每份元的价格售出了b 份报纸，剩余的以每份元的价格退回报社，则张大伯卖报收入元。

7、计算：)2008642()200953(m m m m m m m m ++++-++++ = 。

8、－bc a 2+的相反数是，

π-3= ，最大的负整数是。 9、若多项式7322++x x

的值为10，则多项式7962-+x x 的值为。 10、若≠+-m y x y x m n 则的六次单项式是关于,,)

2(232 ，n = 。 11、已知=++=+-=+22224,142,82b ab a ab b ab a 则；=-22b a 。

12、多项式172332+--x x x

是次项式，最高次项是，常数项是。

二、选择题 13、下列等式中正确的是（）

A 、)25(52x x --=-

B 、)3(737+=+a a

C 、－)(b a b a --=-

D 、)52(52--=-x x

14、下面的叙述错误的是（）

A 、倍的和的平方的与的意义是2)2(2b a b a +。

B 、222b a b

a 与的意义是+的2倍的和 C 、3)2(b

a 的意义是a 的立方除以2

b 的商 D 、b a b a 与的意义是2)(2+的和的平方的2倍

15、下列代数式书写正确的是（）

A 、48a

B 、y x ÷

C 、)(y x a +

D 、2

11abc 16、－)(c b a +-变形后的结果是（）

A 、－c b a ++

B 、－c b a -+

C 、－c b a +-

D 、－c b a --

17、下列说法正确的是（）

A 、0不是单项式

B 、x 没有系数

C 、37x x

+是多项式 D 、5xy -是单项式 18、下列各式中,去括号或添括号正确的是（）

A 、c b a a c b a a +--=+--2)2(22

B 、)123(123-+-+=-+-y x a y x a

C 、1253)]12(5[3+--=---x x x x x x

D 、－)1()2(12-+--=+--

a y x a y x 19、代数式,21a a + 4

3,21,2009,,3,42mn bc a a b a xy -+中单项式的个数是（） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6

20、若A 和B 都是4次多项式，则A+B 一定是（）

A 、8次多项式

B 、4次多项式

C 、次数不高于4次的整式

D 、次数不低于4次的整式

21、已知y x x n m n m

2652与-是同类项，则（） A 、1,2==y x B 、1,3==y x C 、1,2

3==y x D 、0,3==y x 三、解答题

23、已知：;)()(,,0553

212=+-m x y x m 满足 231272)2(a b b a y 与+-是同类项，求代数式:)733()9(6222222y xy x y xy m y x +---+-的值。

24、试说明：不论x 取何值代数式)674()132()345(323223x x x x x x x x x +--+--+---++的值是不会改变的。