算法设计与分析--回溯法哈密尔顿回路问题
回溯算法的应用
课程名称：算法设计与分析院系：
学生姓名：
学号：
专业班级：
指导教师：
年月日
回溯算法的应用
摘要：回溯法是在包含问题的所有解的解空间树（或森林）中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否满足问题的约束条件。如果满足进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。否则，不去搜索以该结点为根的子树，而是逐层向其祖先结点回溯。其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法。
回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
回溯法的优点在于其程序结构明确，可读性强，易于理解，而且通过对问题的分析可以大大提高运行效率。回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。这就是以深度优先的方式系统地搜索问题解的回溯算法，它适用于解决一些类似n皇后问题等求解方案问题，也可以解决一些最优化问题。关键词：回溯法解空间树深度优先搜索
目录
第1章绪论 (1)
1.1 回溯算法的背景知识 (1)
1.2 回溯法的前景意义 (1)
第2章回溯算法的理论知识 (2)
2.1 回溯算法的基本思想 (2)
2.2 回溯算法设计过程 (2)
2.3回溯算法框架 (2)
2.4 回溯算法的一般性描述 (4)
第3章哈密尔顿问题 (5)
3.1 问题描述 (5)
3.2 问题分析 (5)
3.3 算法设计 (5)
3.4 测试结果与分析 (7)
第4章结论 (11)
参考文献 (12)
第1章绪论
1.1 回溯算法的背景知识
回溯算法是尝试搜索算法中最为基本的算法，在递归算法中，其存在的意义是在递归知道可解的最小问题后，逐步返回原问题的过程。实际上是一个类似于枚举的搜索尝试方法，他的主题思想是在搜索尝试的过程中寻找问题的解，当发现不满足条件时就回溯返回，尝试别的路径。
简单的说就是：从问题的某一种初始状态出发，依次搜寻每一种可能到达的情况，当走到这条路的“尽头”时，回过头到上一个情况，看这个情况是否还有没有走过的路，依次进行下去，直到遍历完所有的情况。
回溯法实际上是一种深度优先搜索的方式。对于回溯法解决的问题，通常将其解空间组织成图或者树的形式。对于用回溯法求解的问题，首先要将问题进行适当的转化，得出状态空间树。这棵树的每条完整路径都代表了一种解的可能。通过深度优先搜索这棵树，枚举每种可能的解的情况；从而得出结果。但是，回溯法中通过构造约束函数，可以大大提升程序效率，因为在深度优先搜索的过程中，不断的将每个解与约束函数进行对照从而删除一些不可能的解，这样就不必继续把解的剩余部分列出从而节省部分时间。
1.2 回溯法的前景意义
在做题时，有时会遇到这样一类题目，它的问题可以分解，但是又不能得出明确的动态规划或是递归解法，此时可以考虑用回溯法解决此类问题。回溯法的优点在于其程序结构明确，可读性强，易于理解，而且通过对问题的分析可以大大提高运行效率。
通过运用回溯法，可以解决很多问题，譬如我们所熟知的“八皇后问题”、“0/1背包问题”，这只是在教学阶段中的运用，在实际运用中回溯法也能起到很大的作用。
回溯法适用于解决难以归纳一般规律解法的问题，其适用范围广，灵活性大，在解一些列举方法的问题时尤其可用。但是，其缺点也是明显的，即时间复杂度较大；因此在采用时我们应该因情况的不同而做出不同的选择。
第2章回溯算法的理论知识
2.1 回溯算法的基本思想
回溯法是在包含问题的所有解的解空间树（或森林）中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否满足问题的约束条件。如果满足进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。否则，不去搜索以该结点为根的子树，而是逐层向其祖先结点回溯。其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法。
2.2 回溯算法设计过程
（1）确定问题的解空间
应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。
（2）确定结点的扩展规则，如每个皇后在一行中的不同位置移动，而象棋中的马只能走“日”字等。
（3）搜索解空间
回溯算法从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
2.3回溯算法框架
（1）问题框架
设问题的解是一个n维向量（a1,a2,.....,an），约束条件是ai(i=1,2,3, ....,n)之间满足某
种条件，记为f(ai)。
（2）非递归回溯框架
int a[n],i;
初始化数组a[];
i=1;
While(i>0(有路可走)）and([未到达目标]) //还未回溯到头
{ if（i>n）//搜索到叶结点
搜索到一个解，输出；
else //正在处理第i个元素
{ a[i]第一个可能的值；
while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)
a[i]下一个可能的值；
if（a[i]在搜索空间内）
{标识占用的资源；
i=i+1;} //扩展下一个结点
else
{清理所占的状态空间；//回溯
i=i-1;}
}
}
(3)递归算法框架
回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索深度，框架如下：
int a[n];
try(int i)
{if(i>n)
输出结果；
else
for(j=下界；j<=上界;j++)
if(f(j))
{a[i]=j;
...
try(i+1);
回溯前的清理工作（如a[i]置空值等）；
}
}
2.4 回溯算法的一般性描述
回溯法的一般描述
可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x
1，x
2
，…，x
n
）
组成的一个状态空间E={（x
1，x
2
，…，x
n
）∣x
i
∈S
i
，i=1，2，…，n}，给定关于n元
组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中
S i 是分量x
i
的定义域，且 |S
i
| 有限，i=1，2，…，n。我们称E中满足D的全部约束条
件的任一n元组为问题P的一个解。
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。但显然，其计算量是相当大的。
我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x
1，x
2
，…，
x i ）满足D中仅涉及到x
1
，x
2
，…，x
i
的所有约束意味着j（j<=i）元组（x
1
，x
2
，…，
x j ）一定也满足D中仅涉及到x
1
，x
2
，…，x
j
的所有约束，i=1，2，…，n。换句话说，
只要存在0≤j≤n-1，使得（x
1，x
2
，…，x
j
）违反D中仅涉及到x
1
，x
2
，…，x
j
的约束
之一，则以（x
1，x
2
，…，x
j
）为前缀的任何n元组（x
1
，x
2
，…，x
j
，x
j+1
，…，x
n
）一
定也违反D中仅涉及到x
1，x
2
，…，x
i
的一个约束，n≥i≥j。因此，对于约束集D具有
完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x
1，x
2
，…，x
j
）违反D中仅涉及x
1
，x
2
，…，
x j 的一个约束，就可以肯定，以（x
1
，x
2
，…，x
j
）为前缀的任何n元组（x
1
，x
2
，…，
x j ，x
j+1
，…，x
n
）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。回溯法正
是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。
第3章哈密尔顿问题
3.1 问题描述
回溯搜索解哈密尔顿问题：
哈密尔顿回路就是指经过图（有向图或无向图）中所有顶点一次且仅一次的通路。
3.2 问题分析
用回溯算法遍历哈密尔顿回路中的所有顶点（每个顶点遍历一次且仅一次），回溯法是采用深度优先遍历的算法，对解空间树进行遍历。在求哈密尔顿回路时，要用一个二维数组存储顶点的邻接矩阵，并且要对已经访问过的顶点进行标记。
3.3 算法设计
(1) 算法分析
用回溯法求解哈密尔顿回路问题，首先要画出问题的解空间树，该解空间树是一棵最大度是n的树（其中n为图中的顶点数），树中只有第一个结点的度为n，其余的结点的度都为n-1（该结点不用与其自身相连）。在编写算法时，可以通过判断该边在图的邻接矩阵中的值来剪枝，如果其值不是1，则说明该边不存在，则剪枝不用继续搜索。由于在求图的哈密尔顿回路时，走过的顶点不能再重复走，所以要对已经遍历过的顶点做一个标记，如果在搜索时找到的是一个带有标记的顶点，那么该路径也是不可行的，应剪去。
(2) 实例分析
创建一个有6个顶点，9条边的连通图，如下图所示，求解哈密尔顿回路的所有解。
图3-1哈密尔顿回路
此实例共有6种解，分别为：
回路1：1 2 6 5 3 4
回路2：1 2 6 5 4 3
回路3：1 3 2 6 5 4
回路4：1 3 4 5 6 2
回路5：1 4 3 5 6 2
回路6：1 4 5 6 2 3
(3) 数据结构
1> 在求解哈密尔顿回路问题时，需要用graph[][]二维数组存储边的邻接矩阵。
2> 数组x[]存储回路的解。
(4)流程图
图3-2 哈密尔顿回路算法设计主函数流程图
图3-3 哈密尔顿回路算法设计hamiltonian()函数流程图
图3-4 哈密尔顿回路算法设计nextvalue()函数流程图3.4 测试结果与分析
1、有哈密尔顿回路测试结果：
图3-5有哈密尔顿回路连通图边的创建
创建6个顶点，9条边的连通图。在提示的信息下输入顶点号，以便创建边。
图3-6有哈密尔顿回路连通图的解
如图3.5以及图3.6所示，创建有6个顶点，9条边的有哈密尔顿回路的连通图，则哈密尔顿回路的所有解共有6种。回溯算法是按照深度优先的原则对哈密尔顿回路连通图进行遍历，因此在一个具有哈密尔顿回路的连通图中会有多种不同的回路。
2、无哈密尔顿回路测试结果：
图3-7无哈密尔顿回路连通图的解
创建5个顶点，6条边的连通图，输入不同顶点号以创建边，在第6条边创建完后，从图3-7中可以看到没有输出解，这是由于创建的连通图中没有哈密尔顿回路，所以没有解答案。
第4章结论
通过本次课程设计，我对算法设计与分析的基础有了更清楚的认识，基本掌握了回溯算法求解一般哈密尔顿回路的基本思想以及编程原理，提高了程序开发能力，切实体会到了算法设计与分析在编程中的指导作用，对提高自身的编程能力以及项目制作能力有很大的意义。在这次的实例求解哈密尔顿回路问题，我对回溯法求解问题的思想有了进一步的理解，也对回溯算法理解的更加透彻。由于对哈密尔顿回路问题的知识了解的不多，对程序设计有很大的阻碍，因此，只能通过上网查询，以及向同学询问，并且多加思考，才完成了本次的程序设计。
利用回溯算法求解哈密尔顿回路问题，需建立在连通图的基础上，哈密尔顿回路就是遍历图中的所有顶点，但要求每个顶点只能经过一次且仅一次。回溯算法是在解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。利用递归算法，使大规模问题逐步小化为小规模问题，程序设计框架更加清晰，简单，算法设计也更加明了。
回溯算法也叫试探法，它是一种系统地搜索问题的解的方法。回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。用回溯算法解决问题的一般步骤为：
1、定义一个解空间，它包含问题的解。
2、利用适于搜索的方法组织解空间。
3、利用深度优先法搜索解空间。
4、利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。
问题的解空间通常是在搜索问题的解的过程中动态产生的，这是回溯算法的一个重要特性。
具体来说：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
参考文献[1] 算法设计与分析（第二版）吕国英主编
算法设计与分析王晓东
习题2-1 求下列函数的渐进表达式： 3n^2+10n; n^2/10+2n; 21+1/n; logn^3; 10 log3^n 。 解答：3n^2+10n=O(n^2), n^2/10+2^n=O(2^n), 21+1/n=O(1), logn^3=O(logn), 10log3^n=O(n). 习题2-3 照渐进阶从低到高的顺序排列以下表达式：n!，4n^2,logn,3^n,20n,2,n^2/3。 解答：照渐进阶从高到低的顺序为：n!、3^n、4n^2 、20n、n^2/3、logn、2 习题2-4 (1)假设某算法在输入规模为n时的计算时间为T(n)=3*2^n。在某台计算机上实现并完成该算法的时间为t秒。现有另外一台计算机，其运行速度为第一台计算机的64倍，那么在这台新机器上用同一算法在t秒内能解输入规模为多大的问题？ (2)若上述算法的计算时间改进为T(n)=n^2，其余条件不变，则在新机器上用t秒时间能解输入规模多大的问题？ (3)若上述算法的计算时间进一步改进为,其余条件不变，那么在新机器上用t秒时间能解输入规模多大的问题？ 解答：(1)设能解输入规模为n1的问题，则t=3*2^n=3*2^n/64,解得n1=n+6 (2)n1^2=64n^2得到n1=8n (3)由于T（n)=常数，因此算法可解任意规模的问题。 习题2-5 XYZ公司宣称他们最新研制的微处理器运行速度为其竞争对手ABC公司同类产品的100倍。对于计算复杂性分别为n，n^2，n^3和n!的各算法，若用ABC公司的计算机能在1小时内能解输入规模为n的问题，那么用XYZ公司的计算机在1小时内分别能解输入规模为多大的问题？ 解答：n'=100n n'^2=100n^2得到n'=10n n'^3=100n^3得到n'=4.64n n'!=100n!得到n' 《数据结构》必须掌握的知识点与算法 第一章绪论 1、算法的五个重要特性（有穷性、确定性、可行性、输入、输出） 2、算法设计的要求（正确性、可读性、健壮性、效率与低存储量需求） 3、算法与程序的关系： （1）一个程序不一定满足有穷性。例操作系统，只要整个系统不遭破坏，它将永远不会停止，即使没有作业需要处理，它仍处于动态等待中。因此，操作系统不是一个算法。 （2）程序中的指令必须是机器可执行的，而算法中的指令则无此限制。算法代表了对问题的解，而程序则是算法在计算机上的特定的实现。 （3）一个算法若用程序设计语言来描述，则它就是一个程序。 4、算法的时间复杂度的表示与计算（这个比较复杂，具体看算法本身，一般关心其循环的次数与N的关系、函数递归的计算） 第二章线性表 1、线性表的特点： （1）存在唯一的第一个元素；（这一点决定了图不是线性表） （2）存在唯一的最后一个元素； （3）除第一个元素外，其它均只有一个前驱（这一点决定了树不是线性表） （4）除最后一个元素外，其它均只有一个后继。 2、线性表有两种表示：顺序表示（数组）、链式表示（链表），栈、队列都是线性表，他们都可以用数组、链表来实现。 3、顺序表示的线性表（数组）地址计算方法： （1）一维数组，设DataType a[N]的首地址为A0，每一个数据（DataType类型）占m个字节，则a[k]的地址为：A a[k]＝A0+m*k（其直接意义就是求在数据a[k]的前面有多少个元素，每个元素占m个字节） （2）多维数组，以三维数组为例，设DataType a[M][N][P]的首地址为A000，每一个数据（DataType 类型）占m个字节，则在元素a[i][j][k]的前面共有元素个数为：M*N*i+N*j+k，其其地址为： A a[i][j][k]＝A000+m*(M*N*i+N*j+k)； 4、线性表的归并排序： 设两个线性表均已经按非递减顺序排好序，现要将两者合并为一个线性表，并仍然接非递减顺序。可见算法2.2 5、掌握线性表的顺序表示法定义代码，各元素的含义； 6、顺序线性表的初始化过程，可见算法2.3 7、顺序线性表的元素的查找。 8、顺序线性表的元素的插入算法，注意其对于当原来的存储空间满了后，追加存储空间（就是每次增加若干个空间，一般为10个）的处理过程，可见算法2.4 9、顺序线性表的删除元素过程，可见算法2.5 10、顺序线性表的归并算法，可见算法2.7 11、链表的定义代码，各元素的含义，并能用图形象地表示出来，以利分析； 12、链表中元素的查找 13、链表的元素插入，算法与图解，可见算法2.9 14、链表的元素的删除，算法与图解，可见算法2.10 15、链表的创建过程，算法与图解，注意，链表有两种（向表头生长、向表尾生长，分别用在栈、队列中），但他们的区别就是在创建时就产生了，可见算法2.11 16、链表的归并算法，可见算法2.12 17、建议了解所谓的静态单链表（即用数组的形式来实现链表的操作），可见算法2.13 18、循环链表的定义，意义 19、循环链表的构造算法（其与单链表的区别是在创建时确定的）、图解 算法设计与分析（第二版）主编：吕国英 习题答案 第四章 1. #include for(i=1;i<=9;i++) { n=(n+2)*2; } printf("%d\n",n); return 0; } 3. #include 哈密尔顿回路算法比较 一、贪心法 贪心法通常用来解决具有最大值或最小值的优化问题。通常从某一个初始状态出发，根据当前局部而非全局的最优决策，以满足约束方程为条件，以使得目标函数的值增加最快或最慢为准则，选择一个最快地达到要求的输入元素，以便尽快地构成问题的可行解。 贪心法通过一系列选择得到问题的解。其所做出的每一个选择都是当前状态下的局部最好选择，即贪心选择。贪心法并不总能得到问题的最优解。 利用贪心法解哈密尔顿回路的C++算法如下： #include "stdio.h" int G[8][8]={{0,2,8,1,9}, {2,0,5,10,9}, {8,5,0,5,3}, {1,10,5,0,5}, {9,9,3,5,0}}; struct Edge //记录边的信息 { int x; int y; int value; //边的权值 }; typedef struct Edge Weight; int T[5]={0}; //用于标识节点是否被遍历过 int P[6]={0}; //存放路径 int sum_value=0; //计算总路径长度 Weight min_value(int r) //找出当前节点具有最小权值的相邻边 { int i,j=0,min; Weight W[5]; //用于存放相邻边的信息 for(i=0;i<5;i++) { if((T[i]==0)&&(i!=r)) //当节点未被遍历且不是自己到自己 { W[j].x=r; W[j].y=i; W[j].value=G[r][i]; //记录相邻边的信息 j++; } } min=W[0].value; for(i=0;i 第1章绪论工程大数电习题答案册工程大数电习题答案 册 2.(1)×(2)×(3)√ 3.（1）A（2）C（3）C 5.计算下列程序中x=x+1的语句频度 for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) for(k=1;k<=j;k++) x=x+1; 【解答】x=x+1的语句频度为： T(n)=1+(1+2)+（1+2+3）+……+（1+2+……+n）=n(n+1)(n+2)/6 6.编写算法，求一元多项式p n(x)=a0+a1x+a2x2+…….+a n x n的值p n(x0),并确定算法中每一语句的执行次数和整个算法的时间复杂度，要求时间复杂度尽可能小，规定算法中不能使用求幂函数。注意：本题中的输入为a i(i=0,1,…n)、x和n,输出为P n(x0)。算法的输入和输出采用下列方法 （1）通过参数表中的参数显式传递 （2）通过全局变量隐式传递。讨论两种方法的优缺点，并在算法中以你认为较好的一种实现输入输出。 【解答】 （1）通过参数表中的参数显式传递 优点：当没有调用函数时，不占用内存，调用结束后形参被释放，实参维持，函数通用性强，移置性强。 缺点：形参须与实参对应，且返回值数量有限。 （2）通过全局变量隐式传递 优点：减少实参与形参的个数，从而减少内存空间以及传递数据时的时间消耗 缺点：函数通用性降低，移植性差 算法如下：通过全局变量隐式传递参数 PolyValue() { int i,n; float x,a[],p; printf(“\nn=”); scanf(“%f”,&n); printf(“\nx=”); scanf(“%f”,&x); for(i=0;i 算法设计与分析的复习要点 第一章：算法问题求解基础 算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列。 一．算法的五个特征： 1．输入：算法有零个或多个输入量； 2．输出：算法至少产生一个输出量； 3．确定性：算法的每一条指令都有确切的定义，没有二义性； 4．可行性：算法的每一条指令必须足够基本，它们可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现； 5．有穷性：算法必须总能在执行有限步之后终止。 二．什么是算法？程序与算法的区别 1．笼统地说，算法是求解一类问题的任意一种特殊的方法；较严格地说，算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列。 2．程序是算法用某种程序设计语言的具体实现；算法必须可终止，程序却没有这一限制；即：程序可以不满足算法的第5个性质“有穷性”。 三．一个问题求解过程包括：理解问题、设计方案、实现方案、回顾复查。 四．系统生命周期或软件生命周期分为： 开发期：分析、设计、编码、测试；运行期：维护。 五．算法描述方法：自然语言、流程图、伪代码、程序设计语言等。 六．算法分析：是指对算法的执行时间和所需空间的估算。算法的效率通过算法分析来确定。 七．递归定义：是一种直接或间接引用自身的定义方法。一个合法的递归定义包括两部分：基础情况和递归部分； 基础情况：以直接形式明确列举新事物的若干简单对象； 递归部分：有简单或较简单对象定义新对象的条件和方法 八．常见的程序正确性证明方法： 1.归纳法：由基础情况和归纳步骤组成。归纳法是证明递归算法正确性和进行算法分析的强有力工具； 2.反证法。 第二章：算法分析基础 一．会计算程序步的执行次数（如书中例题程序2-1,2-2,2-3的总程序步数的计算）。二．会证明5个渐近记法。（如书中P22-25例2-1至例2-9） 三．会计算递推式的显式。（迭代法、代换法，主方法） 四．会用主定理求T(n)=aT(n/b)+f(n)。（主定理见P29，如例2-15至例2-18）五．一个好的算法应具备的4个重要特征： 1.正确性：算法的执行结果应当满足预先规定的功能和性能要求； 2.简明性：算法应思路清晰、层次分明、容易理解、利于编码和调试； 3.效率：算法应有效使用存储空间，并具有高的时间效率； 4.最优性：算法的执行时间已达到求解该类问题所需时间的下界。 六．影响程序运行时间的主要因素： 1.程序所依赖的算法； 2.问题规模和输入数据规模； 3.计算机系统性能。 七．1.算法的时间复杂度：是指算法运行所需的时间； 第一章作业 1.证明下列Ο、Ω和Θ的性质 1）f=Ο(g)当且仅当g=Ω(f) 证明：充分性。若f=Ο(g)，则必然存在常数c1>0和n0，使得?n≥n0，有f≤c1*g(n)。由于c1≠0，故g(n) ≥ 1/ c1 *f(n)，故g=Ω(f)。 必要性。同理，若g=Ω(f)，则必然存在c2>0和n0，使得?n≥n0，有g(n) ≥ c2 *f(n).由于c2≠0，故f(n) ≤ 1/ c2*f(n)，故f=Ο(g)。 2）若f=Θ(g)则g=Θ(f) 证明：若f=Θ(g)，则必然存在常数c1>0，c2>0和n0，使得?n≥n0，有c1*g(n) ≤f(n) ≤ c2*g(n)。由于c1≠0，c2≠0，f(n) ≥c1*g(n)可得g(n) ≤ 1/c1*f(n)，同时，f(n) ≤c2*g(n)，有g(n) ≥ 1/c2*f(n)，即1/c2*f(n) ≤g(n) ≤ 1/c1*f(n)，故g=Θ(f)。 3）Ο(f+g)= Ο(max(f,g))，对于Ω和Θ同样成立。 证明：设F(n)= Ο(f+g)，则存在c1>0，和n1，使得?n≥n1，有 F(n) ≤ c1 (f(n)+g(n)) = c1 f(n) + c1g(n) ≤ c1*max{f,g}+ c1*max{f,g} =2 c1*max{f,g} 所以，F(n)=Ο(max(f,g))，即Ο(f+g)= Ο(max(f,g)) 对于Ω和Θ同理证明可以成立。 4）log(n!)= Θ(nlogn) 证明： ?由于log(n!)=∑=n i i 1 log ≤∑=n i n 1 log =nlogn ，所以可得log(n!)= Ο(nlogn)。 ?由于对所有的偶数n 有， log(n!)= ∑=n i i 1 log ≥∑=n n i i 2 /log ≥∑=n n i n 2 /2/log ≥(n/2)log(n/2)=(nlogn)/2-n/2。 当n ≥4，(nlogn)/2-n/2≥(nlogn)/4，故可得?n ≥4，log(n!) ≥(nlogn)/4，即log(n!)= Ω(nlogn)。 综合以上两点可得log(n!)= Θ(nlogn) 2. 设计一个算法，求给定n 个元素的第二大元素，并给出算法在最坏情况下使用的比较次数。（复杂度至多为2n-3） 算法： V oid findsecond(ElemType A[]) { for (i=2; i<=n;i++) if (A[1] 一 1.循环赛日程表问题的相关叙述。 2.算法运行时所需要占用的存储空间有？ 3.动态规划法的求解步骤 4.解空间树是排列树的问题有。 5.分治法的步骤 6.就会场安排问题，贪心法的最佳贪心策略 7.快速排序法基准元素的选取方法 8.满足满m叉树的问题有？ 9.分支限界法的解题步骤 10.事前分析法相关的影响因素有 11.用分治法求解的问题一般需要具备一些特征，主要有？ 二 1．给定一个有向带权图G=(V，E)，其中每条边的权是一个非负实数，另外，给定V中的一个顶点，称为源点。现在要计算从源点到所有其它各个顶点的最短路径长度，这里的路径长度是指路径上经过的所有边上的权值之和，这个问题通常称为单源最短路径问题。 2．采用回溯法可以求解0-1背包问题，其解空间的形式为：（x1,x2,…,xn）或n 元组。 3．当所给的问题是从n个元素的排列中找出满足某种性质的一个排列时，相应的解空间树称为排列树。 4．一个正在生成孩子的结点称为扩展结点。 5．子集树是用回溯法解题时经常遇到的一种典型的解空间树。当所给的问题是从n个元素组成的集合S中找出满足某种性质的一个子集时，相应的解空间树称为子集树。 6．当所给问题的n个元素中每一个元素均有m种选择，要求确定其中的一种选择，使得对这n个元素的选择结果组成的向量满足某种性质，即寻找满足某种特性的n个元素取值的一种组合，这类问题的解空间树称为满m叉树。 7．一个自身已生成但其孩子还没有全部生成的结点称为活结点 8．回溯法中，对于问题的一个实例，解向量满足显约束的所有n元组构成了该实例的一个解空间 9．分支限界法有两种：队列式分支限界法和优先队列式分支限界法。 10．分支限界法采用的是宽度优先搜索。 11．时间复杂性的度量方法通常有两种：事后统计法和事前分析估算法 12．一个所有孩子已经生成的结点称做死结点 13．在最小生成树的生成方法中，Kruskal算法从边的角度出发，每一次将图中的权值最小的边取出来，在不构成环的情况下，将该边加入最小生成树。 三 1．分治法字面上的解释是分而治之，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同子问题，子问题相互独立，如果子问题还是不容易解决，再把子问题分成更小的子问题…，直到最后各个子问题可以简单地直接求解，对各个子问题递归求解，将子问题的解进行合并即得原问题的解。 2．动态规划法要求将大问题分解成规模较小的子问题，经分解得到的各个子问题往往不是相互独立的。在求解过程中，将已解决的子问题的解进行保存，在需要时可以轻松找出。采 绪论第1章 √(2)×(3)2.(1)×C ）C（3（1）A（2）3. 的语句频度5.计算下列程序中x=x+1for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) for(k=1;k<=j;k++) x=x+1; 的语句频度为：【解答】x=x+1=n(n+1)(n+2)/6 ）+……+（1+2+……+n）T(n)=1+(1+2)+（1+2+3 并确定算法中每一),p(xx+ax+a+…….+ax的值6.编写算法，求一元多项式p(x)=a n20nn20n1规定算法中不能使用要求时间复杂度尽可能小，语句的执行次数和整个算法的时间复杂度，算法的输入和输出)。n,输出为P(x求幂函数。注意：本题中的输入为a(i=0,1,…n)、x和0in采用下列方法1）通过参数表中的参数显式传递（）通过全局变量隐式传递。讨论两种方法的优缺点，并在算法中以你认为较好的一种实（2 现输入输出。【解答】1）通过参数表中的参数显式传递（优点：当没有调用函数时，不占用存，调用结束后形参被释放，实参维持，函数通用 性强，移置性强。缺点：形参须与实参对应，且返回值数量有限。 ）通过全局变量隐式传递（2 优点：减少实参与形参的个数，从而减少存空间以及传递数据时的时间消耗 缺点：函数通用性降低，移植性差 算法如下：通过全局变量隐式传递参数PolyValue() { int i,n; float x,a[],p; nn=”);printf(“\ scanf(“%f”,&n); nx=”);printf(“\ scanf(“%f”,&x); for(i=0;i 第一章答案 1.3计算下列程序中x=x+1的语句频度 for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) for(k=1;k<=j;k++) x=x+1; 【解答】x=x+1的语句频度为： T(n)=1+(1+2)+（1+2+3）+……+（1+2+……+n）=n(n+1)(n+2)/6 1.4试编写算法，求p n(x)=a0+a1x+a2x2+…….+a n x n的值p n(x0),并确定算法中每一语句的执 行次数和整个算法的时间复杂度，要求时间复杂度尽可能小，规定算法中不能使用求幂函数。注意：本题中的输入为a i(i=0,1,…n)、x和n,输出为P n(x0)。算法的输入和输出采用下列方法（1）通过参数表中的参数显式传递（2）通过全局变量隐式传递。讨论两种方法的优缺点，并在算法中以你认为较好的一种实现输入输出。 【解答】 （1）通过参数表中的参数显式传递 优点：当没有调用函数时，不占用存，调用结束后形参被释放，实参维持，函数通用性强，移置性强。 缺点：形参须与实参对应，且返回值数量有限。 （2）通过全局变量隐式传递 优点：减少实参与形参的个数，从而减少存空间以及传递数据时的时间消耗 缺点：函数通用性降低，移植性差 算法如下：通过全局变量隐式传递参数 PolyValue() { int i,n; float x,a[],p; printf(“\nn=”); scanf(“%f”,&n); printf(“\nx=”); scanf(“%f”,&x); for(i=0;i ·算法是指解决问题的方法和过程。算法是由若干条指令组成的有穷序列。 ·算法特性：输入、输出、确定性、有限性（执行时间和执行次数）（有五个空再加上可行性）。 ·程序是算法用某种程序设计语言的具体实现，程序可不满足有限性的特性。 ·程序调试只能证明程序有错，不能证明程序无错误! ·算法复杂性= 算法所需要的计算机资源。 ·算法的复杂性取决于：(1)求解问题的规模N；(2)具体的输入数据I；(3)算法本身的设计A。·可操作性最好且最有实际价值的是最坏情况下的时间复杂性。 第二章递归与分治策略 二分搜索技术：O（logn）大整数乘法：O（n log3）=O（n1.59）Strassen矩阵乘法：O（n log7）=O(n2.81) 棋盘覆盖：O（4k）合并排序和快排：O（nlogn）线性时间选择：O(n) 最接近点对问题：O(nlogn) 循环赛日程表：O(n2) ·分治法思想：将一个难以解决的问题分割成一些规模较小的相同问题，以便逐个击破，分而治之。边界条件与递归方程是递归函数的两大要素。 递归优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。 ·分治法时间复杂度分析：T(n)<= O(1) n=n0 aT(n/b)+f(n) n>n0 若递归方式为减法：T(n) = O(a n) 若递归方式为除法： f(n)为合并为原问题的开销：f(n)为常数c时：T(n)=O(n p) f(n)为线性函数：O(n) ab,p=log b a f(n)为幂函数n x时：O(n x) a 哈密尔顿图的充分必要条件 摘要 图论在现实生活中有着较为广泛的应用, 到目前为止,哈密尔顿图的非平凡充分必要条件尚不清楚,事实上,这是图论中还没解决的主要问题之一,但哈密尔顿图在实际问题中,应用又非常广泛,因此哈密尔顿图一直受到图论界以及运筹学学科研究人员的大力关注. 关键词:哈密尔顿图;必要条件;充分条件; 1 引言 (3) 2 哈密尔顿图的背景 (3) 3 哈密尔顿图的概念 (4) 4 哈密顿图的定义 (5) 4．1定义 (5) 4．2定义 (5) 4．3哈密顿路是遍历图的所有点。 (6) 4 哈密尔顿图的充分条件和必要条件的讨论 (7) 5 结论 (8) 参考文献 (8) 指导老师 (9) 1 引言 图论是一门既古老又年轻的学科,随着科学技术的蓬勃发展,它的应用已经渗透到自然科学以及社会科学的各个领域之中,利用它我们可以解决很多实际生活中的问题,给你一个图,你怎么知道它是否是哈密尔顿图呢?当然如果图的顶点不多,你可以用最古老的”尝试和错误”的方法试试找哈密尔顿回路就可以解决和判断.但是,数学家们并不满足这样的碰得焦头烂额后才找到的真理方法.是否存在一组必要和充分的条件,使得我们能够简单轻易地判断一个图是否是哈密尔顿图?有许多智者通过各种方式去尝试过了,遗憾的是至今尚未找到一个判别哈密尔顿回路和通路的充分必要条件.虽然有些充分非必要或必要非充分条件,但大部分还是采用尝试的办法,不过这些条件也是非常有用的. 2 哈密尔顿图的背景 美国图论数学家奥在1960年给出了一个图是哈密尔顿图的充分条件：对于顶点个数大于2的图，如果图中任意两点度的和大于或等于顶点总数，那这个图一定是哈密尔顿图。闭合的哈密顿路径称作哈密顿圈，含有图中所有顶的路径称作哈密顿路径. 1857年，哈密尔顿发明了一个游戏(Icosian Game).它是由一个木制的正十二面体构成，在它的每个棱角处标有当时很有名的城市。游戏目的是“环球旅行”。为了容易记住被旅游过的城市，在每个棱角上放上一个钉子，再用一根线绕在那些旅游过的城市上(钉子),由此可以获得旅程的直观表示(如图1)。 第一章习题答案 2、××√ 3、（1）包含改变量定义的最小范围 （2）数据抽象、信息隐蔽 （3）数据对象、对象间的关系、一组处理数据的操作 （4）指针类型 （5）集合结构、线性结构、树形结构、图状结构 （6）顺序存储、非顺序存储 （7）一对一、一对多、多对多 （8）一系列的操作 （9）有限性、输入、可行性 4、（1）A（2）C（3）C 5、语句频度为1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+n） 第二章习题答案 1、（1）一半，插入、删除的位置 （2）顺序和链式，显示，隐式 （3）一定，不一定 （4）头指针，头结点的指针域，其前驱的指针域 2、（1）A（2）A：E、A B：H、L、I、E、A C：F、M D：L、J、A、G或J、A、G （3）D（4）D（5）C（6）A、C 3、头指针：指向整个链表首地址的指针，标示着整个单链表的开始。 头结点：为了操作方便，可以在单链表的第一个结点之前附设一个结点，该结点的数据域可以存储一些关于线性表长度的附加信息，也可以什么都不存。 首元素结点：线性表中的第一个结点成为首元素结点。 4、算法如下： int Linser(SeqList *L,int X) { int i=0,k; if(L->last>=MAXSIZE-1) { printf(“表已满无法插入”)； return(0); } while(i<=L->last&&L->elem[i] L->last++; return(1); } 5、算法如下： #define OK 1 #define ERROR 0 Int LDel(Seqlist *L,int i,int k) { int j; if(i<1||(i+k)>(L->last+2)) { printf(“输入的i，k值不合法”); return ERROR; } if((i+k)==(L->last+2)) { L->last=i-2; ruturn OK; } else {for(j=i+k-1;j<=L->last;j++) elem[j-k]=elem[j]; L->last=L->last-k; return OK; } } 6、算法如下： #define OK 1 #define ERROR 0 Int Delet(LInkList L,int mink,int maxk) { Node *p,*q; p=L; while(p->next!=NULL) p=p->next; if(mink 第一章概述 算法的概念：算法是指解决问题的一种方法或过程，是由若干条指令组成的有穷序列。 算法的特征： 可终止性：算法必须在有限时间内终止； 正确性：算法必须正确描述问题的求解过程； 可行性：算法必须是可实施的； 算法可以有0个或0个以上的输入； 算法必须有1个或1个以上的输出。 算法与程序的关系： 区别：程序可以不一定满足可终止性。但算法必须在有限时间内结束； 程序可以没有输出,而算法则必须有输出； 算法是面向问题求解的过程描述，程序则是算法的实现。 联系：程序是算法用某种程序设计语言的具体实现； 程序可以不满足算法的有限性性质。 算法描述方式：自然语言，流程图，伪代码，高级语言。 算法复杂性分析： 算法复杂性的高低体现运行该算法所需计算机资源（时间，空间）的多少。 算法复杂性度量： 期望反映算法本身性能，与环境无关。 理论上不能用算法在机器上真正的运行开销作为标准（硬件性能、代码质量影响）。 一般是针对问题选择基本运算和基本存储单位，用算法针对基本运算与基本存储单位的开销作为标准。 算法复杂性C依赖于问题规模N、算法输入I和算法本身A。即C=F(N, I, A)。 第二章递归与分治 分治法的基本思想： 求解问题算法的复杂性一般都与问题规模相关，问题规模越小越容易处理。 分治法的基本思想是，将一个难以直接解决的大问题，分解为规模较小的相同子问题，直至这些子问题容易直接求解，并且可以利用这些子问题的解求出原问题的解。各个击破，分而治之。 分治法产生的子问题一般是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。递归是分治法中最常用的技术。 使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。 分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征： 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质； 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解； 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。（这条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但一般用动态规划较好。） 递归的概念： 算法实现题3-7 数字三角形问题 问题描述： 给定一个由n行数字组成的数字三角形，如图所示。试设计一个算法，计算出从三角形的顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。 编程任务： 对于给定的由n行数字组成的数字三角形，编程计算从三角形的顶至底的路径经过的数字和的最大值。 数据输入： 有文件input.txt提供输入数据。文件的第1行是数字三角形的行数n，1n<=100。接下来的n行是数字三角形各行的数字。所有数字在0-99之间。 结果输出： 程序运行结束时，将计算结果输出到文件output.txt中。文件第1行中的数是计算出的最大值。 输入文件示例输出文件示例 input.txt output.txt 5 30 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 源程序： #include "stdio.h" void main() { int n,triangle[100][100],i,j;//triangle数组用来存储金字塔数值,n表示行数 FILE *in,*out;//定义in，out两个文件指针变量 in=fopen("input.txt","r"); fscanf(in,"%d",&n);//将行数n读入到变量n中 for(i=0;i 哈密顿回路算法 概念：哈密顿图：图G的一个回路，若它通过图的每一个节点一次，且仅一次，就是哈密顿回路。存在哈密顿回路的图就是哈密顿图。哈密顿图就是从一点出发，经过所有的必须且只能一次，最终回到起点的路径。图中有的边可以不经过，但是不会有边被经过两次。 与欧拉图的区别：欧拉图讨论的实际上是图上关于边的可行便利问题，而哈密顿图的要求与点有关。 判定：一：Dirac定理（充分条件） 设一个无向图中有N个顶点，若所有顶点的度数大于等于N/2，则哈密顿回路一定存在。（N/2指的是?N/2?，向上取整）二：基本的必要条件 设图G=《V，E》是哈密顿图，则对于v的任意一个非空子集S，若以|S|表示S中元素的数目，G-S表示G中删除了S中的点以及这些点所关联的边后得到的子图，则W（G-S）《=|S|成立。其中W（G-S）是G-S中联通分支数。 三：竞赛图（哈密顿通路） N（N》=2）阶竞赛图一点存在哈密顿通路。 算法：一：在Dirac定理的前提下构造哈密顿回路过程： 1：任意找两个相邻的节点S和T，在其基础上扩展出一条尽量长的没有重复结点的路径。即如果S与结点v相邻，而且v不在路径S -》T上，则可以把该路径变成v -》S -》T，然后v成为新的S.从S和T分别向两头扩展，直到无法继续扩展为止，即所有与S或T 相邻的节点都在路径S -》T上。 2：若S与T相邻，则路径S -》T形成了一个回路。 3：若S与T不相邻，可以构造出来一个回路。设路径S -》T上有k+2个节点，依次为S，v1，v2，。。。，vk，T.可以证明存在节点vi（i属于［1，k］），满足vi与T相邻，且vi+1与S相邻。找到这个节点vi，把原路径变成S -》vi -》T -》vi+1 -》S，即形成了 数据结构与算法设计知识点 试题类型： 本课程为考试科目（闭卷笔试），试题类型包括：概念填空题（10 %），是非判断题（10 %），单项选择题（40 %），算法填空题（10%），算法应用题（20 %)，算法设计题（10 %）。 第一章绪论 重点容及要求： 1、了解与数据结构相关的概念（集合、数据、数据元素、数据项、关键字、元 素之间的关系等）。 数据：所有能被输入到计算机中，且能被计算机处理的符号的 集合。是计算机操作的对象的总称。是计算机处理的信息的某种特定 的符号表示形式。 数据元素：是数据（集合）中的一个“个体”，数据结构中的基 本单位，在计算机程序常作为一个整体来考虑和处理。 数据项：是数据结构中讨论的最小单位，数据元素可以是一个或 多个数据项的组合 关键码：也叫关键字（Key），是数据元素中能起标识作用的数据 项。 其中能起到唯一标识作用的关键码称为主关键码（简称主码）； 否则称为次关键码。通常，一个数据元素只有一个主码，但可以有多 个次码。 关系：指一个数据集合中数据元素之间的某种相关性。 数据结构：带“结构”的数据元素的集合。这里的结构指元素之 间存在的关系。 数据类型：是一个值的集合和定义在此集合上的一组操作的总 称。 2、掌握数据结构的基本概念、数据的逻辑结构（四种）和物理结构（数据元素 的表示与关系的表示、两类存储结构：顺序存储结构和链式存储结构）。 数据结构包括逻辑结构和物理结构两个层次。 数据的逻辑结构：是对数据元素之间存在的逻辑关系的一种抽象的描述，可以用一个数据元素的集合和定义在此集合上的若干关系来表示 逻辑结构有四种：线性结构、树形结构、图状结构、集合结构数据的物理结构：是其逻辑结构在计算机中的表示或实现，因此又称其为存储结构。 存储结构：顺序存储结构和链式存储结构 顺序存储结构：利用数据元素在存储器中相对位置之间的某种特定的关系来表示数据元素之间的逻辑关系； 链式存储结构：除数据元素本身外，采用附加的“指针”表示数据元素之间的逻辑关系。 3、了解算法分析的基本方法，掌握算法时间复杂度相关的概念。 算法：是为了解决某类问题而规定的一个有限长的操作序列 或处理问题的策略 一个算法必须满足以下五个重要特性：1．有穷性2．确定性3．可行性4．有输入 5．有输出 设计算法时，通常还应考虑满足以下目标： 1.正确性， 2.可读性， 3.健壮性 4.高效率与低存储量需求 《算法设计与分析》课程实验与设计 福州大学王晓东 第1章算法引论 算法实现题1-1 统计数字问题 算法实现题1-2 字典序问题 算法实现题1-3 最多约数问题 算法实现题1-4 金币阵列问题 算法实现题1-5 最大间隙问题 第2章递归与分治策略 算法实现题2-1 输油管道问题 算法实现题2-2 众数问题 算法实现题2-3 邮局选址问题 算法实现题2-4 马的Hamilton周游路线问题 算法实现题2-5 半数集问题 算法实现题2-6 半数单集问题 算法实现题2-7 士兵站队问题 算法实现题2-8 有重复元素的排列问题 算法实现题2-9 排列的字典序问题 算法实现题2-10 集合划分问题 算法实现题2-11 集合划分问题2 算法实现题2-12 双色Hanoi塔问题 算法实现题2-13 标准2维表问题 算法实现题2-14 整数因子分解问题 算法实现题2-15 有向直线2中值问题 第3章动态规划 算法实现题3-1 独立任务最优调度问题 算法实现题3-2 最少硬币问题 算法实现题3-3 序关系计数问题 算法实现题3-4 多重幂计数问题 算法实现题3-5 编辑距离问题 算法实现题3-6 石子合并问题 算法实现题3-7 数字三角形问题 算法实现题3-8 乘法表问题 算法实现题3-9 租用游艇问题 算法实现题3-10 汽车加油行驶问题 算法实现题3-11 圈乘运算问题 算法实现题3-12 最少费用购物 算法实现题3-13 最大长方体问题 算法实现题3-14 正则表达式匹配问题 算法实现题3-15 双调旅行售货员问题 算法实现题3-16 最大k乘积问题 算法实现题3-17 最小m段和问题 算法实现题3-18 红黑树的红色内结点问题 第4章贪心算法 算法实现题4-1 会场安排问题 算法实现题4-2 最优合并问题 算法实现题4-3 磁带最优存储问题 算法实现题4-4 磁盘文件最优存储问题考研数据结构必须掌握的知识点与算法-打印版
算法设计与分析 吕国英 习题答案第四章
哈密尔顿回路问题
最全数据结构课后习题答案(耿国华版[12bb]
最新算法设计与分析复习要点(1)
算法设计与分析习题解答
算法设计与分析复习资料1
最全数据结构课后习题答案耿国华版
耿国华数据结构习题答案完整版
算法设计与分析复习要点
哈密尔顿图的充分必要条件
(完整版)数据结构---C语言描述-(耿国华)-课后习题答案
算法分析与设计知识点总结
算法设计与分析第三版王晓东算法实现题部分答案_可复制编辑!
哈密顿回路算法
大数据结构与算法设计知识点
《算法设计与分析》课程实验与设计 福州大学 王晓东